新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)生用書(shū)新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)習(xí)任務(wù)1．理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義與性質(zhì)，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．掌握兩點(diǎn)分布的均值．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．會(huì)用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些實(shí)際問(wèn)題．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析)已知在10件產(chǎn)品中有2件不合格品，從這10件產(chǎn)品中任取3件，用X表示取得產(chǎn)品中的不合格品的件數(shù)．我們可求得X的分布列如下表：X012P771現(xiàn)在我們關(guān)心的是，取3件該產(chǎn)品時(shí)，平均會(huì)取到幾件不合格品？那么，怎樣的一個(gè)數(shù)能夠“代表”這個(gè)隨機(jī)變量取值的平均水平呢？知識(shí)點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的均值(1)定義：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱E(X)＝__________＝i(2)意義：它反映了離散型隨機(jī)變量取值的________．(3)性質(zhì)：如果X和Y都是隨機(jī)變量，且Y＝aX＋b(a≠0)，則E(Y)＝E(aX＋b)＝________．均值是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù)，反映或刻畫(huà)的是隨機(jī)變量取值的平均水平，它是概率意義下的平均值，不同于相應(yīng)數(shù)值的平均數(shù)．(1)離散型隨機(jī)變量的均值與分布列有什么區(qū)別？(2)隨機(jī)變量的均值與樣本平均值有什么關(guān)系？知識(shí)點(diǎn)2兩點(diǎn)分布的均值若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p．1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個(gè)變量，其隨X的變化而變化． ()(2)隨機(jī)變量的均值反映樣本的平均水平． ()(3)若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝2，則E(2X)＝4． ()(4)隨機(jī)變量X的均值E(X)＝x1+x22．已知X的分布列為X－1012P1311則X的均值為_(kāi)_______．3．設(shè)X的分布列為X1234P1111Y＝2X＋5，則E(Y)＝________．類型1求離散型隨機(jī)變量的均值【例1】(源自北師大版教材)一個(gè)袋子里裝有除顏色外完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)，則取出的紅球個(gè)數(shù)的均值是多少？[嘗試解答]求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟(1)理解X的實(shí)際意義，并寫出X的全部取值．(2)求出X取每個(gè)值的概率．(3)寫出X的分布列(有時(shí)也可省略)．(4)利用定義公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．其中第(1)、(2)兩條是解答此類題目的關(guān)鍵，在求解過(guò)程中要注重運(yùn)用概率的相關(guān)知識(shí)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個(gè)．(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率；(2)設(shè)X表示取到豆沙粽的個(gè)數(shù)，求X的分布列與均值．類型2離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)【例2】已知隨機(jī)變量X的分布列為X－2－1012P111m1若Y＝－2X，則E(Y)＝________．[嘗試解答][母題探究]1．本例條件不變，若Y＝2X－3，則E(Y)＝________．2．本例條件不變，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－112，則a的值為_(kāi)_______關(guān)于離散型隨機(jī)變量均值性質(zhì)的應(yīng)用若給出的隨機(jī)變量ξ與X的關(guān)系為ξ＝aX＋b，a，b為實(shí)數(shù)，要求E(ξ)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(ξ)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b求出E(ξ)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知隨機(jī)變量X的分布列是X123P11a則E(2X＋a)＝()A．53B．73C．72類型3離散型隨機(jī)變量均值的實(shí)際應(yīng)用【例3】隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件次品虧損2萬(wàn)元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)為X．(1)求X的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)(即X的均值)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%，如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，則三等品率最多是多少？[嘗試解答]解答應(yīng)用類問(wèn)題時(shí)，首先把問(wèn)題概率模型化，然后利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相應(yīng)概率．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(2022·全國(guó)甲卷)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．1．(多選)下列說(shuō)法正確的是()A．隨機(jī)變量X的均值就是數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望B．均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)C．均值綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平D．隨機(jī)變量的均值就是樣本的均值2．若隨機(jī)變量X的分布列為X146P0.550.30.15則其數(shù)學(xué)期望E(X)等于()A．1B．13C．4.5D．3．已知隨機(jī)變量X的分布列為X－101P11m若η＝aX＋3，E(η)＝73，則a＝(A．3B．2C．1D．－24．已知小偉投籃命中率p＝0.6，則小偉投籃一次命中次數(shù)X的均值為_(kāi)_______．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．你能寫出離散型隨機(jī)變量的均值公式嗎？2．兩點(diǎn)分布的均值是什么？3．離散型隨機(jī)變量的均值有哪些性質(zhì)？7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值[必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知]知識(shí)點(diǎn)1(1)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn(2)平均水平(3)aE(X)＋b思考提示：(1)離散型隨機(jī)變量的分布列和均值雖然都是從整體和全局上刻畫(huà)隨機(jī)變量的，但二者有所不同．分布列只給了隨機(jī)變量取所有可能值的概率，而均值卻反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，而樣本的平均值是一個(gè)隨機(jī)變量，它隨樣本抽取的不同而變化．對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本的平均值越來(lái)越接近于總體的均值．課前自主體驗(yàn)1．(1)×(2)×(3)√(4)×2．14[E(X)＝－1×14＋0×38＋1×14＋3．323[E(X)＝1×16＋2×16＋3×13所以E(Y)＝E(2X＋5)＝2E(X)＋5＝2×176＋5＝323[關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]例1解：設(shè)X表示取出紅球的個(gè)數(shù)，則X的取值為0，1，2．P(X＝0)＝C3P(X＝1)＝C3P(X＝2)＝C3故X的分布列為X012P133根據(jù)均值的定義，可知E(X)＝0×110＋1×35＋2×跟進(jìn)訓(xùn)練1．解：(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)＝C2(2)X的所有可能取值為0，1，2，且P(X＝0)＝C83C103＝715，PP(X＝2)＝C2所以X的分布列為X012P771所以E(X)＝0×715＋1×715＋2×例21715[由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得14+13+15＋m＋故E(X)＝－2×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)＝－2×-1730＝17母題探究1．－6215[由本例知E(X)＝－17則E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×-1730－3＝－622．15[E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－1730a＋3＝－11解得a＝15．]跟進(jìn)訓(xùn)練2．C[因?yàn)?2＋13＋a＝1，所以所以E(X)＝12所以E(2X＋a)＝2E(X)＋16＝例3解：(1)X的所有可能取值有6，2，1，－2．P(X＝6)＝126200＝0.63，P(X＝2)＝50200＝0.25，P(X＝1)＝20200＝0.1，P(X＝－2)＝4故X的分布列為X621－2P0.630.250.10.02(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34．(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．依題意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多為3%．跟進(jìn)訓(xùn)練3．解：(1)設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為A，B，C，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為P＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6．(2)依題意知，X的可能取值為0，10，20，30，所以，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06．即X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13．[學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)]1.均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，故A、B、C正確．隨機(jī)變量的均值是一個(gè)確定的數(shù)，而樣本均值具有隨機(jī)性，它圍繞隨機(jī)變量的均值波動(dòng)，隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)的增加，樣本均值的波動(dòng)幅度一般會(huì)越來(lái)越?。虼顺Ｓ秒S機(jī)變量的觀測(cè)值的均值去估計(jì)隨機(jī)變量的均值，故D錯(cuò)誤