新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章計(jì)數(shù)原理6.2排列與組合6.2.2排列數(shù)第2課時(shí)排列的綜合應(yīng)用教師用書新人教A版選擇性必修第三冊

第2課時(shí)排列的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)1．掌握幾種有限制條件的排列．(邏輯推理)2．能應(yīng)用排列知識解決簡單的實(shí)際問題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)類型1數(shù)字排列問題【例1】用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，求滿足下列條件的數(shù)各有多少個．(1)六位奇數(shù)；(2)個位數(shù)字不是5的六位數(shù)；(3)不大于4310的四位偶數(shù)．[思路導(dǎo)引]明確奇數(shù)和偶數(shù)的特點(diǎn)→[解](1)法一(特殊位置分析法)：如圖，從個位入手：個位排奇數(shù)，即從1，3，5中選1個有A31種方法，首位數(shù)從排除0及個位數(shù)余下的4個數(shù)字中選1個有A4由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有A31×A4法二(特殊元素分析法)：0不在兩端有A41種排法．從1，3，5中選1個排在個位，剩下的4個數(shù)字全排列．故所排六位奇數(shù)共有A41×法三(排除法)：從整體上排除：6個數(shù)字的全排列有A66種排法．0，2，4在個位上有3A55種排法，而1，3，5在個位上且0在首位上有3A4法四(排除法)：從局部上排除：個位上任選一個奇數(shù)，有A31種排法，其余各位上任意排，有A55種排法，共有A31A55種排法．其中，首位是0(2)法一(排除法)：0在首位和5在個位時(shí)均不符合題意，故符合題意的六位數(shù)共有A66-2A法二(特殊位置分析法)：如圖，個位不排5時(shí)，分兩類：第1類，當(dāng)個位排0時(shí)，有A5第2類，當(dāng)個位不排0時(shí)，有A4故符合題意的六位數(shù)共有A55+A4(3)法一(直接法)：第1類，當(dāng)千位上排1，3時(shí)，有A21×A3第2類，當(dāng)千位上排2時(shí)，有A21×A4第3類，當(dāng)千位上排4時(shí)，形如40△2，42△0的各有A31個，共有2A31形如41△△的有A21×A3形如43△△的只有4310和4302這兩個數(shù)．故共有72＋24＋6＋6＋2＝110(個)不大于4310的四位偶數(shù)．法二(排除法)：四位偶數(shù)中，0在個位的有A53＝60(個0在十位、百位的分別有A21×A4不含0的有A21×A4故四位偶數(shù)共有60＋48＋48＝156(個)．其中大于4310的情況如下：形如5△△△的有A3形如45△△的有A21×A31形如432△的只有4320一個；形如431△的只有4312一個．故大于4310的四位偶數(shù)共有A31×A42+A2因此，符合題意的四位偶數(shù)共有156－46＝110(個)．[母題探究]1．(變結(jié)論)若例題中的條件不變，求能被5整除的五位數(shù)有多少個？[解]能被5整除的數(shù)字個位必須為0或5，若個位上是0，則有A54個；個位上是5，若不含0，則有A44個；若含0，但0不作首位，則0的位置有A31種排法，其余各位有A43種排法，故共有2．(變結(jié)論)本例條件不變，若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個數(shù)列{an}，則240135是第幾項(xiàng)？[解]由于是六位數(shù)，首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有A55個數(shù)，首位數(shù)字為2，萬位上為0，1，3中的一個有3A44個數(shù)，所以240135的項(xiàng)數(shù)是A55+3A數(shù)字排列問題的常用方法及注意事項(xiàng)常用方法：主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位置，若一個位置安排的元素影響到另一個位置的元素個數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論．注意事項(xiàng)：解決數(shù)字問題時(shí)，應(yīng)注意題干中的限制條件，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類和分步，尤其注意特殊元素“0”的處理．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(源自人教B版教材)用0，1，2，…，9這10個數(shù)字，可以排成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？[解]滿足條件的四位數(shù)可以分為兩類：第一類的末位數(shù)字是0，有A9第二類的末位數(shù)字不是0．要排成這樣的四位數(shù)，可以分成三個步驟來完成：第一步，確定末位數(shù)字，因?yàn)橹荒苁?，4，6或8，所以有A41種方法；第二步，確定首位數(shù)字，因?yàn)閿?shù)字不能重復(fù)，所以有A81種方法；第三步，確定中間兩位數(shù)字，有A由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，滿足條件的四位數(shù)個數(shù)為A93+A41A81A82＝9×8×7＋4×類型2排隊(duì)、排節(jié)目問題元素的“在”與“不在”問題【例2】從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問題．(1)甲不在首位的排法有多少種？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種？(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種？(4)甲不在首位，同時(shí)乙不在末位的排法有多少種？[解](1)把元素作為研究對象．第一類，不含甲，此時(shí)只需從甲以外的其他6名同學(xué)中選出5名放在5個位置上，有A6第二類，含有甲，甲不在首位，先從除首位以外的其他4個位置中選出1個放甲，再從甲以外的6名同學(xué)中選出4名排在另外4個位置上，有A64種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有A65+4×A(2)把位置作為研究對象．第一步，從甲以外的6名同學(xué)中選2名排在首末2個位置上，有A6第二步，從剩下的5名同學(xué)中選3名排在中間3個位置上，有A5根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有A62A53(3)把位置作為研究對象．第一步，從甲、乙以外的5名同學(xué)中選2名排在首末2個位置，有A5第二步，從剩下的5名同學(xué)中選出3名排在中間3個位置上，有A5根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有A52A53(4)間接法．總的可能情況有A75種，減去甲在首位的A64種排法，再減去乙在末位的A64種排法，注意到甲在首位，同時(shí)乙在末位的排法數(shù)被減去了兩次，所以還需補(bǔ)回一次A5“在”與“不在”排列問題解題原則及方法(1)原則：可以從元素入手，也可以從位置入手，原則是誰特殊誰優(yōu)先．(2)方法：從元素入手時(shí)，先給特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；從位置入手時(shí)，先安排特殊位置，再安排其他位置．提醒：解題時(shí)，無論是從元素考慮，還是從位置考慮，都要貫徹到底，不能一會兒考慮元素，一會兒考慮位置，造成分類、分步混亂，導(dǎo)致解題錯誤．“相鄰”與“不相鄰”問題【例3】某次文藝晚會上共演出8個節(jié)目，其中2個唱歌、3個舞蹈、3個曲藝節(jié)目，求分別滿足下列條件的排節(jié)目單的方法種數(shù)：(1)一個唱歌節(jié)目開頭，另一個壓臺；(2)兩個唱歌節(jié)目不相鄰；(3)兩個唱歌節(jié)目相鄰且3個舞蹈節(jié)目不相鄰．[解](1)先排唱歌節(jié)目有A22種排法，再排其他節(jié)目有A66種排法，所以共有A2(2)先排3個舞蹈節(jié)目、3個曲藝節(jié)目，有A66種排法，再從其中7個空(包括兩端)中選2個排唱歌節(jié)目，有A72種插入方法，所以共有A6(3)兩個唱歌節(jié)目相鄰，用捆綁法，3個舞蹈節(jié)目不相鄰，利用插空法，共有A44A531．“相鄰”問題“捆綁法”將n個不同的元素排成一排，其中k個元素排在相鄰位置上，求不同排法的種數(shù)，具體求解步驟如下：(1)先將這k個元素“捆綁”在一起，看成一個整體；(2)把這個整體當(dāng)作一個元素與其他元素一起排列，其排列方法有An(3)“松綁”，即將“捆綁”在一起的元素內(nèi)部進(jìn)行排列，其排列方法有Ak(4)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，符合條件的排法有An2．“不相鄰”問題“插空法”將n個不同的元素排成一排，其中k個元素互不相鄰(k≤n－k＋1)，求不同排法的種數(shù)，具體求解步驟如下：(1)將沒有不相鄰要求的元素共(n－k)個排成一排，其排列方法有An(2)將要求兩兩不相鄰的k個元素插入(n－k＋1)個空隙中，相當(dāng)于從(n－k＋1)個空隙中選出k個分別分配給兩兩不相鄰的k個元素，其排列方法有An(3)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，符合條件的排法有An定序問題【例4】7人站成一排．(1)甲、乙、丙三人排列順序一定時(shí)，有多少種排列方法？(2)甲在乙的左邊，有多少種排列方法？[解](1)法一：7人的所有排列方法有A77種，其中甲、乙、丙的排序有A33種，又對應(yīng)甲、乙、丙只有一種排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有A7法二(插空法)：7人站定7個位置，只要把其余4人排好，剩下的3個空位，甲、乙、丙就按他們的順序去站，只有一種站法，故有A74＝7×6×5×4＝840(種(2)甲在乙的左邊的7人排列數(shù)與甲在乙的右邊的7人排列數(shù)相等，而7人排列數(shù)恰好是這二者之和，因此滿足條件的有12A77＝固定順序的排列問題的求解方法定序問題除法策略：n個不同元素的全排列有Ann種排法，m個特殊元素的全排列有Amm種排法．當(dāng)這[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．某地媒體為了宣傳醫(yī)護(hù)人員A，B，C，D，E，F(xiàn)共6人(其中A是隊(duì)長)的優(yōu)秀事跡，讓這6名醫(yī)護(hù)人員與接見他們的一位領(lǐng)導(dǎo)共7人站成一排進(jìn)行拍照，則領(lǐng)導(dǎo)和隊(duì)長站兩端且B，C兩人相鄰，而B，D兩人不相鄰的站法種數(shù)為()A．36B．48C．56D．72D[根據(jù)題意，可分兩步進(jìn)行分析，第一步，領(lǐng)導(dǎo)和隊(duì)長站在兩端，有A22＝2(種)站法；第二步，安排中間5人，分兩種情況討論：①若B，C相鄰且C，D相鄰，有A22A33＝12(種)站法；②若B，C相鄰且均不與D相鄰，有A22A22A32＝24(種)站法．故中間5人有12＋24＝36(種)站法．故領(lǐng)導(dǎo)和隊(duì)長站兩端且B，C兩人相鄰，而B3．3名男生、4名女生站成一排照相，若甲不站中間也不站兩端，則有________種不同的站法．2880[第一步，安排甲，在除中間、兩端以外的4個位置上任選一個位置安排，有A4第二步，安排其余6名，有A6由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有A41A66＝4．某電視節(jié)目的主持人邀請年齡互不相同的5位嘉賓逐個出場亮相．(1)其中有3位老者要按年齡從大到小的順序出場，出場順序有多少種？(2)3位老者與2位年輕人都要分別按年齡從小到大的順序出場，出場順序有多少種？[解](1)5位嘉賓無約束條件的全排列有A55種，由于3位老者的排列順序已定，因此滿足3位老者按年齡從大到小的順序出場，出場順序有A55A(2)設(shè)符合條件的排法共有x種，用(1)的方法可得x·A3解得x＝A55A1．A，B，C，D，E5人并排站成一排，如果A，B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法有()A．60種B．48種C．36種D．24種D[把A，B視為一人，且B排在A的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，故有A44＝24(種)2．用1，2，3，4，5這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A．36B．30C．40D．60A[奇數(shù)的個位數(shù)字為1，3或5，所以個位數(shù)字的排法有A31種，十位數(shù)字和百位數(shù)字的排法種數(shù)有A42種，故奇數(shù)有A31·A42＝33．有5名同學(xué)被安排在周一至周五值日，已知同學(xué)甲只能在周一值日，那么這5名同學(xué)值日順序的編排方案共有()A．12種 B．24種C．48種 D．120種B[因?yàn)橥瑢W(xué)甲只能在周一值日，所以除同學(xué)甲外的4名同學(xué)將在周二至周五值日，所以5名同學(xué)值日順序的編排方案共有A44＝24(種)4．高三(一)班學(xué)生要安排畢業(yè)晚會的4個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求2個舞蹈節(jié)目不連排，則共有________種不同的排法．3600[先排4個音樂節(jié)目和1個曲藝節(jié)目，共有A55種方法，再將2個舞蹈節(jié)目排在形成的6個空中，共有A62種方法，故共有A55×回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．含有“特殊元素”的排列的解題策略是什么？[提示]采用“元素分析”法，即以元素為主，優(yōu)先考慮特殊元素的要求．2．對于元素有特殊位置的排列的解題思想是什么？[提示]以位置為主，優(yōu)先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置．3．對于“元素相鄰”和“元素不相鄰”的排列的解決方法是什么？[提示]元素相鄰問題采用“捆綁”法，不相鄰問題采用“插空”法．課時(shí)分層作業(yè)(五)排列的綜合應(yīng)用一、選擇題1．安排甲、乙、丙3位黨員干部在周一至周五的5天中參加社區(qū)服務(wù)活動，要求每人參加1天且每天至多安排1人，并要求甲安排在另外2位前面，則不同的安排方法共有()A．20種B．30種C．40種D．60種A[分三類：甲在周一，有A42種安排方法；甲在周二，有A32種安排方法；甲在周三，有A22種安排方法．故共有A2．由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有()A．60個B．48個C．36個D．24個C[由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)共有2A44＝48(個)，大于50000的偶數(shù)共有2A33＝12(個)，所以小于50000的偶數(shù)共有48－123．(多選)若3男3女排成一排，則下列說法正確的是()A．共計(jì)有720種不同的排法B．男生甲排在兩端的共有120種排法C．男生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為120種D．男女生相間排法總數(shù)為72種AD[3男3女排成一排共計(jì)有A66＝720(種男生甲排在兩端的共有2A55＝240(男生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為A22A55男女生相間排法總數(shù)2A33A334．3張卡片正反面分別標(biāo)有數(shù)字1和2，3和4，5和7，若將3張卡片并列組成一個三位數(shù)，可以得到不同的三位數(shù)的個數(shù)為()A．30B．48C．60D．96B[“組成三位數(shù)”這件事，分兩步完成：第1步，確定排在百位、十位、個位上的卡片，即為3個元素的一個全排列A3第2步，分別確定百位、十位、個位上的數(shù)字，各有2種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以得到A33×2×2×2＝48(個)5．元宵節(jié)燈展后，懸掛的8盞不同的花燈需要取下，如圖所示，每次取1盞，則不同的取法共有()A．32種 B．70種C．90種 D．280種B[因?yàn)槿魰r(shí)每次只能取一盞，所以每串燈必須先取下面的燈，即每串燈取下的順序確定，取下的方法有A88A44A二、填空題6．4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端，有________種不同的站法．504[4名男生和2名女生站成一排共有A66＝720(種)站法，其中男生甲站最左端有A55＝120(種)站法，女生乙站最右端有A55＝120(種)站法，男生甲站最左端且女生乙站最右端有A44＝24(種)站法，故滿足條件的共有720－120－1207．在所有無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，千位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大2的數(shù)共有______個．448[千位數(shù)字比個位數(shù)字大2，有8種可能，即(2，0)，(3，1)，…，(9，7)前一個數(shù)為千位數(shù)字，后一個數(shù)為個位數(shù)字，其余兩位無任何限制，共有8×A82＝448(8．把3盆不同的蘭花和4盆不同的玫瑰花擺放在如圖中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中3盆蘭花不能擺放在一條直線上，則不同的擺放方法有________種．4320[先將7盆花全排列，共有A77種排法，其中3盆蘭花擺放在一條直線上的方法有5A33A44三、解答題9．用0，1，2，3，4五個數(shù)字：(1)可組成多少個五位數(shù)？(2)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？(3)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù)？(4)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)？[解](1)可組成4×54＝2500(個)五位數(shù)．(2)可組成4A44＝96((3)3的倍數(shù)的三位數(shù)，3個數(shù)字必須是0，1，2；0，2，4；1，2，3；2，3，4．故共有2×2A22(4)考慮特殊位置個位和萬位，先填個位，從1，3中選一個填入個位有A21種填法，然后從剩余3個非0數(shù)中選一個填入萬位，有A31種填法，包含0在內(nèi)的還有3個數(shù)在中間三個位置上全排列，排列數(shù)為A33，故共有10．九龍壁是中國古代建筑的特色，做工十分精美，藝術(shù)和歷史價(jià)值很高．九龍壁中九條蟠龍各具神態(tài)，正中間即第五條為正居之龍，兩側(cè)分別是沉降之龍和升騰之龍間隔排開，其中升騰之龍位居陽位，即第1，3，7，9位，沉降之龍位居2，4，6，8位．某工匠自己雕刻一九龍壁模型，為了增加模型的種類但又不改變升騰之龍居陽位和沉降之龍的位置，只能調(diào)換四條升騰之龍的相對位置和四條沉降之龍的相對位置．則不同的雕刻模型的種數(shù)為()A．A88 BC．A94 DD[由題設(shè)可知：四條升騰之龍的相對位置有A44種調(diào)換方法，四條沉降之龍的相對位置有A44種調(diào)換方法，∴不同的雕刻模型共有A11．在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實(shí)施時(shí)必須相鄰，則實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有()A．24種 B．48種C．96種 D．144種C[首先將程序B和C捆綁在一起，再和除程序A之外的3個程序進(jìn)行全排列，最后將程序A排在第一步或最后一步，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有A22A44A21＝2×24×212．(2023·安徽臨泉一中高二下月考)英文單詞“sentence”由8個字母構(gòu)成，將這8個字母進(jìn)行排列，且2個“n”不相鄰，則可得到的英文單詞(假設(shè)每個排列都是一個有意義的單詞)的個數(shù)為()A．2520 B．3360C．25200 D．4530A[英文單詞“sentence”中字母e有3個，字母n有2個，字母s，t，c各有1個．優(yōu)先考慮無限制的字母，排法共有A66A33＝120(種)，再插入2個字母n，排法有A72A22＝21(種13．某同學(xué)有7本不同的書，其中語文書2本、英語書2本、數(shù)學(xué)書3本．現(xiàn)在該同學(xué)把這7本書放到書架上排成一排，要求2本語文書相鄰、2本英語書相鄰、3本數(shù)學(xué)書中任意2本不相鄰，則不同的排法種數(shù)為()A．12B．24C．48D．720C[先將2本語