新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性學(xué)生用書(shū)新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解變量間的相關(guān)關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)2．能根據(jù)散點(diǎn)圖，判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系．(直觀想象)3．了解相關(guān)系數(shù)的概念及公式，會(huì)判斷相關(guān)性的強(qiáng)弱．(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)在校園里，有這樣一種說(shuō)法：“如果你的數(shù)學(xué)成績(jī)好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會(huì)有什么大問(wèn)題．”按照這種說(shuō)法，似乎學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間存在著某種關(guān)系．我們把數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)看成是兩個(gè)變量，那么這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？知識(shí)點(diǎn)1變量間的相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系的定義：兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去________決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．兩個(gè)變量之間的關(guān)系分為函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系．1．相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有什么異同點(diǎn)？知識(shí)點(diǎn)2散點(diǎn)圖、線性相關(guān)(1)散點(diǎn)圖：為直觀地描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中兩個(gè)變量間的關(guān)系，用橫軸表示其中的一個(gè)變量，縱軸表示另一個(gè)變量，則成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可以用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖．(2)散點(diǎn)圖的作用如果散點(diǎn)圖中變量的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布在某條曲線的周?chē)?，我們就可以得出結(jié)論：這兩個(gè)變量具有相關(guān)性，如圖(1)(2)．如果變量的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布沒(méi)有規(guī)律，我們就可以得出結(jié)論：這兩個(gè)變量不具有相關(guān)性，如圖(3)．(3)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)________的趨勢(shì)，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量________．(4)線性相關(guān)與曲線相關(guān)一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在________附近，我們就稱這兩個(gè)變量________相關(guān)．一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．2．相關(guān)性可以如何分類？知識(shí)點(diǎn)3樣本相關(guān)系數(shù)(1)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)的特點(diǎn)一般地，如果變量x和y正相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點(diǎn)將分布在________象限、________象限，對(duì)應(yīng)的成對(duì)數(shù)據(jù)同號(hào)的居多；如果變量x和y________，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點(diǎn)將分布在第二象限、第四象限，對(duì)應(yīng)的成對(duì)數(shù)據(jù)異號(hào)的居多．(2)樣本相關(guān)系數(shù)，我們稱r為變量x和變量y的________．①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)________．這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也________；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也________．②當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)________．這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)________；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)________．(3)相關(guān)系數(shù)與相關(guān)程度|r|的大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度，|r|≤1．當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度________；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度________．當(dāng)|r|＝1時(shí)，表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都落在一條直線上；當(dāng)r＝0時(shí)，只表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系．3．能否說(shuō)“r越大，兩個(gè)變量間的相關(guān)程度越強(qiáng)；r越小，兩個(gè)變量間的相關(guān)程度越弱”？1．下列圖中的兩個(gè)變量是相關(guān)關(guān)系的是________．2．若對(duì)甲、乙、丙3組不同的成對(duì)數(shù)據(jù)作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，得到這3組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)依次為0.83，0.72，－0.90，則線性相關(guān)程度最強(qiáng)的組是________(填“甲”“乙”或“丙”)．3．某公司欲知詩(shī)詞日歷費(fèi)用x(十萬(wàn)元)與詩(shī)詞日歷銷售量y(千本)之間的關(guān)系，從其所發(fā)行的詩(shī)詞日歷中隨機(jī)抽取了10張，得到如下的資料：i則y與x的相關(guān)系數(shù)r為_(kāi)_______．類型1相關(guān)關(guān)系【例1】(1)(2023·蘭州高二檢測(cè))有下列關(guān)系：①人的年齡與他(她)擁有的財(cái)富之間的關(guān)系；②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；③蘋(píng)果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；④森林中的同一種樹(shù)木，其橫斷面直徑與高度之間的關(guān)系，其中有相關(guān)關(guān)系的是()A．①②③ B．①②C．②③ D．①③④(2)(多選)某中學(xué)的興趣小組將在某座山測(cè)得海拔高度、氣壓和沸點(diǎn)的六組數(shù)據(jù)繪制成散點(diǎn)圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是()A．沸點(diǎn)與海拔高度呈正相關(guān)B．沸點(diǎn)與氣壓呈正相關(guān)C．沸點(diǎn)與海拔高度呈負(fù)相關(guān)D．氣壓與海拔高度呈負(fù)相關(guān)[嘗試解答](1)根據(jù)直觀感覺(jué)判斷，這時(shí)要用到已有的知識(shí)或生活、學(xué)習(xí)中的經(jīng)驗(yàn)等．(2)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，這時(shí)要由兩個(gè)變量相應(yīng)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，作出散點(diǎn)圖，通過(guò)觀察散點(diǎn)圖中各點(diǎn)是否分布在某條曲線的周?chē)?，從而判斷變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．5位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚簩W(xué)生ABCDE數(shù)學(xué)8075706560物理7066686462則數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)之間()A．是函數(shù)關(guān)系B．是相關(guān)關(guān)系，但相關(guān)性很弱C．具有較好的相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)D．具有較好的相關(guān)關(guān)系，且是負(fù)相關(guān)類型2散點(diǎn)圖及其應(yīng)用【例2】下面是水稻產(chǎn)量與施化肥量的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)：施化肥量15202530354045水稻產(chǎn)量320330360410460470480(1)將上述數(shù)據(jù)制成散點(diǎn)圖；(2)你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產(chǎn)量近似呈什么關(guān)系嗎？水稻產(chǎn)量會(huì)一直隨施化肥量的增加而增加嗎？[嘗試解答](1)畫(huà)散點(diǎn)圖時(shí)應(yīng)注意合理選擇單位長(zhǎng)度，避免圖形過(guò)大或偏小，或者是點(diǎn)的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫(huà)不準(zhǔn)，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯(cuò)誤結(jié)論．(2)在這里利用散點(diǎn)圖直觀感知事物的形態(tài)與變化，理解事物間的關(guān)聯(lián)及變化規(guī)律，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)直觀想象的具體體現(xiàn)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．某種樹(shù)木體積與樹(shù)木的樹(shù)齡之間有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：樹(shù)齡2345678體積30344060556270(1)請(qǐng)作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)你能由散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樹(shù)木體積與樹(shù)木的樹(shù)齡近似呈什么關(guān)系嗎？類型3樣本相關(guān)系數(shù)及其應(yīng)用判斷線性相關(guān)的強(qiáng)弱【例3】某廠的生產(chǎn)原料耗費(fèi)x(單位：百萬(wàn)元)與銷售額y(單位：百萬(wàn)元)之間有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：x2468y30405070(1)畫(huà)出(x，y)的散點(diǎn)圖；(2)計(jì)算x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，并刻畫(huà)它們的相關(guān)程度．[嘗試解答]線性相關(guān)強(qiáng)弱的判斷方法(1)散點(diǎn)圖：散點(diǎn)圖只是粗略作出判斷，其圖象越接近直線，相關(guān)性越強(qiáng)．(2)樣本相關(guān)系數(shù)：樣本相關(guān)系數(shù)能夠較準(zhǔn)確地判斷相關(guān)的程度，其絕對(duì)值越大，相關(guān)性越強(qiáng)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．現(xiàn)隨機(jī)抽取某中學(xué)高一10名在校學(xué)生，他們?nèi)雽W(xué)時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)x與入學(xué)后第一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)y如表所示．學(xué)生號(hào)12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請(qǐng)問(wèn)：這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績(jī)是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系？附：若|r|>0.75，則我們可以認(rèn)為y與x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．[嘗試解答]樣本相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用【例4】以下是收集到的新房屋的銷售價(jià)格y(單位：萬(wàn)元)和房屋的大小x(單位：m2)的數(shù)據(jù)．房屋大小x/m211511080135105銷售價(jià)格y/萬(wàn)元24.821.618.429.222(1)畫(huà)出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)求樣本相關(guān)系數(shù)r，并作出評(píng)價(jià)．(精確到0.01，已知i[嘗試解答](1)當(dāng)相關(guān)系數(shù)|r|越接近1時(shí)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，當(dāng)相關(guān)系數(shù)|r|越接近0時(shí)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系越弱．(2)樣本相關(guān)系數(shù)r有時(shí)也稱樣本線性相關(guān)系數(shù)，|r|刻畫(huà)了樣本點(diǎn)集中于某條直線的程度．當(dāng)r＝0時(shí)，只表明成對(duì)數(shù)據(jù)間沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．我國(guó)北方廣大農(nóng)村地區(qū)、一些城鎮(zhèn)以及部分大中型城市的周邊區(qū)域，還在大量采用分散燃煤和散燒煤取暖，既影響了居民基本生活的改善，也加重了北方地區(qū)冬季的霧霾天氣．推進(jìn)北方地區(qū)冬季清潔取暖，是重大民生工程、民心工程，關(guān)系北方地區(qū)廣大群眾溫暖過(guò)冬，關(guān)系霧霾天能不能減少，是能源生產(chǎn)和消費(fèi)革命、農(nóng)村生活方式革命的重要內(nèi)容．國(guó)家發(fā)改委制定了煤改氣、煤改電價(jià)格扶持新政策，從而使得煤改氣、煤改電用戶大幅度增加，下面條形圖反映了某省連續(xù)7個(gè)月的煤改氣、煤改電的用戶數(shù)量．在給定坐標(biāo)系中作出煤改氣、煤改電用戶數(shù)量y隨月份t變化的散點(diǎn)圖，并用散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)說(shuō)明y與t之間具有線性相關(guān)性．參考數(shù)據(jù)：參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)1．下列選項(xiàng)中，兩變量間具有相關(guān)關(guān)系的是()A．正方體的體積與棱長(zhǎng)B．勻速行駛的汽車(chē)的行駛距離與時(shí)間C．人的身高與視力D．某人每日吸煙量與其身體健康情況2．如圖所示的散點(diǎn)圖分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是()A．正相關(guān)，負(fù)相關(guān)，不相關(guān)B．負(fù)相關(guān)，不相關(guān)，正相關(guān)C．負(fù)相關(guān)，正相關(guān)，不相關(guān)D．正相關(guān)，不相關(guān)，負(fù)相關(guān)3．兩個(gè)變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)r1＝0.7859，兩個(gè)變量u，v的樣本相關(guān)系數(shù)r2＝－0.9568，則下列判斷正確的是()A．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)B．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)C．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)4ir約為_(kāi)_______．(精確到0.001)回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．怎樣畫(huà)散點(diǎn)圖？2．怎樣判斷兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系？3．樣本相關(guān)系數(shù)r的大小與兩個(gè)變量的相關(guān)程度有何關(guān)系？相關(guān)系數(shù)與向量夾角的余弦當(dāng)n＝2時(shí)，相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式可改寫(xiě)為r＝x1此時(shí)，如果令a＝(x1－x，x2－x)，b＝(y1－y，y2－y)，則相關(guān)系數(shù)r等于向量a與b的夾角的余弦，即r＝cos〈a，b〉＝a·類似地，當(dāng)n＝3時(shí)，相關(guān)系數(shù)r仍等于兩個(gè)向量夾角的余弦，只不過(guò)此時(shí)兩個(gè)向量分別為a＝(x1－x，x2－x，x3－x)，b＝(y1－y，y2－y，y3－y)．一般地，a＝(x1－x，x2－x，…，xn－x)，b＝(y1－y，y2－y，…，yn－y)都稱為n維向量，如果按照類似2維與3維的情況定義向量的內(nèi)積和模，則相關(guān)系數(shù)r總是等于兩個(gè)向量夾角的余弦．8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性[必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知]知識(shí)點(diǎn)1精確地思考1提示：相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量間的關(guān)系．不同點(diǎn)：①函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，如圓的面積S與半徑r的關(guān)系，它可以用函數(shù)關(guān)系式S＝πr2來(lái)表示；相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，如人的體重y與身高x有關(guān)，一般來(lái)說(shuō)，身高越高，體重越重，但不能用一個(gè)函數(shù)關(guān)系式來(lái)嚴(yán)格地表示它們之間的關(guān)系．函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系．②函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)2(3)增加負(fù)相關(guān)(4)一條直線線性思考2提示：(1)按變量間的增減性分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．(2)按變量間是否有線性特征分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)(曲線相關(guān))．知識(shí)點(diǎn)3(1)第一第三負(fù)相關(guān)(2)樣本相關(guān)系數(shù)正相關(guān)變小變大負(fù)相關(guān)變大變小(3)越強(qiáng)越弱思考3提示：不能．|r|越大，兩個(gè)變量間的相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越小，兩個(gè)變量間的相關(guān)程度越弱．課前自主體驗(yàn)1．②③[散點(diǎn)圖①中，所有的散點(diǎn)都在曲線上，所以①具有函數(shù)關(guān)系；散點(diǎn)圖②中，所有的散點(diǎn)都分布在一條直線的附近，所以②具有相關(guān)關(guān)系；散點(diǎn)圖③中，所有的散點(diǎn)都分布在一條曲線的附近，所以③具有相關(guān)關(guān)系；散點(diǎn)圖④中，所有的散點(diǎn)雜亂無(wú)章，沒(méi)有分布在一條曲線的附近，所以④沒(méi)有相關(guān)關(guān)系．]2．丙[樣本相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度就越強(qiáng)，結(jié)合題中所給的3組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)知，－0.90的絕對(duì)值最接近1，所以丙組成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度最強(qiáng)．]3．0.3[由題中數(shù)據(jù)可知r＝237-10×2.8[關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]例1(1)D(2)BCD[(1)因?yàn)橄嚓P(guān)關(guān)系是一種不確定的關(guān)系，是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系，②是一種函數(shù)關(guān)系，所以具有相關(guān)關(guān)系的有①③④．(2)由圖1知?dú)鈮弘S海拔高度的增加而減小，由圖2知沸點(diǎn)隨氣壓的升高而升高，所以氣壓與海拔高度呈負(fù)相關(guān)，D正確；沸點(diǎn)與氣壓呈正相關(guān)，B正確；沸點(diǎn)與海拔高度呈負(fù)相關(guān)，A錯(cuò)誤，C正確．]跟進(jìn)訓(xùn)練1．C[數(shù)學(xué)成績(jī)x和物理成績(jī)y的散點(diǎn)圖如圖所示．從圖上可以看出數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)具有較好的相關(guān)關(guān)系，且成正相關(guān)．]例2解：(1)散點(diǎn)圖如圖．(2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)施化肥量由小到大變化時(shí)，水稻產(chǎn)量也由小變大，圖中的散點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此施化肥量和水稻產(chǎn)量近似呈線性相關(guān)關(guān)系，但水稻產(chǎn)量只是在一定范圍內(nèi)隨著化肥施用量的增加而增加，不會(huì)一直隨施化肥量的增加而增加．跟進(jìn)訓(xùn)練2．解：(1)以x軸表示樹(shù)木的樹(shù)齡，y軸表示樹(shù)木的體積，可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示．(2)由散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樹(shù)木體積隨著樹(shù)齡的增加呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，且散點(diǎn)大致落在一條直線附近，所以樹(shù)木的體積與樹(shù)齡近似呈線性相關(guān)關(guān)系．例3解：(1)畫(huà)出(x，y)的散點(diǎn)圖如圖所示，(2)x＝5，y＝47.5，i故樣本相關(guān)系數(shù)＝1080-4×5×47.5由樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.9827，可以推斷出生產(chǎn)原料耗費(fèi)與銷售額這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng)．跟進(jìn)訓(xùn)練3．解：由題意知，x＝110×(120＋108＋117＋104＋103＋110＋104＋105＋99＋108)y＝110×(84＋64＋84＋68＋69＋68＋69＋46＋57＋71)i所以樣本相關(guān)系數(shù)r＝7