新教材同步備課2024春高中數(shù)學章末綜合測評1計數(shù)原理新人教A版選擇性必修第三冊

章末綜合測評(一)計數(shù)原理(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知自然數(shù)x滿足3Ax+13＝2A．2 B．3C．4 D．52．從甲、乙等6名醫(yī)生中任選3名分別去A，B，C三所學校進行體檢，每個學校去1人，其中甲、乙不能去A學校，則不同的選派種數(shù)為()A．36 B．48C．60 D．803．已知(a＋b)2n的展開式的第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則(2x－1)n展開式中x3的系數(shù)為()A．80 B．40C．－40 D．－804．某冬令營開營儀式文藝晚會中，要將A，B，C，D，E這五個不同節(jié)目編排成節(jié)目單，如果E節(jié)目不能排在開始和結(jié)尾，B，D兩個節(jié)目要相鄰，則節(jié)目單上不同的排序方式的種數(shù)為()A．12 B．18C．24 D．485．若(1－2x)2023＝a0＋a1x＋…＋a2023x2023(x∈R)，則a12+aA．2 B．0C．－2 D．－16．1x-2y(2x－y)5的展開式中x2y4A．80 B．24C．－12 D．－487．已知(ax2＋1)x-2x5的展開式中各項系數(shù)的和為－3，則該展開式中xA．40 B．－40C．－120 D．－2408．為落實立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某學校開設(shè)A，B，C三門德育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學參加校本課程的學習，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，則不同的報名方法有()A．54種 B．240種C．150種 D．60種二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．(2023·深圳模擬)已知(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，則()A．a(chǎn)0＝28B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a8＝1C．|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38D．a(chǎn)1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－810．安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴A，B，C三地參加志愿工作，下列說法正確的是()A．不同的安排方法共有64種B．若恰有一地無人去，則不同的安排方法共有42種C．若甲必須去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有12種D．若甲、乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有14種11．(2023·茂名模擬)已知2x+13xn的展開式共有A．所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為212B．所有項的系數(shù)和為312C．二項式系數(shù)最大的項為第6項或第7項D．有理項共5項12．連接正方體每個面的中心構(gòu)成一個正八面體，甲隨機選擇此正八面體的三個頂點構(gòu)成三角形，乙隨機選擇此正八面體三個面的中心構(gòu)成三角形，且甲、乙的選擇互不影響，則下列說法正確的是()A．甲選擇的三個點構(gòu)成正三角形的概率為2B．甲選擇的三個點構(gòu)成等腰直角三角形的概率為3C．乙選擇的三個點構(gòu)成正三角形的概率為3D．甲選擇的三個點構(gòu)成的三角形與乙選擇的三個點構(gòu)成的三角形相似的概率為11三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上．13．(2023·海安市模擬)某社區(qū)將招募的5名志愿者分成兩組，要求每組至少兩人，分別擔任白天和夜間的網(wǎng)格員，則不同的分配方法種數(shù)為________．14．從0，1，2，3，4，5這6個數(shù)中每次取3個不同的數(shù)，把其中最大的數(shù)放在百位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有________個．15．已知3x2+ax16．(2023·如皋市模擬)從正四面體的四個面的中心以及四個頂點共八個點中取出四個點，則這四個點不共面的取法總數(shù)為________種．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)①只有第8項的二項式系數(shù)最大；②奇數(shù)項二項式系數(shù)之和為47；③各項系數(shù)之和為414．在這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的k存在，求k的值；若k不存在，說明理由．設(shè)二項式x+3x3n，若其展開式中，________，是否存在整數(shù)k注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分．18．(本小題滿分12分)已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14．求：(1)a1＋a2＋…＋a14；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13．19．(本小題滿分12分)課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某項活動，依下列條件各有多少種選法？(1)至少有一名隊長當選；(2)至多有兩名女生當選；(3)既要有隊長，又要有女生當選．20．(本小題滿分12分)已知An5＝56Cn7，且1-2xn＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x(1)求n的值；(2)求a12+a221．(本小題滿分12分)設(shè)x10－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，其中Q(x)是關(guān)于x的多項式，a，b∈R．(1)求a，b的值；(2)若ax＋b＝28，求x10－3除以81的余數(shù)．22．(本小題滿分12分)將4個編號為1，2，3，4的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子中．(1)有多少種放法？(2)每盒至多一球，有多少種放法？(3)恰好有一個空盒，有多少種放法？(4)每個盒內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種放法？(5)把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？(6)把4個不同的小球換成20個相同的小球，要求每個盒內(nèi)的球數(shù)不少于它的編號數(shù)，有多少種放法？章末綜合測評(一)1．C[∵自然數(shù)x滿足3Ax＋13＝2Ax＋22＋6Ax＋12，∴3(x＋1)x(x－1)＝2(x＋2)(x＋1)＋6(x＋1)x，整理得3x2－11x－4＝0，解得x＝－13(2．D[由A學校先在除甲、乙的4名醫(yī)生中選1名醫(yī)生，然后由B，C兩所學校在剩下的5名醫(yī)生中選2名醫(yī)生即可，則不同的選派種數(shù)為C41A52＝3．A4．C[由題意，若B或D排在第一個，則有A22A21A若B或D排在最后一個，則有A22A21A若B，D不排在開始和結(jié)尾，則有2A22A22＝8綜上，節(jié)目單上不同的排序方式共有8＋8＋8＝24(種)．]5．D6．A[1x-2y(2x－y)5＝1x(2x－y)5－2y(2x－(2x－y)5的展開式的通項為Tk＋1＝C5k2x5-k-yk＝C5k·25-k令k＝3，得T4＝C53·22·(－1)3x2y∴1x-2y(2x－y)5的展開式中，x2y4的系數(shù)為－2×C53·22·(－1)7．C[令x＝1，則展開式的各項系數(shù)和為(a＋1)(1－2)5＝－(a＋1)＝－3，解得a＝2，所以(2x2＋1)x-2x5的展開式中含x的項為2x2×C53x8．C[根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學選A，B，C三門德育校本課程，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，需要分三組，有兩類情況：①三組人數(shù)為1、1、3，此時有C51C41C33②三組人數(shù)為2、2、1，此時有C52C32C11所以共有60＋90＝150(種)．故選C．]9．AD[取x＝0，可得a0＝28，故A正確；取x＝1，可得a1＋a2＋…＋a8＝1－28，故B不正確；取x＝－1，可得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38－28，故C不正確；已知等式兩邊對x求導，可得－8(2－x)7＝a1＋2a2x＋…＋8a8x7，取x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8，故D正確．故選AD．]10．BCD[四名志愿者均有3種選擇，所以不同的安排方法數(shù)為34＝81，A錯誤；若恰有一地無人去，則不同的安排方法數(shù)是C31C41若甲必須去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法數(shù)為A33＋C3若甲、乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法數(shù)為C21(C31＋C32)＋A11．BD[由2x+13xn的展開式共有13項，則對于選項A，由展開式二項式系數(shù)和為212，則所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為211，即選項A錯誤；對于選項B，令x＝1，得2×1+13112＝312，即所有項的系數(shù)和為312，即選項B正確；對于選項C，由2x+13xn的展開式共有13項，則二項式系數(shù)最大的項為第7項，即選項C錯誤；對于選項D，由2x+13x12展開式的通項為Tk＋1＝212-kC12kx12-4k3，又0≤k≤12，則12．ABD[甲隨機選擇的情況有C63＝20(種)，乙隨機選擇的情況有C83＝56對于A，甲選擇的三個點構(gòu)成正三角形，只有一種情況：甲從上下兩個點中選一個，從中間四個點中選相鄰兩個，共有C21C41＝故甲選擇的三個點構(gòu)成正三角形的概率為820＝2對于B，甲選擇的三個點構(gòu)成等腰直角三角形，有三種情況：①上下兩點都選，中間四個點中選一個，共有C41＝4(種②上下兩點中選一個，中間四個點中選相對的兩個點，共有C21C21＝③中間四個點中選三個點，共有C43＝4(種)，故共有4＋4＋4＝12(種所以甲選擇的三個點構(gòu)成等腰直角三角形的概率為1220＝3對于C，正八面體的各面中心是正方體的8個頂點，所以乙選擇的三個點構(gòu)成正三角形，共有8種，所以乙選擇的三個點構(gòu)成正三角形的概率為856＝1對于D，乙選擇的三個點構(gòu)成等腰直角三角形，共有3×8＝24(種)，概率為2456甲乙相似，則甲乙均為正三角形或均為等腰直角三角形，所以甲選擇的三個點構(gòu)成的三角形與乙選擇的三個點構(gòu)成的三角形相似的概率為25×17＋35×313．20[先將招募的5名志愿者分成兩組，再分別擔任白天和夜間的網(wǎng)格員，則不同的分配方法種數(shù)為C53C214．40[先選取3個不同的數(shù)，有C63種選法；然后把其中最大的數(shù)放在百位上，另2個不同的數(shù)放在十位和個位上，有A22種放法，故共有C6315．270[根據(jù)題意，令x＝1，可得(3＋a)5＝32，解得a＝－1，所以3x2+ax35即3x2-1x3令10－5k＝0，解得k＝2，所以展開式中的常數(shù)項為-123316．60[如圖，正四面體ABCD，O1、O2、O3和O4分別是面ABC、面ACD、面ABD和面BCD的中心，則每個面上的三個頂點與這個面的中心，這四個點共面，如面ACD上，A、C、D和O2共面，每條棱都與小正四面體O3?O1O2O4的一條棱平行，如BC∥O2O3，則B、C、O2和O3四點共面，因此四個點不共面的取法總數(shù)為C84－4－6＝60．17．解：若選條件①，即只有第8項的二項式系數(shù)最大，則Cn7最大，由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得，n＝二項式x+Tk＝C14k-1·(x)＝3k-1由21－7k＝0，得k＝3．即存在整數(shù)k＝3，使得Tk是展開式中的常數(shù)項．若選條件③，即各項系數(shù)之和為414，則4n＝414，即n＝14．二項式x+Tk＝C14k-1·(x)＝3k-1由21－7k＝0，得k＝3．即存在整數(shù)k＝3，使得Tk是展開式中的常數(shù)項．若選條件②，即奇數(shù)項二項式系數(shù)之和為47，則2n-1＝47＝214，所以n＝15．二項式x+Tk＝C15k-1·(x)＝3k-1由22－7k＝0得k＝227?Z即不存在整數(shù)k，使得Tk是展開式中的常數(shù)項．18．解：(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27．令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a14＝27－1＝127．(2)由(1)得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27，①令x＝－1得a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝67，②由①－②得2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67，所以a1＋a3＋a5＋…＋a13＝27-619．解：(1)至少有一名隊長含有兩種情況：有一名隊長和兩名隊長，故共有C21·C114＋C22·C113＝825(2)至多有兩名女生含有三種情況：有兩名女生、只有一名女生、沒有女生，故共有C52·C83＋C51(3)分兩種情況：第一類：女隊長當選，有C12第二類：女隊長不當選，則男隊長當選，有C41·C73＋C故共有C124＋C41·C73＋C20．解：(1)∵An5＝56即n(n－1)(n－2)(n－3)(n－4)＝56×n(化簡可得(n－5)(n－6)＝90，∵n∈N*，n≥5，∴n＝15．(2)∵(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，∴a0＝Cn0＝令x＝12，可得1＋a12＋a222＋…＋an2n＝21．解：(1)由已知等式，得[(x－1)＋1]10－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，所以C100(x－1)10＋C101(x－1)9＋…＋C108(x－1)2＋C109(x－1)＋C1010－3＝Q(x)(所以[C100(x－1)8＋C101(x－1)7＋…＋C108](x－1)2＋10x－12＝Q(x)(x－1)所以10x－12＝ax＋b，所以a＝10，b＝－12．(2)因為ax＋b＝28，即10x－12＝28，所以x＝4，所以x10－3＝410－3＝(3＋1)10－3＝C100×310＋C101×39＋…＋C109×3＋C1010－3＝34×(C100×36＋C101×35＋…＋C106)＋40×34＋5×34＋28＝81×(C100×3所以所求的余數(shù)為28．22．解：(1)每個小球都可能放入4個盒子中的任何一個，將小球一個一個放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(種)放法．(2)這是全排列問題，共有A44＝24(種)(3)法一：先將4個小球分為三組，有C42C21C11A法二：先取4個球中的兩個“捆”在一起，有C42種選法，把它與其他兩個球共3個元素分別放入4個盒子中的3個盒子，有A43種投放方法，所以共有C4(4)1個球的