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文檔簡(jiǎn)介
第十章矩陣位移法第1頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月矩陣知識(shí)1、矩陣:m×n個(gè)數(shù)aij排成m行、n列的矩形陣列記作方陣:行矢量:第2頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月列矢量:2、行列式:n階方陣A相應(yīng)的行列式D,記作若D=0,A為奇異矩陣第3頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月3、矩陣運(yùn)算相等:Amn=Bmn,則aij=bij加減:Cmn=Amn+Bmn,則cij=aij+bij數(shù)乘:Cmn=k*Amn,則cij=k*aij乘法:Cmn=Aml*Bln,則轉(zhuǎn)秩:Bmn=ATmn,則bij=aji (A+B)T=AT+BT (kA)T=kAT (AB)T=BT*AT(反序定律)第4頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月4、特殊矩陣單位矩陣對(duì)角矩陣對(duì)稱矩陣:An*n,aij=aji正定矩陣:特征值都大于零的實(shí)對(duì)稱矩陣
充要條件:所有的主子式都大于零 即|Ai|>0第5頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月分塊矩陣:正交矩陣:AT=A-15、逆矩陣B=A-1 AB=BA=I(單位矩陣) A、B互為逆矩陣 矩陣可逆,detA≠0 反序定律:(AB)-1=B-1A-1第6頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月§10-2單元?jiǎng)偠染仃嚕ň植孔鴺?biāo)系)單元分析:桿端力~桿端位移——?jiǎng)偠汝P(guān)系(10-1)轉(zhuǎn)角位移方程——矩陣形式(軸向變形)1、編碼單元——
e(e=1,2,…,n)等截面直桿:?jiǎn)卧狪、E、A、l。2、局部坐標(biāo)系i→j 桿軸正方向(局部編碼,箭頭)ijexxyM,φ坐標(biāo)系:(右手系)第7頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月3、桿端力與桿端位移“—”局部坐標(biāo)標(biāo)志正負(fù)號(hào)規(guī)則——與坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)(列向量)(10–3、4)FSieFNjMjMiFNiFSjvieujφjφiuivj第8頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月4、剛度方程——桿端力與桿端位移的剛度關(guān)系(10-2)第9頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月(表8-1)*第10頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月(10–1)剛度方程第11頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月剛度矩陣:行數(shù)=桿端力列向量分量數(shù)
列數(shù)=桿端位移列向量分量數(shù)第12頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月記憶:
小子塊——12--6--6--4(主) 12--6--6--2(副) 4、5行、列,除主元素外,均為負(fù)值行——桿端力(X、Y、M)列——桿端位移(u、v、φ)——排列順序:i→j剛度系數(shù)kij
(物理意義)——對(duì)應(yīng)桿端位移δj=1時(shí),引起對(duì)應(yīng)δi方向的桿端力Fi。第13頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月5、單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)(1)物理意義單剛——表示單元桿端力與桿端位移的剛度關(guān)系單元?jiǎng)偠认禂?shù)——當(dāng)其所在列對(duì)應(yīng)的桿端位移等于1(其余桿端位移等于0)時(shí),所引起的所在行對(duì)應(yīng)的桿端力(2)重要性質(zhì)對(duì)稱性——kij=kji
奇異性——|K|=0第1和2行(列)與第4或5行(列)相加,所得一行(列)元素全為零物理概念:已知桿端位移→桿端力,反之不成。因?yàn)橛懻摰氖亲杂墒絾卧?,存在任意的剛性位移。分塊性質(zhì)第14頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月6、特殊單元簡(jiǎn)支單元M1M2φ1φ2拉壓桿單元(10-8)便于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換(10-6)第15頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月彎曲桿單元(忽略軸向變形)第16頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月§10-3單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)轉(zhuǎn)換整體分析——統(tǒng)一坐標(biāo)系變形條件、平衡條件——整體坐標(biāo)系整體坐標(biāo)系的單元?jiǎng)偠确匠痰?7頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月坐標(biāo)變換方法:1、單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣設(shè)α為從x軸到x軸的夾角,逆時(shí)針為正αyxyxααα轉(zhuǎn)角與平面坐標(biāo)系的變換無(wú)關(guān)第18頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月力的轉(zhuǎn)換:用X、Y、M表示第19頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月
矩陣形式第20頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月
簡(jiǎn)寫(xiě):?jiǎn)卧鴺?biāo)轉(zhuǎn)換矩陣[T]-正交矩陣[T]-1=[T]T即[T][T]T=[T]T[T]=[I]第21頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月∴逆轉(zhuǎn)換式同理可得桿端位移的轉(zhuǎn)換關(guān)系第22頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月2、整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃囉删植孔鴺?biāo)系中的剛度方程代入整體坐標(biāo)系中的桿端力、桿端位移的轉(zhuǎn)換關(guān)系等式的兩邊同乘[T]T寫(xiě)為:第23頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月整體坐標(biāo)系中的剛度方程:同階,相同的性質(zhì):①kij-整體坐標(biāo)系中△j=1時(shí)在△i方向引起的桿端力②對(duì)稱性,kij=kji③奇異性,自由式單元|k|=0④分塊性質(zhì)整體坐標(biāo)系的剛度矩陣:寫(xiě)成分塊形式:第24頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月剛度矩陣計(jì)算公式 其中c=cosα,s=sinα——對(duì)稱、奇異(10–23)第25頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月平面桁架桿件 ——軸力桿端力、桿端位移向量坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣第26頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月拉壓桿單元單剛(整體坐標(biāo)系)簡(jiǎn)支單元單剛(整體坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系相同)第27頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月【例】連續(xù)梁連續(xù)梁的整體剛度矩陣整體剛度方程:{F}=[K]{Δ} 其中:{F}——結(jié)點(diǎn)力向量 {Δ}——結(jié)點(diǎn)位移向量 則:[K]——整體剛度矩陣——結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的剛度關(guān)系二跨連續(xù)梁:結(jié)點(diǎn)位移向量 {Δ}={Δ1Δ2Δ3}T結(jié)點(diǎn)力向量{F}={F1F2F3}T龍:圖10-8F1F2φ1φ2φ3F3§10-4結(jié)構(gòu)(原始)剛度矩陣第28頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月位移法:加約束——按主動(dòng)位移考慮:每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移對(duì)Fi的貢獻(xiàn)——迭加剛度方程整體剛度矩陣位移法建立方程:連續(xù)梁簡(jiǎn)支單元——單剛龍:圖10-9F1F2φ1φ2φ3F3F1F2φ1F3F1F2F3φ2F1F2φ3F3第29頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月單元集成法(直接剛度法) 每個(gè)單元對(duì){F}的貢獻(xiàn)——單元桿端位移所需要的力令i1=0疊加——單元集成:[K]①貢獻(xiàn)矩陣令i2=0F1F2φ1φ2φ3F3F1F2φ1φ2φ3F3[K]②貢獻(xiàn)矩陣第30頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月2、定位向量法定位向量{λ}e 確定位移局部編碼與整體編碼的對(duì)應(yīng)關(guān)系 局部碼:?jiǎn)卧獥U端i→j 整體碼:對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)編碼m→n
{λ}e——單元桿端位移對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)位移總碼組成的向量【例】
對(duì)號(hào)入座——根據(jù)單元定位向量將單剛元素kij對(duì)應(yīng)放入總剛λi行、λj列位置 【例】
定位向量法
引入支座條件——位移為零的結(jié)點(diǎn)位移分量,編碼為零。 對(duì)應(yīng)總碼為零的單剛元素不置入整體剛度矩陣
單剛元素,定位向量,對(duì)號(hào)入座,同號(hào)相加 【例】第31頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)梁-整體剛度矩陣的性質(zhì)
整體剛度系數(shù)Kij 當(dāng)Δj=1時(shí)(其它位移為零)所產(chǎn)生的對(duì)應(yīng)Δi方向的結(jié)點(diǎn)力
對(duì)稱性:Kij=Kji
非奇異:
定位向量法,考慮支座約束——?jiǎng)偠染仃嚳赡?/p>
稀疏矩陣與帶狀矩陣:
連續(xù)梁——簡(jiǎn)支單元第32頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月整體分析——建立結(jié)構(gòu)的剛度方程 即結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)力~結(jié)點(diǎn)位移的剛度關(guān)系
{F}=[K]{Δ}其中:{F}——結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)荷載
{Δ}——結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)位移
[K]——結(jié)構(gòu)剛度矩陣第33頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月一般結(jié)構(gòu)(圖10-6){F}——結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)荷載列向量R1R4第34頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月{Δ}——結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)位移列向量u2u3v2v3φ2φ3幾何條件——變形協(xié)調(diào):桿端位移=相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)位移第35頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月剛度方程——分塊形式分塊展開(kāi):引入支座條件的結(jié)構(gòu)剛度方程:消除了剛體位移,總剛[K]非奇異,可解未知位移。可求支座反力(10-32)(10-33)第36頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月位移法典型方程可解位移{Δ}——各桿桿端位移{Δ}e單元?jiǎng)偠确匠獭髼U端力(整體)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換——局部坐標(biāo)系的桿端力(10-29、34)(10-32)關(guān)鍵——總剛第37頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月整體分析——集成總剛(§10-5支承條件引入)——定位向量法單元定位向量{λ}e其中:NΔi表示桿端i對(duì)應(yīng)的整體結(jié)點(diǎn)編碼;nδi
表示桿端位移δi所對(duì)應(yīng)的整體結(jié)點(diǎn)位移編碼支座結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的約束位移方向的編碼為0。第38頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月1、編碼結(jié)點(diǎn)號(hào):0、1、2、0(支座結(jié)點(diǎn)編碼為0)單元號(hào):①、②、…坐標(biāo)系:整體坐標(biāo)系XOY局部坐標(biāo)系xoyα12、α23、α34[T]e單元定位向量{λ}e0012第39頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月2、單剛:局部→整體坐標(biāo)系集成總剛——定位向量法:對(duì)號(hào)入座,同號(hào)相加。第40頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月3、集成總剛——結(jié)點(diǎn)平衡條件:ΣX=0,ΣY=0,ΣM=0結(jié)點(diǎn)1、2(原圖2、3):12第41頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月1ΣX=0,ΣY=0,ΣM=0第42頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月變形連續(xù):第43頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月同理:合并二式,其中剛度矩陣即為對(duì)號(hào)入座結(jié)果:總剛性質(zhì):(1)對(duì)稱性;(2)非奇異——引入支承條件,消除剛性位移。(原始結(jié)構(gòu)剛度矩陣——奇異,因?yàn)橛袆傂晕灰疲┑?4頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月總剛——結(jié)構(gòu)剛度矩陣組成規(guī)律:直接剛度法:按定位向量,對(duì)號(hào)入座,同號(hào)相加;主子塊——主對(duì)角線上的子塊;副子塊——其余的子塊。相關(guān)單元——同交于一個(gè)結(jié)點(diǎn)的桿件;相關(guān)結(jié)點(diǎn)——由桿件直接相聯(lián)的兩個(gè)結(jié)點(diǎn);組成規(guī)律:主子塊Kii——是由相關(guān)單元的主子塊疊加而成;副子塊Kij:當(dāng)i、j為相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí),為聯(lián)結(jié)桿件的相應(yīng)副子塊;當(dāng)i、j非相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí),為0。第45頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月【例10-1】【解】(1)編碼結(jié)點(diǎn)碼、單元碼;坐標(biāo)—整體、局部αi定位向量{λ}i
;(2)單剛(局部坐標(biāo)系)整體坐標(biāo)系(10-23)(3)總剛——定位向量法,集成總剛對(duì)號(hào)入座同號(hào)相加第46頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月(1) 1 2 3 4 5 6(1)123456第47頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月(2) 0 0 0 1 2 3(3) 0 0 0 4 5 6000000142536(2)(3)第48頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月[k]②=[k]③=[T]T[k][T}=90°,c=0、s=1行變換列變換第49頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月整體坐標(biāo)系單剛:當(dāng)α=90o,c=0,s=1(10-23):換行、換列1←→24←→5(加負(fù)號(hào))*若α=-90o(不變號(hào))第50頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月1 2 3 4 5 6123456第51頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月1、結(jié)點(diǎn)荷載作用{FD}
[K]{△}={FD}——位移法基本方程[K]――定位向量法(引入支座條件)確定, [k]-1存在{△}――全部未知位移{FD}――對(duì)應(yīng)全部未知位移的已知結(jié)點(diǎn)力
解{△}=[K]-1{FD},幾何不變體系:作用{FD}有唯一解{△}§10-6非結(jié)點(diǎn)荷載的處理第52頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月2、非結(jié)點(diǎn)荷載作用 ——分兩步,按疊加法處理(圖10–9)(1)附加約束——阻止所有結(jié)點(diǎn)位移——產(chǎn)生固端力——附加約束反力=結(jié)點(diǎn)連接的各桿端固端力的代數(shù)和(2)取消附加約束,反號(hào)附加約束反力作用于結(jié)點(diǎn)上——原非結(jié)點(diǎn)荷載的等效結(jié)點(diǎn)荷載等效——兩種情況(圖10–9a、c)的結(jié)點(diǎn)位移相等。第53頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月位移法基本體系:(圖10–9b)荷載單獨(dú)作用({△}=0) →{FF}結(jié)點(diǎn)約束力(固端力合力)(圖10–9c)結(jié)點(diǎn)荷載{F}作用(桿上荷載=0) →{F}=[K]{△}位移法基本方程:{F}+{FF}={0}[K]{△}+{FP}={0}[K]{△}={FE}
{FE}=-{FF}——等效結(jié)點(diǎn)荷載 →{△}第54頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月3、綜合結(jié)點(diǎn)荷載——同時(shí)作用結(jié)點(diǎn)荷載和非結(jié)點(diǎn)荷載方程:[K]{△}={F}
總結(jié)點(diǎn)荷載:{F}={FD}+{FE} (10–42) 其中:{FD}——直接結(jié)點(diǎn)荷載列陣 {FE}——等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣等效結(jié)點(diǎn)荷載{FE}=-{FF}等效原則: ——兩種荷載在基本體系產(chǎn)生相同的結(jié)點(diǎn)約束力?!獌煞N荷載對(duì)基本體系產(chǎn)生相同的結(jié)點(diǎn)位移。第55頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月4、單元集成法求結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載(1)單元固端約束力(局部坐標(biāo))——表8-1(4)結(jié)構(gòu)等效結(jié)點(diǎn)荷載{FE}由(整體坐標(biāo)){FE}e→{λ}→對(duì)號(hào)入座→{FE}(與集成總剛類似)(2)單元固端力(整體坐標(biāo))(3)單元等效結(jié)點(diǎn)荷載{F}(10-38)(10-39)第56頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月5、桿端內(nèi)力——固端力+(綜合結(jié)點(diǎn)荷載)桿端力 結(jié)點(diǎn)位移{△}→{△}e(1)單元桿端力(整體坐標(biāo)系)(2)單元桿端力(局部坐標(biāo)系)(3)或
第57頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月§10-7矩陣位移法的計(jì)算步驟及示例
矩陣位移法計(jì)算平面剛架(計(jì)算機(jī)計(jì)算――程序化)1.編碼、整理原始數(shù)據(jù)(1)確定結(jié)點(diǎn)與單元(2)整體與局部坐標(biāo)系總體編碼——結(jié)點(diǎn)位移編碼局部編碼——1、2端(由局部坐標(biāo)確定)(3)原始數(shù)據(jù): 各單元E、Ai、Ii、li及單元定位向量{λ}, αi([T])【例10-2】第58頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月2、單剛(4)形成單剛[k]e(局部坐標(biāo)系),(5)形成單剛[k]e(整體坐標(biāo)系),一般單元[k]e與[T]的表示式相同,可得整體坐標(biāo)單剛[k]e的統(tǒng)一表示式:(10-23)(見(jiàn)【例10-1】)3、集成總剛(6)定位向量法:對(duì)號(hào)入座,同號(hào)相加(見(jiàn)【例10-1】)第59頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月4.綜合結(jié)點(diǎn)荷載綜合結(jié)點(diǎn)荷載{F}={FD}+{FE}①{FD}――直接結(jié)點(diǎn)荷載②{FE}――等效結(jié)點(diǎn)荷載(7)局部坐標(biāo)系單元固端力
(8)整體坐標(biāo)系單元固端力(9)單元等效結(jié)點(diǎn)荷載。
(10){FF}e→{λ}e對(duì)號(hào)入座→{FE}第60頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月5.方程:[K]{△}={F}(8)解{△}=[k]-1{F}結(jié)點(diǎn)位移{△}→桿端位移{△}e6、求桿端力7、作內(nèi)力圖
局部坐標(biāo)系單元桿端力*元素是以局部坐標(biāo)方向?yàn)檎?(與FN,F(xiàn)S的正方向不全相同)連續(xù)梁及無(wú)線位移剛架(忽略軸向變形),無(wú)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問(wèn)題
第61頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月第62頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月例2EA為常數(shù)。10kN20kN30kN40kN1234(0,0)(1,2)(0,0)(3,4)xyo(1)(2)(3)(4)(5)8m6m第63頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月單元(1),(3)1 2 0 012003 4 0 03400第64頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月單元(2)12341234第65頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月單元(4)68101 2 0 01200第66頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月單元(5)3 4 0 03400第67頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月結(jié)構(gòu)剛度矩陣結(jié)構(gòu)剛度方程第68頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月解方程得第69頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月桿端力計(jì)算:(以單元1為例)桿端位移第70頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月由第71頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月又由第72頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月【例10-3】(9,0)(1,2)(7,8)(3,4)(5,6)1、編碼第73頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月2、拉壓桿單元單剛(整體坐標(biāo)系)3、集成總剛(p262)4、結(jié)點(diǎn)荷載(p262)5、方程——求解(引入支承條件:p263)6、桿端力(p264)第74頁(yè),課件共84頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月1、結(jié)點(diǎn)位移分量編號(hào),定位向量 ——引入支承條件: 已知位移約束的方向,編
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