高考數(shù)學(xué)解析幾何-第12講 齊次化巧解雙斜率問題

高考數(shù)學(xué)解析幾何

第12講齊次化巧解雙斜率問題

知識(shí)與方法

1.齊次式：一個(gè)多項(xiàng)式中，如果各項(xiàng)的次數(shù)都相同，則稱這個(gè)多項(xiàng)式為齊次式.

例如：x+2y,為一次齊次式,“x2-2xy-3y2,為二次齊次式，等等.

2.齊次方程：一個(gè)方程中，如果所有非零項(xiàng)的次數(shù)都相同，則稱這個(gè)方程為齊次方程.

例如:“x+2y=0"是一次齊次方程;“x2-2xy-3y2=O"是二次齊次方程，等等.

特別地，二次齊次方程的一般形式為：Ax2+Bxy+Cy2=0(其中A,B,C不同時(shí)為0),

Z\2

當(dāng)x≠Q(mào)時(shí)，兩邊同時(shí)除以√,可得C，+B?t+A=O,設(shè)k=2,則

?X√XX

Ck2+Bk+A=0,當(dāng)C≠0時(shí)，即為關(guān)于k的二次方程.

3.直接構(gòu)造齊次式的步驟：

對(duì)于圓錐曲線中的雙斜率問題，常規(guī)方法是聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理求解；也可以通過齊次化

處理，利用齊次

式解決更加方便快捷，可簡化運(yùn)算，降低運(yùn)算難度.

齊次化方法一般適用于兩直線斜率之和(或積)為常數(shù)的題型，可以解決與斜率之和(或積)

有關(guān)的定點(diǎn)、

定值或軌跡等問題：使用齊次化方法時(shí)，可以有兩種處理方法：

方法1：先平移坐標(biāo)系，將原點(diǎn)平移至給定的點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩直線過原點(diǎn)的類型；

方法2：不進(jìn)行坐標(biāo)平移，直線方程須化為m(x-?)+n(^-y0)=l的形式，其中

(?,y0)是題目中的給定的點(diǎn)，此時(shí)圓錐曲線的方程也要跟著變形；其中斜率的和或者積

決定了直線方程中也八的一個(gè)關(guān)系式.

以橢圓為例，己知^PAB為楠圓=l(a>b>O)的內(nèi)接三角形，其中

P(XO,%)為定點(diǎn)，AB為兩動(dòng)點(diǎn),可以直接構(gòu)造兩根為kp、,kpti的二次方程，步驟如下:

(1)將橢圓方程變形：

12222

?+p^=1b^x+cry-=a^b^=≠>?[(x-%0)+x0]^+tz[(^-y0)+y0]^=α/?,)

222222

化簡整理得：^(x-Λ0)+2^(x-Λ0)+α(y-γ0)+2α(γ-y0)=θσ);

(2)設(shè)直線AB的方程為：加(X-X))+"(y-%)=l;

(3)聯(lián)立，齊次化：(*)式化為

222222

?(x-Λ?)+2?(%-?)[m(x-Λ?)+n(>>-y0)]+0(y-y0)+2α(y-y0)[m(x-?)+n(y-y0)]=0

化簡整理得：

2122

(l+2m)?(%-x0)^+(lnb+2∕πzzj(x-x0)(y-y0)+(l+2n)a(y-y0)^=O

(4)上式兩邊除以(X-Xo);得：

/\2

(1+2〃)/匕&+(2加+2加/).匕也+(1+2m)/=0,

,

IX-X(J'x-x0

此方程兩根即為kpA,kpB?由韋達(dá)定理，可得：

Inlr+2ma2(1+2m)b2

ZPA+%

PH(1+2ri)a1(l+2w)α2

據(jù)此，可以簡便地解決與雙斜率有關(guān)的定點(diǎn)或定值問題.另一方面，我們得到了一個(gè)重要的

定點(diǎn)定值模型：

兩直線斜率之和（或積）為定值，則第三邊過定點(diǎn).（其中斜率之和不為0）

典型例題

類型1過原點(diǎn)的兩直線斜率和與積問題

【例11已知A,B為拋物線Uy2=2px（p>0）上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，且以AB為

直徑的圓過頂點(diǎn).求證：直線AB過定點(diǎn).

【例2】已知橢圓的中心為。，長軸、短軸分別為24,2b(α>8>0),P,Q分別在橢圓上,

且OPLOQ,求證:」方+—'為定值.

OP2OQ2

【例3】已知圓C1的方程為(x+2f+y2=24,點(diǎn)C2的坐標(biāo)為(2,0).點(diǎn)P為圓

G上的任意一點(diǎn)，線段PC2的垂直平分線與PCl交于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)D的軌跡E的方程；

⑵點(diǎn)Q是圓X2+y2=r2(r>0)上異于點(diǎn)A(-r,O)和B(r,0)的任一點(diǎn)，直線

AQ與軌跡E交于M,N直線6。與軌跡E交于點(diǎn)S,T.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直

線OM,ON,OS,OT,的斜率分別為kOM,kM,kos,koT,問：是否存在常數(shù)r,使得

自N=心+^T恒成立？若存在，求廠的值；若不存在，請(qǐng)說明理由?

X

【例4］在直角坐標(biāo)系x0y中，曲線C：y=—與直線lιy=kx+a(a>O)交于

4

M,N兩點(diǎn)、.

(1)當(dāng)時(shí)左=O時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

(2)y軸上是否存在點(diǎn)尸，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有/OPM=/OPN?說明理由.

類型2不過原點(diǎn)的兩直線斜率和與積問題

22(

［例5］已知橢圓C?+-<=l(α>0,b>0),四點(diǎn)片(1,1)出(0,1),A-1,

r92J

舄T，中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線I不經(jīng)過點(diǎn)打且與C相交于A,B兩點(diǎn)，若直線P2A與直線P2B的

斜率的和為一1,證明：/過定點(diǎn).

［例6］如圖，過橢圓U?^+*?=l(a>b>O)上的定點(diǎn)P(XO，%)作傾斜角互補(bǔ)的

兩直線，設(shè)其分別交橢圓。于AB兩點(diǎn)，求證：直線AB的斜率是定值.

【例7】已知橢圓C:?+方=1的左頂點(diǎn)為A,P,Q為C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線

AP,AQ斜率分別為4,七,若匕&=2,試判斷直線PQ是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該

定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

類型3齊次化處理與斜率和與積有關(guān)的軌跡問題

22

［例8］Ql,Q2為橢圓余+==1上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且過原點(diǎn)O作直線

QQ2的垂線0。，求。的軌跡方程.

y

QI

Qz

X

強(qiáng)化訓(xùn)練

I.設(shè)橢圓c：y+/=l的右焦點(diǎn)為F,過戶的直線/與C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)

M的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)/與X軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：ZOMA=ZOMB.

2.如圖，橢圓E:'+春?=l(α>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(0,-l),且離心率為乎

(1)求橢圓E的方程;

⑵經(jīng)過點(diǎn)(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P,Q(均異于點(diǎn)A),

證明：直線AP與AQ斜率之和為2.

上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，3

3.如圖，已知E,F是橢圓一+?=!是橢圓上的定點(diǎn)，如

4

果直線AE與AF關(guān)于直.

線X=I對(duì)稱，證明：直線EF的斜率為定值.

4.設(shè)拋物線y2=2px(p>0)上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A(Xl,χ)(y>0),8(工2，%)(%<°)，若

OAA.OB,求線段AB的

中點(diǎn)的軌跡方程.

χ2v21

5.在直角坐標(biāo)系xθy中，橢圓Ur+?=l(α>h>O)的離心率為上，點(diǎn)

cΓh~2

p[l,∣)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若斜率存在，縱截距為-2的直線/與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，若直線

AP,BP的斜率均存在，求證：直線AP,OP,BP的斜率依次成等差數(shù)列.

X1v'1

已知橢圓的離心率為上，過橢圓右焦點(diǎn)并垂直于%

6.C?+?=l(fl>?>O)C

ab^2

軸的直線PM交橢圓C于P,M(點(diǎn)P位于X軸上方)兩點(diǎn)，且AOPMj?(O

3

為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線/交橢圓C于A,B(A,B異于點(diǎn)P)兩點(diǎn)，且直線PA與PB的斜

率之積為-己，求點(diǎn)P到直線/距離的最大值.

4

參考答案

類型1過原點(diǎn)的兩直線斜率和與積問題

【例1】已知A,B為拋物線Uy2=2pχ(p>0)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，且以AB為

直徑的圓過頂點(diǎn).求證：直線AB過定點(diǎn).

【答案】見解析.

【證明】設(shè)直線AB的方程為mx+ny=l,聯(lián)立J^+H?V=1可得

尸=Ipx

y2=2px(mx+ny),

兩邊同時(shí)除以%2,得(1)一工—2pm=0.

由OA±OB,可得2

XA?

所以—2Pfn=—1,即根=—L,

2p

所以AB:—x+ny=\,過定點(diǎn)(2p,0).

2p

【注】方程〃優(yōu)+〃y=l不能表示過原點(diǎn)的直線.

【例2】已知橢圓的中心為0,長軸、短軸分別為2a,2b(a>b>0),P,Q分別在橢圓上,

且OPLOQ,求證:」y+工為定值.

OP-OQ2

【答案】見解析.

【證明】由于OPLOQ,因此由勾股定理可得OP2+OQ2=PQ2,所以

I,lPQ2

-----I------------------------

OP-OQ2(OPOQ)2.

設(shè)AOPQ的面積為S,O至IJPQ的距離為d,則有S=gpQ?d=gθP?OQ.因

此PQ=d、所以，要證明-U+-U為常數(shù)，則只需證明d為定值.

OPOQOP-OQ2

r22

土+21=∣

設(shè)直線PQ方程為ιwc+ny=X,聯(lián)立《/6一，齊次化并整理可得：

twc+ny=1

(I、

--/?2—Imn-+0,方程兩根為?,匹,

W)Xa"

12

-2—"2

由韋達(dá)定理得：工.匹=片-----

%9

b2

-1-m2

因?yàn)镺PlOQ,所以耳-----2211

=-1,化簡即得m+n7+F,

12

廬一〃

由點(diǎn)到直線距離公式,

11

所以

-O-P-Γ-O--QT2=

【例3】已知圓C1的方程為（x+2）2+y2=24,點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（2,0）.點(diǎn)P為圓

G上的任意一點(diǎn)，線段PC1的垂直平分線與PCl交于點(diǎn)D.

（1）求點(diǎn)D的軌跡E的方程;

⑵點(diǎn)Q是圓X2+y2=r2(r>0)上異于點(diǎn)A(-r,0)和B（r,0）的任一點(diǎn)，直線

AQ與軌跡E交于M,N直線6Q與軌跡E交于點(diǎn)S,T.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直

線OMQNQS,OT,的斜率分別為koM,k°N,k°s,k°τ,問：是否存在常數(shù)r,使得

koM+koN=*+k0τ恒成立？若存在，求r的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22

【答案】（1）一+匕=1;(2)r=√2.

62

22

【解析】⑴—+—=1(過程略)；

62

x=my-r2

22x-ιny

(2)設(shè)直線AQ:X=my-r.聯(lián)立VX2V2,齊次化得——=

—+?-?l62

62

整理可得：（6帆2一3戶）/一12■+（6—3，）寸=0

、2、

2222

即(6w-3r-12m?+6-3r=0,方程兩根為kOM,kON,

×)

12∕τ?4/n

k+k

則AoMTNoN

6m2-3r22m2—r2

由條件知：k+k=k+k,所以—~~--——γτ~~—,

OMONosoT2m-rmrL-2

整理得(療+1)(產(chǎn)-2)=o.故r=√2.

【例4】在直角坐標(biāo)系x0y中，曲線C:y=—與直線11ykx+a(a>0)交于

4

M,N兩點(diǎn).

(1)當(dāng)時(shí)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

(2)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有NOPM=/OPN?說明理由.

【答案】

【解析】(1)?[ax+y+a=0或GX-y-a=();(過程略)

(2)假設(shè)y軸上存在點(diǎn)P(0,t×t≠a),滿足當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有/OPM=/OPN成

如圖，新建坐標(biāo)系xPy,直線MN的方程為y=kx+a-t,即一!一(y—")=1.拋

a-t

物線C的方程為y=--t.立化齊次式得Xyj——J(y一依)2,

4a-t4(a-t)

整理得4R]W/+.).+/5-')=0.

?x√X4

因?yàn)镹oPM=NOPN,所以kpM+kpN=kgG=0,即t=-a.

a

所以點(diǎn)P在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(0,-a).

類型2不過原點(diǎn)的兩直線斜率和與積問題

22(

［例5］已知橢圓C?+^?=l(a>O,^>O),四點(diǎn)6(1,1),￡(0,1),￡-1,—

I2√

舄［-J中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線/不經(jīng)過點(diǎn)鳥且與。相交于A,BI

斜率的和為一1,證明：I過定

點(diǎn),

【解析】(1)橢圓C的方程為—+/?l(過程略)；

4

(2)解法1:聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理

設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為依題意知直線I斜率存在,

y=kx+b

設(shè)Γ.y=kx+b(b≠l),聯(lián)立?%22,消去了得

—+v=l

14?

(4?2+1)X2+8‰+4^2-4=0,

由題設(shè)可知A=16(4∕-b2+ι)>o

A/?r*/?,ISkb—4

設(shè)A(AyJ,B(X2,%)?則l用+乙=一/17,尤R=RTf

^TK十1^TK十i

∣-2Axx÷(^-l)(x+x)

,..1y~1y91kx,+h—1kx2o+/?-11212

而kl+k2=——+以一=-------÷--------

A1A2XχX2xlx2

由題設(shè)?+?2=-l,

故(2攵+1)玉工2+(人-1)(玉+工2)=0，

Urz/?iιχ4〃—-41Skh./?+1

即(2&+1A+gT)?［=6得k=一一—.

4Z,+1+12

當(dāng)且僅當(dāng)h>-?時(shí)，Δ>0.

直線I可化為y+1=—，。一2),顯然/過定點(diǎn)(2,-1).

解法2:直接構(gòu)造關(guān)于斜率的齊次式

橢圓C的方程x2+4(y-l+l)2=4,即x2+4(γ-l)2+8(y-l)=0.

設(shè)直線I方程為τnr+n(y-l)=l,聯(lián)立卜？+火丁一】廠+8(kD=O,齊次化得

mx+n{y-V)=1

x2+4(y-l)2+8(j-l)[∕nx+n(y-l)]=0,整理得

X2+(4+8")(y-1)?+8∕wc(y-l)=0,

整理得(4+8〃)(匕?]+8w-+1=0,

VX√X

由韋達(dá)定理得勺+&="」■+*」=一—-=-1,從而2加一2〃=L

XIX24+8〃

與的+〃(y-1)=1對(duì)照可知，直線I過定點(diǎn)(2,-1).

【注】使用齊次化方法時(shí)，可直接將直線方程設(shè)為W(X—Λfl)+“(y—%)=1的形式，其

中(Xo,%)是題目中給定的定點(diǎn)，同時(shí)也要將橢圓方程變形為

[(xR+J+■-%)+%]]

a2b2

解法3：坐標(biāo)平移之后構(gòu)造齊次式

丫2

2

如圖，以P2為原點(diǎn)新建坐標(biāo)系xP2y,則橢圓方程變?yōu)椤?(y+l)=l,即

----Fy2+2y=0.

設(shè)直線AB為mx+ny=?,聯(lián)立橢圓方程，化齊次式得—+y2+2y(ιvx+ny)=Q,

4

整理得(2"+l)[t]+2m^+-=0.因?yàn)?A+￡,B=T，所以一--=-1.

?x)X4%p22n+l

即2m—2〃=1.所以直線AB過定點(diǎn)(2,—2).

所以，在原坐標(biāo)系中,直線AB過定點(diǎn)(2,-1).

【注U(I)本題第(2)問的解法1為通性通法，即設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)

定理，不難得出正

確答案，通性通法務(wù)必要熟練掌握！解法2運(yùn)算量較小，構(gòu)造齊次式

4(匕1]+8匕?+C=O,再由書達(dá)定理

可輕松得到問題答案；解法3通過坐標(biāo)平移，使得平移后兩直線都過新坐標(biāo)系的原點(diǎn)，化

為類型1處理，和解法

2由異曲同工之妙！需要注意的是：最后還要平移回去，才能得到正確答案.

【注2】掌握四個(gè)步驟即可，不必記憶最后的結(jié)果

【例6】如圖，過橢圓C=?∣r+*?=l(a>b>0)上的定點(diǎn)P(Xt),%)作傾斜角互補(bǔ)的

兩直線，設(shè)其分別交橢圓C于AB兩點(diǎn)，求證：直線AB的斜率是定值.

【分析】設(shè)A,B坐標(biāo)分別為(h乂),(工2，%)，

由條件可得kAP+kBP=Q,即%二%+%f=0,

國一司%2-?

我們需要構(gòu)造如下齊次式：A(y—No)2+3(x—x0)(y—%)+C(X-/)2=0,A≠0.

【解析】設(shè)宜線AB方程為m(x-Λ0)+"(y-%)=L

222

因?yàn)?，?-y-?+?)+(y-%+%y

b2

(XTO)2%(X-Xo)J%(y-%)L

-++1,

所以橢圓方程可化為：RI+(2Ti+也富+汕》=。.

crb2a2b2

(x7o)-(y-%)-2%(%-端)2%(y-%)=

聯(lián)立<a2b2a2b2，

∕n(x-x0)+n(j-j0)=l

C.1(、2

2伙+14一%

齊次化且整理可得2

b[x-x0,

5)---,--,^ι孫--O----

由韋達(dá)定理可得與二瓦+之二比=—2W一4一.

xx

xl-?2-o2佻+1

b2

.nχ,my

又因?yàn)槿攵?+2二九=o,.?..薩0+歹=0°n'

?i-??-?

2

m_bx0

?"?"<482

?ay0

【注】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為。，則Q處的切線斜率即為本題答案.

【例71已知橢圓C:?+/=l的左頂點(diǎn)為A,P,Q為C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線

AP,AQ斜率分別為仁,七,若人網(wǎng)=2,試判斷直線PQ是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該

定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

【解析】將坐標(biāo)系左移2個(gè)單位(即橢圓右移)，則橢圓方程變?yōu)镚-2?L即

43

3√+4∕-12x=0,

3χ2-∣-4v2-12λ^=0

設(shè)PQ為直線/,平移后方程/':3+妝=L聯(lián)立，?,齊次化得

mx+ny=1

3X2+4)3-12x(mx+nγ)=0,

整理可得4y2-?2nxy^+3x2-12ιwC=0.

兩邊同除以√,得4公一12成+3—12m=O

3-12m-5

因?yàn)閗??b=2.所以=2,得m=—,

412

把m代入直線1'中，一~—x+ny-1.

12

12

當(dāng)y=0時(shí)，X=-—,

過定點(diǎn)卜?8)則/過定點(diǎn)［-y,°)

類型3齊次化處理與斜率和與積有關(guān)的軌跡問題

22

［例8］QvQ2為橢圓券+方=1上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OQjOQ2,過原點(diǎn)。作直線

Q1Q2的垂線。。，求。的軌跡方程.

【解析】解法1：常規(guī)方法

設(shè)Q(X1,yl),(22(X2,γ2),D(X0,γ0),設(shè)直線QiQ2方程為y^kx+m,

y=kx+m

立立?√)2,化簡可得：(2//+/)/+4^7^2%+2^2(^2-/)=0,

、-1

2b2(nti+b2}b2(nti-2b2k2}

所以Λ,X2=—J——，,v∣?=—?-?———，

'-2b2k2+b2122b2k2+b2

因?yàn)镺Q，0。2,所以

2b2(m2+b2)b2(>τr-2b2k2)2(/—6)病—zb1E

+Ji丫2=2b2k2+b2+2b2k2+b2=2Ar2+l+2k2+↑=°`

??.3∕n2=2^2(1+Λ2)(*)

又因?yàn)橹本€QiQ2方程等價(jià)于為了_%=_五(％_%0)?即y=--χ+-+y^

y0%為

-^-=k

y2

對(duì)比于y=kx+m,則〈，n，代入(*)中，化簡可得：xl+yl=-b2.

%；3

-+y0=m

,y0

?

故D的軌跡方程為/

解法2:齊次化設(shè)直線Q1Q2方程為twc+ny=?j聯(lián)立

mx+ny=12?

22

<xv=>—y+?~~1=0，

工2222

^p-+p--(∕nr+πγ)2=0,化簡可得：+JT-rn2χ2~^2y2~2mnxy=0,

整理成關(guān)于X.y的齊次式：(2-2^2/72)^2+(1-2/722/)^2-4^^2^=0,

進(jìn)而兩邊同時(shí)除以%2,則(2—2尸〃2)女2一4加〃/%+1—2"L∕=0nK%2=F^?

1—2m2/?2z

因?yàn)镺QLOQ,,所以k∣k,=-l,--------=-l,.?.3=2?2(m2+n2)(*)

2-2b~n~'7

2

又因?yàn)橹本€Q∣Q,方程等價(jià)于為y-y0=-?(%-χ0),即丁=一包工+9+%，

%NoNO

2?；2=m

對(duì)比于mx+ny=l,則%°+＞，0,代入(*)中，化簡可得：片+乂=2/

?=〃3

芯+巾

?

故D的軌跡方程為+

強(qiáng)化訓(xùn)練

2

1.設(shè)橢圓C：y+/=1的右焦點(diǎn)為尸，過尸的直線I與C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)

M的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)/與X軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：NOMA=NOMB.

/7∕τ

【答案】(1)y=------x+JΣ,或y=—x-?∣2.；(2)見解析.

22

【解析】⑴c=√2≡T=l,.?.F(l,()),

?；1與X軸垂直，，X=1,

直線AM的方程為=-—Λ+√2,或y=-x-y∕2.

"22

⑵證明：將橢圓左移2個(gè)單位，得(T)+y2=ι,即f+4χ+2y2+2=o平移后

的直線lt.ιwc+ny=?過(-1,0),即Tn=L所以m=-?

f+4r+2v?+2=0

聯(lián)立V,齊次化得X2+4x(z∕u+nγ)÷2y2+2(mx-^-ny)2=O,即

tnx+=1

(2+2力，/+(4/t÷4mn)xy÷(1+4m+2m2x2=0,

兩邊同除以x2,得(2+2〃，攵2+(4〃+4加鹿)左+1+4根+2加2=0,

4〃+4-πιrι

貝IJk.+lc=-——-r=O,.?.ΛOMA=NoMB.

y-(r2+2n2)

2.如圖，橢圓E:5+耳=l(0＞匕＞0)經(jīng)過點(diǎn)A(O,-1),且離心率為—.

a'b-2

(1)求橢圓E的方程；

(2)經(jīng)過點(diǎn)(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P,Q(均異于點(diǎn)A),

證明：直線AP與AQ斜率之和為2.

Y

【答案】(1)y+∕=l；(2)見解析.

b=1

【解析】(1)由題設(shè)得J-=-b=1X2

L，所以橢圓E的方程為一+y2=i;

a2a=五2"

a2^b2+c2

⑵設(shè)的方程為則

PQnvc+n(y+Γ)=1,P(xl,yl),Q(x2,y2),

^ΛP=Sk%+ι

β

xi^X2

直線PQ過點(diǎn)A(l,l),則∕τι+2π=l=>m=l-2∕ι.

橢圓方程為改寫成2即

f+2y2=2.√+2[(γ+l)-lJ=2,

x2+2(j+l)2-4(y+l)=0,

所以X2+2(y+1)2-4(y+l)[mx+/i(?+1)]=0,即

(2-4n)(y+l)2-4WX(J+1)+X2=0,

令四_=左，則二一就:+方程兩根為所以

(2-4")4,1=0,kAP,kAQ,

X

4m4(1-2n)_―卜、

ktAP+ktAQ=TT-T=-^-I—=2(定值)?

2-4?2-4n

3

3.如圖，已知E,F是橢圓一+?=!上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是橢圓上的定點(diǎn)，如

4

果直線AE與AF關(guān)于直.

線X=I對(duì)稱，證明：直線EF的斜率為定值.

【答案】見解析.

【證明】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，重新建立平面直角坐標(biāo)系，則橢圓方程為

(3

y+

(x+l)2I(2

△=1

43

整理得：3√+4∕+6x+12y=0,

令宜線EF方程：y^kx+b,貝∣J1=2二幺，

b

所以3元2+4/+6χ?匕M+12y?k"=0，

bb

整理得:(3b-6k)x2+(4?+l2)/+(6-12k)xy=0,

、2

所以：(4?+12)?+(6-12女)2y+(3b-66)=0,

X)

由題意：kAE+kAF=0.

即：J&=_6T2k=0貝Jli=L

x1x24b+122

即直線EF的斜率為定值.

4.設(shè)拋物線y2=2pχ(p>0)上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A(APy)(X>0),8&,必)(必<0)，若

OAlOB,求線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程.

【答案】見解析.

【解析】先證明直線AB過定點(diǎn)：

設(shè)直線AB方程為mx+ny=?,聯(lián)立<?=2PX,

mx+=1

/?2

齊次化可得y2=2px(mx+ny),即—-2pm—-Imp=O.

?xJx

由韋達(dá)定理可得

又^--^-=-?,.?.2pm=-l,即m=L

X1X22〃

所以直線AB恒過定點(diǎn)(2p,0).

下面求AB中點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)AB中點(diǎn)為M(x0,y0),對(duì)直線AB的斜率分兩種

情形討論：

情形一：

若直線AB的斜率存在，則攵Lj=—^―=上，

XI-X2-+%%

2

0

乂因?yàn)閗BM=―?■■,為kAB=kBM.

?-2∕?

所以旦=-?,即4=M∕-2p);

%X0p

情形二：

若直線AB.斜率不存在，此時(shí)M的坐標(biāo)為(2p,0),它顯然滿足y=p(j?-2p).

綜上所述：AB中點(diǎn)的軌跡方程為y2=p(x-2p).

X221

5.在直角坐標(biāo)系xθy中，楠圓C：r+、v=l(a>b>0)的離心率為一，點(diǎn)

ab2

p(l,∣)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程；

⑵若斜率存在，縱截距為一2的直線I與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，若直線

AP,BP的斜率均存在，求證：直線APQP,BP的斜率依次成等差數(shù)列.

r2V2

【答案】(1)-----H--=1；(2)見解析.

43

22

【解析】⑴工+匯=1;(過程略)

43

⑵根據(jù)條件可設(shè)直線I的方程為zn(x-l)+nfy-∣j=l,由直線I過點(diǎn)(0,—2).

7n+2

可得m=-

2

(33Y

橢圓方程3√+4∕=12,即3(X-1+1)2+4?--+-=12,

I22

(3Y

3(%-1)2+4y--∑+6(x-l)+12=O,

\2)

∕71(χ-l)÷∏=1

聯(lián)立并且齊次化整理可得

(3Y

3(x-i)2+4y--∑

\2)

(3A2

(3+6m)(x-1)2÷(4+12π)y——+(12m+6π)(x-l)

\2)

y--y--

即(4+12〃)一?+(12m+6n)-+3+6m=0

%-1X—1

?√

,,,6m+3n,_7〃+2

由韋達(dá)7E.理可旬kp+/Cgp=---------.由于m=--------,

A2+6〃2

所以kAP+kβp=3,即kAP+kκp=2kop,得證.

2

Yy1

6.已知橢圓C:=+^r=l（α＞人＞0）的離心率為上，過橢圓C右焦點(diǎn)并垂直于X

a~Ir2

軸的直線PM交橢圓C于P,M（點(diǎn)P位于%軸上方）兩點(diǎn)，且A0PMi'7（0

3

為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線I交橢圓C于A,B（A,B異于點(diǎn)P）兩點(diǎn)，且直線PA與PB的斜

率之積為-=9，求點(diǎn)P到直線/距離的最大值.

4

【答案】（1）1+斗=1;（2）卑.

434

c_1

α2a=2

<-×-×c=-..解得?=√3.所橢圓C

【解析】(1)由題意可得的標(biāo)準(zhǔn)方程為

2a2

a2=bL2+Ic2IC=I

29

χ

----^---+1---y-----_1].

43

(2)解法1:書達(dá)定理暴算

設(shè)點(diǎn)A(Λ1,y1),B(x2,y2),由(1)易求得尸[1，T

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)其方程為

ZX=Λ0(-2<X0<2∏.X0≠1).

33

Y一不乂一不9

所以k.?kpB=——l----乙=——,即2xj-3x0+l=0.

Λ

XI-1Λ2-14

當(dāng)宜線I的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m,

y=kx+m

聯(lián)做,消去

J,v2y并整理得(3+4?2)x2+8?ιx+4m2-12=0.

X+—=1

I4

,xxW-12

則Δ=(8k")2-4(3+4A-12)>0,x1+x2=~ι'ι

3+4產(chǎn)

33

當(dāng)一二

y—2-2—乂-|Q

所以kpjkpBP即?卜-(=_[(%_1)(工2T)

玉一1X2~14

3Q

所以kx+m+m——=一疝(司_1>(々_1)-

l2

、2

H+W)?X∣M+k3一?(Λ+X)3

m——I2+m——+0

227Γ

9

整理得242+4∕√-3w+6k%--=0.

2

即％+〃2—3]?(2左+4，〃+3)=0,所以3

k+m——=0或2Z:+4∕n+3=0

<2)2

33

若Λ+m-j=O,則直線I的方程為yk{x-?).

2

所以直線I過定點(diǎn)N0,∣

,不