新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第7章隨機變量及其分布7.4二項分布與超幾何分布7.4.1二項分布學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第三冊

7.4二項分布與超幾何分布7.4.1二項分布學(xué)習(xí)任務(wù)1．理解n重伯努利試驗的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握二項分布的概率表達式．(數(shù)學(xué)抽象)3．能利用伯努利試驗的模型及二項分布解決一些簡單的實際問題．(數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析)為了增加系統(tǒng)的可靠性，人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”(即正在使用的設(shè)備出故障時才啟動的設(shè)備)．已知某計算機網(wǎng)絡(luò)的服務(wù)器采用的是“一用兩備”(即一臺正常設(shè)備，兩臺備用設(shè)備)的配置，這三臺設(shè)備中，只要有一臺能正常工作，計算機網(wǎng)絡(luò)就不會斷掉．如果三臺設(shè)備各自能正常工作的概率都為0.9，它們之間相互不影響，那么這個計算機網(wǎng)絡(luò)不會斷掉的概率是多少呢？知識點1n重伯努利試驗(1)概念：我們把只包含________可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗．(2)我們將一個伯努利試驗________所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．(3)n重伯努利試驗的共同特征①同一個伯努利試驗重復(fù)做________次；②各次試驗的結(jié)果相互________．(1)每次試驗結(jié)果只有兩種，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．(2)每次試驗在相同的條件下進行且各次試驗中的事件互不影響．1．“試驗的結(jié)果相互獨立”的含義是什么？知識點2二項分布(1)二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝________，k＝0，1，2，…，n．如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)．(2)二項分布的均值與方差若X服從二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝________，D(X)＝________．2．二項分布與兩點分布有什么關(guān)系？1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)n重伯努利試驗每次試驗之間是相互獨立的． ()(2)n重伯努利試驗只有發(fā)生與不發(fā)生兩種結(jié)果． ()(3)n重伯努利試驗中每次試驗中發(fā)生的機會是均等的． ()(4)n重伯努利試驗中每次試驗發(fā)生的事件是互斥的． ()(5)兩點分布屬于二項分布． ()2．某射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率為0.9，他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響，有下列結(jié)論：①他第三次擊中目標(biāo)的概率為0.9；②他恰好擊中目標(biāo)3次的概率為0.93×0.1；③他至少擊中目標(biāo)1次的概率為1－0.14．其中正確結(jié)論的序號為__________．3．某班有14的學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，如果從該班中隨機抽出5名同學(xué)，設(shè)其中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)為X，那么E(2X＋1)等于__________類型1n重伯努利試驗n重伯努利試驗的判斷【例1】判斷下列試驗是不是n重伯努利試驗．(1)依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣，3次正面向上；(2)某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了10次，其中6次擊中；(3)口袋中裝有5個白球，3個紅球，2個黑球，依次從中抽取5個球，恰好抽出4個白球．[嘗試解答]n重伯努利試驗的概率【例2】甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是23和3(1)求甲射擊3次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率；(2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率．[嘗試解答][母題探究]1．(變設(shè)問)本例條件不變，求甲、乙各射擊2次均擊中目標(biāo)1次的概率．[嘗試解答]2．(變設(shè)問)本例條件不變，求甲、乙各射擊2次，甲未擊中、乙擊中2次的概率．n重伯努利試驗概率求法的三個步驟(1)判斷：依據(jù)n重伯努利試驗的特征，判斷所給試驗是否為n重伯努利試驗．(2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆．(3)計算：就每個事件依據(jù)n重伯努利試驗的概率公式求解，最后利用乘法或加法公式計算．[跟進訓(xùn)練]1．(多選)下列事件不是n重伯努利試驗的是()A．運動員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B．甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C．甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒射中目標(biāo)”D．在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo)2．小明同學(xué)喜歡籃球，假設(shè)他每一次投籃投中的概率為23，則小明連續(xù)投籃四次，恰好兩次投中的概率是(A．481B．881C．427類型2求服從二項分布的隨機變量的分布列【例3】(源自湘教版教材)拋擲兩枚骰子，取其中一枚的點數(shù)為點P的橫坐標(biāo)，另一枚的點數(shù)為點P的縱坐標(biāo)，連續(xù)拋擲這兩枚骰子三次，求點P在圓x2＋y2＝16內(nèi)的次數(shù)X的分布列．[嘗試解答]二項分布問題的兩個關(guān)注點(1)判斷：關(guān)鍵有兩點，一是對立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗是獨立重復(fù)地進行了n次．(2)參數(shù)意義：X～B(n，p)中n為試驗次數(shù)，p為成功概率．(3)公式用途：公式P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)是求n重伯努利試驗發(fā)生[跟進訓(xùn)練]3．在某公司的一次招聘中，應(yīng)聘者都要經(jīng)過A，B，C三個獨立項目的測試，通過其中的兩個或三個項目的測試即可被錄用．若甲、乙、丙三人通過A，B，C每個項目測試的概率都是12(1)求甲恰好通過兩個項目測試的概率；(2)設(shè)甲、乙、丙三人中被錄用的人數(shù)為X，求X的分布列．類型3二項分布的均值、方差及實際應(yīng)用【例4】某商場為刺激消費，擬按以下的方案進行促銷：顧客每消費500元便得到獎券一張，每張獎券的中獎概率為12，若中獎，商場返還顧客現(xiàn)金100元．某顧客現(xiàn)購買價格為2300元的臺式電腦一臺，得到獎券4(1)設(shè)該顧客中獎的獎券張數(shù)為X，求X的分布列；(2)設(shè)該顧客購買臺式電腦的實際支出為Y元，用X表示Y，并求Y的均值．[嘗試解答](1)在解決有關(guān)均值和方差問題時，要認(rèn)真審題，如果題目中的離散型隨機變量符合二項分布，就應(yīng)直接利用二項分布求均值和方差，以簡化問題的解答過程．(2)對于二項分布的均值與方差公式E(X)＝np和D(X)＝np(1－p)要熟練掌握．[跟進訓(xùn)練]4．為了了解校園噪音情況，學(xué)校環(huán)保協(xié)會對校園環(huán)境噪音值(單位：分貝)進行了50天的監(jiān)測，得到如下統(tǒng)計表：環(huán)境噪音值(單位：分貝)[55，57](57，59](59，61](61，63](63，65](65，67]頻數(shù)14122085(1)根據(jù)該統(tǒng)計表，求這50天校園噪音值的樣本平均數(shù)(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(2)根據(jù)相關(guān)規(guī)定，“環(huán)境噪音值超過65分貝，視為重度噪音污染，環(huán)境噪音值不超過59分貝，視為輕度噪音污染．”把由上述統(tǒng)計表算得的頻率視作概率，回答下列問題：①求周一到周五的5天中恰有兩天校園出現(xiàn)重度噪音污染而其余3天都是輕度噪音污染的概率；②學(xué)校要舉行為期3天的“漢字聽寫大賽”校園選拔賽，把這3天校園出現(xiàn)的重度噪音污染天數(shù)記為X，求X的分布列和方差D(X)．1．n重伯努利試驗應(yīng)滿足的條件：①各次試驗之間是相互獨立的；②每次試驗只有兩種結(jié)果；③各次試驗成功的概率是相同的；④每次試驗發(fā)生的事件是互斥的．其中正確的是()A．①② B．②③C．①②③ D．①②④2．小方每次投籃的命中率為57，假設(shè)每次投籃相互獨立，則他連續(xù)投籃2次，恰有1次命中的概率為(A．2049 B．C．2549 D．3．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n(3≤n≤8)次，正面向上的次數(shù)ξ服從二項分布Bn，12，若P(ξ＝1)＝332，則4．某次考試中，第一大題由12道選擇題組成，每題選對得5分，不選或錯選得0分．小王選對每題的概率為0.8，則其第一大題得分的均值為________．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．n重伯努利試驗中，X的分布列P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k2．同一個伯努利試驗重復(fù)做n次即為n重伯努利試驗，重復(fù)意味著什么？3．判斷二項分布的關(guān)鍵點是什么？7.4.1二項分布[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]知識點1(1)兩個(2)獨立地重復(fù)進行n次(3)n獨立思考1提示：每次試驗的概率相同，不受上次試驗結(jié)果的影響．知識點2(1)Cnkpk(1－p)n-k(2)npnp(1－思考2提示：(1)兩點分布的試驗次數(shù)只有一次，試驗結(jié)果只有兩種：事件A發(fā)生(X＝1)或不發(fā)生(X＝0)；二項分布是指在n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)X的分布列，試驗次數(shù)為n次(每次試驗的結(jié)果也只有兩種：事件A發(fā)生或不發(fā)生)，試驗結(jié)果有n＋1種：事件A恰好發(fā)生0次，1次，2次，…，n次．(2)二項分布是兩點分布的一般形式，兩點分布是一種特殊的二項分布，即n＝1的二項分布．課前自主體驗1．(1)√(2)√(3)√(4)×(5)√2．①③[在n重伯努利試驗中，每次試驗事件發(fā)生的概率都相等，故①正確；②中恰好擊中3次需要看哪3次擊中，正確的概率應(yīng)為C43×0.93利用對立事件求解，③正確．]3．72[依題意X~B5則E(X)＝5×14∴E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×54＋1＝72[關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]例1解：(1)由于試驗的條件不同(質(zhì)地不同)，因此不是n重伯努利試驗．(2)某人射擊且擊中的概率是穩(wěn)定的，因此是n重伯努利試驗．(3)每次抽取時，球的個數(shù)不一樣多，且每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，因此不是n重伯努利試驗．例2解：(1)記“甲射擊3次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1，由題意，射擊3次，相當(dāng)于3重伯努利試驗，故P(A1)＝1－P(A1)＝1－233(2)記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A2，“乙射擊2次，恰有1次擊中目標(biāo)”為事件B2，則P(A2)＝C22×232＝49，P(B2)＝C21×341×1母題探究1．解：記“甲擊中目標(biāo)1次”為事件A3，“乙擊中目標(biāo)1次”為事件B3，則P(A3)＝C21×23P(B3)＝C21×34所以甲、乙均擊中目標(biāo)1次的概率為P(A3B3)＝49×32．解：記“甲未擊中目標(biāo)”為事件A4，“乙擊中2次”為事件B4，則P(A4)＝C201-232＝19，P(所以甲未擊中，乙擊中目標(biāo)2次的概率為P(A4B4)＝19×9跟進訓(xùn)練1．ABC[A，C符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互獨立事件；D是n重伯努利試驗．]2．D[因為小明每次投籃投中的概率是23，所以在他連續(xù)四次投籃中，恰有兩次投中的概率為P＝C42×例3解：由題意可知，P點的坐標(biāo)可能有6×6＝36(種)情況，而符合題意的點只有下列8個：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，如圖所示．那么在拋擲骰子時，點P在圓x2＋y2＝16內(nèi)的概率為836＝2由題意可知X～B3，P(X＝0)＝C302P(X＝1)＝C312P(X＝2)＝C322P(X＝3)＝C332因此，隨機變量X的分布列為X0123P34398288跟進訓(xùn)練3．解：(1)甲恰好通過兩個項目測試的概率為C321(2)因為甲、乙、丙三人被錄用的概率均為C321221-甲、乙、丙三人中被錄用的人數(shù)X服從二項分布，即X～B3，所以P(X＝0)＝1-12P(X＝1)＝C311P(X＝2)＝C321P(X＝3)＝123＝故X的分布列為X0123P1331例4解：(1)由于每張獎券是否中獎是相互獨立的，因此X～B4，所以P(X＝0)＝C401P(X＝1)＝C411P(X＝2)＝C421P(X＝3)＝C431P(X＝4)＝C441其分布列