2023-2024學(xué)年安徽省安慶市懷寧縣高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年安徽省安慶市懷寧縣高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.經(jīng)過點(diǎn)（0』）且與直線x+2y-1=0垂直的直線的方程為（

A.x+2y-2=0B.x-2y+2=0

C.2x-y+\=0D.2x+y-i=0

【正確答案】C

【分析】與直線x+2y-1=0垂直的直線的斜率為2,結(jié)合點(diǎn)斜式即可求解直線方程.

【詳解】直線x+2y-l=0的斜率為一J

所以與直線x+2y-l=0垂直的直線的斜率為2,又過點(diǎn)（0,1）,

???所求直線方程為：y=2x+\

即2x-y+1=0

故選：C

2.已知向量：;（2,-1,3）,（-4,2,。的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)f的取值范圍為（）

A.(-8,-6)q-6,—

【正確答案】B

【分析】根據(jù)向量：1（2,-1,3）,—（-4,2，。的夾角為鈍角，可得1晨0,且「，不共線,

列出不等式，從而可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚憾?,-1,3）,的夾角為鈍角，

所以且不共線，

-'-|Q

則。山=一10+3/<0，得，<與"，

當(dāng)時(shí)，，=-6,

的取值范圍為

故選：B.

3.已知直線/：ax-V+l=O與圓C:(x-l)2+/=4相交于兩點(diǎn)48,當(dāng)。變化時(shí)，△N8C的

面積的最大值為()

A.1B.>/2C.2D.272

【正確答案】C

【分析】將△N8C的面積表示出來即可求出最大值.

【詳解】因?yàn)橹本€直線/：奴-^+1=0恒過點(diǎn)(0,1)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交,

圓C:(X-1)2+/=4的圓心C(l,0)/=2,所以△NBC的面積的最大值為：

4.拋物線V=_i2x的準(zhǔn)線與雙曲線匚-片=1的兩條漸近線所圍成的三角形的面積等于

93

()

A.2B.C.373D.4

【正確答案】C

【分析】先求出拋物線/=-12x的準(zhǔn)線與雙曲線=1的兩條漸近線方程，然后求出

其交點(diǎn)坐標(biāo)，確定三角形底邊和對(duì)應(yīng)的高，利用面積公式求出三角形的面積.

【詳解】解：拋物線/=-12x的準(zhǔn)線為x=3,

雙曲線二-己=1的兩條漸近線方程分別為：y=Bx,y=-^-x，

9333

設(shè)準(zhǔn)線x=3與這兩條漸近線的交點(diǎn)分別為4B，則/(3,向,8(3,-6)

則|陰=20，

則準(zhǔn)線x=3與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為S=gxM@x3=gx2j5=W5

故選：C.

5.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以尸為焦點(diǎn)的拋物線/=4x上任意一點(diǎn)，若M是線段尸尸的中

點(diǎn)，則直線0"的斜率的最大值為（）

A.1B.1C.—D.3

323

【正確答案】A

【分析】設(shè)「（三,坊）,〃（》））,m是線段P尸的中點(diǎn)，得到》=與+,/=等，利用直線

2P44P2

%

的斜率公式，得到j(luò)自必=;春2？=二2二，結(jié)合基本不等式，即可求解.

￡+2（L旦+國

44py1,P

【詳解】由題意，拋物線V=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸（5,0）,

設(shè)產(chǎn)（9?，％），"（xj），〃是線段尸尸的中點(diǎn)，

2P

因?yàn)榍笮甭首畲笾?，不妨設(shè)外＞0,

y?

所以直線。用的斜率自忖=言支-7FI

44/7%P4%P

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?為，即坊=。時(shí)等號(hào)成立，

VoP

所以直線OM的斜率的最大值為1.

故選：A.

6.已知數(shù)列｛勺｝中，q=l,%=3/T+4（〃WN，且〃N2）,則數(shù)列｛4｝通項(xiàng)公式％為（）

A.3"-'B.3,,+1-2C.3"-2D.3"

【正確答案】C

由已知得的=7,23=3進(jìn)而確定數(shù)列0+2｝的通項(xiàng)公式，即可求%.

an-\+，

+

【詳解】由4=1,。“=3。“-1+4知：a2=7Ji—=3(^>2),而q+2=3,々+2=9,

an-l+2

???｛4+2｝是首項(xiàng)、公比都為3的等比數(shù)列,即%=3"-2,

故選：C

思路點(diǎn)睛：

1、構(gòu)造輔助數(shù)列：上吟=3且q+2=3,%+2=9可得｛%+2｝的通項(xiàng)公式；

an-\+2

2、求｛%｝通項(xiàng)公式：由輔助數(shù)列通項(xiàng)公式直接寫出

—1111

7.在數(shù)列｛““｝中，若q=0,an+l-an=2n,則一+—++-一的值為()

a2a3C7〃

n—\n+1_n-\

A.-----B?------C.-----D.——

nn/i+ln+1

【正確答案】A

【分析】利用累加法求得通項(xiàng)公式。“，

【詳解】由己知=2,a3-a2=4,a4-a3=6,an-an_y=2(n-1),"22,

〃22時(shí)，

)=(〃一地『)+工〃(1)

4“=4+(%-《)+(%-%)+(。"-%-1)=。+2+4++2(〃-l

?

111111

...—+—4-+—=-----+------+4----------

a2a3an1x22x3

I2八23J[n-\nJnn

故選：A.

本題考查累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.已知%+「%=/(〃)，可用

累加法求通項(xiàng)公式，已知—=/(〃)可用累乘法求通項(xiàng)公式.

%

8.已知定點(diǎn)片(-2,0),8(2,0),N是圓O:M+/=1上任意一點(diǎn),點(diǎn)與關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為

M,線段大M的中垂線與直線耳〃相交于點(diǎn)則點(diǎn)尸的軌跡方程是()

2222

A./+匕=1B.x2--^-=lC.—+y2=lD.---y2=1

3333

【正確答案】B

【分析】由N是圓0:x2+/=i上任意一點(diǎn)，可得|ON|=-1,N為M耳的中點(diǎn)可求g,結(jié)

合垂直平分線的性質(zhì)可得歸用=|尸加|,從而可得歸用-歸用|=2為定值，由雙曲線的定義即

可得結(jié)果.

【詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)P在歹軸左側(cè)時(shí)，連接。N,PF-貝?。輡ON|=gEM=l,所以優(yōu)M|=2.

結(jié)合PN為線段崎的垂直平分線，可得|尸周=1PM|=|尸閭-|居=I尸圖-2,

所以歸聞-|對(duì)|=2<山閭=4.

同理，當(dāng)點(diǎn)尸在軸右側(cè)時(shí)，|尸耳|-|尸闖=2<|耳瑪1=4.

故點(diǎn)戶的軌跡是雙曲線，其方程為--己=1.

3

故選：B

本題以圓為載體，考查了利用雙曲線的定義判斷圓錐曲線的類型，并求圓錐曲線的方程，屬

于中檔題.

二、多選題

22

9.已知雙曲線C:工上=1(Z>>a>0）的左、右焦點(diǎn)分別為百，瑪，雙曲線上存在點(diǎn)尸（點(diǎn)尸

a2b2

不與左、右頂點(diǎn)重合），使得耳=3/尸耳乙，則雙曲線C的離心率的可能取值為（）

A.—B.73C.—D.2

22

【正確答案】BC

【分析】由6>“>0可得e>0，記NPBB=a,利用正弦定理結(jié)合雙曲線及離心率的定義,

利用分比定理以及三角恒等變換公式化簡(jiǎn)離心率.然后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)得到離心率的取

值范圍，進(jìn)而做出判定.

【詳解】-：b>a>0,則離心率6=J+4>應(yīng)，則排除A；

記ZP耳瑪="（0。<0<45。），儼周=加,\PF2\=n,

則NPF?F\=3a,m-n=2a,

2c_m-n_2a

由正弦定理結(jié)合分比定理可知：-^-=—

sin3asinasin4asin3a-sinasin3a-sina

sin4a_2sin2acos2a=2cosad6,2),

sin3a-sinasin(2a+a)-sin(2a-@

所以B,C是正確的，D不正確.

故選：BC.

10.已知拋物線C:/=2px（p>0）的焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線/的距離為2,則（）

A.焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1,0）

B.過點(diǎn)47,0）恰有2條直線與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

C.直線x+y-1=0與拋物線。相交所得弦長(zhǎng)為8

D.拋物線C與圓x2+V=5交于M,N兩點(diǎn)，貝“MN|=4

【正確答案】ACD

【分析】先求出拋物線方程，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】由題可知拋物線方程為產(chǎn)=4x

對(duì)于A,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1,0）,故A正確

對(duì)于B,過點(diǎn)4-1,0）有拋物線的2條切線，還有y=0,共3條直線與拋物線有且只有一個(gè)

交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤

[x-\-y-\=02,

對(duì)于C,\=>爐+44=0,弦長(zhǎng)為

[y2=4x

也|必-%I=3?。ū?%）2-4必%=0116+16=8,故C正確

工2-4-172—5

對(duì)于D,\2=>X2+4x-5=0,解得x=l（1=-5舍去），交點(diǎn)為。,±2）,有1MA1=4,

y=4x

故D正確

故選：ACD

11.已知單調(diào)遞增的正項(xiàng)等比數(shù)列｛《,｝中，%-q=30,%-%=12,其公比為4,前〃項(xiàng)

和邑，則下列選項(xiàng)中正確的有（）

A.q=2B.仆=512C.S?=2a?-1D.S?<a?+l

【正確答案】AD

【分析】由已知條件解得等比數(shù)列｛%｝首項(xiàng)與公比后，即可得到數(shù)列｛““｝的通項(xiàng)公式及前〃

項(xiàng)和公式，代入驗(yàn)證各選項(xiàng)即可解決.

【詳解】單調(diào)遞增的正項(xiàng)等比數(shù)列中，公比為4（4>1）

Aa1=-32

a}q-ax=30卬=；或.

由，,可得1（舍）,

a”？_qq=]24=2q=2

則數(shù)列加,,｝的通項(xiàng)公式為%=2”,前n項(xiàng)和S,,=2（1-2，，）=2向-2

1—2

選項(xiàng)A.g=2判斷正確;

8

選項(xiàng)B.a8=2=256^512判斷錯(cuò)誤;

選項(xiàng)C.2%-1=2x7-1=型-1工，判斷錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D.%“=2向>2"”-2=S,判斷正確.

故選：AD

12.如圖所示，正方體N5C￡>-/'8'C'。的棱長(zhǎng)為1,E,尸分別是棱44',CC'的中點(diǎn),

過直線EF的平面分別與棱88'，DD'交于前M,N,以下四個(gè)命題中正確的是（）

B.麻卜陷

C.四邊形MEN尸的面積最小值與最大值之比為2:3

D.四棱錐力-MENF與多面體力8。-屈0//體積之比為1:3

【正確答案】ABD

【分析】證明平面進(jìn)而得即可得A選項(xiàng)正確：證明四邊形MENF

為菱形即可得B選項(xiàng)正確；由菱形性質(zhì)得四邊形MENF的面積尸，再分別討論

MN的最大值與最小值即可；根據(jù)割補(bǔ)法求解體積即可.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如圖，連接8。，B'D',MN.由題易得E尸，80,EFLBB',

BDcBB'=B>

所以EF上平面BDD'B',又仞Vu平面,所以EF_LKV,

因此MV-E/=0，故A正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，由正方體性質(zhì)得：平面8CU8'//平面/。）⑷，

平面8CC'8'平面EMFN=MF,平面平面EMFN=EN,所以MF//EN,

同理得ME7/NE,又EF1MN,所以四邊形"ENF為菱形，

因止匕|加'W目故B正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，由B易得四邊形MEN/的面積S

2

所以當(dāng)點(diǎn)M,N分別為88'，。。的中點(diǎn)時(shí)，四邊形MEN/的面積S最小，

此時(shí)MN=EF=&，即面積S的最小值為1；

當(dāng)點(diǎn)M,N分別與點(diǎn)8（或點(diǎn)（或。）重合時(shí)，四邊形AffiMF的面積S最大，

此時(shí)即面積S的最大值為逅，

2

所以四邊形MENF的面積最小值與最大值之比為2:布，故C不正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，四棱錐4-MEN/的體積

匕=-M-4EF+八-AEF=加以血=9近走=9

J340

因?yàn)镋,尸分別是44',CC'的中點(diǎn)，所以BM=D'N,DN=B'M,于是被截面MEN尸平

分的兩個(gè)多面體是完全相同的，

則它們的體積也是相同的，因此多面體ABCD-EMFN的體積匕=g/方體,??“=1，

所以四棱錐力-MENF與多面體/BCO-EWW體積之比為1:3,故D正確.

故選：ABD.

本題考查立體幾何與向量的綜合、截面面積的最值、幾何體的體積，考查空間思維能力與運(yùn)

算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于證明四邊形MEN5為菱形，利用割補(bǔ)法將四棱

錐/-戶的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐尸和的體積之和，將多面體

ABCD-EMFN的體積轉(zhuǎn)化為正方體的體積的一半求解.

三、填空題

13.圓C:(x-l)2+(y+l)2=4上至IJ直線/:x+y-C=O的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

【正確答案】3

【分析】由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑，，，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到已知直線

的距離d,由半徑r-d=l,從而得到該圓上到直線x+y-亞=0的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)即

可.

【詳解】解：由圓的方程C:(x-l)2+(y+l)2=4,得到圓心坐標(biāo)為C(L-l),半徑廠=2,

二圓心到直線x+y-應(yīng)=0的距離.=M=1<2,

Vi+i

.?,-1=1,則圓上到直線/:x+y-0=0的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為是3.

故3.

14.在平行六面體中，ABAD=ZA'AB=ZA'AD=60°,AB=3,AD=4,

AA'^5,則/C'=.

【正確答案】歷.

在平行六面體中，利用對(duì)角線向量利用向量的平方等于向量模的平

方，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律求得結(jié)果.

【詳解】由平行六面體的特征可知AC''^AB+AD+AA'，

所以卜C『=(Z8+/O+A4')2=48+AD+AA'+2ABAD+2AB-AA^2ADAA'

=9+16+25+2x3x4x1+2x3x5x1+2x4x5x1

222

=50+12+15+20=97,

所以40=歷,

故答案為.歷

該題考查的是有關(guān)空間向量的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有空間向量的運(yùn)算，空間向量的平方等

于向量模的平方，向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，屬于簡(jiǎn)單題目.

15.已知耳，鳥是雙曲線工-_/=1的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上一點(diǎn)/＞滿足|助|+|尸6|=6,

4

則^PFK的面積是.

【正確答案】2

【分析】假設(shè)P在左支上，由雙曲線定義及已知條件可得I尸61=5,13|=1,再用余弦定理

求cosN百尸用，進(jìn)而求其正弦值，利用三角形面積公式求△)=；6的面積.

【詳解】不妨假設(shè)P在左支上，則|尸乙|-|尸耳1=2。=4,又|尸耳+|「庫=6,

所以|P5|=5,|不|=1,而片|=2c=26，貝心。$4；尸6=3^尸=：,

7T4

所以有"€(0,5),故sin/與尸乙=《，

綜上，△尸耳月的面積是:x|P5|x|PFJxsin/耳2鳥=2.

故2.

22

16.已知橢圓C:?+g-=l的左、右焦點(diǎn)分別為耳，JM為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓

E:(x-3y+(y-2『=1上任意一點(diǎn)，則的最小值為.

【正確答案】2&-5

【分析】首先根據(jù)橢圓的定義將的最小值轉(zhuǎn)化為再根據(jù)

\MN\2\ME\-\(當(dāng)且僅當(dāng)〃、N、E共線時(shí)取等號(hào))，最后根據(jù)國才次|求得

的最小值.

【詳解】如圖，

由“為橢圓C上任意一點(diǎn)，則I"用+|岫|=4

又N為圓E:(x-3)2+(y-2)2=l上任意一點(diǎn)，則可N以〃同-1(當(dāng)且僅當(dāng)A/、N、E共線時(shí)

取等號(hào))，

；.\MN\-\MFt\=\MN\-(4-M尸21)=W卜4W%卜怔,5W機(jī)+5,

當(dāng)且僅當(dāng)〃、N、E、行共線時(shí)等號(hào)成立.

?.,巴(1,0),E(3,2),則|EF/=J(3-l)2+(2_0)2=2衣,

：.\MN\-\MF\的最小值為2五-5.

故2屈.-5.

思路點(diǎn)睛；本題主要考查與橢圓與圓上動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的最值問題，主要根據(jù)橢圓的定義將目標(biāo)等

價(jià)轉(zhuǎn)化為能夠通過數(shù)形結(jié)合解題的類型，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于較難題.

四、解答題

17.已知圓C：X2+/-2X-4J；-20=0

(1)求圓C關(guān)于直線x-2y-2=0對(duì)稱的圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)當(dāng)/取何值時(shí)，直線船-夕+34+1=0與圓C相交的弦長(zhǎng)最短，并求出最短弦長(zhǎng).

【正確答案】(l)(x-3f+(y+2)2=25；

⑵％=-4,4萬

【分析】(1)根據(jù)斜率公式和中點(diǎn)公式，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可；

(2)先判斷直線過定點(diǎn)，利用圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)圓心C(l,2),廠=5,設(shè)0(，”,“)，因?yàn)閳A心C與。關(guān)于直線對(duì)稱，所以

S—2x亞-2=0

-2-2=。(3,-2),廠=5

^=-2

22

所以圓。標(biāo)準(zhǔn)方程為：(X-3)+(^+2)=25;

(2)直線/過定點(diǎn)"(-3,1),當(dāng)CM，/時(shí)，弦長(zhǎng)最短，

七乂=—>k=-4

此時(shí)最短弦長(zhǎng)為2,]r2-\CM[=2725-(7(^I)2+(1-2)2=4五.

18.數(shù)歹I」｛《,｝的前"項(xiàng)和5?=2a?-1,

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若4=3〃-2,求數(shù)歹I」｛。也｝的前〃項(xiàng)和7；.

【正確答案】(l)a"=2"T

(2)[=(3〃-5)2"+5

【分析】(1)利用數(shù)列通項(xiàng)。.與前〃項(xiàng)和S”的關(guān)系求解.

(2)利用錯(cuò)位相減法求解.

【詳解】(1)因?yàn)?“=2%-1,所以

當(dāng)〃=1時(shí),q=S]=2S]-1,所以q=1,

當(dāng)心2時(shí),4=-S〃T=(24-1)-(2勺_1-1)=2an-2an_x,

整理可得—=2,所以數(shù)列｛“"｝是以2為公比的等比數(shù)列，

an-\

所以。"=2"T.

(2)由(1)有：a也=(3”-2>2"T,所以

7；,=1X2°+4X2'+7X22+---+(3/?-5)X2,,-+(3?-2)X2"4,

27；,=lx2+4x22+7X25+---+(3n-5)x2-'+(3n-2)x2,

錯(cuò)位相減可得：

-7；=1+3X2+3X22+-..+3X2"T-(3〃-2)X2"

=l+3x(2+2〈+…+2"T)-(3〃-2)x2”

=1+，］21-("-2)2'，

所以7；=(3〃-5)2"+5

19.設(shè)/(-c,0),8伍,0乂。>0)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到4點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離的比為定值

(1)求尸點(diǎn)的軌跡E方程；

(2)當(dāng)“>1時(shí)，求AZB尸面積的最大值.

【正確答案】(1)當(dāng)。=1時(shí)軌跡￡的方程為x=0,當(dāng)axl時(shí)，方程可化為

【分析】（1）設(shè)P（x,y）,根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)求得軌跡E的方程.

（2）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)求得△力8P面積的最大值.

P4

【詳解】（1）設(shè)P（x,y）,依題意,=a,

化簡(jiǎn)可得(1—卜“+(1—)歹2+2c(1+b+c?卜0,

當(dāng)。=1時(shí)，方程為x=0,

2

c(1+

當(dāng)。二1時(shí)，方程可化為X----z--叫+

a2-1

所以當(dāng)。=1時(shí)軌跡E的方程為x=0,當(dāng)axl時(shí)?，方程可化為

c(l+a2)2

(2)當(dāng)。＞1時(shí)，軌跡E的方程為x----z---+-y=

a2

C(1+Q2)、

K,。為圓心，半徑為孕；的圓,

所以軌跡E是以

a-1

所以三角形△的面積的最大值為Rex含二言

20.如圖，在四棱錐P-/8C。中，PC_L底面/BCD,Z5CD是直角梯形，AD1DC,

AB//DC,AB=2AD=2CD=2,點(diǎn)E是PB的中點(diǎn).

(D線段P/上是否存在一點(diǎn)G,使得點(diǎn)。，C,E,G共面，存在請(qǐng)證明，不存在請(qǐng)說

明理由；

(II)若PC=2,求二面角P-ZC-E的余弦值.

【正確答案】(I)存在4的中點(diǎn)G滿足條件.證明見解析；(II)逅.

3

(I)取"的中點(diǎn)G,連接GE,GD,根據(jù)平行的傳遞性，證明GE//QC,即可證明四點(diǎn)共

面；

(II)取48的中點(diǎn)。，連結(jié)CQ,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C。、CD、CP所在直線為x

軸、V軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式，即可

求出結(jié)果.

【詳解】證明：(I)存在尸/的中點(diǎn)G滿足條件；

連接GE,GD,

因?yàn)辄c(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，則GE是三角形尸Z8的中位線,

所以GE//AB,又由已知Z8//0C,

所以G￡7/Z）C,所以G,E,C）。四點(diǎn)共面；

（II）取48的中點(diǎn)。，連結(jié)C。，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C。、CD、CP所在直線為x

軸、V軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?5=2/0=28=2,PC=2,

則C（0,0,0）,P（0,0,2）,4（1,1,0）,5（1,-1,0）,

--UU1"X/11）

.?.C4=（1,1,0）,CP=（0,0,2）,CE=\-,--,i\

設(shè)加=a，M，Z|）為平面PAC的一個(gè)法向量，

則收*：+M=0,所以不妨取士=1,則凹=-1,

m-CP=2zt=0[Z]=0

所以加=（1,-1,0）；

設(shè)〃=（馬,>2，Z2）為平面/CE的一個(gè)法向量,

▼

nCA=x2+y2=0

y9=-x9i

則；i，所以__、取々=1，則%=一1，z?=T,所以〃=(1,—1,一1)

ZX

n-CE=-x2--y2+z2=02=~2

11I

xrm-n1x1+(-1)x(-1)+0x(-1)指

?cos<m.n>=.iTnr.

UH72.733，

所以二面角P-AC-E的余弦值為亞

又因?yàn)樗蠖娼菫殇J角,

3

立體幾何體中空間角的求法：

（1）定義法：根據(jù)空間角（異面直線所成角、線面角、二面角）的定義，通過作輔助線,

在幾何體中作出空間角，再解對(duì)應(yīng)三角形，即可得出結(jié)果；

（2）空間向量的方法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，平面的法向量,

通過計(jì)算向量夾角（兩直線的方法向量夾角、直線的方向向量與平面的法向量夾角、兩平面

的法向量夾角）的余弦值，來求空間角即可.

21.已知橢圓C：W+4=l（a>b>。），其離心率為正，若巧分別為C的左、右焦點(diǎn),

ab2

x軸上方一點(diǎn)P在橢圓C上，且滿足泊產(chǎn)用=26.

（1）求C的方程及點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)P的直線/交C于另一點(diǎn)。，點(diǎn)M與點(diǎn)。關(guān)于x軸對(duì)稱，直線交x軸于點(diǎn)M

若VPQN的面積是的面積的2倍，求直線/的方程.

【正確答案】（1）尹]=1,P點(diǎn)的坐標(biāo)為他,G）

⑵士后-2y+2百=0或士指》-6了+66=0

【分析】⑴根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)，因?yàn)槭谶怂运?麗:0,因?yàn)閨尸口啕=26,

所以P片一+2尸￡-Pg+尸/:=12,則|?片「+歸/曠=|片用-=4c2=12,可得到c的值，在根

據(jù)離心率的定義，可得到。的值，進(jìn)而得到最后答案；再根據(jù)橢圓的定義以及向量的等式，

可得到留,尸鳥的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到點(diǎn)P的值.

（2）根據(jù)題意，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程，求點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積關(guān)系，得

到點(diǎn)〃與點(diǎn)P,N的位置關(guān)系，得到最后答案.

【詳解】（1）因?yàn)橹へ?，所以而：而?,且歸留2+|尸引2=忻用L

又附+Pg]=25所以淖+逮=12,

即常+道=12,即歸用2+|尸&2=]可目2=4,2=]2,所以c=JL

又罔心率6=￡=^^，所以a=c2=a2—b1>所以6=

a2

所以橢圓方程為《+?=1.

63

:尸尸+PF^=12,.又+卜5|=2°=2幾，

二|尸肝=可=而，:.P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,6）.

（2）依題意直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為歹=丘+百,

y=kx+>f3r-

/消去y整理（2/+1k2+4&=0,解得》=0或太=胃如

由，

T+T-+

6_2四］

所以。點(diǎn)坐標(biāo)為2公+1J

2&2疔

從而M點(diǎn)坐標(biāo)為

2公+1

所以直線P