聚焦高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題周遠(yuǎn)方

聚焦高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題周遠(yuǎn)方第1頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月研究高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的意義和價(jià)值高校要選拔具有創(chuàng)新潛質(zhì)的人才，高考數(shù)學(xué)就必須重視對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的考查，因此，設(shè)計(jì)創(chuàng)新題是選拔高素質(zhì)人才的必然要求.認(rèn)真研究創(chuàng)新題的特點(diǎn)，可以揣摩命題教師的設(shè)計(jì)意圖，深刻領(lǐng)會(huì)“能力立意”的命題指導(dǎo)思想，準(zhǔn)確把握《考試大綱》的要求，對(duì)搞好高中數(shù)學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)備考是十分有益的.特別是一些令人津津樂道的優(yōu)秀創(chuàng)新題，還可研究其獨(dú)特的教學(xué)功能，既可作為教學(xué)的例題、練習(xí)題、測(cè)試題，更可用作研究性教學(xué)的問題加以開發(fā).第2頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月怎樣研究高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題？研究視角試題背景試題設(shè)問試題評(píng)價(jià)試題拓展試題立意試題解法研究宗旨——深刻領(lǐng)會(huì)能力立意的命題指導(dǎo)思想研究價(jià)值——對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有強(qiáng)力導(dǎo)向作用

第3頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月考綱對(duì)考查創(chuàng)新意識(shí)是如何界定的？

對(duì)新穎的信息、情境和設(shè)問，選擇有效的方法和手段分析信息，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題.

創(chuàng)新意識(shí)是理性思維的高層次表現(xiàn).對(duì)數(shù)學(xué)問題的“觀察、猜測(cè)、抽象、概括、證明”，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移、組合、融合的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識(shí)也就越強(qiáng).

高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題是指從測(cè)量考生的發(fā)展性學(xué)力和創(chuàng)造性學(xué)力著手，突出能力考查的新穎問題.第4頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的命題指向何在？三是控制難度，體現(xiàn)“新題不難、難題不怪”的特點(diǎn).一是加強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)的考查，有利于實(shí)現(xiàn)選拔功能.

二是深化課改，促進(jìn)能力立意命題的實(shí)踐和發(fā)展.

以數(shù)學(xué)內(nèi)容為基點(diǎn)，以基本的推理和思維要求為立足點(diǎn)，突出考查學(xué)生一般能力的表現(xiàn)，測(cè)量學(xué)生的學(xué)習(xí)能力——選材與立意；

以多元化、多途徑、開放式的設(shè)問背景，比較客觀、全面地測(cè)量學(xué)生觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、猜測(cè)、歸納、類比、推廣等思維活動(dòng)的水平，激發(fā)學(xué)生探索精神和求異創(chuàng)新思維——背景與設(shè)問；

以源于社會(huì)、源于生活的問題考查學(xué)生，有效地測(cè)量學(xué)生抽象、概括以及建立數(shù)學(xué)模型的能力，促使學(xué)生認(rèn)識(shí)世界、把握問題的本質(zhì)、籌劃應(yīng)對(duì)的策略——實(shí)際與應(yīng)用.其一是對(duì)能力的成分和要求進(jìn)行了必要的調(diào)整.其二是在命題實(shí)踐上進(jìn)行了新的嘗試.

其三是研究開發(fā)新的試題模式和考查方式.

第5頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月知識(shí)過程探索型解題方法實(shí)驗(yàn)操作立意定義型信息型直觀型推理型背景分類往往交叉滲透高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題有哪些常見類型？條件開放開放型策略開放設(shè)問結(jié)論開放條結(jié)雙開放展現(xiàn)學(xué)習(xí)成果研究型彰顯課改理念情境體現(xiàn)數(shù)學(xué)交流凸現(xiàn)數(shù)學(xué)思想第6頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月一是立意的鮮明性；二是背景的深刻性；三是情境的新穎性；四是設(shè)問的巧妙性.高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題“新”在哪里？第7頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

立意是試題的考查目的，即以能力立意為中心，選擇適當(dāng)?shù)目疾閮?nèi)容，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)脑O(shè)問方式，把具有發(fā)展能力價(jià)值、富有發(fā)展?jié)摿?、再生性?qiáng)的知識(shí)、方法、能力作為切入點(diǎn)，從測(cè)量考生的發(fā)展性學(xué)力和創(chuàng)造性學(xué)力著手突出能力考查.

一般以基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和數(shù)學(xué)思想為載體，其立意的角度很多，如考查基礎(chǔ)知識(shí)的靈活性應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)思想方法，考查以數(shù)學(xué)思維能力為重點(diǎn)的各種能力，考查數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和探究意識(shí)，考查進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的潛能等.一、立意的鮮明性第8頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

立意的鮮明性—多考點(diǎn)想，少考點(diǎn)算第9頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

立意的鮮明性—多考點(diǎn)想，少考點(diǎn)算（2001全國卷理科第12題）如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián).連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量.現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞.則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為A.26B.24C.20D.19第10頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月二、背景的深刻性一是高等數(shù)學(xué)背景.高等數(shù)學(xué)的基本思想和方法是考查學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的良好素材，很難在復(fù)習(xí)資料和模擬試題中找到，解答往往沒有現(xiàn)成的方法可套，會(huì)使一些考生感到難以入手，從而使其具有很好的區(qū)分度和甄別功能.二是新課程改革背景.新課標(biāo)卷突出能力立意命題與時(shí)俱進(jìn)的特點(diǎn)，圍繞對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新和數(shù)學(xué)人文價(jià)值等四個(gè)方面的考查設(shè)計(jì)試題，開發(fā)了一些融知識(shí)、方法、思想、能力與素質(zhì)于一體的背景新穎、內(nèi)涵深刻、富有新意的創(chuàng)新題，真正考查出考生的學(xué)習(xí)潛能和個(gè)性品質(zhì).三是實(shí)際生活背景.在堅(jiān)持“貼近生活，背景公平，控制難度”的原則下，近幾年應(yīng)用題的編擬更加重視語言簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確，背景清新、近人，模型具體、簡(jiǎn)明，方法熟悉、簡(jiǎn)便，突出了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和實(shí)踐能力的考查.第11頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

背景的深刻性—高觀點(diǎn)型第12頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

背景的深刻性—高觀點(diǎn)型第13頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月立意要素：逆向推理與算法思想第14頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

背景的深刻性—實(shí)際應(yīng)用型第15頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月試題背景：“嫦娥一號(hào)”的軌道示意圖第16頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月試題背景：大綱版教材中相關(guān)素材第17頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月①④③②立意要素：選項(xiàng)的幾何性質(zhì)第18頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月試題研究：橢圓軌道的幾何性質(zhì)第19頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月試題研究：幾何性質(zhì)的拓展PQF

第20頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2008年高考數(shù)學(xué)湖北卷選擇題第10題考生選項(xiàng)比率分布科類答案選項(xiàng)分布（%）難度區(qū)分度ABCD空文科B6.4539.1316.4137.800.210.390.27理科B3.6955.746.1834.280.110.560.33從考生答卷的選項(xiàng)比率分布情況來看，本題非正確選項(xiàng)的選答率雖均屬正常，但其中文科選擇正確答案B的考生只占39.13％，而誤選答案D的考生高達(dá)37.80％，兩者十分接近；與文科相比，理科有超過半數(shù)以上的考生選擇了正確答案B（占55.74％），但誤選答案D的考生仍占有34.28％.表明這部分考生對(duì)③式與④式的識(shí)別存在著模棱兩可的現(xiàn)象.若將原題中③式與④式的不等號(hào)互換一下，這樣②④兩式正確，正確答案變成選D，會(huì)降低此題的難度.試題評(píng)價(jià)：統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)說明第21頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月為了轉(zhuǎn)播2008年北京奧運(yùn)會(huì)，我國發(fā)射了“中星九號(hào)”廣播電視直播衛(wèi)星，它離地球表面的距離約為36000km.已知地球半徑約為6400km，則“中星九號(hào)”覆蓋區(qū)域內(nèi)的任意兩點(diǎn)的球面距離的最大值約為

km.（結(jié)果中保留反余弦的符號(hào)）（2009年湖北卷理科第13題）如圖，衛(wèi)星和地面之間的電視信號(hào)沿直線傳播，電視信號(hào)能夠傳送到達(dá)的地面區(qū)域，稱為這個(gè)衛(wèi)星的覆蓋區(qū)域.

衛(wèi)星的覆蓋區(qū)域圖

背景的深刻性—實(shí)際應(yīng)用型第22頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月【原材料】我國為了轉(zhuǎn)播2008北京奧運(yùn)會(huì),特地發(fā)射了電視衛(wèi)星“中星九號(hào)”,它是一個(gè)地球同步衛(wèi)星,定位在赤道上東經(jīng)92.2度處（過東經(jīng)92.2度的子午線大約通過哈密上空）.它的腳?。╢ootprint）能夠覆蓋全國嗎?（《遙望星空（一）、（二）》——齊民友著）【題1】我國第一顆人造地球衛(wèi)星的遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面2384km，在這時(shí)約有多少千米上的人能看到這顆衛(wèi)星？（《立體幾何》全一冊(cè)P96習(xí)題第10題）【題2】要使電視衛(wèi)星的電波，能直射到點(diǎn)球表面的三分之一，衛(wèi)星要發(fā)射到多高？（《立體幾何》全一冊(cè)P122總復(fù)習(xí)參考題第7題）試題背景：相關(guān)素材第23頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月試題評(píng)價(jià)：數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)據(jù)說明題號(hào)滿分最高分最低分平均分難度區(qū)分度135501.460.290.52第24頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月三、情境的新穎性

情境是立意的材料與介質(zhì)，情境與問題相伴，問題是情境的核心，情境因問題而存在.情境的新穎性是創(chuàng)新型試題的一個(gè)共同特點(diǎn).

情境新穎的試題，對(duì)廣大考生而言是全新的、公平的，靠“解題套路”、“猜題押題”、“密卷寶典”和“題海戰(zhàn)術(shù)”是難以奏效的.

考生應(yīng)對(duì)情境新穎的試題，一般需要具有自主學(xué)習(xí)的能力，即會(huì)搜集、提煉、加工信息，對(duì)閱讀內(nèi)容進(jìn)行概括和理解，看清問題的本質(zhì)，然后通過分析、演算、歸納、猜想、類比或論證等方法解決新的數(shù)學(xué)問題.第25頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

情境的新穎性—學(xué)習(xí)遷移型第26頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

情境的新穎性—定義、直觀、推理型第27頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月四、設(shè)問的巧妙性

設(shè)問是試題的呈現(xiàn)形式.高考創(chuàng)新題往往通過巧妙設(shè)問、精心設(shè)置問題，常常暗含著命題教師很深的設(shè)計(jì)意圖，通常是為考生從不同角度、運(yùn)用不同思維方法求解問題預(yù)設(shè)了多種解題途徑，提供了充分展示能力的空間.

創(chuàng)新型的解答題，往往采用分步設(shè)問（如遞進(jìn)式、并列式、類比式、開放式等），或問與問之間相互獨(dú)立，彼此并列，互不包含，互不影響，前一問做錯(cuò)，不影響后一問的正確解答；或問與問之間相互銜接、遞進(jìn)排列、拾級(jí)而上，使優(yōu)秀考生能夠脫穎而出.第28頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)問的巧妙性—課改導(dǎo)向型請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫出計(jì)算M、N間的距離的步驟.

【例5】（2009年海寧卷理科第17題）如圖，為了測(cè)量兩山頂M、N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A、B、M、N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B間的距離.第29頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月一縷陳年老窖深港飄香聞香和暢飲皆回味悠長立意的鮮明性：考查算法思想和實(shí)踐能力；背景的實(shí)際性：兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)的距離測(cè)量問題；選材的文本性：源于課本，活于課本，高于課本；設(shè)問的開放性：開放有度，解決方案靈活多樣.試題評(píng)價(jià)：緊貼課改，彰顯理念第30頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月問渠哪得清如許，唯有活水源頭來（人教A版必修5，1.2應(yīng)用舉例）例2如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方法.分析：可計(jì)算出河的這一岸的一點(diǎn)C到對(duì)岸兩點(diǎn)的距離，再測(cè)出∠BCA的大小，借助余弦定理可計(jì)算出A、B兩點(diǎn)間距離.第31頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月問渠哪得清如許，唯有活水源頭來（人教A版必修5，1.2應(yīng)用舉例復(fù)習(xí)參考題A組第5題）

如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B、C的俯角分別為，，如果這時(shí)氣球的高度是h，求河流的寬度BC.分析：可計(jì)算出AC、AB和∠BAC的大小，借助余弦定理可計(jì)算出河流的寬度BC；設(shè)過點(diǎn)A的垂線與BC的延長線交于點(diǎn)D，則可算出BD和CD后，直接求出河流的寬度BC.第32頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

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2d②【方案1】選擇三角形AMN.第一步：由正弦定理分別計(jì)算AM，AN；第二步：由余弦定理計(jì)算MN.【方案2】選擇三角形BMN.第一步：由正弦定理分別計(jì)算BM，BN；第二步：由余弦定理計(jì)算MN.

【方案3】等積法.第一步：利于三角形面積公式分別計(jì)算BM，BN；第二步：由余弦定理計(jì)算MN.一覽廬山真面目，方知身在此山中第33頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

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2xy【方案6】解析法.第一步：建系設(shè)點(diǎn)；第二步：求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；第三步：由距離公式求出MN.【方案4】構(gòu)造直角三角形.第一步：作輔助線添輔助量；第二步：由余弦定理計(jì)算MN.

第34頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)問的巧妙性—研究性學(xué)習(xí)型第35頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

值得提到的是，試題語言表述上有所缺陷，與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形成矛盾.一是所舉的兩個(gè)例子是并列關(guān)系，并沒有反映出“價(jià)值傾向”；二是“有意義”（客觀存在的、有研究價(jià)值）的涵義過于寬泛，指向性不夠明確，改為“有價(jià)值”（涵蓋價(jià)值高低之意）更有利于評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的制定，即根據(jù)問題提出的優(yōu)劣、解決問題的難易、研究價(jià)值思維層次的高低等進(jìn)行評(píng)價(jià).為此，可將原題修改如下：

該題要求考生類比提出問題并解決問題，考核考生提出問題的思維水平和解決問題的策略方法，具有很好地甄別思維水平的功能，是上海對(duì)研究型問題考查的一種有益的嘗試（五級(jí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)）.試題研究：評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)與改進(jìn)建議第36頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)問的巧妙性—研究性學(xué)習(xí)型第37頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月試題開發(fā)：再編制研究性學(xué)習(xí)問題【說明】由于兩小題都是完全開放性問題，且沒有給出具體評(píng)價(jià)的角度，因此，學(xué)生可從逆向問題的難度、價(jià)值大小以及與原問題的關(guān)聯(lián)程度等角度進(jìn)行評(píng)價(jià).第38頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

一是立足基礎(chǔ)、回歸課本—著力凸現(xiàn)新課改理念

改變“重教輔、輕教材”的教學(xué)傾向，挖掘教材的創(chuàng)新功能，提高教材的使用效率，突出“一個(gè)核心”.

二是優(yōu)化知識(shí)的學(xué)習(xí)過程—有效改進(jìn)課堂教學(xué)

改變“重方法和技巧、輕理解和體驗(yàn)”的做好，關(guān)注“兩個(gè)過程”.

三是強(qiáng)化數(shù)學(xué)的理解性學(xué)習(xí)—倡導(dǎo)為遷移而教

改變“大容量、快節(jié)奏、高密度、超強(qiáng)度”的機(jī)械模仿訓(xùn)練，回歸數(shù)學(xué)課堂教學(xué)本原意義的“三個(gè)理解”.

四是全面培養(yǎng)思維能力—讓創(chuàng)新意識(shí)在課堂中流淌

改變“重題型套路訓(xùn)練，輕創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)”的老路，加大對(duì)“考綱”所要求的“五大數(shù)學(xué)能力”和“兩種數(shù)學(xué)意識(shí)”的培養(yǎng)和提升.

高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題