第二章 晶體的幾何特征及表述

第二章晶體的幾何特征及表述

第一節(jié)對稱的概念及晶體的對稱第二節(jié)晶體的對稱要素和對稱操作第三節(jié)對稱型及晶體的分類第四節(jié)單形和聚形第五節(jié)晶體定向及晶面符號第六節(jié)雙晶第二章晶體的幾何特征及表述

第一節(jié)對稱的概念及晶體的對稱對稱是物體中的等同部分有規(guī)律的重復(fù)。對稱的存在有兩個(gè)條件，一是物體必須可以分為若干彼此可以相同的部分，二是這些相同部分之間可以通過某些操作而發(fā)生有規(guī)律的重復(fù)。對稱是自然界日常生活中常見的現(xiàn)象。雖然可以分為兩個(gè)相等的圖形，但不能通過對稱操作使其作有規(guī)律的重復(fù)，因而是不對稱的。

ABCD第二章晶體的幾何特征及表述

第一節(jié)對稱的概念及晶體的對稱晶體都是對稱的，但它與其他非晶體物質(zhì)（動(dòng)植物、生物、建筑物等）的對稱相比，具有本質(zhì)的區(qū)別：首先，晶體的對稱是由晶體內(nèi)部的格子構(gòu)造所決定的，只有符合格子規(guī)律對稱才能在晶體上出現(xiàn)，因而晶體的對稱是有限的。其次，晶體的對稱不僅表現(xiàn)在外形上，還表現(xiàn)在物理、化學(xué)性質(zhì)上。第二章晶體的幾何特征及表述

第二節(jié)晶體的對稱要素和對稱操作使對稱圖形中相同部分重復(fù)的操作，叫對稱操作。在進(jìn)行對稱操作時(shí)所應(yīng)用的輔助幾何要素（點(diǎn)、線、面），稱為對稱要素。

第二章晶體的幾何特征及表述

第二節(jié)晶體的對稱要素和對稱操作一、對稱中心對稱中心，也可簡稱為對稱心，是晶體中一個(gè)假想的幾何點(diǎn)，通過此點(diǎn)的任意直線與晶面相交的兩個(gè)點(diǎn)，必是距該點(diǎn)等距離的對應(yīng)點(diǎn)。對稱中心用符號C表示。幾何點(diǎn)--對稱要素，對稱操作是對于該點(diǎn)的反伸。

對稱中心位于晶體的幾何中心BB1A1AC晶體中可以沒有對稱中心，如果有則只能有一個(gè)，而且晶體中所有的晶面都兩兩相互平行、形同等大、方向相反。第二章晶體的幾何特征及表述

第二節(jié)晶體的對稱要素和對稱操作一、對稱中心二、對稱面

對稱面是一個(gè)假象的平面，它把晶體分為互成鏡像反映的兩個(gè)相等部分。對稱面以符號P表示。與對稱面相應(yīng)的對稱操作是對此平面的反映。對稱面的存在有兩個(gè)必要條件：一是該平面能把晶體分為相等的兩部分；二是這兩部分間互成鏡像關(guān)系。

該切面不是矩形體的對稱面該切面是對稱面第二章晶體的幾何特征及表述

第二節(jié)晶體的對稱要素和對稱操作一、對稱中心二、對稱面

對稱面在晶體中可以沒有，也可以有一個(gè)或數(shù)個(gè)，最多可達(dá)9個(gè)，描述時(shí)把對稱面的數(shù)目寫在符號前面，如立方體中有9個(gè)對稱面，則記為9P。晶體中如果有對稱面存在，它必定通過晶體的幾何中心。此外，對稱面可以垂直平分晶面或晶棱、平分晶面夾角，也可以包含晶棱。

第二章晶體的幾何特征及表述

第二節(jié)晶體的對稱要素和對稱操作一、對稱中心二、對稱面三、對稱軸

對稱軸是通過晶體中心的一條假想的直線，晶體圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度后，可使晶體上的相等部分重復(fù)出現(xiàn)。對稱軸以符號Ln表示。與對稱軸相對應(yīng)的對稱操作為繞此假想直線的旋轉(zhuǎn)。第二章晶體的幾何特征及表述

第二節(jié)晶體的對稱要素和對稱操作一、對稱中心二、對稱面三、對稱軸

晶體繞對稱軸旋轉(zhuǎn)一周所重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為軸次（n），重復(fù)時(shí)所旋轉(zhuǎn)的最小角度稱為基轉(zhuǎn)角（α），基轉(zhuǎn)角和軸次之間存在如下關(guān)系：

n=360°/α晶體中只能存在的對稱軸的軸次并不是任意的，只能是1、2、3、4、6，與軸次相對應(yīng)的對稱軸也只能是L1、L2、L3、L4、L6。這一規(guī)律稱為晶體對稱定律。第二章晶體的幾何特征及表述

第二節(jié)晶體的對稱要素和對稱操作一、對稱中心二、對稱面三、對稱軸晶體中只能存在的對稱軸的軸次并不是任意的，只能是1、2、3、4、6，與軸次相對應(yīng)的對稱軸也只能是L1、L2、L3、L4、L6。這一規(guī)律稱為晶體對稱定律。

一次對稱軸L沒有實(shí)際意義，以為任何物體圍繞任意直線旋轉(zhuǎn)一周都可以恢復(fù)原狀。軸次高于兩次的對稱軸的軸次為高次軸。晶體中的對稱軸可以沒有，也可以有一種或幾種，每種對稱軸的數(shù)目也可以有一個(gè)或幾種。在描述時(shí)，對稱軸得數(shù)目應(yīng)寫在相應(yīng)對稱軸符號得前面，如3L4、4L3、6L2等。第二章晶體的幾何特征及表述

第二節(jié)晶體的對稱要素和對稱操作一、對稱中心二、對稱面三、對稱軸

四、旋轉(zhuǎn)反伸軸

旋轉(zhuǎn)反伸軸是通過晶體中心的一條假想的直線，晶體沿此直線旋轉(zhuǎn)一定角度后，再對此直線上的中心點(diǎn)進(jìn)行反伸，可使晶體上相等部分重合。旋轉(zhuǎn)反仲鈾用符號Lin表示，其中i表示反伸，n表示軸次。

Li

3=L3C

Li

4

Li

6=L3P第二章晶體的幾何特征及表述

第二節(jié)晶體的對稱要素和對稱操作

四、旋轉(zhuǎn)反伸軸

旋轉(zhuǎn)反伸軸和對稱鈾一樣，也遵守晶體對稱定律，即n可以是1、2、3、4、6。相應(yīng)的基轉(zhuǎn)角為：360°、180°、90°、60°，其中除Li4是一種獨(dú)立得對稱要素之外，其余四種都可以用其他得對稱要素來代替，其替代關(guān)系為：Li1=L1+C=CLi2=L1+P=PLi3=L3+CLi6=L3+PLi4是一個(gè)完全獨(dú)立，不能用其他對稱操作來代替的對稱要素，

Li

3=L3C

Li

4

Li

6=L3P

Li

1=C

Li

2=P第二章晶體的幾何特征及表述

第二節(jié)晶體的對稱要素和對稱操作

四、旋轉(zhuǎn)反伸軸

Li4是一個(gè)完全獨(dú)立，不能用其他對稱操作來代替的對稱要素，Li6雖然和Li6＝L3+P等效，但在晶體分類中，Li6屬六方晶系，不能用三方晶系得對稱要素組合L3+P來代替。正因?yàn)槿绱?，在?shí)際應(yīng)用時(shí)常用的旋轉(zhuǎn)反伸軸是Li4和Li6，它們也均屬高次軸。綜上所述，晶體中可能存在的具體獨(dú)立意義的對稱要素：L1、L2、L3、L4、L6、Li4、Li6、P、C等九種。

第二章晶體的幾何特征及表述

第三節(jié)對稱型及晶體的分類在一個(gè)結(jié)晶多面體中，全部對稱要素的組合稱為該結(jié)晶多面體的對稱型。一、對稱型對稱型的書寫方法為：①按高次軸、低次軸、對稱面、對稱中心的順序依次書寫。②若晶體中存在多個(gè)同軸次對稱軸或多個(gè)對稱面時(shí)，其個(gè)數(shù)寫在相應(yīng)對稱要素的前面。如立方體的對稱型為3L44L36L29PC、三方單錐的對稱型為L33P。晶體中對稱要素的組合受對稱規(guī)律的控制，因而晶體中存在的對稱型是有限的。經(jīng)推導(dǎo)，總共只有32種第二章晶體的幾何特征及表述

第三節(jié)對稱型及晶體的分類一、對稱型二、晶體的對稱分類依據(jù)晶體的對稱型，可以對晶體進(jìn)行分類。首先把屬于同一對稱型的晶體歸為一類，稱為晶類。晶體中有32種對稱型，相應(yīng)的應(yīng)有32個(gè)晶類。

其次為是否存在高次軸，以及高次軸為一個(gè)還是多個(gè)，把32種對稱型分為三個(gè)晶族：高級晶族、中級晶族、低級晶族。

然后各晶族根據(jù)對稱特點(diǎn)劃分晶系，一共劃分出七個(gè)晶系：等軸晶系、六方晶系、四方晶系、三方晶系、斜方晶系、單斜晶系和三斜晶系。第二章晶體的幾何特征及表述

第三節(jié)對稱型及晶體的分類二、晶體的對稱分類晶族晶系對稱型（晶類）名稱對稱特點(diǎn)名稱對稱特點(diǎn)低級晶族無高次軸三斜只有一個(gè)L1或C（1）L1（2*）C單斜有一個(gè)L2或P（3）L2（4）P（5*）L2PC斜方L2或P多于一個(gè)（6）3L2（7）L22P（8*）3L23PC中級晶族有一個(gè)高次軸三方有一個(gè)L3（9）L3（10）L3C（11*）L33P（12*）L33L2（13*）L33L23PC四方有一個(gè)L4或Li4（14）L4（15）L4PC（16）L44P（17）L44L2（13*）L44L25PC（19）Li4（20）Li42L22P六方有一個(gè)L6或Li6（21）L6（22）L6PC（23）L66P（24）L66L2（25*）L66L27PC（26）Li6=L3P（27）Li63L23P=L33L24P高級晶族高次軸多于一個(gè)等軸有四個(gè)L3（28）4L33L2（29*）4L33L2PC（30*）4L33Li46P（31）3L44L36L2（32*）3L44L36L29PC第二章晶體的幾何特征及表述

第四節(jié)單形和聚形一、單形(一)單形的概念

單形中的晶面都是同形等大的，而且，任意選定一個(gè)晶面作為原始面，通過對稱要素的作用，可以將其余晶面全部推導(dǎo)出來。晶體中可能出現(xiàn)的幾何單形一共有47種。(二)47種單形1.低級晶族的單形(1)單面由一個(gè)晶面組成。(2)平行雙面由兩個(gè)互相平行的晶面組成。(3)雙面由兩個(gè)相交的晶面組成。包括軸雙面和反映雙面，前者兩晶面通過L2相連，后者則通過對稱面相連。第二章晶體的幾何特征及表述

第四節(jié)單形和聚形一、單形(一)單形的概念(二)47種單形1.低級晶族的單形(4)斜方柱由四個(gè)兩兩平行的晶面組成。晶面間的交棱都相互平行而構(gòu)成柱體，單形的橫切面為菱形。(5)斜方四面體由四個(gè)不等邊三角形組成。每個(gè)晶面都與其他三個(gè)晶面相交，交棱的中點(diǎn)都是L2的出露點(diǎn)，通過晶體中心的橫切面為菱形。(6)斜方單錐由四個(gè)不等邊三角形組成。晶面、晶按相交于一點(diǎn)面構(gòu)成單錐體，錐體頂點(diǎn)為L2出露點(diǎn)，單形橫切面為菱形。(7)斜方雙錐由八個(gè)不等邊的三角形晶面組成?？梢暈橛蓛蓚€(gè)斜方單錐以底面相連而構(gòu)成，單形切面為菱形。第二章晶體的幾何特征及表述

第四節(jié)單形和聚形一、單形(一)單形的概念(二)47種單形2.中級晶族的單形中級晶族單形有25種，此外單面和平行雙面也可出現(xiàn)，其位置和高次軸垂直。根據(jù)其晶面特征可以分為柱類、單錐類、雙錐類、四方四面類、菱面體類和偏方面體類（圖2-11及表2-2）。

第二章晶體的幾何特征及表述

第四節(jié)單形和聚形一、單形(一)單形的概念(二)47種單形3.高級晶族的單形屬于高級晶族的單形共有15種，按名稱和特征可分為四面體類、八面體類、立方體類和十二面體類等(圖2-ll及表2-3)。

第二章晶體的幾何特征及表述

第四節(jié)單形和聚形一、單形二、聚形由兩個(gè)或兩個(gè)以上單形聚合而成的晶形稱為聚形。

只有相同對稱型的單形才能組成聚形；每一聚形中可能出現(xiàn)的單形種類不會超過七種，但同一種單形在同一聚形中可以出現(xiàn)多次(不同方位)。在聚形中盡管同一單形中，每個(gè)品面的形態(tài)發(fā)生了變化，但各晶面仍然是同形等大的(不同單形的晶面一般大小形態(tài)不同)，單形的晶面數(shù)目及各晶面與對稱要素間的相對位置不變。聚形的晶面數(shù)目等于各單形晶面數(shù)目之和。

第二章晶體的幾何特征及表述

第四節(jié)單形和聚形一、單形二、聚形由兩個(gè)或兩個(gè)以上單形聚合而成的晶形稱為聚形。聚形分析應(yīng)遵循以下幾個(gè)步驟：(1)確定聚形的對稱型和晶系，以判斷該聚形中可能出現(xiàn)的單形類型。(2)根據(jù)晶面的形狀確定組成聚形的單形數(shù)目，如發(fā)現(xiàn)聚形中不同大小和形狀的晶面共有五種，則可以確定該聚形是由五個(gè)單形聚合而成的。(3)找出各單形中所有晶面，再根據(jù)晶面數(shù)目和晶面的分布特點(diǎn)，確定各個(gè)單形的名稱。第二章晶體的幾何特征及表述

第五節(jié)晶體定向及晶面符號

一、晶體的定向晶體定向就是在晶體上選擇坐標(biāo)系統(tǒng)，包括選定坐標(biāo)軸（晶軸）和確定軸單位。

(一)晶軸和晶體幾何常數(shù)在晶體上所設(shè)置的坐標(biāo)軸稱為結(jié)晶軸(簡稱晶軸)。晶體的定向一般設(shè)置為三軸定向，三個(gè)晶軸分別以X、Y、Z表示，并分別平行于平行六面體的三條行列方向。YXZγαβ坐標(biāo)系中兩晶軸間的夾角稱為軸角，它是平行六面體中三條棱的夾角，軸角分別以α、β、γ表示：α＝Y(jié)∧Zβ＝Z∧Xγ＝X∧Y第二章晶體的幾何特征及表述

第五節(jié)晶體定向及晶面符號

一、晶體的定向(一)晶軸和晶體幾何常數(shù)YXZγαβx、y、z軸上的軸單位分別以a0、b0、c0表示a0b0c0軸單位是平行六面體三條行列方向的結(jié)點(diǎn)間距。

憑借晶體外形不能定出軸單位的真實(shí)長度，但可以確定它們之間的比率a:b:c，這個(gè)比率稱為軸率。一般把軸率寫成以b為l的連比式，如文石(Ca[CO3])的軸率：a:b:c＝1.6304:1:1.3136軸率a:b:c及軸角α、β、γ合稱為晶體常數(shù)。第二章晶體的幾何特征及表述

第五節(jié)晶體定向及晶面符號

一、晶體的定向(一)晶軸和晶體幾何常數(shù)YXZγαβabc晶體常數(shù)反映了晶胞的形態(tài)待征，不同晶體其晶體常數(shù)是不同的。如果軸角α、β、γ和軸單位a0、b0、c0已知，就可以求出晶胞的形狀和大小；如果軸角α、β、γ和軸率a:b:c已知，雖然求不出晶胞的大小，但可以求出晶胞的形狀。第二章晶體的幾何特征及表述

第五節(jié)晶體定向及晶面符號

一、晶體的定向(一)晶軸和晶體幾何常數(shù)(二)晶軸的選擇原則

晶軸的選擇應(yīng)遵循以下原則：(1)根據(jù)晶體所固有的對稱性特點(diǎn)(表2-4)，選擇對稱軸和對稱面的法線方向，若沒有對稱軸和對稱面，則選擇主要晶棱方向。(2)由于各晶系晶體常數(shù)特點(diǎn)不同，晶軸的選擇也有所差別。因此選擇晶軸時(shí)要充分考慮各晶系的晶體常數(shù)特點(diǎn)。(3)在上述前提下，應(yīng)盡可能使晶軸垂或近于垂直，軸單位相等或基近于相等，即盡可能使晶體常數(shù)趨向于：α＝β＝γ＝90°，a＝b＝c。第二章晶體的幾何特征及表述

第五節(jié)晶體定向及晶面符號

一、晶體的定向(一)晶軸和晶體幾何常數(shù)(二)晶軸的選擇原則

(三)各晶系晶體的定向在七個(gè)晶系中，等軸、四方、斜方、單斜、三斜等晶系選擇三軸定向。其中Z軸置于直立的方向上端為正，下端為負(fù)；X軸位于前后方向，前端(迎著觀察者一端)為正，后端為負(fù)；Y軸置于左右方向，右正、左負(fù)。對于三方和六方晶系，由于它們在對稱上的特殊性，需要選擇由四個(gè)晶軸(X、Y、U、Z)組成的坐標(biāo)系結(jié)晶體定向。其中Z軸直立，上正下負(fù)；X、Y、U位于同一水平面上，其正端之間的夾角都為120°，且都與Z軸垂直。ZXUY120o定向舉例:(示范模型:等軸、四方、六方、斜方)第二章晶體的幾何特征及表述

第五節(jié)晶體定向及晶面符號

二、晶面符號及整數(shù)定律(一)晶面符號表示晶面在晶體空間中的方位的數(shù)字符號稱為晶面符號(簡稱面號)。

晶面符號有許多表示方法，目前國際上通用的是米氏符號，這是英國人米勒(M．H．Miller)于1939年創(chuàng)建的。米氏符號是用晶面在晶軸上截距系數(shù)的倒數(shù)比來表示的晶面符號。舉例:

某晶面在X,Y,Z軸上的截距為2a,3b,6c,那么截距系數(shù)為2,3,6,倒數(shù)為1/2,1/3,1/6,化簡以后的倒數(shù)比為3:2:1,寫做(321),這就是該晶面的米氏符號.注意：三個(gè)晶軸上的軸單位不一定相等，所以，截距系數(shù)與截距不一定成正比。

例如：

第二章晶體的幾何特征及表述

第五節(jié)晶體定向及晶面符號

二、晶面符號及整數(shù)定律(一)晶面符號表示晶面在晶體空間中的方位的數(shù)字符號稱為晶面符號(簡稱面號)。

晶面符號有許多表示方法，目前國際上通用的是米氏符號，這是英國人米勒(M．H．Miller)于1939年創(chuàng)建的。米氏符號是用晶面在晶軸上截距系數(shù)的倒數(shù)比來表示的晶面符號。通常用(hkl)表示.h,k,l

叫晶面指數(shù).

第二章晶體的幾何特征及表述

第五節(jié)晶體定向及晶面符號

二、晶面符號及整數(shù)定律(一)晶面符號但對于三方,六方晶系來說,可以用四軸定向,要用四個(gè)晶面指數(shù)h,ki,l,晶面符號為(hkil),前面三個(gè)指數(shù)的代數(shù)和等于0.例如:（1120）（1011）等。

在晶體模型上怎么寫晶面符號?因?yàn)槲覀儾⒉恢谰娼鼐лS的截距系數(shù),但我們可以知道截距大小相對關(guān)系.

例如:

(示范模型):

八面體（111）、四方雙錐（hhl）斜方雙錐（hkl）第二章晶體的幾何特征及表述

第五節(jié)晶體定向及晶面符號

二、晶面符號及整數(shù)定律(一)晶面符號

(二)整數(shù)定律整數(shù)定律認(rèn)為晶面在晶軸上的截距系數(shù)之比為簡單整數(shù)比。

整數(shù)定律表明晶面指數(shù)是互為質(zhì)數(shù)的小整數(shù)。

晶面指數(shù)和晶面在晶軸上的截距呈反比，晶面若和某個(gè)晶軸平行，它在該晶軸上的截距系數(shù)為∞，其倒數(shù)為1／∞，晶面在晶軸上的晶面指數(shù)為0，此外晶面指數(shù)有正負(fù)之別，如果晶面和晶軸交于負(fù)端，則在相應(yīng)的晶面指數(shù)的上面加“－”號，如(10ī)表示晶面和Y軸平行并交于Z軸的負(fù)端。第二章晶體的幾何特征及表述

第五節(jié)晶體定向及晶面符號

三、單形符號單形是由對稱要素聯(lián)系起來的一組晶面的組合，同一單形各晶面和晶軸的相對位置是相同的，這就決定了每個(gè)晶面的晶面指數(shù)的絕對值之和都相同，只是晶面指數(shù)正負(fù)符號有所不同，如八面體中八個(gè)晶面的晶面符號為：（111）、（1ī1）、（11ī）、（1īī）、（ī11）、（īī1）、（ī1ī）、（īīī），排列的大小順序也可以不同.第二章晶體的幾何特征及表述

第五節(jié)晶體定向及晶面符號

三、單形符號只要知道單形中某一晶面的符號，就很容易求得其他晶面的符號。因此只要自單形的晶面中選擇一個(gè)晶面作為代表晶面，把其相應(yīng)的晶面指數(shù)用大括號“{}”括起來，就可以代表一種單形，因而稱為單形符號（簡稱形號）。如八面體的單形符號為{111}。在選擇代表晶面時(shí)，一般是選擇正指數(shù)最多的晶面，同時(shí)還遵循先前、后上的原則。如八面體的單形符號為{111}，六八面體的形號為{321}.各晶系可能出現(xiàn)的單形及其單形符號見表2-5～表2-8。第二章晶體的幾何特征及表述

第六節(jié)雙晶一、雙晶的概念雙晶是同種晶體的規(guī)則連生，相鄰的兩個(gè)單晶體間互成鏡像關(guān)系，或其中一個(gè)單晶體旋轉(zhuǎn)180°以后與另一個(gè)重合或平行。石膏的雙晶及其相應(yīng)的兩個(gè)單體的形狀。兩個(gè)單晶體間的結(jié)晶方位是相反的，因而從結(jié)構(gòu)上，兩者的結(jié)晶格子是不連續(xù)的。金剛石及其雙晶第二章晶體的幾何特征及表述

第六節(jié)雙晶一、雙晶的概念二、雙晶要素雙晶的相鄰個(gè)體間也存在對稱關(guān)系，也可以通過旋轉(zhuǎn)、反映操作使其發(fā)生重合或平行，在此過程中所憑借的幾何圖形稱為雙晶要素。雙晶要素包括雙晶面和雙晶軸。(一)雙晶面為一假象的平面，雙晶中的一個(gè)個(gè)體通過它的反映能和相鄰的個(gè)體重合或平行。雙晶面不能平行于雙晶個(gè)體上的對稱面，否則就意味著雙晶面兩側(cè)的格子構(gòu)造是一個(gè)平行而連續(xù)的整體，兩個(gè)個(gè)體也就處于平行的位置而成為平行連生，這與雙晶的概念是矛盾的。第二章晶體的幾何特征及表述

第六節(jié)雙晶一、雙晶的概念二、雙晶要素(一)雙晶面(二)雙晶軸為一假想的直線，雙晶軸的一個(gè)個(gè)體繞它旋轉(zhuǎn)180°后，可與另一個(gè)個(gè)體重合后平行。石膏燕尾雙晶的左側(cè)個(gè)體，圍繞垂直于雙晶面P的一條假象直線旋轉(zhuǎn)180°后，可與右側(cè)個(gè)體（不帶陰影）平行。雙晶軸常與結(jié)晶軸或奇次對稱軸平行，或與晶體的一個(gè)實(shí)際或可能的晶面垂直，因此可用與它垂直的晶面的符號來表示。由于雙晶軸垂直可能的晶面為（100），因而把它描述為：雙晶軸垂直于（100），記為⊥（100）。雙晶軸不能平行于單晶體是那個(gè)的偶次對稱軸，否則也與雙晶的概念不相符合。第二章晶體的幾何特征及表述

第六節(jié)雙晶一、雙晶的概念二、雙晶要素三、雙晶類型與雙晶律(1)簡單接觸雙晶接觸雙晶是指雙晶個(gè)體間以簡單的平面相互接觸而連生。

兩個(gè)單體以平直接合面接觸形成。(一)接觸雙晶