新北師大版八年級數(shù)學(xué)下第一章三角形的證明+同步練習(xí)(4份)同步練習(xí)含答案

1.1等腰三角形一、選擇題1．如圖1－22所示，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，那么∠A等于()A．30°B．40°C．45°D．36°2．在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，如圖1－23所示，那么圖中的等腰三角形有()A．1個B．2個C．3個D．4個3．如圖1－24所示，在□ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC邊于點E，那么BE等于()A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm4．下面幾種三角形：①有兩個角為60°的三角形；②三個外角都相等的三角形；③一條邊上的高也是這條邊上的中線的三角形；④有一個角為60°的等腰三角形．其中是等邊三角形的有()A．4個B．3個C．2個D．1個二、填空題5．用反證法證明命題“三角形中至少有一個角大于或等于60°”時，第一步應(yīng)假設(shè).6．等腰三角形的頂角α＞90°，如果過其頂角的頂點作一條直線將這個等腰三角形分成了兩個等腰三角形，那么α的度數(shù)為．三、解答題7．如圖1－25所示，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于O點，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求證：(1)△ABC≌△ADC；(2)BO＝DO．8．文文和彬彬在證明“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”這一命題時，畫出圖形，如圖1－26所示，寫出、求證，她們對各自所作的輔助線描述如下：文文：過點A作BC的中垂線AD，垂足為D．彬彬：作△ABC的角平分線AD．?dāng)?shù)學(xué)老師看了兩位同學(xué)的輔助線作法后，說：“彬彬的作法是正確的，而文文的作法需要改正．”(1)請你簡要說明文文的輔助線作法錯在哪里；(2)根據(jù)彬彬的輔助線作法，完成證明過程．9．四邊形ABCD是正方形．(1)如圖1－27(1)所示，點G是BC邊上任意一點(不與B，C兩點重合)，連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E．求證△ABF≌△DAE；(2)在(1)中，線段EF與AF，BF的等量關(guān)系是；(不需證明，直接寫出結(jié)論即可)(3)如圖1－27(2)所示，假設(shè)點G是CD邊上任意一點(不與C，D兩點重合)，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，那么圖中的全等三角形是，線段EF與AF，BF的等量關(guān)系是．(不需證明，直接寫出結(jié)論即可)10．如圖1－28所示，D為△ABC的邊AB的延長線上一點，過D作DF⊥AC，垂足為F，交BC于E，且BD＝BE，求證△ABC是等腰三角形．11．如圖1－29所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，點E在AC上．CE＝BC，過點E作AC的垂線，交CD的延長線于點F，求證AB＝FC．參考答案1．D[提示：此題綜合考查三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)．由AD＝BD，得∠A＝∠ABD，∠BDC＝2∠A，由BD＝BC，得∠C＝∠BDC＝2∠A．由AB＝AC，得∠ABC＝∠C＝2∠A，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A+2∠A+2∠A＝180°，即∠A＝36°．]2．D[提示：△ABD，△ACD，△AOD，△BOC都是等腰三角形．]3．A[提示：由DE平分∠ADC，得∠ADE＝∠CDE，由AD∥BC，得∠ADE＝∠CED，∴∠CED＝∠CDE，∴EC＝DC＝6cm，∴BE＝BC－EC＝8－6＝2(cm)．]4．B［提示：利用等邊三角形的判定定理可知①②④為等邊三角形，③為等腰三角形．]5．三角形中沒有大于或等于60°的角(或三角形的所有內(nèi)角都小于60°)6．108°[提示：畫出圖形，利用三角形內(nèi)角和求解．]7．證明：(1)在△ABC和△ADC中，∵∠1＝∠2，AC＝AC，∠3＝∠4，∴△ABC≌△ADC．(2)由(1)知AB＝AD，又∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO，∴OB＝OD．8．解：(1)過點A作BC的垂線，不一定過BC的中點，如果連接點A和BC中點D，那么AD與BC不一定垂直．(2)證明：作△ABC的角平分線AD，那么∠BAD＝∠CAD，又∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC．9．(1)證明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝90°．在Rt△ABF中，∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DAE．在△ABF與△DAE中，∠ABF＝∠DAE，∠AFB＝∠DEA＝90°，AB＝DA，∴△ABF≌△DAE(AAS)．(2)EF＝AF－BF(3)△ABF≌△DAEEF＝BF－AF10．證明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°，∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠1＝90°，∴∠A+∠D＝∠C+∠1．又∵BD＝BE，∴∠2＝∠D(等邊對等角)．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠D，∴∠A+∠D＝∠C+∠D，∴∠A＝∠C，∴AB＝BC(等角對等邊)，∴△ABC是等腰三角形．11．證明：FE⊥AC于點E，∠ACB＝90°，∴∠FEC＝∠ACB＝90°，∴∠F+∠ECF＝90°．又∵CD⊥AB于點D，∴∠A+∠ECF＝90°，∴∠A＝∠F．在△ABC和△FCE中，∠A＝∠F，∠ACB＝∠FEC，BC＝CE，∴△ABC≌△FCE，∴AB＝FC．1.2直角三角形一、選擇題1．以下命題中，是真命題的是〔〕A．相等的角是對頂角B．兩直線平行，同位角互補C．等腰三角形的兩個底角相等D．直角三角形中兩銳角互補2．假設(shè)三角形三邊長之比為1∶∶2，那么這個三角形中的最大角的度數(shù)是〔〕A．60°B．90°C.120°D．150°3．在△ABC中，假設(shè)∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2，那么其各角所對邊長之比等于〔〕A．∶1∶2B．1∶2∶C．1∶∶2D．2∶1∶4．如果兩個三角形的兩條邊和其中一條邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三條邊所對的角的關(guān)系是〔〕A．相等B．互補C．相等或互補D．相等或互余5．具備以下條件的兩個三角形可以判定它們?nèi)鹊氖恰病矨．一邊和這邊上的高對應(yīng)相等B．兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等C．兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等D．兩個直角三角形中的斜邊對應(yīng)相等二、填空題6．在等腰三角形中，腰長是a，一腰上的高與另一腰的夾角是30°，那么此等腰三角形的底邊上的高是．7．△ABC中，邊長a，b，c滿足a2＝b2＝c2，那么∠B＝.8．如圖1－46所示，一艘海輪位于燈塔P的東北方向，距離燈塔海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，那么海輪行駛的路程AB為海里〔結(jié)果保存根號〕．三、解答題9．等腰三角形ABC中，AB＝AC＝cm，底邊BC＝cm，求底邊上的高AD的長．10．如圖1－47所示，把矩形ABCD沿對角線BD折疊，點C落在點F處，假設(shè)AB＝12cm，BC＝〔1〕求AE的長；〔2〕求重合局部的面積．11．如圖1－48所示，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B′處，點A落在點A′處．〔1〕求證B′E＝BF；〔2〕設(shè)AE＝a，AB＝b，BF＝c，試猜測a，b，c之間的一種關(guān)系，并給出證明．12．三個牧童A，B，C在一塊正方形的牧場上看守一群牛，為保證公平合理，他們商量將牧場劃分為三塊分別看守，劃分的原那么是：①每個人看守的牧場面積相等；②在每個區(qū)域內(nèi)，各選定一個看守點，并保證在有情況時，他們所需走的最大距離〔看守點到本區(qū)域內(nèi)最遠(yuǎn)處的距離〕相等．按照這一原那么，他們先設(shè)計了一種如圖1－49〔1〕所示的劃分方案，把正方形牧場分成三塊相等的矩形，大家分頭守在這三個矩形的中心〔對角線交點〕，看守自己的一塊牧場．過了一段時間，牧童B和牧童C又分別提出了新的劃分方案．牧童B的劃分方案如圖1－49〔2〕所示，三塊矩形的面積相等，牧童的位置在三個小矩形的中心．牧童C的劃分方案如圖1－49〔3〕所示，把正方形的牧場分成三塊矩形，牧童的位置在三個小矩形的中心，并保證在有情況時三個要所需走的最大距離相等．〔1〕牧童B的劃分方案中，牧童〔填“A”“B”或“C”〕在有情況時所需走的最大距離較遠(yuǎn)．〔2〕牧童C的劃分方案是否符合他們商量的劃分原那么?為什么?〔提示：在計算時可取正方形邊長為2〕參考答案1．C[提示：可以舉出例子說明A，B，D為假命題．]2．B[提示：設(shè)三邊長分別為a，a，2a，那么a2+〔a〕2＝〔2a〕23．D[提示：∠A＝90°，∠B＝30°，∠C＝60°．]4．C[提示：如圖1－50〔1〕所示，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD⊥BC于點D，A′D′上B′C′于D′點，且AD＝A′D′，根據(jù)HL可判定Rt△ABD≌Rt△A′B′D′，從而證得∠B＝∠B′．如圖1－50〔2〕所示，可知此時兩角互補．]5．B[提示：利用HL可證明．]6．a(chǎn)或a[提示：由題意可以畫出如圖1—51所示的兩種情況．]7．60°[提示：b2=3a2，c2=4a2c2=a2+b2，b=a，c=8．40+40[提示：在Rt△ACP中，APC=45°，AP=40,∴AC=PC=40．在Rt△PCB中，∠PBC=30°，BC=40,∴AB=AC+BC=40+40.]9．解：∵AD為底邊上的高∴BD=CD=BC=×=(cm)．在Rt△ABD中由勾股定理，得AD===2cm10．解：(1)∵∠CBD=∠FBD(軸對稱圖形的性質(zhì))，又∠CBD=∠ADB(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，∴∠FBD=∠ADB(等量代換)．∴EB=ED(等角對等邊)．設(shè)AE=xcm，那么DE=(16一x)cm，即EB=(16一x)cm，在Rt△ABE中，AB2=BE2一AE2即l22=(16一x)2一x2，解得x=3．5．即AE的長為3．5cm．(2)BA⊥AD，∴S△BDE=DE?BA=×(16—3.5)×12=75(cm2)．11．(1)證明：由題意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE．在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠B′EF=∠BFE，∴∠B′FE=∠B′EF，∴B′F=B′E．∴B′E=BF．(2)解：a，b,f三者關(guān)系有兩種情況．①a，b,c三者存在的關(guān)系是a2十b2=c2.證明如下：連接BE，那么BE=B′E．由(1)知B′E=BF=c∴BE=c．在△ABE中，∠A=90°∴AE2+AB2=BE2∵AE=aAB=b，∴a2+b2=c2．②a．b，c三者存在的關(guān)系是a+b>c證明如下：連接BE，那么BE=B′E．由(1)知B′E=BF=c，BE=f．在△ABE中，AE+AB>BE∴a+b>c.12．解：(1)C[提示：認(rèn)真觀察，用圓規(guī)或直尺進(jìn)行比擬，此方法適用于標(biāo)準(zhǔn)作圖．](2)牧童C的劃分方案不符合他們商量的．劃分原那么．理山如下：如圖1－52所示，在正方形DEFG中，四邊形HENM，MNFP，DHPG都是矩形，且HN=NP=HG，那么EN=NF，S矩形HENM=S矩形MNFP，取正方形邊長為2．設(shè)HD=x，那么HE=2一x,在Rt△HEN和Rt△DHG中，由HN=HG，得EH2+EN2=DH2+DG2，即(2一x)2+l2=x2+22，解得x=,∴HE=2－x=,∴S矩形HENM=S矩形MNFP=1×=,∴S矩形DHPG≠S矩形HEMN∴牧童C的劃分方案不符合他們商量的原那么．1.3線段的垂直平分線一、選擇題1．MN是線段AB的垂直平分線，C，D是MN上任意兩點，那么∠CAD和∠CBD之間的大小關(guān)系是〔〕A.∠CAD<∠CBDB.∠CAD＝∠CBDC.∠CAD>∠CBDD.無法判斷2．如圖1－75所示，在△ABC中，AD垂直平分掃BC，AC＝EC，點B，D，C，E在同一條直線上，那么AB＋DB與DE之間的數(shù)量關(guān)系是〔〕A.AB＋DB>DEB.AB＋DB<DEC.AB＋DB＝DED.無法判斷3．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交線段AC于D，假設(shè)△ABC和△DBC的周長分別是60cm和38cm，那么△ABC的腰長和底邊BC的長分別是〔〕A．24cm和12cmB.16cm和22cmC．20cm和16cmD．22cm和16cm4．如圖1－76所示，A，B是直線l外兩點，在l上求作一點P，使PA＋PB最小，其作法是〔〕A.連接BA并延長與l的交點為PB.連接AB，并作線段A月的垂直平分線與l的交點為PC.過點B作l的垂線，垂線與l的交點為PD.過點A作l的垂線段AO，O是垂足，延長AO到A′，使A′O＝AO，再連接A′B，那么A′B與L的交點為P5．假設(shè)一個三角形兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上，那么這個三角形是〔〕A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．不能確定二、填空題6．到線段AB兩個端點距離相等的點，在.7．直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC的垂直平分線交AB于D，假設(shè)AD＝2cm，那么BD＝cm．三、解答題8．如圖l－77所示，在△ABC中，∠BAC＝110°，PM，QN分別垂直平分AB，AC，求∠PAQ的度數(shù)．9．如圖1－78所示，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝8cm，AB＝6cm，BC邊的垂直平分線DE交BC于E，交AC于D，求△ABD的周長．10．如圖l－79所示，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，DE交AC于點D，假設(shè)△DBC的周長為35cm，求BC的長．11．如圖1－80所示，△ABC中，AB，AC的垂直平分線分別交BC于點D，E，△ADE的周長為12cm，求BC的長．12．如圖1－81所示，A，B是公路l〔l為東西走向〕兩旁的兩個村莊，A村到公路l的距離AC＝1km，B村到公路l的距離BD＝2km，B村在A村的南偏東45°方向上．〔1〕求A，B兩村之間的距離；〔2〕為方便村民出行，方案在公路邊新建一個公共汽車站P，要求該站到兩村的距離相等，請用尺規(guī)在圖中作出點P的位置．〔保存清晰的作圖痕跡，并簡要寫明作法〕13．如圖1－82所示，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，點O是AD，BC的交點，點E是AB的中點．試判斷OE和AB的位置關(guān)系，并給出證明．參考答案1．B[提示：△CAD≌△CBD]2．C[提示：因為AB＝AC，BD＝CD，所以AB＋DB＝AC＋DC＝EC＋DC＝DE]3．D[提示：AB的垂直平分線與邊AC交于D，那么BD＝AD，故BD＋DC＝AC，所以AB＝60－38＝22〔cm〕，AC＝22cm，BC＝38－22＝16〔cm〕．]4．D[提示：由D中作法知，直線l垂直平分AA′，那么PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，兩點之間線段最短．]5．C[提示：直角三角形的三邊垂直平分線交于斜邊的中點處．]6．線段AB的垂直平分線上7．2[提示：AD＝CD＝BD．]8．解：∵∠BAC=110°，∴∠B＋∠C；180°－110°=70°．∵PM，QN分別垂直平分AB，AC，∴△BPM≌△APM，△CQN≌△AQN．∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．∴∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝70°．∴∠PAQ=∠BAC－∠BAP－∠CAQ＝110°－70°＝40°．9．解：∵DF垂直平分BC，∴BD＝DC，∴AC=AD＋DC=AD＋BD＝8cm．又∵AB＝6cm，∴AB＋AD＋DB＝14cm，即△ABD的周長為14cm．10．解：因為D正垂直平分AB，垂足為正，D正交AC于點D，所以DA＝DB，所以BD＋DC＝AD＋DC＝20cm．又因為△DBC的周長為35cm，即BD＋DC＋BC＝35cm，所以BC=15cm．11．解：因為AB，AC的垂直平分線分別交BC于點D，E，所以DA＝DB，EA=EC，所以BC＝BD＋DE＋EC＝DA十DF＋AE，即為△ADE的周長．又因為△ADE的周長為12cm，所以BC＝12cm．12．解：如圖1－83所示．〔1〕方法1：設(shè)AB與CD的交點為O，根據(jù)題意可得∠A=∠OBD=45°，∴△ACO和△BDO都是等腰直角三角形，∴AO＝，BO＝，∴A，B兩村的距離為AB=AO＋BO＝＋2＝3〔km〕．方法2：過點B作直線l的平行線交AC的延長線于E，易證四邊形CDBE是矩形，∴CE＝BD＝2．在Rt△AEB中，由∠A=45°，可得EF＝CA＝3，∴AB＝〔km〕．〔2〕作法：①分別以點A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于兩點M，N，作直線MN；②直線MN交l于點P，點P即為所求．13．解：OE⊥AB證明如下：在△BAC和△ABD中，AC=BD，∠BAC=∠ABD，AB＝BA，∴△BAC≌△ABD，∴∠OBA＝∠OAB，∴OA＝OB．又AE＝BE，∴OE⊥AB．

1.4角平分線一、選擇題1．如圖1—101所示，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D，C分別在D′,C′的位置，假設(shè)∠EFB=65°，那么∠AED′等于〔〕A．70°B．65°C．50°D．25°2．如圖1—102所示．在ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于點D，DE⊥AB于點E．假設(shè)AB=6cm，那么DEB的周長為〔〕A．12cmB．8cmC．6cmD．4cm3．如圖1—103所示，D，E分別是△ABc的邊AC．Bc上的點，假設(shè)△ADB≌△EDB≌△EDC，那么∠C的度數(shù)為〔〕A．15°B．20°C．25°D．30°4．如圖1—104所示，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B，以下結(jié)論不一定成立的是〔〕A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OP二、填空與解答題5．補全“求作∠AOB的平分線”的作法：①在OA和OB上分別截取OD，OE．使OD=OE；②分別以D，E為圓心，以為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點C；③連接OC．那么OC即為∠AOB的平分線．6．如圖1—105所示，D，E，F(xiàn)分別是,ABC的三邊上的點，CE=BF，△DCE和△DBF的面積相等．求證AD平分∠BAC．7．如圖1—106所示，AD為ABC的角平分線，DE⊥AC于點E，DF⊥AB于點F，EF交AD于點M，求證AM⊥EF．8．如圖1—107所示，,在EAABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25．△ABC內(nèi)是否有一點P到各邊的距離相等？?如果有，請作出這一點，并且說明理由，同時求出這個距離；如果沒有，請說明理由．〔簡要說明作圖過程即可〕9．某考古隊為進(jìn)行考占研究，尋找一座古城遺址，根據(jù)資料記載，這座古城在森林附近，到兩河岸距離相等，到古塔的距離是3000m．根據(jù)這些資料，考古隊員很快找到了這座古城的遺址．請你運用學(xué)過的知識在圖l—108上找到古城的遺址〔比例尺為1：100000〕．10．學(xué)完了“角平分線”這節(jié)內(nèi)容，愛動腦筋的小明發(fā)現(xiàn)了一個在直角三角形中畫銳角的平分線的方法：在如圖1—109所示的RtAABC的斜邊AB上取點E，使BE=BC，然后作DE⊥AB交AC于點D，那∠BD就是∠ABC的平分線．你認(rèn)為他的作法有道理嗎？說說你的看法．11．現(xiàn)有一塊三角形的空地，其三邊的長分別為20m，30m，40m，現(xiàn)要把它分成面積為2：3：4的三局部，分別種植不同的花草，請你設(shè)計一種方案，并簡單說明理由．12．如圖1—110〔1〕所示，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為公共邊的全等三角形．請你參考這個作全等三角形的方法，解答以下問題．〔1〕如圖1一110〔2〕所示，在∠ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，AD，CE相交于點F，請你寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；〔不要求寫證明〕〔2〕如圖1-110〔3〕所示，在AABC中，如果∠ACB不是直角，而〔1〕中的其他條件不變，那么〔1〕中所得的結(jié)論是否仍然成立？假設(shè)成立，請證明；假設(shè)不成立，請說明理由．參考答案1．C[提示：折痕EF恰為∠DED′的角平分線，∴∠DEF=∠D′EF．又∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=65°∴∠DED′=65°×2=130°∴∠AED′=180°一∠DED′=50°．]２．Ｃ［提示：易知DE=DC，AE=AC=BC，∴BE＋DE＋BD=BD＋DC＋BE＝BC＋BE=AC＋BE=AE＋BE=AB=6cm．]3．D[提示：易證∠C=∠DBE=∠DBA，∠DEC=∠DEB=∠A=90°．]4．D[提示：證明△OAP≌△OBP，可得答案．]5.大于DE長．6．證明：如圖1一l11所示，過點D作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G，因為S△DCE=S△DBF,所以CＥ?DG=BF?DH，又CE=BF，所以DG=DH，所以點D在∠BAC的平分線上，即AD平分∠BAC．7．證明：因為AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，所以DF=DE．AF=AE，∠FAM=∠AF=AE，∠FAM=∠EAM，AM=AM，AD=AD，DF=DE，在Rt△ADF和Rt△ADE中，所以Rt△ADF≌Rt△AD〔HL〕．所AF=AE．在△AMF和△AME中，所以△AMF≌△AME〔ＳＡＳ〕，所以∠AMF=∠AME．又因為∠AMF＋∠AME=180°，所以∠AMF=∠AME=90°，即AM⊥EF8．解：有，如圖1一112所示，作∠BAC，∠ACB的平分線，它們的交點P即為符合要求的點．