山東省泰安市2022-2023學年高二上學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高二年級考試

數(shù)學試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.經(jīng)過"(0"T,%T)兩點的直線的傾斜角為()

兀π2兀

A.-B.—C.—

633

【答案】D

【解析】

【分析】利用傾斜角與斜率關(guān)系即可求解.

【詳解】因為直線經(jīng)過A(O,G-1),B(3,-l),則直線斜率為k=占二j1=—且,設(shè)傾斜角為α,

一33

∕τ5元

則tana=----,α∈(0,萬)，此時a=%".

故選：D

2.若a=(-2,4,1)與6=(2,m,一1)共線，則機=()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】A

【解析】

【分析】依題意可得〃=4a，即可得到方程組，解得即可.

【詳解】解：因為a=(-2,4,1)與力=(2,加,—1)共線，

-2λ=2

所以6=而，即(2,m,一1)=2(—2,4,1),BPM2=m,解得J_

幾=一1E=一

故選：A

3.已知圓M的方程為χ2+y2+2χ-4y+l=0,則圓心M的坐標為()

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(2,-4)D.(-2,4)

【答案】B

【解析】

【分析】先化成標準式，即得圓心坐標.

【詳解】?.?χ2+∕+2x-4γ+l=0.?.(x+l)2+(γ-2)2=4,

因此圓心坐標為M(T,2).

故選：B.

4.兩條平行直線小3x—4y+6=0與33x-4)，-9=0間的距離為()

13

A.-B.-C.3D.5

35

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用兩條平行直線間的距離公式求解即可.

【詳解】兩條平行直線4：3x-4y+6=0與4：3x—4y—9=0

∣6~(~9)∣

所以兩條平行線間的距離為—=3

√32+(-4)25

故選：C.

5.已知平面ɑ的一個法向量為〃=(—1,—2,2),點A(OJO)為α內(nèi)一點，則點尸(1,0,1)到平面。的距離

為()

A.4B.3C.2D.I

【答案】D

【解析】

【分析】利用空間向量數(shù)量積以及點到面的距離向量求法即可求解.

【詳解】因為AP=(I,—1,1),?=(-1,-2,2),

所以Ap.〃=一1+2+2=3,IU=Jl+4+4=3,

APn

W

故選：D

6.已知圓M：(x—2p+y2=4內(nèi)有點尸(3,1),則以點P為中點的圓M的弦所在直線方程為()

A.x+y-2=0B.x-y-2=0C.x+y-4=0D.x-y+2=0

【答案】C

【解析】

【分析】由圓M的標準方程得出圓心和半徑，連接PM,作PM的垂線，交圓M于A,B兩點，以點P為

中點的圓M的弦即為A8,求出直線MP的斜率，利用兩直線垂直關(guān)系，則可求出直線AB的斜率，用點斜

式方程即可求出直線4B.

【詳解】由圓M的標準方程（X—2）2+丁=4,可知圓心M（2,0）,半徑廠=2，

如圖，連接MP,作MP的垂線，交圓M于A,B兩點，

以點P為中點的圓仞的弦即為AB,

,1-0,

%===1，MPLAB

3-Z

所以直線AB的方程為：y-l=-l（x-3）,整理得x+y-4=0,

故選：C.

7.已知“，〃為兩條異面直線，在直線。上取點A,E，在直線。上取點A,F，使A41L4,且

MLb（稱AA為異面直線”，〃的公垂線）.已知AE=2,AF=3,EF=5,A41=3√2,則異面

直線4，》所成的角為（）

ATB.?C.空DW

6336

【答案】B

【解析】

【分析?】由題可設(shè)異面直線“，力所成的角為氏利用向量可得COSe的值，即求.

TT

【詳解】設(shè)異面直線”，所成的角為9，θ∈（0,-]

2

Ea

Ai

____________________?b

AF

且

?.?Λ4∣!.a,Λ41J.b,AiE=2,AF=3,EF=5,A41=3√2,

.?.E戶=E4,+AA+AF

2.2.22,.

.??EF'^EA,'+AiA+AF'+2EAi-A,A+2AiA?AF+2EAiAF

：.52=22+(3√2)2+32±2×2×3×COS^

1τι

.?.cos6=±±,又θ∈(0,勺

22

3

故選：B.

8.若直線履+y+Z=0與曲線y=1+J2x-f僅有一個公共點,則實數(shù)Z的取值范圍是()

A.-1,-0{0}B.f-l,-∣1u{0}

【答案】D

【解析】

【分析】首先確定曲線的形狀，然后結(jié)合直線恒過定點考查臨界情況結(jié)合圖像即可確定實數(shù)攵的取值范

圍.

【詳解】曲線y=ι+?/2,x-x2即χ~+(y—1)~—2X=0(3,..1),

即(X-I)2+(y-l)2=l(y.l),表示M(1,1)為圓心，廠=1為半徑的圓的上半部分,

直線依+y+左=0即y=-?(χ+D恒過定點(-1,0),

作出直線與半圓的圖象，如圖,

考查臨界情況：

當直線過點(0,1)時，直線的斜率-4=1,此時直線與半圓有兩個交點，

當直線過點(2,1)時，直線的斜率-%=g,此時直線與半圓有1個交點，

當直線與半圓相切時，圓心M(Ll)到直線"+>+〃=()的距離為1,且一攵>0,

IA：÷1+?I4

即/?-=1，解得：k=一一，伏=0舍去）.

√?2+l3

據(jù)此可得，實數(shù)攵的取值范圍是(-L-；IJ卜.

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知A(l,2),3(—3,4),C(—2,0),則()

A.直線》一丁=0與線段AB有公共點

B.直線AB的傾斜角大于135°

C._ABC的邊BC上的高所在直線的方程為x-4y+7=0

D._ABC的邊BC上的中垂線所在直線的方程為4x+y+8=()

【答案】BC

【解析】

【分析】A選項，畫出圖像即可看出有無交點；B選項用先用直線斜率公式求出斜率，再比較傾斜角與

135。的大??；C選項ABC的邊BC上的高所在直線過點A,且斜率和直線BC的斜率乘積為T,用點斜

式寫出邊BC上的高所在直線；D選項一ABC的邊BC上的中垂線經(jīng)過8C的中點，且斜率和直線BC的

斜率乘積為-1,從而利用點斜式寫出中垂線所在直線的方程；

【詳解】如圖所示：所以直線χ-y=o與線段AB無公共點，A錯誤;

4-21

因為ZAB=----=一一>-1>所以直線AB的傾斜角大于135°，B正確.

ab-3-12

4

因為ZBC=-----=-4,且邊BC上的高所在直線過點4

-3+2

所以―ABC的邊8C上的高所在直線的方程為y-2=L(X-I),

4

即x-4y+7=0,C正確,

，5、4-0

因為線段BC的中點為一7,2,且直線BC的斜率為------=-4,

I2J-3+2

所以BC上的中垂線所在直線的方程為y-2=；[x+g),

即2x—8y+21=0,故D錯誤.

故選：BC.

10.已知直線/：ax+by=?,圓C：f+/=1，點時.,，)，則()

A.若M在圓上，直線/與圓C相切B.若M在圓內(nèi)，直線/與圓C相離

C.若M在圓外，直線/與圓C相離D.若M在直線/上，直線/與圓C相切

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系，得〃的關(guān)系，即可確定直線/與圓C的關(guān)系來判斷A,B,C選項；根據(jù)

點與直線的位置關(guān)系，得得。力的關(guān)系，即可確定直線/與圓C的關(guān)系來判斷D選項.

【詳解】解：圓C：x1+y2=l,圓心C(0,0),半徑r=l

對于A,若M在圓上，則IMAl=Ja2+/=「=],圓心到直線/的距離為：d

則直線/與圓C相切，故A正確;

-1

對于B,若M在圓內(nèi)，則IMq=Ja2+從<1,圓心到直線/的距離為：d=''>i=r,則直線/

^a2+b2

與圓C相離，故B正確;

1-11

對于C,若M在圓外，則IMq=Ja2+/>]圓心到直線/的距離為:d=,1<1=r,直線/與

√π2+Z72

圓C相交，故C錯誤；

1-111

對于D,若Λ/在直線/上，貝!14+/=1,圓心到直線/的距離為：d—,---—\—r,則直線/與

y∣a2+b2?

圓C相切，故D正確.

故選：ABD.

11.如圖，四棱柱ABC。一AAGA的底面是正方形，O為底面中心，4。，平面ABCn

AB=AAi=2.以O(shè)為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則（）

A.OB1=（√2,0,√2）

B.AC，平面08月

C.平面。的一個法向量為〃=（0,1,—1）

D.點8到直線AC的距離為6

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件及給定的兒何圖形寫出點A,B,C,4的坐標,再對各個選項逐一分析計算并判斷作答.

【詳解】依題意，ABc。是正方形，ACl5￡）,AC與BD的交點。為原點,AB=A4l=2,

在給定的空間直角坐標系中，

B(√2,0,0),C(0,√2,0),A(0,-√2,0),A1(0,0,√2),

而Ag=AB=(√5,√Σ,O),

則點用(血,衣旬,。4=(√i√iC),故A錯誤；

Qβ=(√2,O,θ),C>B1=(√2,√2,√2),

設(shè)平面。B8∣的法向量〃=(x,y,z),

nOB=yplx=O

n?0Bl=?∣2x+?[2y+V∑z=O

令y=l,得〃=((M1),故C正確；

AC=僅,√2,-√2)=&〃,即AC?平面OBBl,故B正確；

AC=(0,√2,-√2)MIB=(√2,0,-√2)∕=A∣4^=1,

ncl

22

B到AiC的距離h=y∣AιB-d=√4≡1=g，故D正確

故選:BCD

12.古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼奧斯(約公元前262-前190)發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A,B的距離之比為

定值∕l(∕l≠l)的點的軌跡是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼奧斯圓，簡稱阿氏

局ICAII直線/:

圓.在平面直角坐標系Xoy中，已知A(T0),5(2,0),動點C滿足T

inx-y+〃?+1=O,貝IJ()

A.直線/過定點(Tl)

B.動點C的軌跡方程為(x+2j+y2=4

C.動點C到直線I的距離的最大值為√2+1

D.若直線/與動點C的軌跡交于P,。兩點，且IPQl=2夜，KiJzn=-I

【答案】ABD

【解析】

【分析】設(shè)C(X,y),由題意求出點C的軌跡以及軌跡方程，利用直線與圓的位置關(guān)系，依次判斷四個選項

即可.

x+l=OX=-I

【詳解】對于A,直線/：mx-y+m+?=(},∕n(x+l)-y+l=O,<,直線/過定

—y+l=Oy二ι

點故選項A正確;

八、?CA?IJ(X+I)?+/1

對于B,設(shè)C(X,y),因為動點。滿足白=不所以I,?--

ICBl2√(χ-2)2+/2

整理可得χ2+V+4X=O,即(χ+2)2+V=4,所以動點C的軌跡是以N(—2,0)為圓心，廠=2為半徑的

圓，動點C的軌跡方程為(x+2)2+V=4,故選項B正確;

對于C,當直線/與MN垂直時，動點C到直線/的距離最大，且最大值為2+√Σ,故選項C錯誤;

對于D,記圓心N到直線/的距離為d,則d=左二,因為∣Pβ∣2=4(r2-J2),

I/71—11rτ

則4(/一1)=8,因為r=2,所以J=√2,即/,二友,解得tn=-?,故選項D正確.

V/?!2+1

故選:ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知直線4：x+2y-l=0,Z2：2x+αy-I=0,若§〃υ，則〃的值是

【答案】4

【解析】

【分析】由兩直線平行可得4%=4月，代入相關(guān)數(shù)據(jù)計算即可.

【詳解】解：因為4〃4,

所以"=2x2=4.

故答案為：4.

14.寫出過M(4,0),N(0,4)兩點，且半徑為4的圓的一個標準方程：

【答案】x2+y2=16(或(x—4)2+(y-4)2=16)

【解析】

【分析】設(shè)所求圓的標準方程為：(x—αp+(y-∕J)2=16,代入M,N兩點的坐標求解即可.

【詳解】解：設(shè)所求圓的標準方程為：(x—ap+(y—8)2=16,

(4-αf+/=16

則有《

a2+(4-?)2=16

Q=Oa=4

解得《或＜

h=0b=4f

所以所求圓的標準方程為：V+y?=16或(x—4)2+(y—4)2=16.

故答案為：x2+∕=16^(%-4)2+(y-4)2=16.

15.在中國古代數(shù)學著作《就長算術(shù)》中，鱉膈(bienao)是指四個面都是直角三角形的四面體.如圖，在

直角AABC中，Ar)為斜邊BC上的高，AB=3,AC=4,現(xiàn)將ZVWD沿AO翻折AAED,使得四面

體AB'CD為一個鱉嚅，則直線8'。與平面ADC所成角的余弦值是.

【解析】

【分析】作8'M，Cc)于交Co于M,可證明8'Λ∕J_平面ACDJiJZB'DM即為8Z>與平面AoC的夾

角.根據(jù)線段關(guān)系即可求解.

【詳解】作B'M_LCD于交Cr)于M

因為ADLCADLDO'

且CDCor>'=。

所以Ar)J_平面DB'C

而ADU平面Aa)

所以平面48_L平面03'C

又因為平面AcD平面。3'C=OC,且3'M,8

所以平面ACo

則ZB,DM即為3'。與平面Aoc的夾角

因直角A46C中,A8=3,AC=4

所以3C=JΛB2+AC2=J9+I6=5

AB×AC3×412

AD

BC55

則DC=JAC2一A02=卜2_(同=/

169

所以。B'=BC-OC=5—二=三

55

9

在直角三角形C中,cos∕B'Z)M=cosZB'DC=^-5=2

DC1616

5

9

故答案為

16

【點睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面的夾角求法,直線與平面垂直關(guān)系的判定,對空間想象能力和

計算能力要求較高,屬于中檔題.

-JL

16.已知α=(Al,y,zj,b=^x2,y2,z2),且忖=2,卜卜3,a-b=-6>則----

入2+%+Z?

【答案】-2

3

【解析】

【分析】由卜∣=2,W=3,a?b=~6,可得向量”與6平行，且。=一|心從而可得結(jié)果.

【詳解】?.?∣α=2,∣b∣=3,a?b=-6,

所以2x3XCOS<a,h>=-6,<a,b>e,[0,π],∕.<6Z,/?>=π.

,.2

**?向量Q與平行，且。=-§〃，

2

所以（玉，凹，4）=一§（%2，%，22），

X.2

所以」=一彳.

X23

?%+4+Z]=XI=2

*x2+y2÷z2x23.

故答案為：—.

3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

1

y--X

17.已知直線4：2I1：y=kx+b,且∕∣_L/,.

（1）求左的值;

(2)若直線4與4的交點的直線y=%上，求直線4的方程?

【答案】(I)k=-2

(2)y--2x-6

【解析】

【分析】(1)根據(jù)兩直線垂直的條件即可求解；

(2)聯(lián)立兩直線方程求出交點坐標，代入直線4的方程即可求解.

【小問1詳解】

直線4的斜率為!，直線&的斜率為k.

因為4_L，2,所以gx%=-ι,

故A=—2.

【小問2詳解】

1rC

y=-x-l%=-2

由題意可知：聯(lián)立兩直線方程可得：\2，解得V7

y=—2

y=xv

將點(-2,-2)代入I2的方程得一2=(-2)X(-2)+》，解得b=-6,

所以直線4的方程為y=-2x-6.

18.已知A(L3,4),B(T,5,4),C(-l,2,l).

(1)求(AB,8C);

(2)求AC在BC上的投影向量.

【答案】(1)—

3

(2)(0,-2,—2)

【解析】

【分析】(1)由向量夾角余弦公式,分別計算向量數(shù)量積和向量的模,再根據(jù)夾角范圍,確定夾角的值.

(2)根據(jù)投影向量定義分別計算兩個向量的數(shù)量積和模,再求出向量BC的同方向單位向量,計算即可得到投

影向量.

【小問1詳解】

解：因為AB=(-2,2,0),BC=(O,—3,—3),

所以AB?BC=—6,I=2>∕5,1=3>∕Σ,

∕?n"ABBC-61

所以W.，叫=國國=昕WrN

因為0≤(A8,3C)≤π,

z?

所以(AB,BC)=T.

【小問2詳解】

因AC=(-2,-1,-3),BC=(0,-3,-3),

所以CoS(4C,8C)=-」2L

`/√14×3√2=R7Σ?

所以AC在BC上的投影向量為

IAqCoS(AC,BC).向=舊X乎］θ,-當,-鼻

=(0,-2,-2)

19.如圖，在平行六面體ABCD-AAGA中，AB=AD=4,AA=5,

o

NDAB=ZBAAt=ZDAAi=60,M,N分別為P1C1,Gg中點.

(1)求AG的長；

(2)證明：MN±AC1.

【答案】(I)AC1=√∏3;

(2)證明見解析.

【解析】

UUU

【分析】（I）設(shè)AB=",AD=b，AA=c,將AG用。,瓦C表示出來，根據(jù)向量的模長公式即可得到結(jié)果.

UUUUUU

（2）將MN,AC∣,分別用α,6,c表示出來，根據(jù)MN?AC∣=O,即可證明

【小問1詳解】

卜|=5，α??=8>α?c=8?c=10,

設(shè)AB="，AD=b，A4l=C,則網(wǎng)=4=4,

uuιrUUiinUUir∣r∣r

MN^MCλ+CλN=-a--b

AG=AB+BC+CCl=Cl+b+C-

uu≡2Λrr、2

因為AC=?^a+b+cj

rrrrrrrrr

=a2+b2+c2+2?za?b+b?c+c?a

=42+42+52+2(8+10+10)

=113,

所以AG=J詬

【小問2詳解】

UuLrUUirCr

證明:因為MN?AC=—a

112-戈

1Γ21，r1r?rr

=-a+-C?a——b2——b?c

2222

=J?x42+klθ-'X42-L10

2222

=0,

所以MNJ.AG.

20.已知圓M：(X—2)~+(y—1)~=25,圓N：X1+y2-14x-wj>,+52=0,過圓M的圓心M作圓N的

切線，切線長為5.

（1）求小的值，并判斷圓M與圓N的位置關(guān)系；

（2）過圓N的圓心N作圓M的切線/,求/的方程.

【答案】（1）團=4,圓M與圓N相交

(2)χ=7或12x+5y-94=0,

【解

【分析】(1)先用配方法確定圓N的圓心和半徑，然后根據(jù)切線長公式計算出，〃的值，再根據(jù)圓心距和半

徑之間的大小關(guān)系判斷位置關(guān)系；(2)過圓外一點可作圓的兩條切線，在我們求解的過程中需要對直線的斜

率是否存在進行討論.

【小問1詳解】

由題意知，M(2,1),TVp,圓N的半徑小=J1>+J?4X52=如2二?g,

?)22

由勾股定理得∣M?f=4+52,

+52.

解得m=4.

所以IMM=J(7_2)"+(2_])--426，j=1,b+<v=6,3一ζv=4.

因為%一小<∣MN∣<%+為，所以圓M與圓N相交；

【小問2詳解】

當/的斜率不存在時，/的方程為χ=7.檢驗知滿足相切.

當/的斜率存在時，設(shè)/的方程為y—2=Mx—7),即玄一丁一7&+2=0,

∣2?-1-7Λ+2∣12

因為/與圓M相切，所以1——7=~L=5,解得Z=-一，

√1+F5

19

所以/的方程為y—2=—《(x—7),即12x+5y-94=0.

綜上所述，/的方程為x=7或12x+5y-94=0,

21.如圖，圓柱上，下底面圓的圓心分別為O,O1,該圓柱的軸截面為正方形，三棱柱ABc-AAa的

三條側(cè)棱均為圓柱的母線，且AB=AC=我Oq,點尸在軸Oa上運動.

(1)證明：不論P在何處，總有BCJ.9；

（2）當P為。。的中點時，求平面APB與平面片PB夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵叵

11

【解析】

【分析】（1）證明線面垂直，進而證明線線垂直；

（2）利用空間向量的坐標運算方法求面面角的余弦值.

【小問1詳解】

證明：連接A。并延長，交BC于M,交圓柱側(cè)面于N.

因為AB=AC,OB=OC,所以aAOB^4AOC,所以ZCAM,

所以ABM^,ACM,所以例為BC中點，所以04LBC.

又在圓柱Oa中，AAj?平面4BC,BCU平面ABC,

AA1IBC,AOΛ4,=A,A0,Λ4lu平面AoaA，

所以BC1平面AoaA.

因為不論P在何處，總有PAu平面Aoqa,

所以BCLPA.

【小問2詳解】

設(shè)Oa=Λ41=AN=α(α>0),則AB=AC=包~a.

6

在，ABC中,

則OM=-a.------Cl?

36

如圖，建立空間直角坐標系-孫Z,

其中用G//X軸，y軸是BG的垂直平分線,

則A(O,fi,(-?ɑ,?ɑ,θ)>1,P(θ,θ1α

a,—a,a

3)

AP=(*αj),

所以AB(V■〃,，,〃),

BIB=(O,O,a),B]P=(-a,--cι,-cι)?

設(shè)平面AlPB的一個法向量為機=(x,y,z),則

√5