上海國際中學2022-2023學年高二數(shù)學理上學期摸底試題含解析

上海國際中學2022-2023學年高二數(shù)學理上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若log6a=log7b，則a、b、1的大小關系可能是（）A．a(chǎn)＞b＞1 B．b＞1＞a C．a(chǎn)＞1＞b D．1＞a＞b參考答案：D【考點】4H：對數(shù)的運算性質．【分析】利用換底公式、對數(shù)函數(shù)的單調性即可得出．【解答】解：log6a=log7b，∴，∴1＜a＜b，或0＜b＜a＜1．故選：D．2.下列表述正確的是（

）①歸納推理是由特殊到一般的推理；②演繹推理是由一般到特殊的推理；③類比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一種間接證明法；A．②④

B．①③

C.①④

D．①②參考答案：D根據(jù)題意，依次分析4個命題：對于①，歸納推理是由特殊到一般的推理，符合歸納推理的定義，所以正確；對于②，演繹推理是由一般到特殊的推理，符合演繹推理的定義，所以正確；對于③，類比推理是由特殊到特殊的推理，所以錯誤；對于④，分析法、綜合法是常見的直接證明法，所以錯誤；則正確的是①②，故選D.

3.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：C【分析】利用復數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)，化簡復數(shù)，從而可得結果.【詳解】由復數(shù)的運算法則可得，則該復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點為，該點位于第三象限，故選C.【點睛】復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)、復數(shù)的模這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉化為復數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.4.已知

,其中為虛數(shù)單位,則

(

)A.-1

B.1

C.2

D.3參考答案：B略5.一個棱錐的三視圖如下圖，則該棱錐的全面積(單位：)為

（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D6.如圖2，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓上兩點，半圓O的切線PC交AB的延長線于點P，，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B略7.某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖和俯視圖中，這條棱的投影分別是長為和的線段，則的最大值為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D略8.已知等比數(shù)列滿足，則（

）A．64 B．81 C．128 D．243參考答案：B略9.若向量，滿足，與的夾角為60°，則等于（

）A. B. C.4 D.12參考答案：B【分析】將平方后再開方去計算模長，注意使用數(shù)量積公式.【詳解】因為，所以，故選：B.【點睛】本題考查向量的模長計算，難度一般.對于計算這種形式的模長，可通過先平方再開方的方法去計算模長.10.數(shù)列{an}，已知對任意正整數(shù)n，a1+a2+a3+…+an=2n﹣1，則a12+a22+a32+…+an2等于（）A．（2n﹣1）2 B． C． D．4n﹣1參考答案：C【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】首先根據(jù)a1+a2+a3+…+an=2n﹣1，求出a1+a2+a3+…+an﹣1=2n﹣1﹣1，兩式相減即可求出數(shù)列{an}的關系式，然后求出數(shù)列{an2}的遞推式，最后根據(jù)等比數(shù)列求和公式進行解答．【解答】解：∵a1+a2+a3+…+an=2n﹣1…①∴a1+a2+a3+…+an﹣1=2n﹣1﹣1…②，①﹣②得an=2n﹣1，∴an2=22n﹣2，∴數(shù)列{an2}是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，∴a12+a22+a32+…+an2==，故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖是“平面向量的數(shù)量積”的知識結構圖，若要加入“投影”，則應該是在

的下位．參考答案：幾何意義12.已知，則

。參考答案：13.《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術，得訣自詡無所阻，額上紋起終不悟?！痹谶@里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術”：，，，……則按照以上規(guī)律，若，具有“穿墻術”，則n=_____．參考答案：9999分析：觀察所告訴的式子，找到其中的規(guī)律，問題得以解決.詳解：，，，，按照以上規(guī)律，可得.故答案為：9999.點睛：常見的歸納推理類型及相應方法常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯(lián)系相關的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等．(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納．14.設點滿足，則的最大值為

.參考答案：10 略15.過拋物線焦點的直線的傾斜角為，且與拋物線相交于兩點，為原點，那么的面積為

．參考答案：略16.如圖，在三棱錐中，底面，，，則與底面所成角的正切值為

．參考答案：17.拋物線y2=8x的準線方程是．參考答案：x=﹣2【考點】拋物線的簡單性質．【分析】根據(jù)拋物線方程的標準形式，可得拋物線以原點為頂點，開口向右，由2p=8算出=2，即可得到拋物線的準線方程．【解答】解：∵拋物線的方程為y2=8x∴拋物線以原點為頂點，開口向右．由2p=8，可得=2，可得拋物線的焦點為F（2，0），準線方程為x=﹣2故答案為：x=﹣2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分10分)如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是上任意一點．(1)求證：；(2)當面積的最小值是9時，證明平面．

參考答案：（1）證明：連接，設與相交于點。因為四邊形是菱形，所以。

又因為平面，平面為上任意一點，平面，所以（2）連．由（I），知平面，平面，所以．在面積最小時，最小，則．，解得由且得平面則，又由得，而，故平面19.如圖所示，AC為⊙O的直徑，D為的中點，E為BC的中點．（Ⅰ）求證：DE∥AB；（Ⅱ）求證：AC?BC=2AD?CD．參考答案：考點：與圓有關的比例線段．專題：證明題．分析：（I）欲證DE∥AB，連接BD，因為D為的中點及E為BC的中點，可得DE⊥BC，因為AC為圓的直徑，所以∠ABC=90°，最后根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行即可證得結論；（II）欲證AC?BC=2AD?CD，轉化為AD?CD=AC?CE，再轉化成比例式=．最后只須證明△DAC∽△ECD即可．解答：證明：（Ⅰ）連接BD，因為D為的中點，所以BD=DC．因為E為BC的中點，所以DE⊥BC．因為AC為圓的直徑，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（5分）（Ⅱ）因為D為的中點，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，則∠DAC=∠DCB．又因為AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD?CD=AC?CE，2AD?CD=AC?2CE，因此2AD?CD=AC?BC．…（10分）點評：本題考查了直徑所對的圓周角為直角及與圓有關的比例線段的知識．解題時，乘積的形式通?？梢赞D化為比例的形式，通過相似三角形的性質得出．20.已知函數(shù)f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（1）求f（x）的單調區(qū)間；（2）設f（x）的最小值為g（a），求證：．參考答案：【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）先對函數(shù)進行求導，根據(jù)導函數(shù)大于0原函數(shù)單調遞增，導函數(shù)小于0原函數(shù)單調遞減可得答案；（2）由（1）可知，f（x）的最小值為，a＞0，構造函數(shù)設，x∈（0，+∞），利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，即可證明結論．【解答】解：（1）由已知可得函數(shù)f（x）的定義域為（﹣1，+∞），而，∵a＞0，x＞﹣1，∴當時，f'（x）＜0，當時，f'（x）＞0，∴函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是．

（2）由（1）可知，f（x）的最小值為，a＞0．要證明，只須證明成立．

設，x∈（0，+∞）．

則，∴φ（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，∴φ（x）＞φ（0）=0，即．取得到成立．

設ψ（x）=ln（x+1）﹣x，x∈（0，+∞），同理可證ln（x+1）＜x．取得到成立．因此，．21.（10分）有4名男生、5名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法？（1）甲不在中間也不在兩端；（2）甲、乙兩人必須排在兩端；（3）男、女生分別排在一起；（4）男女相間；（5）甲、乙、丙三人從左到右順序保持一定．參考答案：方法二：（位置分析法）中間和兩端有種排法，包括甲在內(nèi)的其余6人有種排法，故共有·＝336×720＝241920種排法．方法三：（等機會法）9個人的全排列有種，甲排在每一個位置的機會都是均等的，依題意，甲不在中間及兩端的排法總數(shù)是×＝241920種．方法四：（間接法）種．………………2分

故共有·＝2880種…………8分（5）方法一：（等機會法）9人共有種排法，其中甲、乙、丙三人有種排法，因而在種排法中每種對應一種符合條件的排法，故共有種排法．方法二：種．…………10分22.已知橢圓:的離心率為，且經(jīng)過點.（1）求橢圓C的方程；（2）直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若，求（O為坐標原點）面積的最大值及此時直線l的方程.參考答案：（1）；（2）的最大值為，【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和經(jīng)過的點，以及列方程組，解方程組求得的值，進而求得橢圓方程.（2）設出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達定理，根據(jù)列方程，得到的關系式.求出面積的表達式，利用配方法求得面積的最大