舊教材適用2023高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第一章集合與常用邏輯用語第3講簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞全稱量詞與存在量詞

第3講簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

考礎(chǔ)知以整恒I

□知識梳理

1.全稱量詞和存在量詞

(1)全稱量詞有：所有的，任意一個，任給一個，用符號“四V”表示；存在量詞有：存

在一個，至少有一個，有些，用符號“既“表示.

(2)含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.“對M中任意一個X,有P(X)成立"用符號簡

記為：H∣Vx∈MP(X).

(3)含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.“存在"中元素如使pC?)成立"用符號簡

記為：畫三XOCM0(施).

2.含有一個量詞的命題的否定

命題命題的否定

?XGM,P(X)XeWM,rp(xo)

3Xo^M,P(Ab)EIVxRM,~lp(X)

知識拓展

1.命題PΛSfNq,W的真假判定

PQKlqW

真真-?假

真假假真假

-?真真真

位假真

2.確定p∕?q,pVq,~'p真假的記憶口訣如下：0ΛL見假即假，PvL見真即真，P

與真假相反.

3.up?∕qn的否定是“(rp)A(rg)”:“人”的否定是“(W)V(rg)”.

4.“且”“或”“非”三個邏輯聯(lián)結(jié)詞，對應(yīng)著集合中的“交”“并”“補”，所以含

有邏輯聯(lián)結(jié)詞的問題常常轉(zhuǎn)化為集合問題處理.

5.含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.

6.命題的否定和否命題的區(qū)別：命題“若p,則q'的否定是“若"則rg”，否命題

是“若rp,則F”.

□雙基自測

∕?-^

命題p："Vx∈N*,目Λ≤∣,f的否定為(

?x∈N*,

1

B.?廨N*>2

C.3Ab4N*,

答案D

解析全稱命題的否定為特稱命題，方法是改量詞，否結(jié)論，故選D.

2.(2022?山西大同摸底)已知命題p,°,則“F為假命題”是“pf?q為真命題”的

()

A,充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析若B為假命題，則P為真命題，由于不知道q的真假性，所以推不出P八q是真

命題，所以充分性不成立.OA。是真命題，則p,q均為真命題，則r0為假命題，所以必要

性成立.所以“W為假命題”是“0A0為真命題”的必要不充分條件.

3.若命題"三x°∈R,<+(a—1)加+1<0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.[-^1,3]

B.(-1,3)

C.(一8,-1]u[3,+∞)

D.(—8,—Du(3,+∞)

答案D

解析因為命題'勺MGR,x：+(a—1)8+1〈0”等價于“V+(a—l)x+l=0有兩個不

等的實根”，所以Δ(a-I)2—4>0,即a?—2a—3>0,解得a<—1或a>3.

4.(2021?云南麗江模擬)命題p：甲的數(shù)學(xué)成績不低于100分，命題3乙的數(shù)學(xué)成績

低于100分，則八/(p)表示()

Λ.甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績都低于IOO分

B.甲、乙兩人至少有一人數(shù)學(xué)成績低于100分

C.甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績都不低于100分

D.甲、乙兩人至少有一人數(shù)學(xué)成績不低于100分

答案D

解析因為命題(?：乙的數(shù)學(xué)成績低于100分，所以命題rq表示乙的數(shù)學(xué)成績不低于100

分，所以命題pV(rq)表示甲、乙兩人至少有一人的數(shù)學(xué)成績不低于100分.故選D.

5.設(shè)有下面四個命題：

pa3∕?∈N,∕?>2∕?;

Z?:χGR,“x>l”是“x>2”的充分不必要條件;

1

命題“若x—32是有理數(shù)，則X是無理數(shù)”的逆否命題；

即若"°Vg”是真命題，則P一定是真命題.

其中為真命題的是()

A.p↑,PZB.P%、ps

C.R,P?D.0，R

答案D

23

解析?.?∕%=3時，3>2,Λ3Λ?∈N,1>2∕?,.為真命題；；(2,+∞)(1,+∞)f

.?.x>2能推出x>l,x>l不能推出x>2,“x>l"是‘'x>2"的必要不充分條件，.?.R是假命題；

根據(jù)逆否命題的定義可知R為真命題.根據(jù)復(fù)合命題的真假判斷法則可知0為假命題.故選

D.

6.已知命題p：不等式af+aχ+i>0的解集為R,則實數(shù)a∈(0,4),命題q：aχ-

2χ-8>0”是“x>5”的必要不充分條件，則下列命題正確的是()

A.p∕?qB.0∕?(^1g)

C.(-?p)A(Γyq)D.(-p)Λq

答案D

a>0,

Z

解析命題"H=O時，可得1>0恒成立；H≠0時，可得彳2解得(K水4.

[4=才一4水0,

綜上，可得實數(shù)〃￡[0,4),因此,是假命題，則是真命題；命題q：由2x—8>0解

得x>4或K-2.因此α∕-2^-8>0"是“x〉5”的必要不充分條件，是真命題，故(「2)八。

是真命題.故選D.

核心W向突破I

考向一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的判斷

例1(2020?全國H卷)設(shè)有下列四個命題：

PH兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).

A：過空間中任意三點有且僅有一個平面.

口：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P??.若直線Ju平面a,直線歷_L平面a,則而J_/.

則下述命題中所有真命題的序號是.

①RAPI,(3)-,Z?VA^(4)-,Z?V^p∣.

答案①③④

解析對于命題0，可設(shè)九與A相交，這兩條直線確定的平面為*設(shè)/3與A,A的

交點分別為48(如圖)，則∕∈α,BWa,所以/比a,即Auα,命題Pl為真命題；

對于命題R,若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個，命題R為假命題；

對于命題R,空間中兩條直線的位置關(guān)系有相交、平行或異面，命題"為假命題；

對于命題P”若直線加，平面明則m垂直于平面a內(nèi)所有直線，因為/u平面

所以〃人/,命題仍為真命題.

綜上可知，R為真命題，RAn為假命題，？VR為真命題，9VRI為真命題.

觸類旁通］

(1)定結(jié)構(gòu)：先判斷復(fù)合命題的結(jié)構(gòu)形式.

(2)辨真假：判斷構(gòu)成這個命題的每一個簡單命題的真假性.

(3)下結(jié)論：依據(jù)“有真或為真，有假且為假，。和W真假相反”，作出判斷.

即時訓(xùn)練L設(shè)命題p：函數(shù)y=sin2x的最小正周期為七；命題g：函數(shù)y=cosx

π

的圖象關(guān)于直線χ=q對稱，則下列判斷正確的是.

①。為真；②rg為假；③"Ag為假；④PVq為真；⑤Qp)△(p)為真；⑥r(nóng)(°Vq)為真.

答案③⑤⑥

解析P,g均為假，故。八g為假，PVq為假,(W)Aa)為真，NN硝為真.

精準(zhǔn)設(shè)計考向，多角度探究突破

考向二全稱命題、特稱命題

角度1全稱命題、特稱命題的否定

例2(1)(2021?安徽合肥質(zhì)檢)設(shè)命題p：Vx∈R,x+l>0,則W為()

2

A.3xo∈R,Λ?-Λo÷l>O

B.Vx∈R,?—Λ÷1≤O

2

C.3Λo∈R>Xt>—Ab+1WO

D.?χWR,?—x+l<O

答案C

解析全稱命題的否定是特稱命題，同時否定結(jié)論.故選C.

（2）命題“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是（）

A.任意一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)

B.任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

C.存在一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)

D.存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

答案B

解析根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，需先將存在量詞改為全稱量詞，然后否定結(jié)論,

故該命題的否定為“任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)”.

觸類旁通.一般地，寫含有一個量詞的命題的否定，先要明確這個命題是全稱命題還

是特稱命題，并找到其量詞的位置及相應(yīng)結(jié)論，然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞或把

存在量詞改成全稱量詞，同時否定結(jié)論.如果所給命題中省去了量詞，則要結(jié)合命題的含義

加上量詞，再對量詞進行否定.

即時訓(xùn)練2.（2022?西安模擬）命題p：Va》0,關(guān)于X的方程/+ax+1=0有實數(shù)

解，則Y為（）

A.3ao<O,關(guān)于X的方程V+mH?l=0有實數(shù)解

B.3ab<0,關(guān)于X的方程產(chǎn)+a彳+1=0沒有實數(shù)解

C.3<?^0,關(guān)于X的方程/+aχ+1=0沒有實數(shù)解

D.3ab≥0,關(guān)于X的方程/+&x+1=0有實數(shù)解

答案C

解析根據(jù)全稱命題的否定可知，方為m關(guān)于X的方程V+疝χ+1=0沒有實數(shù)

解.故選C

3.命題“奇數(shù)的立方是奇數(shù)”的否定是.

答案存在一個奇數(shù)，它的立方不是奇數(shù)

解析此命題隱含了全稱量詞“所有”，故否定是特稱命題，即“存在一個奇數(shù)，它的

立方不是奇數(shù)”.

角度2全稱命題、特稱命題真假的判斷

例3以下四個命題既是特稱命題又是真命題的是（）

Λ.銳角三角形有一個內(nèi)角是鈍角

2

B.至少有一個實數(shù)施，使為Wo

C.兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)

D.存在一個負數(shù)X°,使2?2

Xo

答案B

解析選項A中，銳角三角形的所有內(nèi)角都是銳角，所以A是假命題；選項B中，當(dāng)崗

=0時，xo=O,所以B既是特稱命題又是真命題；選項C中，因為啦+(一/)=0不是無理

數(shù)，所以C是假命題；選項D中，對于任意一個負數(shù)X,都有乂0,不滿足、2,所以D是假

XX

命題.故選B.

觸類旁通.全稱命題與特稱命題真假性的兩種判斷方法

不管是全稱命題，還是特稱命題，若其真假不容易正面判斷時，可先判斷其否定的真假.

命題名稱真假判斷方法一判斷方法二

-S-所有對象使命題真否定為假

全稱命題

假存在一個對象使命題假否定為真

-S-存在一個對象使命題真否定為假

特稱命題

假所有對象使命題假否定為真

即時訓(xùn)練4.(2021?江西師大附中模擬)已知定義域為R的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，則

下列命題一定為真命題的是()

A.VxGR,f{-x)≠f{x}

B.VxGR,Λ-Λ)≠-∕?(X)

C.3A?∈R,/(—?o)≠Λ?)

D.3Λb∈R.f(—Xo)≠-f(x1)

答案C

解析設(shè)命題VxGR,f(x)=F(-X),?.'f(x)不是偶函數(shù)，是假命題，貝IJrP是

真命題，又7?：3Ab∈R,F(—Λb)#F(xo),故選C.

考向三利用復(fù)合命題的真假求參數(shù)范圍

例4(1)已知命題p："VχC[0,1],a'e""；命題q：a3Λb∈R,使得局+4及+a=

0”.若命題?p?d'是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.[1,4]B.[1,e]

C.[e,4]D.[4,+∞)

答案C

解析若命題"夕Ag”是真命題，那么命題D。都是真命題.由Vx∈[O,1],^e',

得a2e；由mxo￡R,使Xo+4xo+a=O,知4=16-4a20,則aW4,因此eWaW4.則實數(shù)

a的取值范圍為[e,4].故選C.

(2)命題夕：實數(shù)a滿足才+a—620；命題S函數(shù)尸族0一二+1的定義域為R.若命

題0八g為假，夕Vg為真，則實數(shù)a的取值范圍為.

答案(一8,-3]U[0,2)U(4,+∞)

解析當(dāng)命題夕為真時，EPa-?-a—620,解得石22或aW—3；當(dāng)命題g為真時，可得

a>0,

晟2—aχ+lN0對任意χ∈R恒成立，若a=0,則滿足題意；若a≠0,則有，

4=才一4七0,

解得0<a≤4,???0≤aW4,???∕√?g為假,PVg為真，.?.“夕真q假”或“夕假q真”,①當(dāng)夕

a22或-3,一3<水2,

真g假時，則?,?a>4或aW—3；②當(dāng)夕假q真時,則Λ0≤a<2,

a〉4或水0,0≤5≤4,

綜上，實數(shù)a的取值范圍是(-8,-3]U[0,2)U(4,+∞).

觸類旁通.根據(jù)命題真假求參數(shù)的方法步驟

(1)先根據(jù)題目條件，推出每一個命題的真假(有時不一定只有一種情況，本例(2)中有兩

種情況).

(2)然后再求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍.

(3)最后根據(jù)每個命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍.

即時訓(xùn)練5.設(shè)命題p：函數(shù)Ax)=χ3-aχ-1在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減；命題q：

函數(shù)Z=In(*+ax+l)的值域是R.如果命題PVq為真命題，PAO為假命題，則實數(shù)a的

取值范圍是()

A.(-∞,31B.(-8,-2]U[2,3)

C.(2,3]D.[3,+∞)

答案B

解析由函數(shù)f(x)=f—ax—1在區(qū)間[―1,1]上單調(diào)遞減,得/(x)=3f—aWO在[—

1,1]上恒成立，故a》(3丁)IMX=3,即a23；由函數(shù)y=ln(V+ax+l)的值域是R,得V

+ax+l能取到全體正數(shù)，故∕=a'-420,解得aW—2或a?2.因為命題PVq為真命題，

PAg為假命題，所以。和g一真一假.當(dāng)0真g假時，可得{a∣a23}∩{a∣―2<水2}=。；當(dāng)

〃假θ真時，可得{a∣a<3}C{a∣aW—2或a22}={a∣aW-2或2Wa<3}?因此實數(shù)a的取值

范圍是(-8,-2]U[2,3).故選B.

課時作業(yè)I

1.(2021-山西陽泉高三階段考試)設(shè)/是奇數(shù)集，6是偶數(shù)集，則命題"Vx∈42燼8"

的否定是（）

A.3J?∈Λ2xo∈8B.3x,^A,2x<sRB

C.?與4246D.VJAA,2χRB

答案A

解析“VχC42對6”即“所有x&A,都有2K6”，它的否定應(yīng)該是“存在x0^A,

使2Λb∈ZΓ,所以正確選項為A.

2.下列命題中的假命題是()

A.?x∈R,ex^'>O

B.?x∈N*,(χ-l)2>0

C.3AO∈R,InΛo<l

D.3AO∈R,tanXO=2

答案B

解析因為當(dāng)x=l時，(x—I)?=。，所以B為假命題，故選B.

3.命題“VxCR,F(X)g(x)rθ”的否定是()

A.VxeR,F(X)=O且g(*)=0

B.VxGR,F(X)=O或g(x)=0

C.3Ab∈R,f(Xo)=O且g(xo)=0

D.3A?∈R,f(xo)=0或g(x0)=0

答案D

解析根據(jù)全稱命題與特稱命題互為否定的關(guān)系可得，命題“VxWR,f(x)g(x)W0”

的否定是''m%o∈R,f(xo)=0或g(xt>)=0”.故選D.

4.(2022?江西南昌摸底)下列命題的否定是真命題的是()

A.有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)

B.所有平行四邊形都不是菱形

C.任意兩個等邊三角形都是相似的

D.3是方程/-9=0的一個根

答案B

解析若命題的否定是真命題，則原命題是假命題，顯然A,C,D是真命題，B是假命

題.故選B.

5.設(shè)非空集合尸，0滿足P∩gP,則()

A.VXGa有x∈P

B.?xHQ,有

C.3x4Q,使得揚e尸

D.3Λi1∈Λ使得?%M

答案B

解析因為尸nQ=P,所以?Q,所以V避Q,有WP,故選B.

6.(2021?全國乙卷)已知命題°：3x∈R,sinKl；命題q：VX∈R,e"21,則下列

命題中為真命題的是()

A.p∕?qB.fpl?q

C.p∕?~'qD.r(pVg)

答案A

解析因為命題。為真命題，命題。為真命題，所以pΛg為真命題.故選A.

7.關(guān)于命題”當(dāng)勿∈[1,2]時，方程V—2χ+"∕=0沒有實數(shù)解”，下列說法正確的是()

A.是全稱命題，假命題

B.是全稱命題，真命題

C.是特稱命題，假命題

D.是特稱命題，真命題

答案A

解析原命題的含義是“對于任意/e[l,2],方程V—2x+加=0都沒有實數(shù)解”，但

當(dāng)m=1時，方程有實數(shù)解X=1,故命題是全稱命題，假命題，所以A正確.

8.(2022?四川南充月考)下列命題中，是真命題的全稱命題的是()

A.對于實數(shù)a,b∈R,有才+行一2a—26+2<0

B.梯形兩條對角線相等

C.有小于1的自然數(shù)

D.函數(shù)y=4x+l的圖象過定點(0,1)

答案D

解析選項A是全稱命題，a2+?2-2a-2Z,+2=U-l)2+(Z>-l)2>0,故A是假命題；

B是假命題；“存在小于1的自然數(shù)”，C是特稱命題；D項，對于所有A∈R,函數(shù)y=kx

+1的圖象過定點(0,1),所以正確選項為D.

9.(2021?河南濟源、平頂山、許昌第二次質(zhì)檢)已知直線加，〃和平面a,β.

命題0：若HUa,nuB,a//β,則直線勿與直線〃平行或異面；

命題q：若m//a,a//β,則卬〃￡；

命題s：若a∩β-m,在平面a內(nèi)作直線0的垂線〃，則

則下列為真命題的是()

A.PV(rq)B.(~'p)A5

C.gAOD.(rp)Λ(rg)

答案A

解析若?！ā?歸α,〃Uβ,由于平面a與平面￡沒有交點，所以直線勿與直線

〃平行或異面，即命題。是真命題；若卬〃α,a//β,則加〃￡或歸￡,即命題g是假命

題；若aJ,￡,α∩8=m,在平面。內(nèi)作直線R的垂線〃，由面面垂直的性質(zhì)定理，得￡,

命題S是真命題.對于A,oVCg)是真命題；對于B,0是真命題，貝1P是假命題，S是真

命題，則(rp)As是假命題；對于C,S是真命題，則r$是假命題，g是假命題，貝IjqAQs)

是假命題；對于D,。是真命題，則為是假命題，。是假命題，則”是真命題，則(W)Λ(p)

是假命題.故選A.

10.命題p：若向量a?Δ<0,則a與6的夾角為鈍角；命題若CoSacosβ=?,

則Sin(α+￡)=0.下列命題為真命題的是()

A.pB.2

C.p∕?qD.Kzq

答案D

解析若a,8共線且方向相反時，a?∕KO,但a與6夾角為π,故P是假命題.若CoS

ICoSa—\,[cos。=-1,

a?cosβ-?,則?jC或JC.,.sina—sin￡=0,.?sin(a+￡)

cosp—\[cosβ--?,

=sinacos￡+CoSasin￡=0,故g是真命題，.'.p,PA<?均為假命題，pVq為真

命題，故選D.

11.短道速滑隊進行冬奧會選拔賽(6人決出第一?六名)，記''甲得第一名”為0,“乙

得第二名”為S“丙得第三名”為r,若PVq是真命題，夕八<?是假命題，(rg)∕?r是真命題,

則選拔賽的結(jié)果為()

A.甲第一、乙第二、丙第三

B.甲第二、乙第一、丙第三

C.甲第一、乙第三、丙第二

D.甲第一、乙沒得第二名、丙第三

答案D

解析Sg)Ar是真命題意味著p為真，q為假(乙沒得第二名)且r為真(丙得第三名)；

OVq是真命題，由于0為假，只能。為真(甲得第一名)，這與PAg是假命題相吻合；由于

還有其他三名隊員參賽，只能肯定其他隊員得第二名，乙沒得第二名.故選D.

12.(2022?甘肅蘭州模擬)已知F(x)=In(f+l),g(x)=g-m,若WXl∈[0,3],

3?∈[1,2],使得f(小)2g(%),則實數(shù)加的取值范圍是()

'1l?(Γ

c?[?+c0]D.(-8,-?

答案A

解析當(dāng)x∈[0,3]時，f(x)aIin=F(O)=O,當(dāng)x∈[l,2]時，g(x)min=g(2)=*—勿，由

f(x)min2g(x)min,得02%加，所以加故選A.

13.已知命題p：VXGR,2v<3',命題<7：3Λ<)∈R,4=2—Xo,則下述命題中所有真命

題的序號是.

QpAq;②(rp)Λs③「VO；④OVCg).

答案②④

解析當(dāng)求0時，2*>3',所以命題P為假命題.解步=2一先得才=-2或1,所以命題

g為真命題.所以AΛQ,pV(rq)為假命題，(r0)∕?q,(W)VC)為真命題.

14.若命題："三劉∈R,使得3^+2a%o+l<O,,是假命題，則實數(shù)a的取值范圍

是.

答案[-√3.√3]

解析命題Λo∈R,使得3的+28旅+1<0”是假命題，即“VχWR,3f+2ax+120”

是真命題，故∕=4a2-12W0,解得一√5≤aW√5.即實數(shù)a的取值范圍為[一4,√3].

「冗

15.(2022,四川綿陽中學(xué)模擬)已知命題p：3x∈0,~,COS2x+cosx—勿=0為真

命題，則實數(shù)力的取值范圍是.

答案[一1,2]

解析COS2x+cosχ-R=0可變形為CoS2x+cosX=R.令F(x)=cos2x+cosx,則

.02「一

f(x)=2CoS'+cosx—1=21CoS犬+彳)一干由于Xe0,—,所以CoSΛ∈[0,1].于是

f(x)C[-l,2].故實數(shù)0的取值范圍是[-1,2].

16.(2021?南昌一中模擬)已知命題0：關(guān)于X的方程V—加x—2=0在[0,1]上有解；

命題g：F(X)=IOg2ZKY+3在[1,+8)上單調(diào)遞增.若為真命題，"pVq”為真

命題，則實數(shù)0的取值范圍為.

答案CW

解析對于命題0：令g(x)=V—勿X—2,則g(o)=-2,.?.g(D=-〃/—120,解得/W

InM1,

-1,故命題〃為真命題時，R