2023-2024學(xué)年河北省保定市高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版)

2023-2024學(xué)年河北省保定市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.）

22

1.已知橢圓Z-+匚1的長軸長為6,則該橢圓的離心率為（）

a22

A.且B.返C.???lD.返

3363

2.霧霾天氣對我們身體影響巨大，據(jù)統(tǒng)計我市2023年12月份某8天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQD莖葉統(tǒng)計圖

如圖，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）

259

3060

36240

375

130

A.360B.361C.362D.363

3.計算機(jī)執(zhí)行如圖的程序，輸出的結(jié)果是（）

A.3,4B.7,3C.21,3D.28,4

4.下列命題中正確的個數(shù)是（）

①命題"VxC（1,+8）,2x>2"的否定是"VxC（1,+8）,2x>2w;

②"a=2"是"∣a∣=2"的必要不充分條件；

③若命題P為真，命題「q為真，則命題p∕?q為真；

④命題"在AABC中，若sinA<^,則AC三"的逆否命題為真命題?

26

A.0個B.14^C.2個D.3個

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是（）

6.已知圓（x+2）2+（y-2）2=a截直線x+y+2=0所得弦的長度為6,貝像數(shù)a的值為（）

A.8B.??C.14D.17

7.若f(x)=-Lj+b[nχ在(O,2)上是增函數(shù)，則b的取值范圍是()

2

A.[4,+∞)B.(4,+∞)C.(-8,4]D.(-8,4)

8.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(-1)=f(3)=1,f(X)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)y=f(x)

的圖象如圖所示.則不等式f(X)<1的解集是()

9.若曲線f(x)=χ3+χ-2在點(diǎn)PO處的切線垂直于直線x+4y+3=0,則點(diǎn)PO的坐標(biāo)為()

A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)或(-1,-4)D.(1,0)或(-1,-4)

10.設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在(3,7)上均可導(dǎo)，且產(chǎn)(X)<g,(X),貝IJ當(dāng)3<x<7時，有()

A.f(x)>g(x)B.f(x)+g(3)<g(x)+f(3)C.f(x)<g(x)D.f(x)+g(7)<g(x)

+f(7)

11.已知P為拋物線y2=4x上一個動點(diǎn)，Q為圓χ2+(y-4)2=1上一個動點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與

點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是()

A.2√5-1B.2√ξ-2c.√17~1D.√17-2

12.已知雙曲線C：ai-Xi=I(a>0,b>0)滿意：(1)焦點(diǎn)為Fl(-5,0),F2(5,0)；(2)離心

a2,2b

率為巨,且求得雙曲線C的方程為f(x,y)=0.若去掉條件(2),另加一個條件求得雙曲線C的方程仍

3

為f(x,y)=0,則下列四個條件中，符合添加的條件共有()

①雙曲線C上隨意一點(diǎn)P都滿意IIPFII-IPF2∣∣=6;

②雙曲線C的虛軸長為4；

③雙曲線C的一個頂點(diǎn)與拋物線y2=6x的焦點(diǎn)重合；

④雙曲線C的漸進(jìn)線方程為4x±3y=0.

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把最簡答案填在題后的橫線上)

13.某班有學(xué)生60人，現(xiàn)將全部學(xué)生按1,2,3,60隨機(jī)編號.若采納系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量

為5的樣本(等距抽樣)，已知編號為4,a,28,b,52號學(xué)生在樣本中，則a+b=.

2516

則線段IPMI的最小值為.

三、解答題：(本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.設(shè)p：函數(shù)f(x)=Ig(X2-4x+a2)的定義域?yàn)镽；q：a2-5a-6≥0.假如"pvq"為真,且"pΛq"為假,

求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.已知。0：χ2+y2=4和。C：x2+y2-12x+27=0.

(1)推斷。。和OC的位置關(guān)系：

(2)過OC的圓心C作Oe)的切線1,求切線1的方程.

19.某校高三數(shù)學(xué)競賽初賽考試后，對90分以上(含90分)的成果進(jìn)行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所

示.若130?140分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2人.

(I)求這組數(shù)據(jù)的樣本容量及平均數(shù)M；

(2)現(xiàn)依據(jù)初賽成果從第一組和第五組(從低分段到高分段依次為第一組、其次組、…、第五組)中隨意

選出兩人，形成幫扶學(xué)習(xí)小組.若選出的兩人成果之差大于20,則稱這兩人為"黃金搭檔組”，試求選出的

兩人為"黃金搭檔組”的概率.

(1)求曲線y=f(X)在點(diǎn)(1,f(D)處的切線方程：

(2)求函數(shù)y=f(X)的單調(diào)區(qū)間與極值.

21.己知函數(shù)f(x)=-alnx+(a+l)X-LY2(a>0).

2X

(1)探討函數(shù)f(X)的單調(diào)性；

⑵若f(x)2-5χ2+ax+b恒成立，求在慮，口時，實(shí)數(shù)b的最大值.

22.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，離心率等于工，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線χ2=8Fy的焦

2

點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線X=-2與橢圓交于P,Q兩點(diǎn)，A,B是橢圓上位于直線X=-2兩側(cè)的動點(diǎn)，若直線AB的斜率

為工，求四邊形APBQ面積的最大值.

2

2023?2024學(xué)年河北省保定市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.）

22

1.已知橢圓三+的長軸長為6,則該橢圓的離心率為（）

a*22

A.??B.返C.?/?lD.返

3363

【分析】利用橢圓性質(zhì)求解.

22

【解答】解：?.?橢圓三-+Jl的長軸長為6,

a2τ乙2

.,.2a=6,解得a=3,C=Nq_丁尺

該橢圓的離心率為e=Y2.

3

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時要仔細(xì)審題，留意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用.

2.霧霾天氣對我們身體影響巨大，據(jù)統(tǒng)計我市2023年12月份某8天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQl）莖葉統(tǒng)計圖

如圖，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）

259

3060

36240

375

130

A.360B.361C.362D.363

【分析】先寫出這組數(shù)據(jù),從而求出數(shù)據(jù)的中位數(shù)即可.

【解答】解：由莖葉圖得,該組數(shù)據(jù)為：

259,300,306,360,362,364,375,430,

故（360+362）÷2=36l,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了莖葉圖的讀法，考查數(shù)據(jù)的中位數(shù)問題，是一道基礎(chǔ)題.

3.計算機(jī)執(zhí)行如圖的程序，輸出的結(jié)果是（）

A.3,4B.7,3C.21,3D.28,4

【分析】模擬計算機(jī)執(zhí)行的程序，按依次執(zhí)行，即可得出輸出的a與b的值.

【解答】解：模擬計算機(jī)執(zhí)行的程序，如圖所示；

a=3,b=4；

a=3+4=7，

b=7-4=3,

a=3×7=2h

輸出a=21,b=3.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了算法的依次結(jié)構(gòu)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

4.下列命題中正確的個數(shù)是()

x,,

①命題"Vxe(1,+8),2X>2"的否定是"VxC(1,+8),2>2i

②"a=2"是"∣a∣=2"的必要不充分條件；

③若命題P為真，命題「q為真，則命題PAq為真；

④命題"在AABC中，若si∏A<L則A<JL"的逆否命題為真命題.

26

A.O個B.1個C.2個D.3個

【分析】①依據(jù)含有量詞的命題的否定進(jìn)行推斷.

②依據(jù)充分條件的定義進(jìn)行推斷.

③依據(jù)復(fù)合命題的真假關(guān)系進(jìn)行推斷.

④依據(jù)逆否命題的真假關(guān)系進(jìn)行推斷.

【解答】解：①命題"Vx∈(1,+8),2X>2"的否定是叼Xe(1,+8),2x≤2,?故①錯誤，

②由∣a∣=2,得a=2或a=-2,即"a=2"是"∣a∣=2"的充分不必要條件；故②錯誤，

③若命題P為真，命題「q為真，則q為假命題.，則命題PAq為假命題；故③錯誤，

④命題"在AABC中，若sinA<L,貝∣JO<A<三或且L<A<n,則原命題為假命題，則命題的逆否命

266

題為假命題.故④錯誤，

故正確的為0個，

故選：A

【點(diǎn)評】本題主要考查命題的真假推斷，涉及含有量詞的命題的否定，充分條件和必要條件的推斷，復(fù)合

命題真假平行，以及四種命題的真假推斷，涉及的學(xué)問點(diǎn)較多，難度不大.

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是()

A.-?B.4C.?D.?

23

【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)

行過程，分析循環(huán)中各變量值的改變狀況，可得答案.

【解答】解：當(dāng)t=l時，滿意進(jìn)行循環(huán)的條件，s=」_=-l,t=2；

2-4

當(dāng)t=2時，滿意進(jìn)行循環(huán)的條件，S=一g-r=2,t=3；

2-(-1)3

當(dāng)t=3時，滿意進(jìn)行循環(huán)的條件，S=23t=4;

2.22

3

2

當(dāng)t=4時，滿意進(jìn)行循環(huán)的條件，S='=4,1=5；

2-?

當(dāng)t=5時，滿意進(jìn)行循環(huán)的條件，S=1-=-l,t=6;

2-4

當(dāng)t=6時，滿意進(jìn)行循環(huán)的條件，S=一‰—≈.2,t=7；

2-(-1)3

當(dāng)t=7時不滿意進(jìn)行循環(huán)的條件，

此時S值為2,

3

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是

基礎(chǔ)題.

6.已知圓(x+2)2+(y-2)2=a截直線x+y+2=0所得弦的長度為6,則實(shí)數(shù)a的值為()

A.8B.11C.14D.17

【分析】求出弦心距，再由條件依據(jù)弦長公式求得a的值._

【解答】解：圓(x+2)2+(y-2)2=a,圓心(-2,2),半徑

故弦心距d」-232I=&

√2

再由弦長公式可得a=2+9,a=ll;

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.若f(x)=-Lχ2+binχ在(0,2)上是增函數(shù)，則b的取值范圍是()

2X

A.[4,+8)B.(4,+8)C.(-8,4]D.(-8,4)

【分析】先求出函數(shù)f(X)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為b≤(χ2)max，從而求出b的范圍

【解答】解：函數(shù)的定義域是(0,+8),

f(X)=-X+k,

X

若f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，

則-χ+k≥O在(0,2)恒成立，

X

即：b≥(χ2)max=4,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，是一道基礎(chǔ)題.

8,已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(-1)=f(3)=1,f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)y=F(x)

的圖象如圖所示.則不等式f(X)<1的解集是()

A.(-1,O)B.(-1,3)C.(O,3)D.(-8,-?)(?,+∞)

【分析】依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論.

【解答】解：由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)x>0時，函數(shù)F(X)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)x<0時，函數(shù)f7(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，且當(dāng)x=0時，函數(shù)取得微小值f(0),

?.?f(-1)=f(3)=1,

當(dāng)0≤χV3時，f(x)<1,當(dāng)-l<x<0時，f(x)<1,

綜上不等式f(x)<1的解為當(dāng)-l<x<3時，

即不等式的解集為(-1,3),

故選：B

【點(diǎn)評】本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

9.若曲線f(x)=χ3+x-2在點(diǎn)PO處的切線垂直于直線x+4y+3=0,則點(diǎn)PO的坐標(biāo)為()

A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)或(-1,-4)D.(1,0)或(-1,-4)

【分析】設(shè)Po(m,n),求出f(X)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件，解方程可得m,進(jìn)

而得到n,可得切點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：設(shè)Po(m,n),f(x)的導(dǎo)數(shù)為F(x)=3x2+l,

即有在點(diǎn)Po處的切線的斜率為k≈3m2+l,

由切線垂直于直線x+4y+3=0,可得3n?+l=4,

解得m=±l,

可得m=1,n=0或m=-1,n=-4.

即PO(1,0),或(-1,-4).

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時考查兩直線垂直的條件：斜率

之積為-1,屬于基礎(chǔ)題.

10.設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在(3,7)上均可導(dǎo)，且F(x)<g'(x),則當(dāng)3<x<7時?，有()

A.f(x)>g(x)B.f(x)+g(3)<g(x)+f(3)C.f(x)<g(x)D.f(x)+g(7)<g(x)

+f(7)

【分析】構(gòu)造函數(shù)，設(shè)F(x)=f(x)-g(x),因?yàn)楹瘮?shù)f(x),g(x)在(3,7)上均可導(dǎo)，且F(x)

<g,(x),所以F(X)在(3,7)上可導(dǎo)，并且F(X)<0,得到函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性得到F(7)

<F(x)<F(3),即f(x)-g(x)<f(3)-g(3),得到選項(xiàng).

【解答】解：設(shè)F(X)=f(X)-g(x),因?yàn)楹瘮?shù)f(x),g(x)在(3,7)上均可導(dǎo)，且F(x)<g,(x),

所以F(x)在(3,7)上可導(dǎo)，并且F(X)<0,

所以F(X)在(3,7)上是減函數(shù)，

所以F(7)<F(x)<F(3),即f(x)-g(x)<f(3)-g(3),

f(x)+g(3)<g(x)+f(3)；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵構(gòu)造函數(shù)，利用求導(dǎo)推斷函數(shù)的單調(diào)性.

11.已知P為拋物線y2=4x上一個動點(diǎn)，Q為圓χ2+(y-4)2=1上一個動點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與

點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是()

A.2√ξ-1B.2√ξ-2c.√17~1D.√∏-2

【分析】先依據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)圓的方程求得圓心坐標(biāo)，依據(jù)拋物線的定義可知P到準(zhǔn)線

的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最

小值，依據(jù)圖象可知當(dāng)P,Q,F三點(diǎn)共線時P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小，為

圓心到焦點(diǎn)F的距離減去圓的半徑.

【解答】解：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),圓χ2+(y-4)2=1的圓心為C(0,4),

依據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，

進(jìn)而推斷出當(dāng)P,Q,F三點(diǎn)共線時P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小為：

∣FC∣-r=√∏-1,

故選C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了拋物線的應(yīng)用.考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.

12.已知雙曲線C：?--^―=1(a>0,b>0)滿意：(1)焦點(diǎn)為F∣(-5,0),F2(5,0)；(2)離心

2,2

ab

率為互，且求得雙曲線C的方程為f(x,y)=0.若去掉條件(2),另加一個條件求得雙曲線C的方程仍

3

為f(x,y)=0,則下列四個條件中，符合添加的條件共有()

①雙曲線C上隨意一點(diǎn)P都滿意IlPFIl-IPF2∣∣=6;

②雙曲線C的虛軸長為4；

③雙曲線C的一個頂點(diǎn)與拋物線y2=6x的焦點(diǎn)重合；

④雙曲線C的漸進(jìn)線方程為4x±3y=0.

A./B.2個C.3個D.4個

【分析】利用雙曲線性質(zhì)求解.

【解答】解:對于①，IIPFiI-∣PF2∣∣=2a=6

.,.a=3

文:焦點(diǎn)為Fl(-5,0),F2(5,0)

c=5

.?.離心率e=$,故①符合條件；

3

對于②，雙曲線C的虛軸長為4,

?-?b=2,a=也5-4=Λ∕21，

離心率e=5故②不符合條件;

對于③，雙曲線C的一個頂點(diǎn)與拋物線y2=6x的焦點(diǎn)重合,

?"?a=旦，e=?∣vJg,故③不符合條件;

2?3

2

對于④，.；近線方程為4x±3y=0

...b^lι

a3

又=c=5,c2=a2+b2,.*.a=3

.?.離心率e=",故④符合條件.

3

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查命題真假的推斷，是中檔題，解題時要仔細(xì)審題，留意雙曲線方程的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把最簡答案填在題后的橫線上）

13.某班有學(xué)生60人，現(xiàn)將全部學(xué)生按1,2,3,60隨機(jī)編號.若采納系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量

為5的樣本（等距抽樣），己知編號為4,a,28,b,52號學(xué)生在樣本中，則a+b=56.

【分析】求出樣本間隔即可得到結(jié)論.

【解答】解：?.?樣本容量為5,

樣本間隔為60÷5=12,

;編號為4,a,28,b,52號學(xué)生在樣本中，

.,.a=16,b=40,

.,.a+b=56,

故答案為：56

【點(diǎn)評】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，依據(jù)條件求出樣本間隔即可，比較基礎(chǔ).

Λ

14.已知下表所示數(shù)據(jù)的回來直線方程為y=-1.3x+a,則實(shí)數(shù)a=19.2

X23456

Y__1113141616

【分析】求出X,y代入回來方程即可求出a.

［解答］解：7=2+3+4+5+6=4.~=11+13+14+16+16="

55

.?.14=-1.3×4+a,解得a=19.2

故答案為19.2.

【點(diǎn)評】本題考查了線性回來方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

,χ+4y-8<0

15.若Jx>0在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P落在圓χ2+y2=2內(nèi)的概率為_三_.

y>032

【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，求出對應(yīng)區(qū)域的面積，依據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可.

【解答】解:不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)槿切蜲AB,其中A（8,0）,B（0,2）,對應(yīng)的面積為s=Lχ2xa=2

2

x2+y2=2表示的區(qū)域?yàn)榘霃綖椤蹋莸膱A在三角形OAB內(nèi)部的部分,對應(yīng)的面積為LX兀X（、萬）2」，

8W,4

π

???依據(jù)幾何概型的概率公式，得到所求對應(yīng)概率p=W=2L.

832

故答案為：2L.

32

一J

Q）A工?7^^

【點(diǎn)評】本題主要考查幾何概型的概率公式，利用二元一次不等式組表示平面區(qū)域求出對應(yīng)的面積是解決

本題的關(guān)鍵.

22

16.已知動點(diǎn)P(x,y)在橢圓C：工+工=1上，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，若點(diǎn)M滿意IMFl=L且MP±MF,

2516

則線段IPMI的最小值為

【分析】依題意知，該橢圓的焦點(diǎn)F(3,0),點(diǎn)M在以F(3,0)為圓心，1為半徑的圓上，當(dāng)PF最小

時，切線長PM最小，作出圖形，即可得到答案.

【解答】解：依題意知，點(diǎn)M在以F(3,0)為圓心，1為半徑的圓上，PM為圓的切線，

當(dāng)PF最小時，切線長PM最小.

此時∣PM∣=722-12=√3

故答案為：√3

【點(diǎn)評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的方程，考查作圖與分析問題解決問題的實(shí)力，屬于中檔題.

三、解答題：(本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.設(shè)p：函數(shù)f(x)=Ig(X2-4x+a2)的定義域?yàn)镽；q：a2-5a-6≥0.假如"pvq"為真，且"pAq"為假,

求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【分析】分別推斷出p，q為真時的a的范圍，由"pvq"為真，"pΛq"為假，可知p,q一真一假，通過探討

求出a的范圍即可.

【解答】解：若P為真，則χ2-4x+a2>0恒成立,.?.?=16-4a2<0,解得a>2或a<-2；...(2分)

若q為真，貝!]a?-5a-6≥0,解得a≤-l,或a≥6....(4分)

由"pvq"為真，"p∕?q"為假，可知p,q—真一假.…(5分)

①P真q假時，a>2或aV-2,且-IVaV6,,2<a<6,...(7分)

②P假q真時，-2≤a≤2,a<-1,或a≥6,-2≤a≤-1…(9分)

綜上，2<a<6,或-2≤a4-1..?.ae(2,6)U[-2,-1]...(10分)

【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)合命題的推斷，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題.

18.已知OO：χ2+y2=4和。C：x2+y2-12x+27=0.

(1)推斷OO和OC的位置關(guān)系；

(2)過。C的圓心C作。O的切線1,求切線1的方程.

【分析】(1)圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心與半徑，即可推斷OO和OC的位置關(guān)系；

(2)過明顯，切線斜率存在，設(shè)為k,利用點(diǎn)到直線的距離公式求出k,即可求切線1的方程.

【解答】解：(1)由題意知，O(O,O),r∣=2;...(1分)

OC：x2+y2-12y+27=0,.,.x2+(x-6)2=9,圓心C(0,6),r2=3...3分

∣OC∣=6>r∣+r2?..(5分)

。。與OC相離.…(6分)

（2）明顯，切線斜率存在，設(shè)為k....（7分）

切線1：y=kx+6,即kx-y+6=0.

6

?=2…（10分）

7k2+(-1)2

解得k=±2√2.切線方程為尸±2√2x+6...（12分）

【點(diǎn)評】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算實(shí)力，屬于中檔題.

19.某校高三數(shù)學(xué)競賽初賽考試后，對90分以上（含90分）的成果進(jìn)行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所

示.若130?140分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2人.

（1）求這組數(shù)據(jù)的樣本容量及平均數(shù)M；

（2）現(xiàn)依據(jù)初賽成果從第一組和第五組（從低分段到高分段依次為第一組、其次組、…、第五組）中隨意

選出兩人，形成幫扶學(xué)習(xí)小組.若選出的兩人成果之差大于20,則稱這兩人為“黃金搭檔組”，試求選出的

兩人為"黃金搭檔組”的概率.

【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖，利用公式頻率=皿蓼型-求出樣本的容量,再求出平均數(shù)；

樣本容量

（2）利用列舉法寫出從第一組和第五組中隨意選出兩人共有的基本領(lǐng)件數(shù)，選出的兩人為"黃金搭檔組"

的基本領(lǐng)件數(shù)，求出概率來.

【解答】解：（1）設(shè)90?140分之間的人數(shù)為n,

由130?140分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2,知0.005x10Xn=2,得n=40；

即此樣本的容量為40；--（2分）

5FJ??M=95×0.1+105×0.25+115×0.45+125×0.15+?35×0.05=113；——（5分）

（2）依題意第一組共有40x0.01x10=4人，記作Aι,A2,A3,A4;

第五組共有2人，記作B”B2;

從第一組和第五組中隨意選出兩人共有下列15種選法：

{Aι,A2},{Aι,A3},{Aι,A4},{Aι,Bι},{Ai，B2},

{A2,A3},{A2,A4},{A2,Bι},{A2,B2},

{A3,A4},{A3，Bi},{A3，B2},

{A4,B1},{A4,B2}?

{Bι,B2）;

設(shè)事務(wù)A：選出的兩人為〃黃金搭檔組”，

若兩人成果之差大于20,則兩人分別來自第一組和第五組，共有8種選法：

{Aι,Bι},{A2，B]},{A3，Bι},{A4，Bι},

{Aι,B2},{A2,B2},{A3,B2},{A4,B2},

.?.P(A)=W.-------(12分)

15

【點(diǎn)評】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了求古典概型的概率問題，是基礎(chǔ)題目.

20.設(shè)函數(shù)f(x)=-L(χ-5)2+61nx.

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(D)處的切線方程；

(2)求函數(shù)y=f(X)的單調(diào)區(qū)間與極值.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f(l),F(I)的值，代入直線方程即可；(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解

關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可.

【解答】解：⑴；f(x)=-?^?(x-5)2+61nx?x>0,

二f(1)=-8,切點(diǎn)為(1,-8)...(2分)，

f'(x)=5-x+->

X

.?.切線斜率k=f(1)=10…(4分)

切線方程為y+8=10(x-1),

即IOx-y-18=0....(6分)

⑵,?,fZ(x)=5-x+-

X

J(L6)(x+l),x>0。分)

X

令F(x)>0,O<X<6:

令F(x)<0,x>6...(9分)

.?.f(X)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,6)；

單調(diào)遞減區(qū)間為(6,+8)；

f(x)極大值為f(6)=--k+61n6,無微小值.…(12分)

2

【點(diǎn)評】本題考查了求曲線的切線方程問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，是一道中檔

題.

21.已知函數(shù)f(x)=-alnx+(a+l)X-LY2(a>o).

2

(1)探討函數(shù)f(X)的單調(diào)性；

(2)若f(x)2-∕χ2+aχ+b恒成立，求,，口時，實(shí)數(shù)b的最大值.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過探討a的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)問題轉(zhuǎn)化為b≤-alnx+x恒成立，令g(x)=-alnx+x,x>0>即b≤g(x)min，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求

出g(X)的最小值，從而求出b的最大值即可.

2

【解答】解：(1)f(x)=-alnx+(a+l)x-iγ(a>0),定義域?yàn)?0,+8)...(1分)，

2

???f?(x)=-?-a+l-X=二(匚a)(匚1)，x>0...(2分)

XX

令？(x)=0,則x∣=a,X2=l

①當(dāng)OVaVI時，令F(x)>0,則a<x<l;

令f(x)<0,則0Vχ<a,或x>l,

.?.f(x)在(0,a),(1,+8)單調(diào)遞減；(a,1)單調(diào)遞增；...(3分)

②當(dāng)a=l時，f(x)≤0,且僅在x=l時，f(x)=0,

.?.f(x)在(0,+8)單調(diào)遞減；...(4分)

③當(dāng)a>l時，令F(x)>0,則l<x<a;

令F(X)<0,則0<x<l,或x>a,

.?.在(0,?),(a,+8)單調(diào)遞減；(1,a)單調(diào)遞增....(5分)

綜上所述，

當(dāng)0<a<l時?，f(x)在(0,a),(1,+?>)單調(diào)遞減；(a,1)單調(diào)遞增；

當(dāng)a=l時，f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減；

當(dāng)a>l時，f(x)在(0,1),(a,+∞)單調(diào)遞減；(1,a)單調(diào)遞增....(6分)

⑵rf(x)=-alnx+(a+l)x-*χ2(a>0)

若f(x)≥-?^?χ2+aχ+b恒成立，

.,.b≤-alnx+x恒成立…(7分)

令g(x)=-alnx+x,x>0,

即b≤g(x)mi∏...(8分),

?.?g,(x)=1--≡-=ΞΞΔ,(a>0),

XX

.?.g(x)在(0,a)單調(diào)遞減，(a,+8)單調(diào)遞增；

g(x)min=g(a)=-alna+a...(IO分)

b≤-alna÷a,a∈f-i-,1],

令h(a)=-alna+a

.?.h,(a)=-lna>0,/.h(a)單調(diào)遞增，

,

..h(a)min=h(?)??(l+ln2),

2