新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第2課時兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用教師用書新人教A版選擇性必修第三冊

第2課時兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)1．進一步理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別．(數(shù)學(xué)抽象)2．會正確應(yīng)用這兩個計數(shù)原理計數(shù)．(數(shù)學(xué)運算)類型1組數(shù)問題【例1】有0，1，2，3，4五個數(shù)字．(1)可以排出多少個三位數(shù)字的電話號碼？(2)可以排成多少個三位數(shù)？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？[解](1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(種)．(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(種)．(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；另一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．因而有12＋18＝30(種)排法．即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．[母題探究]1．(變設(shè)問)由本例中的五個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？[解]完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1，3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用過的一個還有3個可任取一個，有3種方法；第三步、第四步把剩下的包括0在內(nèi)的還有3個數(shù)字，先排百位有3種方法，再排十位有2種方法．由分步乘法計數(shù)原理可知共有2×3×3×2＝36(個)．2．(變設(shè)問)在本例條件下，能組成多少個能被3整除的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？[解]一個四位數(shù)能被3整除，必須各位上數(shù)字之和能被3整除，故組成四位數(shù)的四個數(shù)字只能是0，1，2，3或0，2，3，4兩類．所以滿足題設(shè)的四位數(shù)共有3×3×2×1＋3×3×2×1＝36(個)．常見的組數(shù)問題及解題原則(1)常見的組數(shù)問題：奇數(shù)、偶數(shù)、整除數(shù)、各數(shù)位上的數(shù)的和或數(shù)字間滿足某種特殊關(guān)系等．(2)常用的解題原則：首先明確題目條件對數(shù)字的要求，針對這一要求通過分類、分步進行組數(shù)；其次注意特殊數(shù)字對各數(shù)位上數(shù)字的要求，如偶數(shù)的個位數(shù)字為偶數(shù)、兩位及其以上的數(shù)首位數(shù)字不能是0、被3整除的數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除等；最后先分類再分步從特殊數(shù)字或特殊位置進行組數(shù)．[跟進訓(xùn)練]1．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A．24B．18C．12D．6B[由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共3×2×2＝12(種)；如果是第二種情況偶奇奇：個位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，故1種情況)，共3×2×1＝6(種)．因此總共有12＋6＝18(種)情況．故選B．]2．用1，2，3，4，5可以排成多少個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？[解]排成一個三位數(shù)，可以分為三步：第一步，確定百位上的數(shù)字，共有5種方法；第二步，確定十位上的數(shù)字，因為數(shù)字不能重復(fù)，所以不能是百位上已有的數(shù)字，共有4種方法；第三步，確定個位上的數(shù)字，共有3種方法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可以排成數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的個數(shù)為5×4×3＝60．類型2抽取(分配)問題【例2】(1)有4位老師在同一年級的4個班級中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種數(shù)是()A．11 B．10C．9 D．8(2)從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有()A．280種 B．240種C．180種 D．96種(1)C(2)B[(1)設(shè)四個班級分別是A，B，C，D，它們的老師分別是a，b，c，d．法一：設(shè)a監(jiān)考的是B，則剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級，共有3種不同的方法；同理當a監(jiān)考C，D時，剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級也各有3種不同的方法．這樣，由分類加法計數(shù)原理知共有3＋3＋3＝9(種)不同的安排方法．法二：讓a先選，可從B，C，D中選一個，即有3種選法．若選的是B，則b從剩下的3個班級中任選一個，也有3種選法，剩下的兩個老師都只有一種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有3×3×1×1＝9(種)不同安排方法．(2)由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法．后面三項工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3＝240(種)選派方案．]求解抽取(分配)問題的方法(1)當涉及對象數(shù)目不大時，一般選用枚舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法．(2)當涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接法：直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理．②間接法：去掉限制條件，計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．[跟進訓(xùn)練]3．從1，3，5，7，9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個數(shù)是()A．9 B．10C．18 D．20C[由于lga－lgb＝lgab，從1，3，5，7，9中取出兩個不同的數(shù)分別賦值給a和b，共有5×4＝20(種)，而得到相同值的是1，3與3，9以及3，1與9，3兩組，所以可得到lga－lgb的不同值的個數(shù)是18．類型3涂色與種植問題涂色問題【例3】(源自人教B版教材)在某設(shè)計活動中，李明要用紅色和藍色填涂四個格子(如圖所示)，要求每種顏色都用兩次，李明共有多少種不同的填涂方法？[解]用R表示紅色，用B表示藍色，RBRB表示第一個和第三個格子涂紅色，第二個和第四個格子涂藍色．因為紅色和藍色都要用兩次，為了簡化問題，考慮涂紅色的格子是否相鄰，則填涂結(jié)果可以分為兩類：涂紅色的格子相鄰，涂紅色的格子不相鄰．涂紅色的格子相鄰的方法有：RRBB，BRRB，BBRR，共3種；涂紅色的格子不相鄰的方法有：RBRB，BRBR，RBBR，共3種．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，李明共有3＋3＝6(種)不同的填涂方法．種植問題【例4】從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，則有________種不同的種植方法．18[法一(直接法)：若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6(種)不同的種植方法．同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6(種)不同的種植方法．故不同的種植方法共有6×3＝18(種)．法二(間接法)：從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24(種)，其中不種黃瓜有3×2×1＝6(種)，故共有24－6＝18(種)不同的種植方法．]涂色與種植問題的四個解答策略(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù)，并用分步乘法計數(shù)原理計算．(2)以顏色(種植作物)為主分類討論法，適用于“區(qū)域、點、線段”問題，用分類加法計數(shù)原理計算．(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題．(4)對于不相鄰的區(qū)域，常分為同色和不同色兩類，這是常用的分類標準．[跟進訓(xùn)練]4．如圖所示的幾何體是由一個三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成的．現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有________種．12[先涂三棱錐P-ABC的三個側(cè)面，再涂三棱柱的三個側(cè)面，由分步乘法計數(shù)原理知，共有3×2×1×2×1×1＝12(種)不同的涂法．]5．在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A，B兩種作物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共多少種？[解]將并排的10壟田地從左到右編號為1到10號．由于A，B兩種作物的間隔不小于6壟，依據(jù)題意知也不大于8壟，運用分類討論的思想，根據(jù)兩種作物的左右及間隔進行討論．當A種在B種左邊時(括號內(nèi)為田壟的序號)，①間隔6壟時，(1，8)，(2，9)，(3，10)；②間隔7壟時，(1，9)，(2，10)；③間隔8壟時，(1，10)．上述共有6種選壟方法．當B種在A種左邊時，同理也有6種選壟方法，綜上所述，總的選壟方法數(shù)為6＋6＝12．1．某乒乓球隊里有6名男隊員，5名女隊員，從中選取男、女隊員各1名組成混合雙打隊，則不同的組隊方法的種數(shù)為()A．11 B．30C．56 D．65B[先選1名男隊員，有6種方法，再選1名女隊員，有5種方法，共有6×5＝30(種)不同的組隊方法．]2．從1，2，3，4，5五個數(shù)中任取3個，可組成不同的等差數(shù)列的個數(shù)為()A．2 B．4C．6 D．8D[第一類，公差大于0，有①1，2，3，②2，3，4，③3，4，5，④1，3，5，共4個等差數(shù)列；第二類，公差小于0，也有4個．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有4＋4＝8(個)不同的等差數(shù)列．]3．若3名學(xué)生報名參加籃球、足球、排球、計算機課外興趣小組，每人僅選報一個，則不同的報名方案有________種．64[每名同學(xué)都有4種不同的報名方案，共有4×4×4＝64(種)不同的報名方案．]4．如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂1種顏色，要求相鄰的2個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有________種(用數(shù)字作答)．750[首先給最左邊的一個格子涂色，有6種選擇，左邊第二個格子有5種選擇，第三個格子有5種選擇，第四個格子也有5種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，共有6×5×5×5＝750(種)涂色方法．]回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．選用分步乘法計數(shù)原理的依據(jù)是什么？[提示]當解決一個問題要分成若干步，每一步只能完成這件事的一部分，且只有所有步都完成后，這件事才完成，此時就采用分步乘法計數(shù)原理．2．解決較復(fù)雜的計數(shù)問題應(yīng)注意什么？[提示]解決較復(fù)雜的計數(shù)問題一般要用兩個計數(shù)原理，需注意合理分類，準確分步．分類標準要明確，做到不重不漏，分步要步步獨立，步驟完整．課時分層作業(yè)(二)兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用一、選擇題1．現(xiàn)有小麥、大豆、玉米、高粱4種不同農(nóng)作物供選擇，在如圖所示的四塊土地上進行種植，要求有公共邊界的兩塊地不能種同一種農(nóng)作物，則不同的種植方法共有()A．24種B．30種C．36種D．48種D[如圖，假設(shè)4個區(qū)域為A，B，C，D，分4步進行分析：①對于A，有4種農(nóng)作物供選擇；②對于B，與A相鄰，有3種農(nóng)作物供選擇；③對于C，與A，B相鄰，有2種農(nóng)作物供選擇；④對于D，與B，C相鄰，有2種農(nóng)作物供選擇．則不同的種植方法種數(shù)為4×3×2×2＝48，故選D．]2．一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復(fù)，則不同的參觀路線共有()A．6種 B．8種C．36種 D．48種D[如圖所示，由題意知在A點可先參觀區(qū)域1，也可先參觀區(qū)域2或3，選定一個區(qū)域后可以按逆時針參觀，也可以按順時針參觀，所以第一步可以從6個路口任選一個，有6種結(jié)果，參觀完第一個區(qū)域后，選擇下一步走法，有4種結(jié)果，參觀完第二個區(qū)域，只剩下最后一個區(qū)域，有2種走法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有6×4×2＝48(種)不同的參觀路線．]3．從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字中任取2個，其中一個作為底數(shù)，另一個作為真數(shù)，則可以得到不同的對數(shù)值的個數(shù)為()A．64 B．56C．53 D．51C[由于1不能作為底數(shù)，故從其余各數(shù)中任取1個作為底數(shù)，1作為真數(shù)，對數(shù)值均為0．從除1外的其余各數(shù)中任取2個分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，共能組成對數(shù)式8×7＝56(個)．又log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，對數(shù)值重復(fù)了4個，故不同的對數(shù)值的個數(shù)為1＋56－4＝53．]4．(多選)某校安排高二年級A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，每名同學(xué)只能選擇一個工廠，且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確的是()A．不同的安排方法有43種B．若甲工廠必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種C．若A同學(xué)必須去甲工廠，則不同的安排方法有12種D．若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種ABD[A√每名同學(xué)有4種選法，則不同的安排方法有4×4×4＝43(種)B√若甲工廠沒有人去，即三人全部到乙、丙、丁三個工廠，則不同的安排方法有3×3×3＝27(種)，則甲工廠必須有同學(xué)去的安排方法有43－27＝37(種)C×若A同學(xué)必須去甲工廠，則剩下的兩名同學(xué)安排到4個工廠，不同的安排方法有4×4＝16(種)D√若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有4×3×2＝24(種)]5．甲與其四位同事各有一輛汽車，甲的車牌尾號為9，其四位同事的車牌尾號分別是0，2，1，5．為遵守當?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾號為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾號為偶數(shù)的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為()A．64 B．80C．96 D．120B[5日至9日，有3個奇數(shù)日，2個偶數(shù)日．第一步，安排偶數(shù)日出行，每天都有2種選擇，不同的用車方案共有2×2＝4(種)．第二步，安排奇數(shù)日出行，分兩類討論：第一類，選1天安排甲的車，不同的用車方案共有3×2×2＝12(種)；第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，不同的用車方案共有2×2×2＝8(種)．綜上，不同的用車方案種數(shù)為4×(12＋8)＝80，故選B．]二、填空題6．將3種作物種植在如圖所示的5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一種作物，不同的種植方法共有________種．42[從左往右5塊試驗田分別有3，2，2，2，2種種植方法，共有3×2×2×2×2＝48(種)方法，其中5塊試驗田只種植2種作物共有3×2×1×1×1＝6(種)方法，所以有48－6＝42(種)不同的種植方法．]7．如圖所示，有A，B，C，D四個區(qū)域，用紅、黃、藍三種顏色涂色，要求任意兩個相鄰區(qū)域的顏色各不相同，共有________種不同的涂法．18[①若A，C涂色相同，則按照分步乘法計數(shù)原理，A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3，2，1，2，則有3×2×1×2＝12(種)不同的涂法．②若A，C涂色不相同，則按照分步乘法計數(shù)原理，A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3，2，1，1，則有3×2×1×1＝6(種)不同的涂法．所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有12＋6＝18(種)不同的涂法．]8．在一個三位數(shù)中，若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”，比如“102”“546”為“駝峰數(shù)”．由數(shù)字1，2，3，4可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有________個，其中偶數(shù)有________個．85[十位上的數(shù)為1時，有213，214，312，314，412，413，共6個，十位上的數(shù)為2時，有324，423，共2個，所以共有6＋2＝8(個)．偶數(shù)為214，312，314，412，324，共5個．]三、解答題9．在3000到8000之間有多少個無重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)？[解]分兩類：一類是以3，5，7為首位的四位奇數(shù)，可分三步完成：先排千位有3種方法，再排個位有4種方法，最后排中間的兩個數(shù)有8×7種方法，所以滿足要求的數(shù)有3×4×8×7＝672(個)．另一類是首位是4或6的四位奇數(shù)，也可分三步完成，滿足要求的數(shù)有2×5×8×7＝560(個)．由分類加法計數(shù)原理得，滿足要求的數(shù)共有672＋560＝1232(個)．10．(多選)用0，1，2，3，…，9這十個數(shù)字可組成不同的()A．三位密碼900個B．三位數(shù)900個C．無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)648個D．小于500且無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)144個BCD[對于A，組成三位密碼時，每一位上的數(shù)字都有10種選法，所以共有10×10×10＝1000(個)；對于B，由于0不能在百位，所以百位上的數(shù)字有9種選法，十位與個位上的數(shù)字均有10種選法，所以不同的三位數(shù)共有9×10×10＝900(個)；對于C，百位上的數(shù)字有9種選法，十位上的數(shù)字有除百位上的數(shù)字以外的9種選法，個位上的數(shù)字應(yīng)從剩余8個數(shù)字中選取，所以共有9×9×8＝648(個)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；對于D，小于500且無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)，應(yīng)滿足的條件是：首位只能從1，2，3，4中選，個位必須為奇數(shù)，按首位分兩類：第一類，首位為1或3時，個位有4種選法，十位有8種選法，所以共有4×8×2＝64(種)；第二類，首位為2或4時，個位有5種選法，十位有8種選法，所以共有5×8×2＝80(種)．由分類加法計數(shù)原理知，共有64＋80＝144(種)．]11．(多選)(2023·浙江省溫州市期中)某校實行選課走班制度，小C同學(xué)選擇的是地理、生物、政治這三科，且他的生物課要求在B層上，該校周一上午選課走班的課程(上午共設(shè)置4節(jié)課)安排如表所示，小C同學(xué)選擇的三個科目的課各上一節(jié)，另外一節(jié)上自習(xí)，則下列說法正確的是()第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)地理1班化學(xué)A層3班地理2班化學(xué)A層4班生物A層1班化學(xué)B層2班生物B層2班歷史B層1班物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班物理B層2班生物B層1班物理B層1班物理A層4班政治1班物理A層3班政治2班政治3班A．此人有6種選課方式B．此人有5種選課方式C．自習(xí)不可能安排在第1節(jié)D．自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)BD[因為生物課要求在B層上，只有第2，3節(jié)課，故分兩類進行討論：第一類，若生物選第2節(jié)，則地理可選第1節(jié)或第3節(jié)，有2種選法，政治有2種選法，故有2×2＝4(種)選法．第二類，若生物選第3節(jié)，則地理只能選第1節(jié)，政治只能選第4節(jié)，自習(xí)只能選第2節(jié)，故有1種選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理得到選課方式共有4＋1＝5(種)，故A錯誤，B正確；對于選項C，自習(xí)可以安排在4節(jié)課的任意一節(jié)，故C錯誤，D正確．故選BD．]12．用數(shù)字1，2，3，4，5，6組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，然后由小到大排成一個數(shù)列，這個數(shù)列的項數(shù)為________，這個數(shù)列的第90項為________．120532[第一步確定百位數(shù)，有6種方法，第二步確定十位數(shù)有5種方法，第三步確定個位數(shù)有4種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有N＝6×5×4＝120(個)三位數(shù)．所以該數(shù)列的項數(shù)為120．百位是1，2，3，4的共有4×5×4＝80(個)，百位數(shù)是5的三位數(shù)中，十位是1或2的共有4＋4＝8(個)，故第88個為526、第89個為531、第90個為532．]13．(2023·陜西西安中學(xué)高二期中)某外語組有5人，每人至少會英語、法語中的一門，其中3人會英語，3人會法語，從中選會英語和法語的各一人去做翻譯工作，則不同的選法種數(shù)為________．(用數(shù)字作答)8[由集合知識，可知既會英語又會法語的有3＋3－5＝1(人)，