5年（2019-2023）中考1年模擬數(shù)學(xué)真題分項匯編（全國通用）專題13 解三角形與三角形全等（解析版）

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】專題13解三角形與三角形全等考點1解三角形與三角形全等一、單選題1．（2020·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將兩個完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C′B′拼在一起，其中點A′與點B重合，點C'在邊AB上，連接B′C，若∠ABC＝∠A′B′C′＝30°，AC＝A′C′＝2，則B′C的長為（）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】A【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理和角的和差可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】解：∵，∴，∴，，則在中，，故選：A．【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2020·廣西貴港·中考真題）如圖，點，在菱形的對角線上，，，與的延長線交于點．則對于以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】先由菱形的性質(zhì)得AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE＝30°，再由三角形的外角性質(zhì)得∠BFE＝80°，則∠EBF＝50°，然后證△CDE≌△CBE（SAS），得∠DEC＝∠BEC＝50°，進而得出①正確；由SAS證△ADE≌△ABE，得②正確；證出△BEM≌△EBC（AAS），得BM＝EC，EM＝BC，③正確；連接BD交AC于O，由菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，再由直角三角形的性質(zhì)得OD＝CD＝BC，OC＝OD，則OC＝BC，進而得出④正確即可．【詳解】解：∵四邊形ABD是菱形，∠ADC＝120°，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE＝∠BCD＝30°，∵∠BFE＝∠BCE＋∠CBF＝30°＋50°＝80°，∴∠EBF＝180°?∠BEC?∠BFE＝180°?50°?880°＝50°，在△CDE和△CBE中，∴△CDE≌△CBE（SAS），∴∠DEC＝∠BEC＝50°，∴∠BEM＝∠DEC＋∠BEC＝100°，∴∠BME＝180°?∠BEM?∠EBF＝180°?100°?50°＝30°，故①正確；在△ADE和△ABE中，∴△ADE≌△ABE（SAS），故②正確；∵∠EBC＝∠EBF＋∠CBF＝100°，∴∠BEM＝∠EBC，在△BEM和△EBC中，∴△BEM≌△EBC（AAS），∴BM＝EC，EM＝BC，故③正確；連接BD交AC于O，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，AC⊥BD，∵∠DCO＝30°，∴OD＝CD＝BC，OC＝OD，∴OC＝BC，∴AC＝2OC＝BC，∵BM＝EC，EM＝BC，∴AE＋BM＝AE＋EC＝AC＝BC＝EM，故④正確，正確結(jié)論的個數(shù)是4個，故選：D．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．（2020·廣西貴港·中考真題）如圖，動點在邊長為2的正方形內(nèi)，且，是邊上的一個動點，是邊的中點，則線段的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作點E關(guān)于DC的對稱點E，設(shè)AB的中點為點O，連接OE，交DC于點P，連接PE，由軸對稱的性質(zhì)及90°的圓周角所對的弦是直徑，可知線段PE＋PM的最小值為OE的值減去以AB為直徑的圓的半徑OM，根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理計算即可．【詳解】解答：解：作點E關(guān)于DC的對稱點E，設(shè)AB的中點為點O，連接OE，交DC于點P，連接PE，如圖：∵動點M在邊長為2的正方形ABCD內(nèi)，且AM⊥BM，∴點M在以AB為直徑的圓上，OM＝AB＝1，∵正方形ABCD的邊長為2，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，∵E是AD的中點，∴DE＝AD＝×2＝1，∵點E與點E關(guān)于DC對稱，∴DE＝DE＝1，PE＝PE，∴AE＝AD＋DE＝2＋1＝3，在Rt△AOE中，OE＝＝＝，∴線段PE＋PM的最小值為：PE＋PM＝PE＋PM＝ME＝OE?OM＝?1．故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱?最短路線問題、圓周角定理的推論、正方形的性質(zhì)及勾股定理等知識點，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023年安徽中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點在正方形的對角線上，于點，連接并延長，交邊于點，交邊的延長線于點．若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得出，根據(jù)，得出，則，進而可得，根據(jù)，得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進而在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，，∴，，，∵，∴∴，，∴，則，∴，∵，∴，∴∴，在中，，故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023年安徽中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是線段上一點，和是位于直線同側(cè)的兩個等邊三角形，點分別是的中點．若，則下列結(jié)論錯誤的是（

）

A．的最小值為 B．的最小值為C．周長的最小值為6 D．四邊形面積的最小值為【答案】A【分析】延長，則是等邊三角形，觀察選項都是求最小時，進而得出當(dāng)點與重合時，則三點共線，各項都取得最小值，得出B，C，D選項正確，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

延長，依題意∴是等邊三角形，∵是的中點，∴，∵，∴∴，∴∴，∴四邊形是平行四邊形，則為的中點如圖所示，

設(shè)的中點分別為，則∴當(dāng)點在上運動時，在上運動，當(dāng)點與重合時，即，則三點共線，取得最小值，此時，則，∴到的距離相等，則，此時此時和的邊長都為2，則最小，∴，∴∴，或者如圖所示，作點關(guān)于對稱點，則，則當(dāng)三點共線時，

此時故A選項錯誤，根據(jù)題意可得三點共線時，最小，此時，則，故B選項正確；周長等于，即當(dāng)最小時，周長最小，如圖所示，作平行四邊形，連接，

∵，則如圖，延長,，交于點，則，∴是等邊三角形，∴，在與中，∴∴∴∴∴，則，∴是直角三角形，

在中，∴當(dāng)時，最短，∵∴周長的最小值為，故C選項正確；∵∴四邊形面積等于

∴當(dāng)?shù)拿娣e為0時，取得最小值，此時，重合，重合∴四邊形面積的最小值為，故D選項正確，故選：A．【點睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，得出當(dāng)點與重合時得出最小值是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2019·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，則∠ACF=度．【答案】70【分析】先利用HL證明△ABE≌△CBF，可證∠BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ACF=45°+25°=70°.【詳解】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案為70.【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7．（2021·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，腰長為22的等腰ABC中，頂角∠A＝45°，D為腰AB上的一個動點，將ACD沿CD折疊，點A落在點E處，當(dāng)CE與ABC的某一條腰垂直時，BD的長為．【答案】或2【分析】分兩種情況：當(dāng)CE⊥AB時，設(shè)垂足為M，在Rt△AMC中，∠A＝45°，由折疊得：∠ACD＝∠DCE＝22.5°，證明△BCM≌△DCM，得到BM＝DM，證明△MDE是等腰直角三角形，即可得解；當(dāng)CE⊥AC時，根據(jù)折疊的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)計算即可；【詳解】當(dāng)CE⊥AB時，如圖，設(shè)垂足為M，在Rt△AMC中，∠A＝45°，由折疊得：∠ACD＝∠DCE＝22.5°，∵等腰△ABC中，頂角∠A＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∴∠BCM＝22.5°，∴∠BCM＝∠DCM，在△BCM和△DCM中，，∴△BCM≌△DCM（ASA），∴BM＝DM，由折疊得：∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，∴△MDE是等腰直角三角形，∴DM＝EM，設(shè)DM＝x，則BM＝x，DEx，∴ADx．∵AB＝22，∴2xx＝22，解得：x，∴BD＝2x＝2；當(dāng)CE⊥AC時，如圖，∴∠ACE＝90°，由折疊得：∠ACD＝∠DCE＝45°，∵等腰△ABC中，頂角∠A＝45°，∴∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，∴∠ADC＝∠EDC＝90°，即點D、E都在直線AB上，且△ADC、△DEC、△ACE都是等腰直角三角形，∵AB＝AC＝＝22，∴ADAC＝2，BD＝AB﹣AD＝（22）﹣（2），綜上，BD的長為或2．故答案為：或2．【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，注重分類討論思想的運用是解題的關(guān)鍵．8．（2023年山東省棗莊市中考數(shù)學(xué)真題）如圖所示，桔棒是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細(xì)長的杠桿，末端懸掛一重物，前端懸掛水桶．當(dāng)人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提升至所需處，若已知：杠桿米，，支架米，可以繞著點O自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時，此時點B到水平地面的距離為米．（結(jié)果保留根號）

【答案】/【分析】過點作于點，過點作交于點，交于點，易得四邊形為矩形，分別解，，求出的長，利用進行求解即可．【詳解】解：過點作于點，過點作交于點，交于點，

∵，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴，在中，，，∴；∴，在中，，，∴；∴（米）；故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．9．（2023年河南省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，與相切于點A，交于點B，點C在上，且．若，，則的長為．【答案】【分析】連接，證明，設(shè)，則，再證明，列出比例式計算即可．【詳解】如圖，連接，∵與相切于點A，∴；∵,∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，則，∴，解得，故的長為，故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判斷和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題10．（2023年廣西壯族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，．

(1)在斜邊上求作線段，使，連接；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）(2)若，求的長．【答案】(1)圖見詳解(2)【分析】（1）以A為圓心，長為半徑畫弧，交于點O，則問題可求解；（2）根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)可得，則有，進而問題可求解．【詳解】（1）解：所作線段如圖所示：

（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴，即點O為的中點，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，是邊上的一點，以為直角邊作等腰，其中，連接．(1)求證：；(2)若時，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，進而證明，即可根據(jù)證明；（2）勾股定理求得根據(jù)已知條件證明是等腰三角形可得，進而根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：是等腰直角三角形，，，，在與中；，（2）在中，，，,,,,,∴∠ADC=∠ACD，,．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．12．（2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，我國某海域有A，B，C三個港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是單位“海里”的符號）處，A港口在B港口北偏西50°方向且距離B港口40nmile處，在A港口北偏東53°方向且位于C港口正北方向的點D處有一艘貨船，求貨船與A港口之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）

【答案】貨船與A港口之間的距離約為80海里【分析】過點A作AE⊥CD，垂足為E，過點B作BF⊥AE，垂足為F，根據(jù)題意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，從而可得∠ADC=53°，然后在Rt△AEF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長，從而求出AE的長，最后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，進行計算即可解答．【詳解】解：過點A作AE⊥CD，垂足為E，過點B作BF⊥AE，垂足為F，

由題意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，∴∠GAD=∠ADC=53°，在Rt△ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里，∴AF=AB?sin50°≈40×0.77=30.8（海里），∴AE=AF+EF=64（海里），在Rt△ADE中，AD=≈=80（海里），∴貨船與A港口之間的距離約為80海里．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．13．（2023年河南省中考數(shù)學(xué)真題）綜合實踐活動中，某小組用木板自制了一個測高儀測量樹高，測高儀為正方形，，頂點A處掛了一個鉛錘M．如圖是測量樹高的示意圖，測高儀上的點D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線交于點H．經(jīng)測量，點A距地面，到樹的距離，．求樹的高度（結(jié)果精確到）．【答案】樹的高度為【分析】由題意可知，，，易知，可得，進而求得，利用即可求解．【詳解】解：由題意可知，，，則，∴，∵，，則，∴，∵，則，∴，∴，答：樹的高度為．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，得到是解決問題的關(guān)鍵．14．（2023年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，，，，垂足分別為，．

(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用“”可證明；（2）先利用全等三角形的性質(zhì)得到，再利用勾股定理計算出，從而得到的長，然后計算即可．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，；（2）解：，，在中，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．15．（2023年廣東省中考數(shù)學(xué)真題）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進駐中國空間站，如圖中的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態(tài)，當(dāng)兩臂，兩臂夾角時，求A，B兩點間的距離．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，)

【答案】【分析】連接，作作于D，由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)可知，，，在中利用求出，繼而求出即可．【詳解】解：連接，作于D，

∵，，∴是邊邊上的中線，也是的角平分線，∴，，在中，，，∴，∴∴答：A，B兩點間的距離為．【點睛】本題考查等腰三角的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用等知識，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023年廣西壯族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是邊長為4的等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別在邊，，上運動，滿足．

(1)求證：；(2)設(shè)的長為x，的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述的面積隨的增大如何變化．【答案】(1)見詳解(2)(3)當(dāng)時，的面積隨的增大而增大，當(dāng)時，的面積隨的增大而減小【分析】（1）由題意易得，，然后根據(jù)“”可進行求證；（2）分別過點C、F作，，垂足分別為點H、G，根據(jù)題意可得，，然后可得，由（1）易得，則有，進而問題可求解；（3）由（2）和二次函數(shù)的性質(zhì)可進行求解．【詳解】（1）證明：∵是邊長為4的等邊三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴；（2）解：分別過點C、F作，，垂足分別為點H、G，如圖所示：

在等邊中，，，∴，∴，設(shè)的長為x，則，，∴，∴，同理（1）可知，∴，∵的面積為y，∴；（3）解：由（2）可知：，∴，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)時，y隨x的增大而減??；即當(dāng)時，的面積隨的增大而增大，當(dāng)時，的面積隨的增大而減?。军c睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的綜合及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的綜合及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2019·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，有一池塘，要測池塘兩端，的距離，可先在平地上取一個點，從點不經(jīng)過池塘可以直接到達點和．連接并延長到點，使．連接并延長到點，使．連接，那么量出的長就是，的距離．為什么？【答案】見解析【分析】利用“邊角邊”證明和全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等解答．【詳解】解：量出的長就等于的長，理由如下：在和中，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．18．（2020·廣西貴港·中考真題）如圖，在中，，點在邊上，且，是的外接圓，是的直徑．（1）求證：是的切線：（2）若，，求直徑的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接，直徑所對的圓周角是直角可得∠ADE＝90°，繼而根據(jù)已知條件和等邊對等角的性質(zhì)及等角代換可得：∠BAD＝∠E＝∠C，進而可得，再根據(jù)切線的判定即可求證結(jié)論；（2）作，垂足為，易證△ABC∽△DBA，繼而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得：，進而可求BC=8，由勾股定理可得AH，然后根據(jù)相似三角形的判定及其性質(zhì)可得，，代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，，∴，又，∴∠BAD＝∠E＝∠C，∴，即，∴是的切線．（2）解：如圖，作，垂足為，∵，∴，∵，∴△ABC∽△DBA∴，則，又，，∴，在中，，由勾股定理求得：，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)知識并正確作輔助線構(gòu)造三角形．19．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）菏澤某超市計劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來的37°減至30°，已知原電梯坡面AB的長為8米，更換后的電梯坡面為AD，點B延伸至點D，求BD的長．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：）【答案】約為1.9米【分析】根據(jù)正弦的定義求出AC，根據(jù)余弦的定義求出BC，根據(jù)正切的定義求出CD，結(jié)合圖形計算，得到答案．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=8米，∠ABC=37°，則AC=AB?sin∠ABC≈8×0.60=4.8（米），BC=AB?cos∠ABC≈8×0.80=6.40（米），在Rt△ADC中，∠ADC=30°，則CD=≈8.30（米），∴BD=CD-BC=8.30-6.40≈1.9（米），答：BD的長約為1.9米．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．20．（2023年江西省中考數(shù)學(xué)真題）如圖1是某紅色文化主題公園內(nèi)的雕塑，將其抽象成加如圖2所示的示意圖，已知點，，，均在同一直線上，，測得．（結(jié)果保小數(shù)點后一位）

(1)連接，求證：；(2)求雕塑的高（即點E到直線BC的距離）．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)見解析(2)雕塑的高約為米【分析】（1）根據(jù)等邊對等角得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，進而得出，即可得證；（2）過點作，交的延長線于點，在中，得出，則，在中，根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴∵即∴即∴；（2）如圖所示，過點作，交的延長線于點，

在中，∴，∴∴在中，，∴（米）．答：雕塑的高約為米．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．21．（2023年河南省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，中，點D在邊上，且．

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)若（1）中所作的角平分線與邊交于點E，連接．求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用角平分線的作圖步驟作圖即可；（2）證明，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，

（2）證明：∵平分，∴，∵，，∴，∴．【點睛】此題考查了角平分線的作圖、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握角平分線的作圖和全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．22．（2023年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)真題）年月日點分，“神舟十六號”載人飛船在中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國空間站．如圖，在發(fā)射的過程中，飛船從地面處發(fā)射，當(dāng)飛船到達點時，從位于地面處的雷達站測得的距離是，仰角為；后飛船到達處，此時測得仰角為．

(1)求點離地面的高度；(2)求飛船從處到處的平均速度．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：)【答案】(1)(2)飛船從處到處的平均速度約為【分析】（1）根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）在中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，在中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，，，，，（2）在中，，，，，在中，，，，，，飛船從處到處的平均速度．【點睛】本題考查了解直角三角形-俯角仰角問題，準(zhǔn)確識圖，熟練運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．23．（2019·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以邊AC上一點O為圓心，OA為半徑的⊙O經(jīng)過點B．(1)求⊙O的半徑；(2)點P為中點，作PQ⊥AC，垂足為Q，求OQ的長；(3)在(2)的條件下，連接PC，求tan∠PCA的值．【答案】(1)⊙O的半徑為；(2)；(3)．【分析】(1)若連接OB，則△BCO是一個含30°角的直角三角形，△AOB是底角為30°的等腰三角形，可得∠OBC=30°，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得OB；(2)連接OP，設(shè)AB與QP交于點M，根據(jù)題中條件證得∠QPO=∠A=30°，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得OQ；(3)可在Rt△PCQ中解決，分別計算出兩條直角邊，即可求出tan∠PCA的值．【詳解】(1)連接OB，如圖∵OA=OB，∴∠ABO=∠A=30°，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∴∠OBC=30°，在Rt△OBC中，，即，解得，即⊙O的半徑為；(2)連接OP，設(shè)AB與QP交于點M，∵點P為的中點，∴OP⊥AB，∴∠QPO+∠PMB=90°，∵PQ⊥AC，∴∠A+∠AMQ=90°，又∵∠AMQ=∠PMB，∴∠QPO=∠A=30°，在Rt△OPQ中，，即，∴(3)在Rt△OBC中，∵，∠OBC=30°，∠ACB=90°∴，∴，∴．【點睛】本題考查了垂徑定理、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識，綜合性較強，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.24．（2021·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖1，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是邊BC上一點，連接DE交AC于點F，連接BF．(1)求證：△CBF≌△CDF；(2)如圖2，過點F作DE的垂線，交BC的延長線于點G，交OB于點N．①求證：FB＝FG；②若tan∠BDE，ON＝1，直接寫出CG的長．【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；②．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)結(jié)合三角形全等的判定條件“SAS”即可證明；（2）①由和可推出，再根據(jù)可推出，即可證明，根據(jù)等角對等邊即得出FB＝FG；②由題意易證，得出，即，，從而可求出，，進而可求，．過點F作于點H，易證為等腰直角三角形，即得出，從而可求．最后由等腰三角形“三線合一”即得，即可求出．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CB=CD，．又∵，∴．（2）①∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴FB＝FG；②∵，，∴，即，∴．∵四邊形ABCD是正方形，∴，OD=OC=OB,∴，，∴，解得：，．∴，．如圖，過點F作于點H，∵四邊形ABCD是正方形，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴．∵BF=FG，，∴，∴．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角形．熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．25．（2023年湖北省武漢市數(shù)學(xué)真題）問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點，是等腰三角形，，交于點，探究與的數(shù)量關(guān)系．

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當(dāng)時，直接寫出的大小；(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)時，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）延長過點F作，證明即可得出結(jié)論．（2）在上截取，使，連接，證明，通過邊和角的關(guān)系即可證明．（3）過點A作的垂線交的延長線于點，設(shè)菱形的邊長為，由（2）知，，通過相似求出，即可解出．【詳解】（1）延長過點F作，∵，，∴，在和中∴，∴，，∴，∴，∴．

故答案為：．（2）解：在上截取，使，連接．，，．，．．，．．

（3）解：過點作的垂線交的延長線于點，設(shè)菱形的邊長為，．在中，，．，由（2）知，．．，，，在上截取，使，連接，作于點O．由（2）知，，∴，∵，∴，．∵，∴，∵，∴．．

【點睛】此題考查菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似．26．（2023年廣東省中考數(shù)學(xué)真題）綜合探究如圖1，在矩形中，對角線相交于點，點關(guān)于的對稱點為，連接交于點，連接．

(1)求證：；(2)以點為圓心，為半徑作圓．①如圖2，與相切，求證：；②如圖3，與相切，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）由點關(guān)于的對稱點為可知點E是的中點，，從而得到是的中位線，繼而得到，從而證明；（2）①過點O作于點F，延長交于點G，先證明得到，由與相切，得到，繼而得到，從而證明是的角平分線，即，，求得，利用直角三角形兩銳角互余得到，從而得到，即，最后利用含度角的直角三角形的性質(zhì)得出；②先證明四邊形是正方形，得到，再利用是的中位線得到，從而得到，，再利用平行線的性質(zhì)得到，從而證明是等腰直角三角形，，設(shè)，求得，在中，即，解得，從而得到的面積為．【詳解】（1）∵點關(guān)于的對稱點為，∴點E是的中點，，又∵四邊形是矩形，∴O是的中點，∴是的中位線，∴∴，∴（2）①過點O作于點F，延長交于點G，則，

∵四邊形是矩形，∴，，∴，．∵，，，∴，∴．∵與相切，為半徑，，∴，∴又∵即，，∴是的角平分線，即，設(shè)，則，又∵∴∴又∵，即是直角三角形，∴，即解得：，∴，即，在中，，，∴，∴；②過點O作于點H，

∵與相切，∴，∵∴四邊形是矩形，又∵，∴四邊形是正方形，∴，又∵是的中位線，∴∴∴又∵，∴又∵，∴又∵，∴是等腰直角三角形，，設(shè)，則∴在中，，即∴∴的面積為：【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，中位線的性質(zhì)定理，角平分線的判定定理等知識，掌握相關(guān)知識并正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．27．（2023·福建福州·?？级＃┰跀?shù)學(xué)綜合實踐課上，某學(xué)習(xí)小組計劃制作一個款式如圖所示的風(fēng)箏．在骨架設(shè)計中，兩條側(cè)翼的長度設(shè)計，風(fēng)箏頂角的度數(shù)為，在上取D，E兩處，使得，并作一條骨架．在制作風(fēng)箏面時，需覆蓋整個骨架，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，B，C兩點間的距離大約是（）（參考數(shù)據(jù)：）

A．41 B．57 C．82 D．143【答案】C【分析】設(shè)與交于點，連接，交于點，根據(jù)已知易證，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，進而可得，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答．【詳解】解：設(shè)與交于點，連接，交于點，

，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，兩點間的距離大約是，故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．28．（2023·山東泰安·?？既＃┠惩ㄐ殴緶?zhǔn)備逐步在歌樂山上建設(shè)5G基站．如圖，某處斜坡CB的坡度（或坡比）為i＝1∶2.4，通訊塔AB垂直于水平地面，在C處測得塔頂A的仰角為45°，在D處測得塔頂A的仰角為53°，斜坡路段CD長26米，則通訊塔AB的高度為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．米 B．米 C．56米 D．66米【答案】B【分析】通過作輔助線，利用斜坡的坡度為，，由勾股定理可求出的長，設(shè)出的長，根據(jù)坡度表示，進而表示出，由于是等腰直角三角形，可表示，在中由銳角三角函數(shù)可列方程求出，進而求出．【詳解】解：如圖，延長與水平線交于，過作，為垂足，過作，為垂足，連接，，斜坡的坡度為，，設(shè)米，則米，在中，米，由勾股定理得，，即，解得，（米，（米，斜坡的坡度為，設(shè)米，則米，，米，米，在中，米，米，，，解得，（米，（米，（米，（米，答：基站塔的高為米．故選：B．【點睛】本題考查解直角三角形仰角俯角問題，坡度坡角問題，通過作垂線構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系和坡度的意義進行計算是解題關(guān)鍵．29．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）安裝了軟件“”的智能手機可以測量物高．其數(shù)學(xué)原理是：該軟件通過測量手機離地面的高度，物體底端的俯角和頂端的仰角即可得出物體高度．如圖，小明測得大樹底端點俯角，頂端點的仰角，點離地面的高度米，則大樹的為（

）

A．米 B．米C．米 D．米【答案】D【分析】過點作，垂足為，由題意得：，，從而可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，

，由題意得：，，，在中，，，在中，，，，故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．30．（2023·福建福州·?？级＃┤鐖D，在中，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點與點A是對應(yīng)點，點與點B是對應(yīng)點．若點恰好落在邊上，則點A到直線的距離等于（

）A． B． C．3 D．2【答案】C【分析】如圖，過作于求解結(jié)合旋轉(zhuǎn)：證明可得為等邊三角形，求解再應(yīng)用銳角三角函數(shù)可得答案．【詳解】解：如圖，過作于由，結(jié)合旋轉(zhuǎn)：為等邊三角形，∴A到的距離為3．故選C【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．31．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）“化積為方”是一個古老的幾何學(xué)問題，即給定一個長方形，作一個和它面積相等的正方形，這也是證明勾股定理的一種思想方法．如圖所示，在矩形中，以為邊作正方形，在的延長線上取一點，使得，過點作交于點，過點作于點．若，則為（

）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】由，證明四邊形是矩形，再證明，得，則四邊形是正方形，所以，而，則，所以，由，得，，，所以，即可求得，于是得到問題的答案．【詳解】解：，，，，四邊形是矩形，四邊形是矩形，四邊形是正方形，，，點在邊上，點在邊上，，，，，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，解得或，若，則，不符合題意，舍去，故選：B．【點睛】此題重點考查矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，證明是解題的關(guān)鍵．32．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E為AD的中點，一塊足夠大的三角板的直角頂點與E重合，將三角板繞點E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB、BC（或它們的延長線）于點M、N，設(shè)∠AEM

=α（0°＜α＜90°），給出四個結(jié)論：①AM＝CN

②∠AME＝∠BNE

③BN－AM＝2

④.上述結(jié)論中正確的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】試題解析：①如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中點，作EF⊥BC于點F，則有AB=AE=EF=FC，∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，∴∠AEM=∠FEN，在Rt△AME和Rt△FNE中，∵∠AEM=∠FEN，AE=EF，∠MAE=∠NFE，∴Rt△AME≌Rt△FNE，∴AM=FN，∴MB=CN．∵AM不一定等于CN，∴AM不一定等于CN，∴①錯誤，②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，∴∠AME=∠BNE，∴②正確，③由①得，BM=CN，∵AD=2AB=4，∴BC=4，AB=2∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，∴③正確，④如圖，由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE=AD=2，AM=FN∵tanα=，∴AM=AEtanα∵cosα==，∴，∴=1+=1+=1+，∴=2（1+）∴S△EMN=S四邊形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN=（AE+BN）×AB﹣AE×AM﹣BN×BM=（AE+BC﹣CN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣CN）×CN=（AE+BC﹣CF+FN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣2+AM）（2﹣AM）=AE+BC﹣CF+AM﹣AE×AM﹣（2+AM）（2﹣AM）=AE+AM﹣AE×AM+=AE+AEtanα﹣tanα+=2+2tanα﹣2tanα+2=2（1+）=，∴④正確．故選C．33．（2023·河南信陽·校考三模）如圖，在等邊中，，點D在邊上，點E是邊上一動點，將∠B沿折疊，點B的對應(yīng)點在AC邊上，當(dāng)為直角三角形時，的長為．

【答案】或【分析】存在兩種情況：如圖①，時，設(shè)．由折疊知，運用解直角三角形，得，從而，得；當(dāng)時，同法求解，得．【詳解】如圖①，當(dāng)時，設(shè)．

∵將沿著翻折，∴．∵為等邊三角形，∴，．，．∴．∴．當(dāng)時，設(shè)．∵將沿著DE翻折，∴．∵為等邊三角形，∴，．，．∴，∴，故答案為：或．【點睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，注意分類討論是解題的關(guān)鍵．34．（2023·湖南郴州·?？既＃┤鐖D1，對于平面內(nèi)的點A、P，如果將線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PB，就稱點B是點A關(guān)于點P的“放垂點”．如圖2，已知點，點P是y軸上一點，點B是點A關(guān)于點P的“放垂點”，連接AB、OB，則的最小值是．【答案】【分析】設(shè)，過點作軸，證明，求得的坐標(biāo)，求得點的軌跡，作如圖，作關(guān)于的對稱點，連接交軸于點，則，求得的坐標(biāo)，繼而根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)，過點作軸，，，，，，，，，，，點在上，如圖，作關(guān)于的對稱點，連接交軸于點，則，令，得，則，的最小值．故答案為：【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．35．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在三角形紙片中，，，，將該紙片沿過點的直線折疊，使點落在斜邊上的一點處，折痕記為（如圖1），剪去后得到雙層（如圖2），再沿著過某頂點的直線將雙層三角形剪開，使得展開后的平面圖形中有一個是平行四邊形，則所得平行四邊形的周長為．

【答案】或【分析】解直角三角形得到，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，求得，，如圖，平行四邊形的邊是，，如圖，平行四邊形的邊是，，于是得到結(jié)論．【詳解】

解：，，，，，由折疊可知：，，，，，①如圖，作，平行四邊形的邊是，，且，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，∴，平行四邊形的周長，②如圖，作，平行四邊形的邊是，，且，平行四邊形的周長，綜上所述：平行四邊形的周長為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．36．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知，，，求證：．

【答案】見解析【分析】證明即可．【詳解】證明：∵，∴.在和中，∴.∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．37．（2023·湖南郴州·?？既＃┤鐖D，在中，是邊上的中線，點E是的中點．過點A作交的延長線于點F，連接．

(1)求證：；(2)若，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論；(3)在（2）的情況下，如果，點M在線段上移動，當(dāng)有最小值時，求的長度．【答案】(1)見解析(2)菱形，見解析(3)【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得，再由點E是的中點及對頂角相等即可證明結(jié)論；（2）由（1）可得，可得，由平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可判定四邊形為菱形；（3）連接交于M，有最小值，則點M即為所求；由題意可得四邊形是正方形；在線段上任取一點，連接，，，則，由由可得，即可求得的長度．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵點E是的中點，∴，在和中，，∴；（2）證明：四邊形是菱形．∵，∴，∵，∴又，∴四邊形是平行四邊形，∵是邊上的中線，∴，∴四邊形是菱形；（3）解：連接交于M，有最小值，則點M即為所求，理由如下：∵，四邊形是菱形，∴四邊形是正方形，點D與點F關(guān)于直線對稱，∴，∴，，在線段上任取一點，連接，，，則，∴有最小值為的長．∵，∴，∴，∴，∴即當(dāng)有最小值時，的長度為

【點睛】本題考查了菱形的判定，正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，兩點間線段最短等知識，涉及的知識點較多，靈活運用是關(guān)鍵．38．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點P是邊上的動點，連接并延長交直線于點E，將沿直線折疊得到，直線交直線于F．

(1)求證：．(2)若四邊形為菱形，且．求的值．(3)若點P為的中點，在改變長度的過程中，當(dāng)成為以為腰的等腰三角形時，求的長．【答案】(1)見解析(2)或(3)13或3或或或【分析】（1）由四邊形是平行四邊形得到，則，由折疊可知，，則，即可得到結(jié)論；（2）過點B作于點M，分點F在點D的右側(cè)和點F在點D的左側(cè)兩種情況進行求解即可；（3）分五種情況，分別畫出圖形，分別進行求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，由折疊可知，，∴，∴；（2）過點B作于點M，

則，設(shè)，且，∵，四邊形為菱形，∴，在中，，即，解得，∴，∴，當(dāng)點F在點D的右側(cè)時，如圖，

∵，∴，在中，，由（1）可知，∴，∴，∵，∴，∴，當(dāng)點F在點D的左側(cè)時，如圖，點F與點M重合，

則，∴，同理可得，綜上所述，的值為或；（3）①當(dāng)時，點F在點E的左側(cè)，如圖，過點B作于點M，

由（1）（2）可知，，∵，∴，∴，∵點P是的中點，∴,∵，∴，∴，∴，∵，∴；②當(dāng)時，若點F在點E的右側(cè)，如圖，

則，同理可得，，∵，∴，∴；③當(dāng)時，若點F在線段上，如圖，過點B作于點M，

由（1）（2）可知，，由（3）①可知，，∵，∴，∴，∴，，∵，∴；④當(dāng)時，若點F在線段的延長線上時，如圖，

同理可得，，∴，∴；⑤當(dāng)時，若點F在線段的反向延長線上時，如圖，

同理可得，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，綜上所述，的長為13或3或或或．【點睛】此題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，分類討論思想是解題的關(guān)鍵．39．（2023·山東濟寧·校聯(lián)考三模）測量旗桿的高度，在C處測得旗桿頂端的仰角為，朝旗桿方向前進20米到達D處，再次測得旗桿的仰角為，求旗桿的高度．

【答案】旗桿的高度為10米．【分析】根據(jù)題意可得：，進而可得，可得米，然后解即可求出答案．【詳解】解：由題意可得：，∴，∴，∴米，在中，由，得：（米）答：旗桿的高度為10米．【點睛】此題主要考查了解直角三角形——仰角問題應(yīng)用，借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)知識是解題的關(guān)鍵．40．（2023·新疆和田·和田市第三中學(xué)?？级＃┠承?shù)學(xué)興趣小組開展“無人機測旗桿高度”的活動：已知無人機的飛行高度為，當(dāng)無人機飛行至處時，觀測旗桿頂部的俯角為，繼續(xù)飛行到達處，測得旗桿頂部的俯角為，則旗桿的高度約為多少米．（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】【分析】設(shè)旗桿底部為點，頂部為點，過點作，交直線于點．在中和中，分別利用銳角三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：設(shè)旗桿底部為點，頂部為點，過點作，交直線于點，如圖所示：

∴，，，，設(shè)，在中，，，∴，即，解得，則．在中，，，∴，即，解得，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，且符合題意．．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用．正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．41．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考二模）某?！皵?shù)學(xué)活動小組”準(zhǔn)備測量學(xué)校旗桿的高，他們設(shè)計的測量方案為：如圖，測角儀在C處測得旗桿頂部的仰角為40°，將測角儀向右移動11m到點E處測得旗桿頂部的仰角為60°，已知測角儀的高，點A，B，C，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)．請你根據(jù)他們的測量數(shù)據(jù)計算學(xué)校旗桿的高．（參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果精確到0.1m）

【答案】【分析】過點作交于點，，，設(shè)，通過銳角三角函數(shù)求得，，即可得到方程，求解可得，，即可求得．【詳解】過點作交于點，如圖

則，設(shè)∵所以∵∴即解得∴∴故即旗桿的高度為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，銳角三角函數(shù)等，根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．42．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，有大樹和建筑物，從建筑物的頂部處看樹頂處的仰角為，看樹干處的俯角為．若在同一水平地面上，已知米，米．求大樹的高度（參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】大樹的高度約為米【分析】過點作，垂足為，根據(jù)題意可得：米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，由題意得：米，在，，米，在中，，米，米，米，大樹的高度約為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．43．（2023·安徽六安·?？寄M預(yù)測）伴隨著北京冬奧會的成功舉辦，很多學(xué)校掀起了學(xué)習(xí)冰雪項目的熱潮．如圖，滑雪軌道由、兩部分組成，為，為．一位同學(xué)乘滑雪板沿此軌道由點滑到了點，若的坡度為，與水平面的夾角為，則他下降的高度為多少米？（精確到1米．參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】234米【分析】過點A作AF⊥水平面于點F，過點B作BE⊥水平面于點E，BD⊥AF于D，四邊形BEFD是矩形，BE＝DF，在Rt△ABD中，的坡度為，設(shè)AD＝x，則BD＝2.4x，由勾股定理得x，得到AD，在Rt△BCE中，求得BE，即可得到下降的高度．【詳解】解：過點A作AF⊥水平面于點F，過點B作BE⊥水平面于點E，BD⊥AF于D，則∠BEF＝∠EFD＝∠BDF＝90°，∴四邊形BEFD是矩形，∴BE＝DF，在Rt△ABD中，的坡度為，∴，設(shè)AD＝x，則BD＝2.4x，由勾股定理得，，∴，解得x＝100米，∴AD＝100米，在Rt△BCE中，∠BCE＝42°，∠BEC＝90°，BC＝200m，∵sin∠BCE＝，∴BE＝BCsin∠BCE＝200sin42°≈133.8米≈134米，∴DF＝BE≈134米，∴AF＝AD＋DF≈100＋134＝234（米），即下降的高度為234米．【點睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，也考查了勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)、添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．44.（2023·天津西青·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在BC邊上，點F在CD的延長線上，滿足，連接EF與對角線BD交于點G，連接AF，AG，若，則AG的長為．

【答案】【分析】本題已知的長度,欲求的長度,設(shè)法尋找兩邊之間的關(guān)系,因利用已知條件很容易想到,從而得到,進一步可證是等腰直角三角形.下一步設(shè)法證明G為的中點,作,從而構(gòu)造出全等三角形得證.最后利用等腰直角三角形可求得與之間的關(guān)系式,最后求解.【詳解】連接，如圖1，

由正方形的性質(zhì)與已知條件可知，，所以，，∴，．∴．因此是等腰直角三角形．過E作，EH與BD交于H，如圖2．

因，故為等腰直角三角形，所以，．又∵，∴．由得，，，∴．∴．又以上證明：是等腰直角三角形，∴，故為等腰直角三角形，．由勾股定理得，，，所以，即的長為．【點睛】本題考查了正方形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及三角形全等的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形判定及性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明為等腰直角三角形.45.（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點、分別是直線與坐標(biāo)軸的交點，點，點是邊上的一點，，垂足為，點在邊上，且、兩點關(guān)于軸上某點成中心對稱，連接、．線段長度的最小值為．

【答案】【分析】過點F，D分別作垂直于y軸，垂足分別為G，H，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，可求出，根據(jù)勾股定理得出，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；【詳解】過點F，D分別作垂直于y軸，垂足分別為G，H，

則，記交y軸于點K，∵D點與F點關(guān)于y軸上的K點成中心對稱，∴，∵，∴，∴，∵直線的解析式為，∴時，，∴，又∵，設(shè)直線的解析式為∴，解得=，∴直線的解析式為，過點F作軸于點R，∵D點的橫坐標(biāo)為m,∴，∴，∵，∴，令，得，∴．∴當(dāng)時，l的最小值為8，∴的最小值為．【點睛】待定系數(shù)法，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，中心對稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識．46.（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形中，相交于點O，O是的中點，．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)48【分析】（1）先利用證，由全等三角形的性質(zhì)得，即可解決問題；（2）先證明四邊形是矩形，利用勾股定理得出，再利用矩形面積公式即可得出答案．【詳解】（1）證明：，，是的中點，，在和中，（），，又，四邊形是平行四邊形；（2）解：由（1）得：四邊形是平行四邊形，又，平行四邊形是矩形．．在直角中，，由勾股定理知：．則．即四邊形的面積是48．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．47.（2023·廣西柳州·統(tǒng)考二模）綜合與實踐

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等腰三角形，，，，點、、在同一條直線上，連接．①求證：；將下列解答過程補充完整．證明：，________，，在和中，，，；②若，則的度數(shù)為________．(2)類比探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點、、在同一條直線上，為中邊上的高，連接．請判斷、與三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展延伸：在（2）的條件下，若，，請直接寫出四邊形的面積．【答案】(1)①；②；(2)，理由見解析；(3)6【分析】（1）①根據(jù)，即可得到答案；②根據(jù)可得，求出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，即可求出結(jié)果；（2）由得出，再判斷出，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求得，再根據(jù)四邊形的面積＝的面積＋的面積，進行計算即可求解．【詳解】（1）解：①證明：，，，在和中，，，，故答案為：；②，，，，，，，，故答案為：；（2），，，，，在中，，，，，，；（3）解：由（2）得：，為中邊上的高，．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．48.（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）問題提出：某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形中心O處，并繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若將三角板的頂點P放在點O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)與重合時，重疊部分的面積為__________；當(dāng)與垂直時，重疊部分的面積為__________；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積與S的關(guān)系為__________；(2)類比探究：若將三角板的頂點F放在點O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，分別與正方形的邊相交于點M，N．①如圖2，當(dāng)時，試判斷重疊部分的形狀，并說明理由；②如圖3，當(dāng)時，求重疊部分四邊形的面積（結(jié)果保留根號）；(3)拓展應(yīng)用：若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心O處，該銳角記為（設(shè)），將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的兩邊與正方形的邊所圍成的圖形的面積為，請直接寫出的最小值與最大值（分別用含的式子表示），（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)1,1，(2)①是等邊三角形，理由見解析；②(3)【分析】（1）如圖1，若將三角板的頂點P放在點O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OF與OB重合時，OE與OC重合，此時重疊部分的面積=△OBC的面積=正方形ABCD的面積=1；當(dāng)OF與BC垂直時，OE⊥BC，