圓錐曲線中的探索性問題（解析版）-2023年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)（解析幾何篇）

圓錐曲線中的探索性問題

「思路引導(dǎo)Q

“肯定順推法”解決探索性問題，即先假設(shè)結(jié)論成立，用待定系數(shù)法列出相應(yīng)參數(shù)的

方程，倘若相應(yīng)方程有解，則探索的元素存在（或命題成立），否則不存在（或不成立）.

母題呈現(xiàn)

考法1點'線的存在性問題

【例1】（2022.長沙一中模擬預(yù)測）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m>O）,直線/不過原點。且不

平行于坐標軸，/與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.

（1）證明：直線OM的斜率與/的斜率的乘積為定值；

,〃?），延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能,

求此時/的斜率；若不能，說明理由.

【解題指導(dǎo)】

設(shè)∕的方程并與數(shù)學(xué)運黨邏軾

求koM?瓦為定值推理L求OM的方程

橢圓聯(lián)立、消元—

利用根與系數(shù)

熨學(xué)運算邏輯推理

證明四邊形為的關(guān)系求孫與

數(shù)學(xué)運算

平行四邊形%、%的關(guān)系

【解析】(1)設(shè)直線/:y=kx+b(k≠Q(mào),b≠0),A(x∣,j∣),8(x2,yi),M(XM,y,w)?

將y=fcr+Z?代入9Λ2+y2=∕n2,得(?2+9)x2+2妨x+左一加=0,

,,X1+X2—kb9b

故XM=2=F+夕)M=,M十b=M+9'

于是直線OM的斜率ZOM=詈=一?，即ZoM￠=-9.

XMK

所以直線OM的斜率與/的斜率的乘積為定值.

（2）四邊形OAPB能為平行四邊形.

因為直線/過點（三,加），所以/不過原點且與C有兩個交點的充要條件是Q0,k≠3.

9

由⑴得OM的方程為y=一講.

設(shè)點尸的橫坐標為燈.

9

±knι

產(chǎn)一衿得正息

由,7,即x

'‰2+)2=加2,^3√P+9-

將點(三,加)的坐標代入直線/的方程得

kk-3m

因此XM=3必+9,

四邊形OAPB為平行四邊形，當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即XP=2XM.

于是耳篙^=2墨普'解得3=4一幣，^=4+√7.

因為左＞0,ki≠3,Z=1,2,

所以當直線/的斜率為4一巾或4+幣時，四邊形OAPB為平行四邊形.

【解題技法】存在性問題的求解方法

(1)解決存在性問題通常采用“肯定項推法”，將不確定性問題明朗化。一般步驟：

①假設(shè)滿足條件的曲線(或直線、點等)存在，用待定系數(shù)法設(shè)出；

2列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)；

③若方程(組)有實數(shù)解，則曲線(或直線、點等)存在，否則不存在。

(2)反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法

【跟蹤訓(xùn)練】

【例3】(2022?深圳二模)已知圓C:57)?+;∕=!,一動圓與直線X=J■相切且與圓C外

42

切.

(I)求動圓圓心P的軌跡T的方程；

(II)若經(jīng)過定點Q(6,O)的直線/與曲線T相交于A、B兩點，用是線段Λ5的中點，過M

作X軸的平行線與曲線7相交于點N,試問是否存在直線/,使得N4LM3,若存在，求出

直線/的方程，若不存在，說明理由.

【解析】(I)設(shè)P(x,y),則由題意，∣PC∣-(x+')=L

22

J(X-I)2+y2=x+],

化簡可得動圓圓心尸的軌跡T的方程為V=4x；

(II)設(shè)A(X,χ),B(X2，J2).

由題意，設(shè)直線/的方程為X=沖+6,聯(lián)立拋物線方程可得丁―4g，-24=0,

二乂+%=4Μ，乂%=一24①，

2

+x2=4∕n+12@,x1x2=36③

假設(shè)存在N（Λ0,%）,使得NALNB,則%=當迤=2帆④，

2

.?.X0=ZH（S）,

TVA-TVB=O,

「?代入化簡可得（療+6）（3,W2-2）=0,

.一任

3

存在直線/:X=±^?y+6,使得Λ?J>N8,

考法2含參數(shù)的存在性問題

/V23

【例2】（2022?南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，橢圓C:=+4=1（〃>8>0）經(jīng)過點P（l,?）,

a^b^2

離心率e=；,直線/的方程為x=4

（1）求橢圓C的方程；

（2）A8是經(jīng)過右焦點P的任一弦（不經(jīng)過點P）,設(shè)直線A8與直線/相交于點M,記叢,

PB,PM的斜率分別為占，k2,勺.問：是否存在常數(shù)，，使得K+&=%%?若存在，求

2的值；若不存在，說明理由.

3191

【解題指導(dǎo)】⑴點加5）代入桶圓的方程一下+/=1（〃>。>。）一離心率為，=5一”,

r2V23I9

【解析】⑴橢圓UAAMa小。）經(jīng)過點P時，可得靛+/=15">。）①,

由離心率e=;得￡=：,即a=2c?,則。2=3C?2②，代入①解得c=l,a=2,?=√3,

2a2

22

故橢圓的方程為三+匕=1.

43

(2)由題意可設(shè)A3的斜率為％,則直線A3的方程為尸以戈-1)③

代入橢圓方程—+??=1并整理得(4/+3)X2-Sk2x+4?2-12=0

43

設(shè)A(XI,y1),B(X2,%)，

8公XX-叱-12⑷

XML叱+3⑷

在方程③中，令x=4得，M的坐標為(4,3%),

333

U而,F>,2-τ3?--1

從而K=-J?,k2=-J?,h=—^=k--

??-1x2-\4-12

注意到A,F,8共線，則有％=%"=&所，即有-?=-?=%,

X∣—IX1—1

_33

所以匕+&=0+-=」_+工_3(_1_+_1_)，

--

Xl—1X2?Λ∣-1X2?2x∣—1/一］

=ICkr——3×---X~+x=-7---2---⑤,

一(玉

2X1Λ2+x2)+1

2

f,k__2

④代入⑤得k?+%=2k$藝+3—=2k-?,

ZQK—?ZoK+1

Ak2+3~4k2+3+

又％=k—；,所以仁+&=2自.

故存在常數(shù)2=2符合題意.

【解題技法】字母參數(shù)值存在性問題的求解方法

求解字母參數(shù)值的存在性問題時，通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的參數(shù)值存在，然后利用

這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進行推理與計算，若不出現(xiàn)矛盾，并且得到了相應(yīng)的參

數(shù)值，就說明滿足條件的參數(shù)值存在;若在推理與計算中出現(xiàn)了矛盾，則說明滿足條件的參

數(shù)值不存在，同時推理與計算的過程就是說明理由的過程

【跟蹤訓(xùn)練】

(2022?天津市第四中學(xué)模擬預(yù)測)在平面直角坐標系中，。為坐標原點，動點G到

耳(-6,0),g(6,0)兩點的距離之和為4.

(1)試判斷動點G的軌跡是什么曲線，并求其軌跡方程C；

(2)已知直線/:y=%(x-g)(A>0)與圓尸:(X-J^)*2+9=；交于M、N兩點，與曲線C交

于P、Q兩點，其中M、尸在第一象限M為原點。到直線/的距離，是否存在實數(shù)“，使得

T=(INQITMH)./取得最大值，若存在，求出和不存在，說明理由.

【解析】(1)由題意知，|G￡|+IG同=4,又4>2√J,所以，動點G的軌跡是橢圓.

由橢圓的定義可知，C=JJ,a=2,又因為a?—Z?2=C?所以//=],

故G的軌跡方程上+y2=ι.

4.

(2)由題設(shè)可知，M、N一個橢圓外，,個在橢圓內(nèi)；P、Q?個在巴內(nèi)，一個在1F?

外，在直線/上的四點滿足：INaTMPI=(PVQ∣+∣NH)YlMPl+WH)=IPQTMNl=IP0一1

*->

X-21

—+y-=1

由《4'

y=k(x-y∕3)

消去V得：(1+4^)X2-8√3?2X+12?2-4=0,△〉()恒成立.

設(shè)P(APyJ,Q(Λ?,%),由韋達定理，

殂8√3?212?2-4

X,÷X=------------7?XIX)=~2

19-l+4?2-1+4公

IPQl=7(ι+^2)Kx∣+x2)2-4χχ]=

l2：%：：■

所以W。HMPI=IPQl-I=二一，。至h距離，d=魯仁,

2

4?-+l√?+l

9公_9公

T=(INQITMPI)?/

(4公+1)(22+])4?2+5Λ2+1

4/+J+52股J+5

當且僅當442=4，即z=±Yl時等號成立.

k22

驗證可知Z=±走滿足題意.

2

k>O,:.k=—

2

1.(2023?安徽安慶??？家荒?在直角坐標平面中，MC的兩個頂點的坐標分別為

(α>0),兩動點M、N滿足

MA+MB+MC=0,?NC?^y/l?NA?=>j7?NB?,向量MN與AB共線.

(1)求ABC的頂點C的軌跡方程；

(2)若過點P(OM)的直線與(1)的軌跡相交于EE兩點，求PEPF的取值范圍.

(3)若6(-4,0),“(2凡0),。為。點的軌跡在第一象限內(nèi)的任意一點，則是否存在常數(shù)

A(2>0),使得NQ"G=/LNQG〃恒成立？若存在，求出2的值；若不存在，請說明理由.

【分析】(I)設(shè)C(x,y),由M4+M3+MC=0知MC，由MHNq且向量MN與AB

共線，知N在邊AB的中垂線上，由此能求出ABC的頂點C的軌跡方程；

(2)設(shè)Ea,y)、尸(孫必)，過點P(Om)的直線方程為y=^+“，代入雙曲線方程，得

(i-k2)x2-2akx-4a2=0,再由根的判別式和韋達定理即可求PEPF的取值范圍：

(3)通過由特殊到一般的方法進行求解.

【詳解】(1)設(shè)C(x,y),由M4+MB+MC=0知，

.?.M是/WC的重心，

IN4H且向量MN與AB共線，,N在邊AB的中垂線上，

fZ￡

A√i7O7O>

-7(67

化簡得--2L=/,

3

即所求的軌跡方程是f-片=6

3

(2)設(shè)E(XryJ、F(w，%)，過點P(OM)的直線方程為N=丘+α,

代入/一//得(3-公產(chǎn)—24fcv_4∕=0,

2ak-4a2

..%+X>—∑-X,X?y—r-，

1-3-k191-3-k2

且A=4α2?2+16Λ2(3-?2)>0,解得公<4.

44

.?.Λ2-3<1,則或

-4a2(l+?2)

.?.PE-PF=(^x,y-?)(%2>J,2-a)=xx+∣ix?kx=(l+fc2)xΛ=

ifl2t2l23-，

則PEPF的取值范圍是（一",4。2）=（20。2,+8）.

（3）設(shè)Q（??）,%）（xo>0,%>0）,則力一當=〃？，即$=3（*-。：）.

JT

當QH，X軸時，Λ0=2a,y0=3a,:.ZQGH=-,

即NQHG=2QGH,故猜想2=2.

當QH不垂直X軸時，tanZQWG=--?-,tanZβGW=」一

XQ-2ax0+a

2%

2tanZQGH

:.tan2ZQGH=λ°+"2="=IanZQHG

I-tan2ZβG∕7

(y0Y…

χa

<0+)

又2NQG"與NQ"G同在（0,（'，乃J內(nèi)，

2NQGH=NQHG.

故存在4=2,使2NQG"=NQHG恒成立.

【點睛】軌跡問題一般方法有三種：定義法，相關(guān)點法.

定義法：（1）判斷動點的運動軌跡是否滿足某種曲線的定義:

（2）設(shè)標準方程，求方程中的基本量

（3）求軌跡方程

相關(guān)點法：（1）分析題目：與動點MS"）相關(guān)的點P（X。,%）在已知曲線上;

(2)尋求關(guān)系式，χ0=f(χ,y),y0=g(χ,y)i

（3）將％,先代入已知曲線方程；

（4）整理關(guān)于X,y的關(guān)系式得到MM的軌跡方程

22

2.（2023?湖南邵陽?統(tǒng)考二模）已知雙曲線C:?■-表?=l（0<"10Mo）的右頂點為A,左焦

點尸（-c,0）到其漸近線法+歐=。的距離為2,斜率為g的直線4交雙曲線C于A,B兩點,

且網(wǎng)=乎.

⑴求雙曲線C的方程；

（2）過點T（6,0）的直線4與雙曲線C交于P,Q兩點，直線AP,AQ分別與直線χ=6相交于

M,N兩點，試問：以線段MN為直徑的圓是否過定點?若過定點，求出定點的坐標；若不

過定點，請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)點到直線的距離公式即可求解b=2,進而聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)

弦長公式即可求解α=3,

(2)聯(lián)立直線與曲線的方程得韋達定理，根據(jù)圓的對稱性可判斷若有定點則在X軸上，進

而根據(jù)垂直關(guān)系得向量的坐標運算，即可求解.

【詳解】(1)；雙曲線C的左焦點尸(-GO)到雙曲線C的一條漸近線加+④=O的距離為

∣?cl_

d=/,G=b,IHjd=2,b=2.

?Ja^+b~

22

雙曲線C的方程為I-E=I(O<α<10).

依題意直線4的方程為y=g(χ-α)?

￡片=1

2A,

由‘“?消去),整理得：(36—)χ2+2a，—+36)=0,

y=^(χj),

依題意：36-a2≠0,A>0,點A,8的橫坐標分別為乙,4，

...a2(a2+36)

則與與二一——L

ab儲_36

「?…，.?.一(*

B/-36

.,.∣AB∣=IXA-XBI=^?l=，1?∣?VA-??∣=8?

a^a2+36)

即a-=8,解得。=3或α=12(舍去)，F(xiàn)La=3時，Δ>0?

a2-36

22

雙曲線C的方程為二-E=l?

94

(2)依題意直線，2的斜率不等于0,設(shè)直線4的方程為χ=my+6?

X=my+6,

由《χ2/消去X整理得：(4∕√-9)y2+48%y+108=0,

----------=L

94

/.Am2-9≠0,?i>0.

設(shè)P(∕y),。色,%)，則%+%=潦3，％必=譚g?

直線AP的方程為y=-?(χ-3),令χ=6得:

X∣~J

同理可得N（6,罵）.由對稱性可知，若以線段MN為直徑的圓過定點，則該定點一定在X

軸上，

設(shè)該定點為R&0）,貝URM=（6T,2），RN=∣6τ,碧］

故RMRM=(6-t)2I9%%

(X1-3)(X2-3)

=(6-爐+9)1%

(my1+3)(∕ny2+3)

_____2Zι2?______

2

myly2+3m(yl+y2)+9

C108

9×-∑——

=(6-r)2+---4"-9

1083m×48/7?

m2X+9

4∕n2-94機2—9

=(6-r)2-12=0.

解得∕=6-2ΛΛ或1=6+2石.

故以線段MN為直徑的圓過定點（6-2百,0）和（6+26,0）.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓的對稱性可判斷定點在坐標軸上，結(jié)合向量垂

直的坐標運算化簡求解就可，對計算能力要求較高.

3.（2023?江西贛州?統(tǒng)考一模）已知拋物線UV=2px（p>0）,尸為其焦點，點M（2,%）在C

上，且S=4（。為坐標原點）.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若4B是C上異于點。的兩個動點，當/498=90時，過點。作QVLAB于，問平面內(nèi)

是否存在一個定點。，使得INQl為定值？若存在，請求出定點。及該定值：若不存在，請

說明理由.

【分析】（1）由點在拋物線上及三角形面積列方程求出參數(shù)p,即可得方程；

⑵法」：設(shè)人（%,乂）,8（々,丫2），XlX2#°，乂>°，利用ZAOB=90求得Ay2=-64,討論

A3與X軸是否垂直，求直線AB所過的定點；法二：設(shè)直線AB的方程為

x=∕ny+M,A（xl,yl）,B（x2,y2）,聯(lián)立拋物線及韋達定理、ZAoB=90得M%=-64；最后結(jié)

合。NLAB確定N的軌跡，即可確定定點和定值;

【詳解】(1)因為點M(2,%)在C上，則y=4p,而SewM=g?引刃=4,所以∣%∣=3,

?,爺=4p,所以。=4,故該拋物線的方程為V=8χ.

(2)法--：設(shè)Aa,%),5(孫、2)，即?*0,不妨設(shè)y∣>0,

22

zfBOA=90，則FX2+X%=今，今+丁1%=0，解得y∣%=-64,

OO

①當AB與X軸不垂直時，yl+y2≠0,xl≠x2,

此時直線AB的方程為：y=/%(x-xj+y∣,整理得y=―-—x+

XI-X2?+%y∣+y2

8

8

γly2=-64,則A3的方程為：丫=二一(?-),則直線48恒過定點/(8,0)

由ONJ.A8,即ON_LMH,故N在以。河為直徑的圓上，該圓方程為(x-4f+產(chǎn)=16,

即當Q為該圓心(4,0)時，|N@=4為定值；

②當ABlX軸時，*=-%=8,此時Xl=X2=8，而ONIAδ,故N(8,0)；

當Q(4,0)時，也滿足閘=4,

綜上，平面內(nèi)存在一個定點Q(4,0),使得IQNl為定值4

法二:設(shè)直線AB的方程為尤=%+”,A(x∣,χ),B(x2,%)

CX=my+n,,

聯(lián)”12?^y2-SmySn=O,且△=64,/+32〃>O,

[y=8x,

由韋達定理得:y1+y2=8w,yl-y2=-8n,

v22

由ABOA=90,即OA?OB=xlx2+yχy2=^^-+yiy2=O,解得yly2=-64,

64

即J1-J2=-8n=-64=>n=8,直線AB恒過定點M(8,0),

由ONj即ONJLNM,故N在以?！睘橹睆降膱A上，該圓方程為(X-4>+丁=16,

即定點。為該圓心(4,0)時，加。=4為定值：

【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，根據(jù)NBOA=90求A8縱坐標乘積，并確定直線AB過的定

點坐標，最后利用ONLAB判斷N的軌跡，即可得結(jié)論.

22

4.(2023?福建廈門?統(tǒng)考二模)已知橢圓C：^7+?=l(a>b>O)的離心率為左、右

a^b^2

焦點分別為B,F2,過F/的直線/交C丁A.B兩點.當LLx軸時，AABg的面積為3.

⑴求C的方程：

⑵是否存在定圓E,使其與以AB為直徑的圓內(nèi)切？若存在，求出所有滿足條件的圓E的方

程；若不存在，請說明理由.

【分析】(I)由橢圓的離心率及AABR的面積為3,列出兩個基本量的方程求解即可；

(2)根據(jù)對稱性可知，圓E的圓心在X軸上，利用直線/特殊位置時求出符合條件的圓E

的方程，一般情況下前進性驗證即可.

1c1

【詳解】(1)己知橢圓C的離心率為:，所以￡=：；

2a2

12h2

由當/Lκ軸時，ZiABg的面積為3,得上x2CX竺=3,即2b%=3α,又a=2c,

2a

fv2

所以廿=3,又Y="+c2,則α=2c=2,橢圓方程為工+匕=L

43

1,2?

(2)當小X軸時，以A8為直徑的圓的圓心為B(T,0),半徑4=￡-=j

a2

當/為X軸時，以AB為直徑的圓的圓心為0(0,0),半徑4=0=2；

因為直線/過點F1,所以以AB為直徑的所有圓關(guān)于X軸兩兩對稱的，

根據(jù)對稱性可知，圓E與以A8為直徑的圓內(nèi)切時，圓心在X軸上.設(shè)圓心E(",0)(“<0),

半徑為R,

當以A8為直徑的圓在圓E內(nèi)部與E相切時，

a1

則巧用=R-;，IEa=R_2,故但耳|—怛。|=耳，

又∣E6∣+∣W=1,所以IEOl=(,但用=:,即E(-5O),R=%圓E的方程為

當以A8為直徑的圓在圓E外部與E相切時，

Q1

則IE用=]_/?,IEO∣=2-R,故IEoITE/=J又∣%∣+∣EO∣=1,

所以出。|=；,同|=1,即E(Vθ)R=；,圓E的方程為0+?∣)+V=備

當直線/斜率不為零時，設(shè)直線/的方程為X=⑺TAa,%),B(x2,y2),

x=ιny-l

聯(lián)立,f,2_,得(3>+4)/一6股一9=0,

143

El6tn9

則y+%=.2；，W2:，

3/n+43m+4

(43/H、

所以43的中點即以AB為直徑的圓的圓心M,半徑

I3"+4+4)

r=怨=?Jl+〃/?J（y+必『-4），|丫2=?x/l+w26/wY+36_6（1+叫

,當圓

3τn2+4J3/+43m2+4E

的方程為[X+1j+V=費時,

22

4?13tnnr+4

?ME?=

3"?2+44l÷3m2+4J4（3>+4）'

96(1+療)（）

此時—丁*六3w+4

-?-~?=M￡,所以以AB為直徑的圓與E相切.

4（3加+4）11

當圓E的方程為卜+1J+y2=^∣時，

阿==費M

2

6。+病)59∕n+4l,

j?H?r-7;=；/-??-??~V=ME，所以以48為直徑的圓與E相切.

3m2+444(3m2+4)1

綜上圓E的方程卜+；j+丁=S或(χ+(J+/,

【點睛】與圓錐曲線相關(guān)的圓問題方法點睛

因為圓的方程在圓錐曲線的求解過程中計算量比較大，所以往往不直接進行求解，而是由特

殊位置求解圓的方程或者找到其特征，再一般情況下進行驗證即可I

5.(2023?山西臨汾?統(tǒng)考一模)已知用周長為36的矩形截某圓錐得到橢圓

22

u[+4=l(">b>0),C與矩形的四邊都相切且焦距為2c,__________.

azb-

①4/,c為等差數(shù)列；②α+l,c,海為等比數(shù)列.

8

(1)在①②中任選一個條件，求橢圓的標準方程；

(2)(1)中所求C的左、右焦點分別為耳,工，過K作直線與橢圓C交于RQ兩點，A為橢圓

的右頂點，直線AP,A。分別交直線X=-學(xué)于M,N兩點，求以MN為直徑的圓是否過定點,

若是求出該定點；若不是請說明理由

Y2

【分析】(I)周長為36的矩形截某圓錐得到橢圓C:^+#Vv,=1(。>6>0),C與矩形的四邊都

相切，可得4α+48=36,若選①，結(jié)合aAc為等差數(shù)列與“2=6+C2,聯(lián)立解方程組可求

3

得；若選②，則α+l,G力為等比數(shù)列與已知條件列方程組即可解得.

O

(2)分宜線斜率存在或斜率不存在兩種情況分類討論，直線尸。的斜率不存在時?，/也的方程

為x=-3,根據(jù)對稱性即可求得P,Q點的坐標，代入/"的方程求得M,N點的坐標，即可寫

出圓的方程，并求出定點坐標；當直線斜率存在時，設(shè)直線/也的方程為y=A(χ+3),與橢

圓方程聯(lián)立，韋達定理寫出兩根之和，兩根之積，同理求出四個點的坐標，寫出以MN為直

徑的圓的標準方程，化筒求定點.

4a+4。=36,a=5,

【詳解】(1)選①，由題意2b=α+c,解得b=4,

a2=?2+c2,c=3.

所以C的標椎方程為1+5=1.

4。+4/?=36,

Ci—5,

3

選②,山題意c2=(a+?)×~b,解得.b=4,

O

9j-72c=3.

=Zr+c,

所以C的標椎方程為(+(=1.

(2)①當直線尸Q的斜率不存在時，∕PQ的方程為工=-3,不妨設(shè)尸在/軸上方，則

16

5

的方程為y=-∣(χ-5),令X=號，得尸與

b…/2516、,J2516

所以M［一~—>-yI,l同m理一■—

3T

25∣2?256

所以以MN為直徑的圓的標準方程為X+一I+y=V

3

②當直線尸。的斜率存在時，設(shè)優(yōu)的方程為y=Z(x+3),P(N,y),C(Λ2,J2)

y=Z(x+3),

聯(lián)立｛χ2y2得(25公+16卜2+150公萬+22522-400=0,

.25+T6^'

-150A:2225/-400

由韋達定理得

χ+/=25?2+16'?'?2—25,+16

因為原P=T7,所以3的方程為y=-?(χ-5),

令X=-胃，得＞=￡%，即M的坐標為［-今蠟生

33(X∣-5)I33(xl-5)

(25

同理N的坐標為-石，

所以以MN為宜徑的圓的標準方程為

2

2540X40%

XH----+y+y+=0.

33(x,-53(X2-5)J

y+^_y+'O%

(々-

-3(—-35?

240fy1,y2,1600y∣y2

3IXI-5x2-5)9x1-5X2-5

X必=3+3汝(々+3)=/限+3(X∣+J?)+9)

xl-5x2-5(x1-5)(X2-5)xλx2-5(Λ1+Λ2)+25

2

k[xlx2+3(xl+x2)+9)_-256

將韋達定理代入并整理得

x1x2-5(x1+x2)÷251600

令y=o,則變，解得x=-3或X=-?.

I3J93

當斜率不存在時，令尸0,貝《X+竺［=變，解得％=一3或X=-2.

I3J93

由①②知，以MN為直徑的圓過(一3,0)和卜弓,0).

比2

6.(2023?廣東深圳?統(tǒng)考一模)已知雙曲線E：L-V=I與直線/：N=依-3相交于A、B

4

兩點，M為線段AB的中點.

⑴當人變化時，求點M的軌跡方程；

(2)若/與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點,問：是否存在實數(shù)鼠使得A、B

是線段CO的兩個三等分點？若存在，求出女的值；若不存在，說明理由.

【分析】⑴設(shè)Aa,乂)，以毛，％)，材伉，幾)，聯(lián)立直線/與雙曲線E的方程，消去y,

得(1-4公卜2+24日-40=0,根據(jù)已知宜線/與雙曲線E相交于A、B兩點,得

C51-24

△=160—64Z2>0且1—4&2≠(),即攵~<二ILK。：，由韋達定理，得χ+x)=-----萬，

24-1-4K

則“。=F?，%=T?，聯(lián)立消去kt得考=4尤+12%,再根據(jù)A的范圍得出y的范圍，

即可得出答案；

(2)設(shè)C(xj,%),D(x4,y4),根據(jù)雙曲線E的漸近線方程與直線/的方程聯(lián)立即可得出

?=?,x4=?，則e要==/，即線段AB的中點M也是線段CO的中點，

若48為線段CD的兩個三等分點，則ICq=3∣4BI,結(jié)合弦長公式列式得四一刈二3卜—百，

24八

-24k"?，即可解出答案?

即可化簡代入得出=3,i

4?2-l1-4公

A

【詳解】⑴設(shè)A（JePyJ,3（孫％），〃（O，幾），

y=kx-3

聯(lián)立直線/與雙曲線E的方程，得

X2-4∕=4,

消去y,得（1一4標）/+24履-40=0.

由A=160-64/>0且1-4公≠0,得出？且&.

24

_24k

由韋達定理，得％+W=M*?

1—^TK

2

r-rιqx∣+X2T2k-↑2k.-3

所以XLP=匚充'%=5-3=匚瓦7-3=K

-nk

?ɑ=Y

IU消去上得W=4yi+12%?

fil'

?0=l-4?2

由二＜|且Xk；,得%W-3或%＞；.

所以，點M的軌跡方程為χ2=4V+12y,其中y≤-3或y＞；.

（2）雙曲線E的漸近線方程為y=±gx.

_￡

>，=X

設(shè)C（W,%），O（X4,乂），聯(lián)立＜2得W=g,同理可得七=￡

Ir乙K?乙KI?

y=κx-3

x÷x_-12k

因為34

2-l-4?2=XO?

所以，線段AB的中點M也是線段CO的中點.

若4,8為線段C。的兩個三等分點，則Ic?|=3|4可.

-

UIJ?∣T+k~IX3—Λ4∣=3>∕1+k^^—/I，IW一%|=3,??l,

而IxfI=J（Xl+兌『-g=JIJ豢）+y?,四一引二藥一罰

121（-24kY160

解得Z=±3I,

所以,∣4?2-1∣-VU-4?2J+l-4k2

所以左=±|,存在實數(shù)，使得A、8是線段CD的兩個三等分點.

7.(2023?湖北?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知橢圓^+^=1的右頂點為A,左焦點為尸，過點F作

斜率不為零的直線/交橢圓于M,N兩點，連接AN分別交直線X=-■!于兩點，

9

過點尸且垂直于MN的直線交直線x=-g于點R.

(1)求證：點R為線段PQ的中點;

(2)記AMPR,AMRN,ANRQ的面積分別為S∣,S2,5,,試探究：是否存在實數(shù)幾使得

4S2=S∣+S3?若存在，請求出實數(shù)人的值；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)設(shè)設(shè)Lχ=my-2,Ma,兇)，N(9,%),聯(lián)立橢圓方程，可得根于系數(shù)的關(guān)

系式，表示出P,Q的坐標，計算力+為；繼而求出直線R尸的方程，求得R點坐標，即可證

明結(jié)論；

(2)利用(1)的分析，求得IMVI,進而表示出，，8，計算S∣+53的結(jié)果，再求得邑的

表達式，即可求得E+S3與邑之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：由題意知A(3,0),尸(-2,0),

f

設(shè)/:X=叼-2,w±3),^(?,y2)(?≠±3),

X=my—2

聯(lián)立(χ2/,得(5加2+9)y2-20ay-25=0,Δ=900(l+m2)>0,

--F--=1

195

El20〃2-25

則y+%=<0，Μ必

5m+9Q5m2+9

直線AM的方程為y="彳(χ-3),

X∣—?

…飛9得>"W15y,?'所以「(9一51?5V,J,

915%

同理，Q-2(?-3)J

所以y+v=__???!_____15%=15yIH

PQ

'''2(X∣-3)2(X2-3)2myl-5my2-5y

152myiy2-5(yl+y2)

2Myly2-5"MM+%)+25

-50mIOOm

155m2+9~5m2+9....

——萬-25癡Io(W小"c",

----?--?------23

5m~+95m+9

直線麻:y=-w(x+2),令x=_g得y=當，所以

則上+%=2)},故點R為線段PQ的中點.

(2)由(1)知，IMNI=71+*Iy∣f∣=Jl+M?J(2?m]+1乎=30(1：一

1111-l?{5m2+9J5HZ2+95∕√+9

又吐，+2＞削=呼

所以邑[?M?IMNl=翡&.

由(1)知點/?為線段P。的中點，

1g19199

-=iPi-

故s∣+S3=]?∣PA∣?M+]+~??QR??X2+24βl??ll22

W一湍)+就與My+%)+5∣

75________y∣f________M(X+%)+5∣

8nryxy2-5m{yx+y2)+15

30√l+∕n2

207√,225(]+小/

75______5*+9______|5

8-25∕Π3~IOOm2~5m2+94(5〉+9)

----?—Z-----?-------H23

5W2+95OT2+9

所以qs2=E+s3.

3

故存在2=；,使得∕IS2=S∣+S3.

【點睛】難點點睛：解答直線和圓錐曲線的位置關(guān)系類的題目時，解決問題的思路想法不是

很困難，一般利用直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合題設(shè)進行化簡

求值等，但難點在于計算的復(fù)雜性，以及計算量較大，并且大多為字母參數(shù)的運算，因此要

十分細心.

8.(2023?山東?日照一中?？寄M預(yù)測)已知雙曲線C:1-m=l(a>(U>0)的左、右焦點分

a2b2

別為TK,斜率為-3的直線/與雙曲線C交于A,8兩點，點M(4,-2√i)在雙曲線C上，且

?MF1?-?MF2?=24.

(1)求居的面積；

⑵若08+03'=0(。為坐標原點)，點N(3,l),記直線ΛM,NB'的斜率分別為附卷,問："

是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

【分析】(1)設(shè)耳(-c,0),6(c,0),根據(jù)兩點間長度得出IMGl與IMEI,即可根據(jù)已知列式解

出c,即可得出答案；

(2)根據(jù)第一問得出雙曲線的方程，設(shè)Aa,χ),B(X2，為)，直線/的方程為y=-3x+”?,

根據(jù)韋達定理得出王+不④占，即可根據(jù)直線方程得出y,y2與M，則根基兩點斜率公式

得出勺?&2,化簡代入即可得出答案.

【詳解】(1)依題意可知，