阿里市2023年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題（含解析）

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某商場(chǎng)對(duì)某一商品搞活動(dòng)，已知該商品每一個(gè)的進(jìn)價(jià)為3元，銷售價(jià)為8元，每天售出的第20個(gè)及之后的半價(jià)出

售.該商場(chǎng)統(tǒng)計(jì)了近10天這種商品的銷量，如圖所示，設(shè)x（個(gè)）為每天商品的銷量，y（元）為該商場(chǎng)每天銷售這種商品

的利潤(rùn).從日利潤(rùn)不少于96元的幾天里任選2天，則選出的這2天日利潤(rùn)都是97元的概率是（）

A.B.C.I

i1

QQ

,2

2.方程^―+表示雙曲線的一個(gè)充分不必要條件是（）

m-2m+3

A.-3<2Z7<OB.-3<m<2

C.-3<2Z7<4D.-KZZT<3

3.一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈：……若將此若干個(gè)圈依此規(guī)

律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前55個(gè)圈中的?個(gè)數(shù)是（）

A.10B.9C.8D.11

4.設(shè)xo是函數(shù)/（x）=/”x+x-4的零點(diǎn)，則xo所在的區(qū)間為（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

5.已知zeC,zi=2-,z的實(shí)部與虛部相等，則/?=()

11

A.-2B.-C.2D.——

22

6.已知函數(shù)/（x）=2sin（2x+o）（0<o<〃），若將函數(shù)/（x）的圖象向右平移2個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，則下列結(jié)論

6

中不正確的是

5771T

A.9=丁B.（=,0）是/（X）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

612

TT

C.f\(p)=-2D.x=-￡是./'(X)圖象的一條對(duì)稱軸

7.已知一列數(shù)按如下規(guī)律排列：磔到7/2,-？-，則第9個(gè)數(shù)是()

A.-50B.50C.42D.—42

8.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3++(〃+3)=("+I5+4)(/eN*)時(shí),第一步驗(yàn)證〃=1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是

2

()

A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4

22

9.設(shè)尸為雙曲線C：5―二=1(a>0,Z?0)的右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。尸為直徑的圓與圓/+,2=/交于尸、Q

a~b~

兩點(diǎn).若|PQ|=|OF|,則C的離心率為

A.0B.6

C.2D.75

10.觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個(gè)分類變量x,y之間關(guān)系最強(qiáng)的是()

11.已知函數(shù)/(x)=Y—3x+m,若方程〃x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根芭且玉+9<0,則實(shí)數(shù)〃，的值等于()

A.-2或2B.-2C.2D.0

12.直三棱柱A5C—A'B'C'中，AC=BC=AA,NACB=9O°,E、O分別為A3、88'的中點(diǎn)，則異面直線CE

與CO所成角的余弦值為()

A廂V10V2V15

A.------BR.------rC.Dn.------

4565

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

/\8

13.若x+0(a<0)的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為5670,則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為一.

\X)

14.若隨機(jī)變量X?N(3,CT2),且尸(0<X<3)=035,則P(X>6)=.

15.若關(guān)于x的不等式2x2—3x+a<0的解集為(加,1),則實(shí)數(shù)加=.

一一sina?cos。1/10

16.已知-------z—=-9且tan(a+/?)=—,則tan/?=____________.

l+3cos2a4、)3

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)f(x)=ln(x+a)--一x在％=0處取得極值.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若關(guān)于x的方程/(x)=-gx+6在區(qū)間［0,2］上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

18.(12分)已知橢圓］+/=1(4＞。＞0)的離心率為乎，且/=26

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/：萬(wàn)一丁+m=0與橢圓交于4,8兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)〃？，使線段四的中點(diǎn)在圓/+y2=5上，若存在,

求出加的值；若不存在，說明理由.

19.(12分)如圖，已知橢圓。:［+，=13＞。＞0)的離心率是￥，一個(gè)頂點(diǎn)是8(0,1).

(I)求橢圓C的方程；

(II)設(shè)P,。是橢圓。上異于點(diǎn)8的任意兩點(diǎn)，且BPLBQ.試問：直線PQ是否恒過一定點(diǎn)？若是，求出該定

點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由.

20.(12分)某小組有7個(gè)同學(xué)，其中4個(gè)同學(xué)從來(lái)沒有參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，3個(gè)同學(xué)曾經(jīng)參加過天文研究性

學(xué)習(xí)活動(dòng).

(1)現(xiàn)從該小組中隨機(jī)選2個(gè)同學(xué)參加天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，求恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)

的概率；

(2)若從該小組隨機(jī)選2個(gè)同學(xué)參加天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，則活動(dòng)結(jié)束后，該小組有參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同

學(xué)個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.

21.(12分)已知，橢圓C過點(diǎn)兩個(gè)焦點(diǎn)為(0,2),(0,-2),E,尸是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線ZE

的斜率與Z尸的斜率互為相反數(shù)，直線即的斜率為左，直線/與橢圓C相切于點(diǎn)4斜率為42?

（1）求橢圓C的方程；

（2）求勺+七的值.

1a\「1

22.（10分）（1）已知矩陣4=八，的一個(gè)特征值為；1=一2,其對(duì)應(yīng)的特征向量a=.,求矩陣A及它的另一

0b\[2

個(gè)特征值.

⑵在極坐標(biāo)系中，設(shè)P為曲線C：2=2上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線/：psin,T=3的最小距離.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

分別計(jì)算每個(gè)銷量對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)，選出日利潤(rùn)不少于96元的天數(shù)，再利用排列組合公式求解.

【詳解】

當(dāng)丫=時(shí)：i=18x5=90

當(dāng)：9時(shí)：＞=：9x5='95

當(dāng)丫=:。時(shí)：y=：9x5+l=96

當(dāng)：■=21時(shí)：1=19x5+2=97

日利潤(rùn)不少于96元共有5天，2天日利潤(rùn)是97元

qio

故答案選A

【點(diǎn)睛】

本題考查了頻率直方圖，概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

2、A

【解析】

由題意知，（加―2）（根+3）<0=-3<2,則C,D均不正確，而B為充要條件，不合題意，故選A.

3、B

【解析】

將圓分組：第一組：。?，有2個(gè)圓；第二組：oo.,有3個(gè)圓；第三組：。。。?，有4個(gè)，…，每組圓

的總個(gè)數(shù)構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列，前〃組圓的總個(gè)數(shù)為5“=2+3+4+...+（〃+1）=號(hào)］乂〃，令S“=55,

解得〃。9.6,即包含9整組，故含有?的個(gè)數(shù)是9個(gè)，故選B.

【方法點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式及歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟：一、通過觀

察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題（猜想）.常

見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：（1）數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題

時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比

數(shù)列等；（2）形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.

4、C

【解析】

由函數(shù)的解析式可得/（2）<0,/（3）>0,再根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理，求得函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間，得到答案.

【詳解】

因?yàn)槊呛瘮?shù)/（x）=lnx+x—4的零點(diǎn)，由〃2）=ln2—2<0J（3）=ln3—l>0,

所以函數(shù)/（x）的零點(diǎn)七所在的區(qū)間為（2,3）,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，其中解答中熟記零點(diǎn)的存在定理，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,

著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

利用待定系數(shù)法設(shè)復(fù)數(shù)z,再運(yùn)用復(fù)數(shù)的相等求得6.

【詳解】

i^z-a+ai(aeR),則(a+ai)i=2—初，即一。+出=2—初

—ci=2a=-2

,c.故選C?

a=-b"b=2

【點(diǎn)睛】

本題考查用待定系數(shù)法，借助復(fù)數(shù)相等建立等量關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】

函數(shù)/(x)=2sin(2x+°)的圖象向右平移彳個(gè)單位，可得g(x)=2sin(2x-?+可，g(x)=2sin-^+可的

nTT5乃57r

圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以—2+0=人乃+々，攵=0時(shí)可得e=9,故./■(x)=2sin(2x+3),

3266

/(⑼=2sin(,+^)=2sin芳=2,〃夕)=一2不正確，故選C.

7、A

【解析】

分析：根據(jù)規(guī)律從第3個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)等于前兩個(gè)數(shù)之差，確定第9個(gè)數(shù).

詳解：因?yàn)閺牡?個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)等于前兩個(gè)數(shù)之差，所以第9個(gè)數(shù)是-19-31=-5(),

選A.

點(diǎn)睛：由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)的常用方法為：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、

聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法.

8、D

【解析】

由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知：當(dāng)”=1時(shí)，等式的左邊是1+2+3+1+3=1+2+3+4,應(yīng)選答案D.

9,A

【解析】

準(zhǔn)確畫圖，由圖形對(duì)稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率.

【詳解】

設(shè)PQ與X軸交于點(diǎn)A,由對(duì)稱性可知軸,

又|PQ|=|OF|=c,.1PA|=/,二PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑,

.?4為圓心|。4|=￡.

2

又P點(diǎn)在圓f+>2="上,

222

CC2日nC2^-￡1-2

—I-----=a~9即—=cT匕一r一4?

442a

:.e-V2,故選A.

本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時(shí)注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，

運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問題時(shí)事半

功倍，信手拈來(lái).

10、D

【解析】

ac

在頻率等高條形圖中，一^與一j相差很大時(shí)，我們認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】

在頻率等高條形圖中，'?與「相差很大時(shí)，我們認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系，

a+bc+d

四個(gè)選項(xiàng)中，即等高的條形圖中xi,X2所占比例相差越大，則分類變量x,y關(guān)系越強(qiáng)，

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)內(nèi)容，使用頻率等高條形圖，可以粗略的判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，是基礎(chǔ)題

11、C

【解析】

分析：利用導(dǎo)數(shù)法，可得當(dāng)x=-l時(shí)，函數(shù)取極大值m+2,當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取極小值m-2,結(jié)合方程f(x)=0有兩

個(gè)相異實(shí)根XI,X2,且X|+X2<0,可得答案.

詳解：I,函數(shù)f(x)=x3-3x+m,

/.fr(x)=3x2-3,

令F(x)=0,貝！Jx=±l,

當(dāng)x<-l,或x>l時(shí)，f(x)>0,f(x)為增函數(shù)；

當(dāng)-IVxVl時(shí)，f（x）<0,f（x）為減函數(shù)；

故當(dāng)x=-l時(shí)，函數(shù)取極大值m+2,

當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取極小值m-2,

又?方程f（X）=0有兩個(gè)相異實(shí)根Xi,X2,且X1+X2V0,

Am-2=0,

解得m=2,

故選：C.

點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的極值，方程根的個(gè)數(shù)判斷，難度中檔.對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)問題，它和

方程的根的問題，和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題是同一個(gè)問題，可以互相轉(zhuǎn)化；在轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)時(shí)，如果是一個(gè)常函

數(shù)一個(gè)含參的函數(shù)，注意讓含參的函數(shù)式子盡量簡(jiǎn)單一些。

12、B

【解析】

以C為原點(diǎn)，C4為x軸，（方為）'軸，CG為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線CE與CD所

成角的余弦值.

【詳解】

以C為原點(diǎn)，C4為x軸，CB為）'軸，CC為工軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AC=BC=A4'=2,

則C（O,O,O）、A（2,0,0）、3（0,2,0）、￡（1,1,0）,C'（0,0,2）,D（0,2,l）,

C￡=（I],0）、CD=（O,2,T）,

設(shè)異面直線CE與所成角為e,

CEC'D2_V10

貝!Jcos0=----------

CE\\CDV2.V5-5

，異面直線CE與C'D所成角的余弦值為上

5

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間向量法求異面直線所成的角，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、256

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得。，再用賦值法求出各項(xiàng)系數(shù)的和.

【詳解】

由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式得=/屋產(chǎn)

Tr+t

貝！J8-2r=0,廠=4所以C；/=5670,

所以a4=81,a<0,a=—3.

所以L+父/尤—3，再令X=1,

I龍1kxj

得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和=(-2)8=256.

故答案為256.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式展開式中的特定項(xiàng)和各項(xiàng)系數(shù)和，屬于中檔題.

14、0.15

【解析】

由X?N(3,<J2),得P(O<X<3)=P(3<X<6)=035,兩個(gè)式子相加，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性和概率和為1即

可得到答案.

【詳解】

由隨機(jī)變量X?N(3,(T2),且P(0<X<3)=0.35,根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性得P(3<X<6)=035且正態(tài)分布的概

r…八1-0.35x2…

率和為1,得P(X>6)=-------------=0.15.

2

故答案為0.15

【點(diǎn)睛】

本題考查了正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，屬于基礎(chǔ)題.

1

15、一

2

【解析】

由不等式2x2-3x+aV0的解集為(小，1)可知：x=m,x=l是方程2必-3x+a=0的兩根.根據(jù)韋達(dá)定理便可分別

求出m和a的值.

【詳解】

由題意得：1為2f—3x+a=0的根，所以。=1,

,11

從而2x—3%+1<0—<x<1tn——

22

故答案為1

【點(diǎn)睛】

本題考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

16、-1

【解析】

通過sina,cosa的齊次式，求得tana的值；再利用兩角和差的正切公式求解tan/?.

【詳解】

sina?cosa_sinacostztana1

l+3cos2asin?a+4cos2atan2?+44

.?.tana=2

tana+tan/?_2+tan夕_1

又tan(a+￡)

1-tanatan￡l-2tan￡3

解得：tan/?=-l

本題正確結(jié)果：-1

【點(diǎn)睛】

本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系以及兩角和差公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

(l)a=l；(2)be-1+ln3,^+ln21.

17、

【解析】

(I)函數(shù)〃無(wú))=ln(x+a)-f-x,對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，在％=o處取得極值，可得.(0)=(),求得“值；

53

(II)由Q=1知/(x)=ln(x+l)—/一次,由/(1)=一］工+人，得］n(x+l)-12一〃=()令

9(x)=ln(x+l)-x2

則關(guān)于X的方程/(x)=-|x+力在區(qū)間［0,2］上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為。(x)=0在［0,2］上恰有兩個(gè)不同實(shí)

數(shù)根，對(duì)8(x)對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，從而求出匕的范圍；

【詳解】

(I)廣(力=^--2x-l,x=0時(shí)，/(x)取得極值，.?./'(())=0,

1

故一2x0-1=0,解得。=|.經(jīng)檢驗(yàn)。=1符合題意.

0+?

53

(II)由々=1知/(x)=ln(x+l)-%2-x,由/(%)=一耳元+6,得］n(x+l)-f十萬(wàn)不一^二。

3

令°(x)=ln(x+l)-x2+—x-/7,

則”x)=—；x+人在［°，2］上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

等價(jià)于O(x)=0在［0,2］上恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根.

_2x+l=_(4X+5)(1)

22(x+l)

當(dāng)X€(0,l)時(shí),o'(x)>0,于是e⑺在［0,1］上單調(diào)遞增;

當(dāng)xw(l,2)時(shí),d(x)<0,于是。(x)在［L2］上單調(diào)遞增;

^?(0)=-&<0,

3

依題意有〈=Zn(l+1)-1+--/?>0,In3-l</?<ln2+-.

以2)=/〃(1+2)—4+3—HO.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及單調(diào)性以及方程的實(shí)數(shù)根問題，解題過程中用到了分類討論的思想，分類討論的

思想也是高考的一個(gè)重要思想，要注意體會(huì)其在解題中的運(yùn)用，屬中檔題.

18、（i）r*2_=i；（2）實(shí)數(shù)%不存在，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和「的關(guān)系，解方程可得進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)義.，

羽丫：小：I,線段/:的中點(diǎn)為聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得的1：坐標(biāo),

代入圓的方程，解方程可得明，進(jìn)而判斷不存在.

試題解析：（1）由題意得e=解得a=JI.b=c=】故橢圓的方程為X：+1=1；

（2）設(shè)；：，線段的中點(diǎn)為1/，工：..1」聯(lián)立直線：與橢圓的方程得，即

3?:*?2mx-療-2=0，

A=-4*二）>。即<3，

占網(wǎng)

河產(chǎn)一工7，

X+X.??!In:

所以X，=------=-------V=V'?":=——，

r23?！?

即又因?yàn)閈!點(diǎn)在圓丁?「=5上，

33

可得—3

33

解得，=二3與<3矛盾.

故實(shí)數(shù)，.不存在.

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).

丫23

19、（I）二+丁=1（II）直線PQ恒過定點(diǎn)（0,——）

45

【解析】

試題分析：（I）設(shè)橢圓C的半焦距為c.求出b利用離心率求出a,即可求解橢圓C的方程；（II）證法一：直線PQ

2

的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+m.將直線PQ的方程代入、+y2=i消去y,設(shè)p（%,y）,Q（x2,^2）,利用韋達(dá)

定理，通過BP_LBQ,化簡(jiǎn)求出5〃72一2〃?—3=0，求出m,即可得到直線PQ恒過的定點(diǎn).證法二：直線BP,BQ

丫2

的斜率均存在，設(shè)直線BP的方程為丫=1?+1,將直線BP的方程代入、+>2=1,消去y,解得x,設(shè)P（%,y）,轉(zhuǎn)

化求出P的坐標(biāo)，求出Q坐標(biāo)，求出直線PQ的方程利用直線系方程求出定點(diǎn)坐標(biāo)

試題解析：（I）解：設(shè)橢圓C的半焦距為J依題意，得〃=1,

22

H口p~2—.c.=-a-----l-=——3

a2a24

解得"=4.

2

所以，橢圓。的方程是r上+丁=1.

4

（U）證法一：易知，直線的斜率存在，設(shè)其方程為），=履+機(jī).

將直線PQ的方程代入f+4y2=4,

消去整理得（1+442）f+8切收+4加2-4=0.

設(shè)P(石,％),Q(x2,y2),

,8km4m2-4八、

則%+%=----r9X?X=--------.(1)

?1+4左21-1+4公

因?yàn)榍抑本€3P,3Q的斜率均存在,

y.—1—11

所以山一?~—=T,整理得王9+乂以一⑶+%）+1=°?（2）

X\X2

因?yàn)閥=履］+機(jī)，y2=Ax2+m,

22

所以X+%=Mx1+電）+2機(jī)，yxy2=kx}x2+加左（％+x2）+/n.（3）

將（3）代入（2）,整理得

（1+公）工［工2+4（加-1）（玉+々）+（加-if=。.（4）

將（1）代入（4）,整理得5加2一2加一3二0.

,3

解得力=-g,或m=1（舍去）.

所以，直線P。恒過定點(diǎn)（0,-

證法二：直線BP,BQ的斜率均存在，設(shè)直線8P的方程為y="+l.

將直線外的方程代入Y+4y2=4,消去y,得（1+4/?2+8日=o

解得x=0,或％=一三.

1+4《

1-4￡

設(shè)所以金詢

1+4公

-Sk1-4公

所以P（

1+4公1+4公)

1Xkk2-4

以-丁替換點(diǎn)P坐標(biāo)中的左，可得0（上行

k4+二公+4，

1-44281c

y---------2x4--------：

從而，直線PQ的方程是1,=_RJ+”廠.

i+4戶一戶+41+4-4+/

依題意，若直線PQ過定點(diǎn)，則定點(diǎn)必定在>軸上.

3

在上述方程中，令x=0,解得y=-j.

所以，直線P。恒過定點(diǎn)（0,—|）.

考點(diǎn)：圓錐曲線的定值問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

420

20、（1）一（2）分布列見解析，Ex=—

77

【解析】

r'r1

（1）恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)為事件A，則P（A）=*,計(jì)算得到答案、

241

（2）隨機(jī)變量x=2,3,4,計(jì)算尸（》=2）=亍，P（X=3）=~,P（X=4）=~,得到分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答

案.

【詳解】

（1）記“恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)”為事件A,

4

一

則其概率為P（A）一7-

(2)隨機(jī)變量x=2,3,4,

「37C'C'4C2

*尤=2)=4=4,p(x=3)=3=3,尸(x=4)=W—1.

'/C；7'7Cf7'/C；7

.?.隨機(jī)變量x的分布列為

X234

24]_

P

777

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的計(jì)算，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

22

21＞(1)匕+±=1；(2)0.

106

【解析】

(1)可設(shè)橢圓C的方程為《+'=1(。＞人＞0),由題意可得c=2,由橢圓的定義計(jì)算可得進(jìn)而得到b,即可得

到所求橢圓方程；

(2)設(shè)直線力用y=A|x-|^|+|(代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理可得"的坐標(biāo)，由題意可將衣?lián)Q為一女，可得產(chǎn)的

坐標(biāo)，由直線的斜率公式計(jì)算可得直線所的斜率，設(shè)出直線/的方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用直線和橢圓相切的條件：

判別式為0,可得直線/的斜率，進(jìn)而得到所求斜率之和.

【詳解】

解：(1)由題意可設(shè)橢圓c的方程為、■+方

且c=2,2a=J（|）2+（|+2尸+J（|）2+（|一2）=亭+萼=2而,

即有a—V10，b=yjcT—c2=A/6>

2V2

所以橢圓的方程為v匕+巴=1;

106

+1,代入橢圓方程可得

⑵設(shè)直線力區(qū)y=k

（5+3A:2）x2+3^（5-3jt）x+3（|-y）2-30=0,