全國通用2023年高考數學二輪復習易錯題-易錯點15 概率（理科專用）（含解析）

易錯點15概率

易錯分析

易錯點L事件、頻率和概率概念理解錯誤

1.事件的關系

定義表示法圖示

一般地，如果事件4發(fā)生時，事件8

包含

一定發(fā)生，則稱“4包含于8”（或“B記作6（或B2.A）

關系

包含An）

給定事件4,B,若事件力與8不能回

互斥若4c8=0,則4與8互

時發(fā)生,則稱｛與6互斥，記作力以

事件斥

0（或4c5=0）

給定樣本空間a與事件4則由。中

對立若<ri8=0,且［U6=

所有不屬于力的樣本點組成的事件稱

事件0,則/與夕對立（3?

為/的對立事件，記作/

2.事件的運算

定義表示法圖示

給定事件4B,由所有力中的樣本點

并事件與6中的樣本點組成的事件稱為4與記作4±2（或4U作

8的和（或并）

給定事件4B,由4與8中的公共樣

交事件本點組成的事件稱為/與占的積（或記作四（或AC助

交）

3.用頻率估計概率

一般地，如果在〃次重復進行的試驗中，事件4發(fā)生的頻率為*其中，勿是〃次重復試驗

事件4發(fā)生的次數，則當"很大時，可以認為事件4發(fā)生的概率P（⑷的估計值為N

n

易錯點2.古典概型公式理解錯誤

1.古典概型

一般地，如果隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點個數是直限的（簡稱為有限性），而且可以

認為每個只包含一個樣本點的事件（即基本事件）發(fā)生的可能性大小都相等（簡稱為等可能

性），則稱這樣的隨機試驗為古典概率模型，簡稱為古典概型.

2.古典概型的概率公式

古典概型中，假設樣本空間含有〃個樣本點，如果事件C包含有0個樣本點，則

3.概率的性質

性質1：對任意的事件4都有OW"（4）W1；

性質2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P（。）=1,23）=0；

性質3：如果事件力與事件6互斥，那么尸（4皮中=。（心+。（而;

性質4：如果事件4與事件8互為對立事件，那么尸（。=1一。（⑷，P（4）=l—。（0；

性質5：如果6,那么P（1）W必而，由該性質可得，對于任意事件4因為0U/U。，所

以OWPMWL

性質6：設48是一個隨機試驗中的兩個事件，有P（AU*=P（A）+P（助-P（AC助.

易錯點3.條件概率和全概率公式理解錯誤

1.相互獨立事件

一般地，當P（腦=P（J）P（"時,就稱事件｛與6相互獨立（簡稱獨立）.如果事件力與6相

互獨立，則7與7,A與B,力與力也相互獨立.

2.條件概率

（1）概念：一般地，當事件6發(fā)生的概率大于0（即。（面＞0）時,已知事件6發(fā)生的條件下事

D（AC\

件4發(fā)生的概率，稱為條件概率，記作尸（4面，而且發(fā)川0=P"）.

（2）兩個公式

①利用古典概型，KB\A'）^===；

②概率的乘法公式：?（/0=尸（4）去公式）.

3.全概率公式

一般地，如果樣本空間為Q,A,6為事件，則為與6力是互斥的，且B=BQ=B（4+Z）

^BA+BA,從而。（面=P（物+bT）=P（曲）+代瓦?），當尸（心〉0且P（7）＞0時，有P⑵

=戶（冷。⑶心+P5）P⑻⑦.

L^L.

錯題糾正

1.甲、乙、丙、丁4名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現有4B,C三個小區(qū)可供

2

選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū)去服務.則甲不在/小區(qū)、乙不在8小區(qū)服務的概率

為()

7

A.1cD.—

3-i12

【答案】B

【詳解】依題意，4名志愿者到三個小區(qū)服務的試驗的基本事件有r種，它們等可能，

甲不在/小區(qū)、乙不在6小區(qū)服務，甲、乙各有2種選法，內、丁各有3種選法，

甲不在4小區(qū)、乙不在6小區(qū)服務的事件M含有的基本事件有2?x32種，

?2x324

所以甲不在4小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務的概率尸(用)=亨-=/.

故選：B

2.我國古代有著輝煌的數學研究成果，其中的《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫

子算經》、《緝古算經》，有著十分豐富多彩的內容，是了解我國古代數學的重要文獻.這5

部專著中3部產生于漢、魏晉、南北朝時期.某中學擬從這5部專著中選擇2部作為“數學

文化”校本課程學習內容，則所選2部專著均是漢、魏晉、南北朝時期專著的概率為

()

A.—B.-C.—D.-

105105

【答案】A

【詳解】解：從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容，基本事件總數

n(Q)=10,

設力二｛所選2部專著均是漢、魏晉、南北朝時期專著｝

則〃(A)=3

n(A)_3

P(A)=

花J.歷

故選：A.

3.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行勞動技術比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙

去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有獲得冠軍.”對乙說：“你當然不會

是最差的.”若在此對話的基礎上5人名次的情況是等可能的，則最終丙和丁獲得前兩名的

概率為()

4824

A.—B.—C.-D.-

272799

【答案】A

【詳解】解：根據題意，當甲同學為第5名時，乙同學可能是第2,3,4名，故有A；A；=18

種，

3

當甲同學不是第5名時，甲、乙同學可能是第2,3,4名，故有A；A；=36種,

故滿足回答者的所有情況共18+36=54種.

其中，最終丙和丁獲得前兩名的情況有兩類，

當甲同學為第5名，丙和丁獲得前兩名時有=4種；

當甲同學不是第5名，內和丁獲得前兩名時，有A；A；=4種，

所以，最終丙和丁獲得前兩名的情況有4+4=8種，

所以，最終丙和丁獲得前兩名的概率為尸=晝84

故選：A

4.現有甲、乙、丙、丁四個人到九嶷山、陽明山、云冰山、舜皇山4處景點旅游，每人只去一處

景點，設事件A為“4個人去的景點各不相同”，事件B為“只有甲去了九嶷山”，則

P（A|B）=（）

5421

A.-B.-C.—D.-

9993

【答案】C

【詳解】由題意，4人去4個不同的景點，總事件數為4x4x4x4=256,

97

事件B的情況數為1x3x3x3=27,則事件8發(fā)生的概率為尸（8）=工，

事件A與事件B的交事件A8為“甲去了九嶷山，另外三人去了另外三個不同的景點”

事件AB的情況數為1xA；=6,則事件AB發(fā)生的概率為P（A5）=2=上，

3

即「缶書）=篇=要2

9

256

故選：C.

5.從裝有。個紅球和匕個藍球的袋中（。，。均不小于2）,每次不放回地隨機摸出一球.記

“第一次摸球時摸到紅球”為A，“第一次摸球時摸到藍球”為&；“第二次摸球時摸到

紅球”為B1,“第二次摸球時摸到藍球”為層，則下列說法錯誤的是（）

A.Pg）=3B.0（圖A）+P（囚4）=1

C.P（fi,）+P（B2）=1D.P（囚4）+P（卻4）=1

【答案】D

【詳解】由題意可知，尸（A）=—＞，P（4）=—

a+ba+b

P3）=P（ABH號北+總&

4

尸電）=尸（的）+尸（.）=島./+左會"芻

從而P（刀）+尸（不）=1,故AC正確;

aa-\

又因為尸⑷A）=今等=幺±員/二1a-\

a+h-\

a+b

ab

p(8|A)==a+b"+6-1=_L_,

\-'P(A)a+b-\

a+b

故P(BJA)+P(4lA)=l,故B正確;

ha

尸⑻4)=畸="5^a

a+b-\

a+b

故尸⑻A）+尸⑷&）=高+與=$兒故D錯誤.

故選:D.

舉一反三/

1.從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（）

A』B-C—D-

632U-3

【答案】D

【詳解】從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，共有C；=21種不同的取法，

若兩數不互質,不同的取法有:（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7種，

21-72

故所求概率P=——=-.

213

故選：D.

2.某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立.已知該棋手與甲、

乙、丙比賽獲勝的概率分別為“，P2，P3,且P3>P2>Pl>0.記該棋手連勝兩盤的概率為。,

則（）

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關B.該棋手在第二盤與甲比賽，"最大

5

C.該棋手在第二盤與乙比賽，0最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，0最大

【答案】D

【詳解】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，

記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序為乙甲丙及丙甲乙的概率均為

則此時連勝兩盤的概率為兩

則“口=：［（1-Pz）PlP3+P2Pl（1-P3）］+；［（I-P3）P|P2+P3Pl（1一生）］

=P|（P2+P3）-2RP2P3；

記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為1,

門與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關.選項A判斷錯誤.

故選：D

3.現有5位老師，若每人隨機進入兩間教室中的任意一間聽課，則恰好全都進入同一間教

室的概率是（）

A.B.C.I）.

【答案】B

【詳解】5位老師，每人隨機進入兩間教室中的任意一間聽課，共有廠|種方法,

其中恰好全都進入同一間教室，共有2種方法，所以

故選：B

4.一個口袋中有大小、形狀完全相同的4個紅球，3個藍球，3個白球，現從袋中隨機抽取

3個球.事件甲：3個球的顏色互不相同；事件乙：恰有2個紅球；事件丙：至多有1個藍

球；事件?。?個球顏色均相同.則下列結論正確的是（）

A.事件甲與事件丁為對立事件B.事件乙的概率是事件丁的6倍

C.事件丙和事件丁相互獨立D.事件中與事件丙相互獨立

【答案】B

6

【詳解】事件甲與事件丁為互斥事件，但事件取得的3個球為2個紅球，1個白球發(fā)生時,

事件甲與事件丁都不發(fā)生，所以事件甲與事件丁不對立，A項錯誤；事件甲的概率

，事件乙的概率，事件丙的概率，事件

丁的概率,故B項正確；事件丙和事件丁同時發(fā)生的

，故C項錯誤；因為事件中與事件丙同時發(fā)生的事件為甲事件,

用所以事件甲與事件丙不相互獨立，故D項錯誤.

故選：B.

5.在一個質地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數字1,2,3,4.連續(xù)拋擲這個正

四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數字，記事件口為“兩次記錄的

數字之和為奇數”，事件口為“第一次記錄的數字為奇數”，事件口為“第二次記錄的數

字為偶數”，則下列結論正確的是（）

A.事件口與事件口是對立事件B.事件□與事件口不是相互獨立事件

C.D.

【答案】C

【詳解】對于A,事件口與事件匚是相互獨立事件，但不是對立事件，故A錯誤：

立事件,故B錯誤；

對于C,連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，記錄的結果一共有「"腳,

其中，事件口發(fā)生,則兩次朝下的點數為一奇一偶,有「|種,所以

因為拋擲正四面體向卜的數字為奇數和偶數的方法種數相同，所以

所以，故C正確；

對于D,事件匚」表示第一次記錄的數字為奇數，第二次記錄的數字為偶數，故

故D錯誤.

故選：C.

7

易錯題通關

一、單選題

1.在中國農歷中，一年有24個節(jié)氣，“立春”居首.北京2022年冬奧會開幕正逢立春，開

幕式上“二十四節(jié)氣”的倒計時讓全世界領略了中華智慧.墩墩同學要從24個節(jié)氣中隨機

選取4個介紹給外國的朋友，則這4個節(jié)氣中含有“立春”的概率為（）

A.—B.-C.—D.-

226238

【答案】B

【詳解】從24個節(jié)氣中選擇4個節(jié)氣，共有CM種情況，

這四個節(jié)氣中含有“立春”的情況有CM種情況，

故這4個節(jié)氣中含有“立春”的概率為學=1.

。24°

故選：B

2.從一堆產品（其中正品與次品都多于2件）中任取2件，觀察正品件數和次品件數，則

下列每對事件互斥但不對立的是（）

A.“至少有1件次品”與“全是次品”

B.“恰好有1件次品”與“恰好有2件次品”

C.“至少有1件次品”與“全是正品”

D.“至少有1件正品”與“至少有1件次品”

【答案】B

【詳解】從一堆產品中任取2件，基本事件為“全是正品”，“一件正品，一件次品”，“全

是次品”，共3種情況，

其中AD不互斥，C是對立事件，只有B互斥但不對立.

故選：B.

3.天河英才秋季運動會三個吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，現將三張分別印

有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”這三個圖案的卡片（卡片的形狀、大小和質地完全相同）放入

盒子中.若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概

率是（）

A.-B.-C.2D.-

3399

【答案】C

8

【詳解】設三張卡片“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”依次記為AHC,若從盒子中依次有放回

地取出兩張卡片，則基本事件為：AB,AC,8C,A4,B8,CC,8A,C4,C8共9種，

則其中一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的基本事件為：AB,BA共2種，

所有所求概率為p=《

故選：C.

4.在醫(yī)學生物學試驗中，經常以果蠅作為試驗對象，一個關有6只果蠅的籠子里，不慎混

入了兩只蒼蠅（此時籠內共有8只蠅子：6只果蠅和2只蒼蠅），只好把籠子打開一個小孔，

讓蠅子一只一只地往外飛，直到兩只蒼蠅都飛出，再關閉小孔.記事件4表示“第％只飛出

籠的是蒼蠅"，左=1,2,…,8,則外414）為（）

A.-B.-C.-D.-

5675

【答案】C

【詳解】由題得P（4）=矍V，P（4A）=黑占總，

則尸⑷&）=號符=；,故A,B,D錯誤.

故選：C.

5.足球運動是目前全球體育界最具影響力的項目之一，深受青少年喜愛.有甲，乙，丙，

丁四個人相互之間進行傳球訓練，從甲開始傳球，甲等可能地把球傳給乙，丙，丁中的任何

一個人，以此類推，則經過三次傳球后乙只接到一次球的概率為（）

,1?1八8八16

A.—B.-C.—D.—

2792727

【答案】D

【詳解】由題意，根據第一次傳給乙第二次傳給甲或丙或丁第三次傳給丙丁或甲丁或甲丙,

第一次傳給丙或丁第二次傳給乙第三次傳給甲或丙或丁，第一次傳給丙或丁第二次傳給甲丁

或甲丙第三次傳給乙分別求出概率，再求和可得答案.

16

F=1X1X2+2X1X1+2X2XI=

333333327

故選：D

6.現將除顏色外其他完全相同的6個紅球和6個白球平均放入力、8兩個封閉的盒子中，甲

從盒子/中，乙從盒子6中各隨機取出一個球，若2個球同色，則甲勝，且將取出的2個球

全部放入盒子/中；若2個球異色，則乙勝，且將取出的2個球全部放入盒子8中.按上述

規(guī)則重復兩次后，盒子4中恰有8個球的概率是（）

9

【答案】A

【詳解】若兩次取球后，盒子A中恰有8個球，則兩次取球均為甲勝，即兩次取球均為同色.

331

若第次取球甲、乙都取到紅球，概率為2、二=:，

664

則第一次取球后盒子力中有4個紅球和3個白球，盒子6中有2個紅球和3個白球，

第二次取同色球分為取到紅球或取到白球，概率4為2+33=[17,

故第一次取球甲、乙都取到紅球且兩次取球后，

11717

盒子/有8個球的概率為^乂王=詢，

同理，第一次取球甲、乙都取到白球且兩次取球后，

盒子/中有8個球的概率為=工，所以兩次取球后，

140

盒子A中恰有8個球的概率是1法7+高17=去17.

故選:A.

7.在二項式+馬=）的展開式，前三項的系數成等差數列,

把展開式中所有的項重新

排成一列，有理項中恰有兩項相鄰的概率為（）

【答案】B

【詳解】展開式通項為二1

由題意2c-27=C；?2°+C；?2々，.-.n=8.

所以當r=0,4,8時已業(yè)為整數，相應的項為有理項，

4

因為二項式展開式中共有9項，其中有3項是有理項，6項是無理項,

耳A；后2

所求恰有兩項有理項相鄰的概率為P=

2

故選：B.

8.為加快新冠病毒檢測效率，檢測機構采取“10合1檢測法”，即將1（）個人的拭子樣本合

并檢測，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的：若為陽性，則還需要對本組的每個人

再做檢測.現對來自重點管控區(qū)的10（）人進行核酸檢測，若有2人感染病毒，則隨機將其平

均分成10組后這兩名感染患者在同一組的概率為（）

10

【答案】c

【詳解】若有2人感染病毒，隨機這100人平均分成10組,

「8-10—10「10「10—10010

^98^90^80^7()^L50^40^30^20

則這兩名感染患者在同一組的分組方法數為6c

「8010「10「10「10「10「10「10010

198190&80&70^60L50^40&30&20

因此，所求概率為p=「10plOplOplOplOpiOplOplOpIO

^1(X)-90—80—70^60^50^40—30—20

A；；

故選：C.

二、多選題

9.從甲袋中摸出一個紅球的概率是g,從乙袋中摸出一個紅球的概率是g,從兩袋各摸出

一個球，下列結論正確的是（）

A.2個球都是紅球的概率為，

B.2個球不都是紅球的概率為:

C.至少有1個紅球的概率為:

D.2個球中恰有1個紅球的概率為g

【答案】ACD

【詳解】設“從甲袋中摸出一個紅球”為事件4,從“乙袋中摸出一個紅球”為事件4，

則尸（A）=；，P（A）=p

對于A選項，2個球都是紅球為A4,其概率為故A選項正確，

326

對于B選項，“2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事件，其概率為

故B選項錯誤，

對于C選項,2個球至少有一個紅球的概率為1-P（4）尸（%）=l-|x；=|,故c選項正確，

對于D選項，2個球中恰有1個紅球的概率為gx；+gxg=g,故D選項正確.

故選；ACD.

10.甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑

球，先從甲口袋中隨機取出一球放入乙口袋，分別以A，4和4表示由甲口袋取出的球是

11

紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機取出一球，以8表示由乙口袋取出的球是紅球

的事件，則下列結論中正確的是()

A.4，&,&是兩兩互斥的事件B.事件A與事件6相互獨立

C.網用&)=五D.P(B)=-

【答案】AC

【詳解】由題意得可知A，4,4是兩兩互斥的事件，故A正確；

3?11

「尸⑷=歷‘尸⑷=歷二尸⑷=5

13

，尸(同4)=饋個=空=5，故c正確；

5

34.

由尸(樞)=海=崢,

V1"P(A)2ii

io

Aoio1oo

P(B)=P(?A)+^A)+P(BA3)=-X-+-X^+-X-=-

「(B|A)WP(8)

事件A與事件8不獨立，故B、D錯誤；

故選：AC

三、解答題

II.臺灣是中國固有領土，臺海局勢牽動每個人的心.某次海軍對抗演習中，紅方飛行員甲

負責攻擊藍方艦隊.假設甲距離藍方艦隊100海里，且未被發(fā)現，若此時發(fā)射導彈，命中藍

方戰(zhàn)艦概率是0.2,并可安全返回.若甲繼續(xù)飛行進入到藍方方圓50海里的范圍內，有0.5

的概率被敵方發(fā)現，若被發(fā)現將失去攻擊機會，且此時自身被擊落的概率是0.6.若沒被發(fā)

現，則發(fā)射導彈擊中藍方戰(zhàn)艦概率是0.8,并可安全返回.命中戰(zhàn)艦紅方得10分，藍方不

得分；擊落戰(zhàn)機藍方得6分，紅方不得分.

(D從期望角度分析，甲是否應繼續(xù)飛行進入到藍方方圓50海里的范圍內？

(2)若甲在返回途中發(fā)現敵方兩架轟炸機，此時甲彈艙中還剩6枚導彈，每枚導彈命中轟炸

機概率均為0.5.

(i)若甲同時向每架轟炸機各發(fā)射三枚導彈，求恰有一架轟炸機被命中的概率；

(ii)若甲隨機向一架轟炸機發(fā)射一枚導彈，若命中，則向另一架轟炸機發(fā)射一枚導彈，若

不命中，則繼續(xù)向該轟炸機發(fā)射一枚導彈，直到兩架轟炸機均被命中或導彈用完為止，求最

終剩余導彈數量X的分布列.

12

【答案】(1)

由題可知，若不進入50海里，甲相對得分的期望為0.2X10=2,

若進入50海里，甲相對得分的期望為0.5X0.8X10+0.5X0.6X(-6)=2.2,

所以甲應繼續(xù)飛行進入到藍方方圓50海里的范圍內；

(2)

(i)因為每枚導彈命中轟炸機概率均為0.5,

所以一架轟炸機被命中的概率為1-。-0.5)3=：,

O

77

所以恰有一架轟炸機被命中的概率為

O32

(ii)由題可知X的可能取值為0,1,2,3,4,

因為尸(X=4)=0.5x0.5=0.25,

P(X=3)=(1-O.5)XO.5XO.5+O.5X(1-O.5)XO.5=O.25,

P(X=