5.3誘導(dǎo)公式第一課時教學(xué)設(shè)計-2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

5.3.1誘導(dǎo)公式（第1課時）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式中的公式二至公式四（π±α，－α的正弦、余弦和正切）2.內(nèi)容解析本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式中的公式二至公式四（π±α，－α的正弦、余弦和正切），是三角函數(shù)的主要性質(zhì)。前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式一和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)公式二至公式四為下節(jié)課研究公式五，公式六以及以后的三角函數(shù)求值、化簡打好基礎(chǔ)。三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是圓的對稱性的“代數(shù)表示”，利用對稱性，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)終邊分別關(guān)于原點或坐標(biāo)軸對稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，使得“數(shù)”與“形”得到緊密結(jié)合，成為一個整體.誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)和推證過程還體現(xiàn)了三角函數(shù)之間的內(nèi)部聯(lián)系，是定義的延伸與應(yīng)用，在本章中起著承上啟下的作用.誘導(dǎo)公式的重要作用是把求任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為求0°～90°角的三角函數(shù)值.誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”和復(fù)雜到簡單的“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法，反映了從特殊到一般的歸納思維形式．對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、發(fā)展學(xué)生的思維能力，掌握數(shù)學(xué)的思想方法具有積極的作用.本節(jié)課的重點是誘導(dǎo)公式的探究，即利用三角函數(shù)的定義借助單位圓，通過尋找角的終邊的對稱性與角終邊與單位圓交點的對稱性發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，從而提高對數(shù)學(xué)知識之間（圓的對稱性與三角函數(shù)性質(zhì)）聯(lián)系的認識。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）從三角函數(shù)的定義出發(fā)，借助單位圓關(guān)于原點的對稱性，能推導(dǎo)π＋α的正弦、余弦和正切，發(fā)展直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)．（2）學(xué)生經(jīng)歷自主探究發(fā)現(xiàn)問題（任意角α的三角函數(shù)值與π＋α，πα，α，的三角函數(shù)值之間的內(nèi)在聯(lián)系），提出研究方法（利用坐標(biāo)的對稱關(guān)系，從三角函數(shù)的定義得出相應(yīng)的關(guān)系式）并完成推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化思想的運用，獲得基本思想，積累基本活動經(jīng)驗．（3）通過建立公式一~四之間的聯(lián)系，能利用公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，會用公式一~四進行簡單三角函數(shù)式的化簡求值，發(fā)展數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)．2.目標(biāo)解析達成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：會利用單位圓的對稱性與任意角終邊的對稱性得出坐標(biāo)關(guān)系，對應(yīng)三角函數(shù)關(guān)系。會根據(jù)對稱性建立角之間的關(guān)系，坐標(biāo)之間的關(guān)系，最后得到三角函數(shù)關(guān)系的探究思路。通過觀察類比總結(jié)出公式的特征，歸納把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)的步驟。三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式一和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，但是從單位圓的對稱性與任意角終邊的對稱性中發(fā)現(xiàn)問題，提出研究方法這個過程存在障礙，需要教師給予充分的引導(dǎo)，教師可通過復(fù)習(xí)任意角三角函數(shù)的定義先引入單位圓，引起學(xué)生對單位圓這一有效工具的注意，從總體上認識研究的目標(biāo)與手段．學(xué)生比較熟悉銳角三角函數(shù)，對于理解公式中角α的任意性是個難點。教學(xué)過程中需利用ggb動畫的演示幫助學(xué)生直觀感受的任意性。公式探究出來后寫在一起，或者在實際求值化簡過程不熟悉，或者容易記錯，可以在課堂上通過小組內(nèi)交流，組間相互補充，展現(xiàn)思維過程后師生共同歸納概括公式的記憶方法。基于以上分析，確定本節(jié)課重點是：建立單位圓圓的對稱性與三角函數(shù)之間的關(guān)系，探究三角函數(shù)誘導(dǎo)公式二~四．教學(xué)支持條件分析利用信息技術(shù)，ggb動畫展示單位圓中角的對稱關(guān)系，幫助學(xué)生直觀理解角α的任意性，以利于探究出三角函數(shù)誘導(dǎo)公式二~四，從而感受數(shù)學(xué)的對稱簡潔的美。教學(xué)過程設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)問題情境師生活動：教師提問，學(xué)生思考、回答，學(xué)生口述的同時，教師板書問題的結(jié)果。問題1：（1）我們是怎樣利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的？（2）終邊相同角的各三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？問題2:sin390°=？那sin570°=？教師引導(dǎo)：由公式一可將sin570°化為sin210°，210°雖然在0°～360°之間可是也不能直接獲得其三角函數(shù)值，能否再把0°～360°間的角的三角函數(shù)值化為我們熟悉的0°～90°間的角的三角函數(shù)問題呢？如果能，那么任意角三角函數(shù)求值問題都可以化歸成銳角三角函數(shù)求值，特殊的銳角有特殊值，而非特殊銳角的三角函數(shù)值可以通過查表最終解決。這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)和研究解決這類問題的方法.設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)舊知，提出的新問題，引導(dǎo)學(xué)生進一步思考，為新知識的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，激起學(xué)生們的興趣.

(二).探索新知，匯報交流問題3：你能用我們剛剛復(fù)習(xí)的方法求出sin210°嗎？師生活動1：教師提出具體問題，學(xué)生獨立思考并回答老師的提問。師生活動2：教師追問：390°的終邊與銳角30°角的終邊重合，那210°角的終邊與哪個銳角的終邊有關(guān)系呢？它們的三角函數(shù)間又有怎樣的關(guān)系呢？如果是任意角如何轉(zhuǎn)化成有關(guān)系的銳角呢？設(shè)計意圖：教師通過問題引導(dǎo)，從課前提出的具體問題入手，用定義求解學(xué)生是可以想到并完成的，但借助學(xué)生熟悉的特殊角去建立30°角的終邊與210°角的終邊的位置關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為角的終邊與單位圓交點坐標(biāo)之間的關(guān)系需要教師引導(dǎo)，從這個過程中讓學(xué)生體會研究此類問題的思路和方法，為下一步研究任意角α和π＋α三角函數(shù)之間的關(guān)系做好鋪墊。教師引導(dǎo)：為了解決這個問題，我們聯(lián)想到前面利用單位圓定義了三角函數(shù)，并根據(jù)定義得出了公式一，這組公式非常形象地刻畫了“周而復(fù)始”的變化規(guī)律．能不能利用單位圓的繼續(xù)探究呢．我們知道，圓的最重要的性質(zhì)是對稱性，而對稱性（如奇偶性）也是函數(shù)的重要性質(zhì)．由此想到，我們可以利用圓的對稱性，研究三角函數(shù)的對稱性．問題1：在直角坐標(biāo)系中能找到單位圓的哪些特殊對稱性呢?如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，若設(shè)任意角的終邊與單位圓交于點，你能想到單位圓上點的哪些特殊對稱點?思考：設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點P1，你能想到單位圓上點P1的哪些特殊對稱點?答：關(guān)于原點對稱；關(guān)于y軸對稱；關(guān)于x軸對稱。角π＋α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？角α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？角πα的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？學(xué)生探究思考后，在希沃課件上做游戲互動匹配對應(yīng)的對稱關(guān)系，增加課堂趣味性。圖1圖1師生活動：探究角π＋α與角α的圖1圖1第一步，先從形上找到角之間的關(guān)系：以O(shè)P2為終邊的角β都是與角π＋α終邊相同的角，即β=2kπ＋(π＋α)（k∈Z）．第二步，建立關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，將形的關(guān)系代數(shù)化：設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．因為P2，P1關(guān)于原點對稱，所以x2＝－x1，y2＝－y1．第三步，等量代換數(shù)得到三角函數(shù)值之間的關(guān)系：由三角函數(shù)的定義得sinα＝y(tǒng)1，cosα＝x1，tanα＝eq\f(y1,x1)（x1≠0）；sin(π＋α)＝y(tǒng)2，cos(π＋α)＝x2，tan(π＋α)＝eq\f(y2,x2)（x2≠0）．sin（π＋α）＝－sinαsin（π＋α）＝－sinα，cos（π＋α）＝－cosα，tan（π＋α）＝tanα．追問1：問題中給出的α是任意角，而我們圖中的α為第一象限角，我們得到的結(jié)論適用于任意角嗎？師生活動：打開ggb文件，輸入β=π＋α，拖動α的滑動條改變α的值，觀察終邊對稱情況，學(xué)生思考、討論得出：無論α的終邊在什么位置，點P1、P2關(guān)于原點對稱的位置關(guān)系不變，因此坐標(biāo)間的關(guān)系也不變，π＋α與α的三角函數(shù)值的關(guān)系就不會改變．追問2：歸納推導(dǎo)公式二的過程，你能給出主要的研究路徑嗎？師生活動：學(xué)生思考、交流后得出研究路徑：單位圓的對稱性→角與角的關(guān)系→對稱點的坐標(biāo)間的關(guān)系→三角函數(shù)值之間的關(guān)系．設(shè)計意圖：在探究過程中，引導(dǎo)學(xué)生從三角函數(shù)定義出發(fā)，使他們認識到可以利用圓的對稱性研究三角函數(shù)的性質(zhì)，感受由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，感悟數(shù)形結(jié)合的思想方法，提升直觀想象素養(yǎng)．帶領(lǐng)學(xué)生梳理研究路徑，進一步明確研究的方向和步驟，為后續(xù)的自主探究打下基礎(chǔ)．問題2：類比公式二的探究過程，借助于平面直角坐標(biāo)系，你認為還需要研究點P1的哪些特殊的對稱點？又能得出怎樣的結(jié)論呢？師生活動：學(xué)生可以自然地發(fā)現(xiàn)還需要研究點P1關(guān)于x軸、y軸對稱的點．通過自主探究、小組討論，教師巡視觀察，適時引導(dǎo)．大多數(shù)學(xué)生可以獨立完成公式三、四的推導(dǎo)．sin（π－αsin（π－α）＝sinα，cos（π－α）＝－cosα，tan（π－α）＝－tanα．sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα，tan（－α）＝－tanα．公式三：公式四：設(shè)計意圖：將角的終邊關(guān)于坐標(biāo)軸對稱時的三角函數(shù)關(guān)系一起讓學(xué)生探究，既突出了誘導(dǎo)公式的整體研究架構(gòu)，又檢驗了學(xué)生對公式二的學(xué)習(xí)效果，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)．師生活動：希沃課件設(shè)置拔河游戲，增加互動趣味性。問題3：例1利用公式求下列三角函數(shù)值：cos225°；（2）sin；（3）sin；（4）tan（－2040°）．追問1：題目中的角與哪個特殊角接近？應(yīng)該選擇哪個誘導(dǎo)公式化簡求值？師生活動：學(xué)生獨立完成之后展示交流，注意展示其思考過程，教師幫助規(guī)范求解過程．（1）cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－；（2）sin＝sin＝sin＝sin＝sin＝；（3）sin＝－sin＝－sin＝＝；（4）tan(－2040°)＝－tan2040°＝－tan(6×360°－120°)＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－．設(shè)計意圖：在得到誘導(dǎo)公式后，在此讓學(xué)生獨立去實踐解決問題，在實踐中體會誘導(dǎo)公式在解題過程中的應(yīng)用，使任意一個角都轉(zhuǎn)化為他們所熟知的銳角，體會從未知到已知的化歸思想，從而為總結(jié)出解題的一般步驟奠定基礎(chǔ).追問2：通過上面四個題目的解答，你對公式一~公式四的作用有什么進一步的認識？你能歸納一下把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)的步驟嗎？師生活動：先由學(xué)生闡述自己的想法，老師帶領(lǐng)學(xué)生一起總結(jié)：口訣：函數(shù)名不變，符號看象限化簡求值思路與公式選用的特征：【鞏固練習(xí)1】求下列各三角函數(shù)式的值：(1)sin(－660°)；(2)coseq\f(27π,4)；(3)2cos660°＋sin630°；【解析】(1)因為－660°＝－2×360°＋60°，所以sin(－660°)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).(2)因為eq\f(27π,4)＝6π＋eq\f(3π,4)，所以coseq\f(27π,4)＝coseq\f(3π,4)＝－eq\f(\r(2),2).(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)＝2cos60°－sin90°＝2×eq\f(1,2)－1＝0.例2化簡：eq\f(cos(180°＋α)·sin(α＋360°),tan(α180°)·cos(180°＋α))．追問3：本題與例1的區(qū)別是什么？由例1總結(jié)出的求解步驟還能用嗎？師生活動：區(qū)別：例1涉及的是具體的角而例2用的是抽象的角α，求解步驟依然適用．學(xué)生獨立完成，展示交流，注意展示其思考過程，教師幫助規(guī)范求解過程．tan(－α－180°)＝tan［－(180°＋α)］＝－tan(180°＋α)＝－tanα，cos(－180°＋α)＝cos［－(180°－α)］＝cos(180°－α)＝－cosα，所以，原式＝eq\f(cosα·sinα,(tanα)·(cosα))＝－cosα．設(shè)計意圖：讓學(xué)生在自主選擇公式求解問題的過程中，體會公式一~公式四各自的作用，總結(jié)根據(jù)題目的條件選擇公式的方法和步驟，形成程序化的解題步驟，體會算法思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，發(fā)展數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)．【鞏固練習(xí)2】化簡：.【解析】原式＝＝＝＝－.問題4：回憶本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，回答下面的問題：我們是如何發(fā)現(xiàn)和提出本節(jié)課所要研究的問題的？探索公式二~公式四，我們經(jīng)歷了怎樣的過程？用了哪些方法？運用公式二~公式四將任意角的三角函數(shù)化歸為銳角的三角函數(shù)的基本步驟是怎樣的？你認為還有哪種對稱關(guān)系值得研究？師生活動：學(xué)生給出答案，發(fā)表看法，教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上進行適當(dāng)歸納．設(shè)計意圖：（1）回顧從“角的終邊相同”時三角函數(shù)的關(guān)系，到“角的終邊具有特殊對稱性”的三角函數(shù)的關(guān)系，進一步落實發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，幫助學(xué)生建立借助單位圓研究三角函數(shù)性質(zhì)的思維習(xí)慣．通過回顧進一步明確誘導(dǎo)公式的研究路徑和運用步驟．（3）為接下來探究角的終邊關(guān)于直角坐標(biāo)系中特殊直線對稱的問題留下伏筆．目標(biāo)檢測設(shè)計1、計算：（1）cos(－420°)；（2）sin(－76π)；（3）tan(答案：（1）；（2）；（3）－．化簡：答案：．設(shè)計意圖：檢測學(xué)生恰當(dāng)選擇公式進行三角函