北京市通州區(qū)2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（ 含解析）

通州區(qū)2022—2023學(xué)年高一年級(jí)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試卷

本試卷共4頁(yè)，150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘，考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答

無(wú)效.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合愿目

要求的一項(xiàng).

1.已知尸是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)，若復(fù)數(shù)"是虛數(shù)，則點(diǎn)）

A.在虛軸上B.不在虛軸上C.在實(shí)軸上D.不在實(shí)軸上

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類和其幾何意義即可得到答案.

【詳解】由題意得bHO,則點(diǎn)P不在實(shí)軸上，則C錯(cuò)誤，D正確，

若。工0,人工0,則A錯(cuò)誤，若a=（）,0H（）,則其在虛軸上，則B錯(cuò)誤，

故選：D.

2.對(duì)于任意兩個(gè)向量&和人，下列命題中正確的是（）

A.|a+i>|<|<2-Z?|B.+

C.|a+/?|<|a|+|/?|D.|a-fe|<|a|-|fe|

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量加減法的法則即可得到答案.

【詳解】對(duì)A,當(dāng)a,》w0,且4,6同方向時(shí)，,+4>,一目,故A錯(cuò)誤，

對(duì)B,當(dāng)a,人工0,且a,b反方向時(shí)，卜一目〉,+0,故B錯(cuò)誤，

對(duì)C,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得卜+0《卜|+忖，故C正確，

對(duì)D,根據(jù)向量減法的三角形法則，得『一。|?忖一慟，故D錯(cuò)誤，

故選：C.

3.在_ABC中，若2acosB=c.則一ABC一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】A

【解析】

【分析】利用正弦定理進(jìn)行邊化角，結(jié)合兩角和與差的正弦公式即可判斷三角形形狀.

【詳解】因?yàn)?acosB=c,

由正弦定理得2sinAcos8=sinC=sin(4+B)=sinAcos8+sin8cosA,

所以sinAcosB-sinBcosA=0,BPsin(A-B)=0,

因?yàn)锳,3€(0,〃)，所以A—8e(—兀,兀)，則A-8=0,即A=3，

故一ABC為等腰三角形.

故選：A.

4.從甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選取兩人，則中被選中的概率為()

【答案】C

【解析】

【分析】用列舉法得出甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選出2人的事件數(shù)，從而可求甲被選中的概率.

【詳解】從甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選出2人，

包括：甲乙；甲丙；甲?。灰冶?；乙丁；丙丁6種情況，

31

，甲被選中的概率為二=一.

62

故選：C.

5.已知一組數(shù)據(jù)有40個(gè)，把它分成六組，第一組到第四組的頻數(shù)分別為10,5,7,6,第五組的頻率是

0.20,則第六組的頻率是()

A.0.10B.0.12C.0.15D.0.18

【答案】A

【解析】

【分析】利用各組的頻率之和等于1的性質(zhì)即得.

【詳解】由已知條件可得第一組到第四組數(shù)據(jù)的頻率分別為0.25,0.125,0.175,0.15,又這六組的頻率

之和是1,

因此，第六組的頻率為1—0.25—0.125—0.175—0.15—0.2()=0.1().

故選：A.

6.某市6月前10天的空氣質(zhì)量指數(shù)為35,54,80,86,72,85,58,125,111,58,則這組數(shù)據(jù)的第70

百分位數(shù)是（）

A.86B.85.5C.85D.84.5

【答案】B

【解析】

【分析】按照百分位數(shù)的定義計(jì)算即可.

【詳解】10x0.7=7,故從小到大排列后，35,54,58,58,72,80,85,86,111,125,

取第7個(gè)數(shù)和8個(gè)數(shù)的平均數(shù)得國(guó)上般=85.5，

2

故選：B.

7.下列命題正確的是（）

A.一條線段和不在這條線段上的一點(diǎn)確定一個(gè)平面

B.兩條不平行的直線確定一個(gè)平面

C.三角形上不同的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面

D.圓上不同的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平面的確定情況即可得到答案.

【詳解】對(duì)A,若這個(gè)點(diǎn)位于這條線段所在的直線上，則無(wú)法確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤，

對(duì)B,若兩條直線異面，則無(wú)法確定一個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,若三點(diǎn)位于一條直線上，則無(wú)法確定一個(gè)平面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,圓上不同的三點(diǎn)一定構(gòu)成一個(gè)三角形，則可確定一個(gè)平面.

故選：D.

8.若m,〃是兩條不同的直線，a,§是兩個(gè)不同平面，機(jī)ua,則“a〃尸”是“〃）

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】由線線、面面關(guān)系以及充分、必要條件的概念即可得出結(jié)論.

【詳解】若加，〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同平面，mua,nu（3,

則a4=＞加〃〃或加，"異面；

夕或平面a與平面/相交；

故“a//p”是“m^n”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

9.設(shè)/是直線，a,/是兩個(gè)不同平面，則下面命題中正確的是（）

A,若/〃a,/|/，則a〃#B.若/〃a,I]。,則分

C.若/，尸，a10,則/〃aD,若/〃a,a_L￡則/，尸

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)線線關(guān)系、線面關(guān)系以及面面關(guān)系逐個(gè)判斷各選項(xiàng)即可得出答案.

【詳解】/是直線，a,尸是兩個(gè)不同平面，

若/〃a,I（3,則a〃尸或平面a與平面￡相交，故A錯(cuò)誤；

若/〃a,1工。,則故B正確；

若/，△，aL[3,則/〃a或/ua，故C錯(cuò)誤；

若/〃a,aJ_4則/與平面￡相交或人〃或/up,故D錯(cuò)誤.

故選:B.

10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。一4AG。中，點(diǎn)E,￡G分別是棱BC,CG，G。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸

為底面AAC2上在意一點(diǎn)，若直線BP與平面EFG無(wú)公共點(diǎn)，則忸尸|的最小值是（）

【答案】B

【解析】

【分析】由直線5q與平面EEG無(wú)公共點(diǎn)，知5尸//平面EEG,由平面64G〃平面瓦6，知P點(diǎn)在

AG上，利用三角形BA￡為等邊三角形可得忸P|的最小值.

如圖：連接C",即,3G,4G，

由正方體性質(zhì)可知：BAJ/CDJ/GF,

因GEu平面EFG,平面EFG,

所以84〃平面EEG,

同理，BCJIEF,

因EEu平面EFG,Bq(2平面EFG,

所以6C"/平面EEG,

又班BG=B,

BAU平面BAG,BCiu平面BA,C,,

所以平面BAG//平面EFG,

因直線BP與平面EEG無(wú)公共點(diǎn)，點(diǎn)P底面44GR上在意一點(diǎn)

所以P點(diǎn)在4G上，

故忸“最小時(shí)，BPVA.C,,

因正方體ABC。—A4G。的棱長(zhǎng)為2,

所以三角形BAG為邊長(zhǎng)為2拉的等邊三角形，

4G時(shí)，忸H=20xsin6O=瓜

故選：B

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程f+2=0的解為.

【答案】±J5i

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得方程的根.

【詳解】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，由方程/+2=0得一=一2,即x=±&i

故答案為：±J5i.

12.已知一組數(shù)1,2,m,6,7的平均數(shù)為4,則這組數(shù)的方差為.

【答案】—

5

【解析】

【分析】先根據(jù)平均數(shù)計(jì)算出加的值，再根據(jù)方差的計(jì)算公式計(jì)算出這組數(shù)的方差.

【詳解】依題意1+2+76+7=4,-=4.所以方差為

lr（l-4）2+（2-4）2+（4-4）2+（6-4）2+（7-4）2l=」9+4+4+9]=竺.

5L」55

故答案為生.

5

【點(diǎn)睛】本小題主要考查平均數(shù)和方差的有關(guān)計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.如圖，正方形A8C。的邊長(zhǎng)為2,P為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則尸A-PB的取值范圍是.

"pC

【答案】[3,4]

【解析】

【分析】以。為原點(diǎn)，建立合適的直角坐標(biāo)系，設(shè)尸（x,0）,0<x<2,計(jì)算出月=（x—iy+3,根

直接代入三

^2,2_2

又由余弦定理cosC=巴士―-即有一9々+20=0,解得。=4或。=5.

2ab

當(dāng)。=4時(shí)，A=C,又B=2C,則。=工，則cosC=，2,這與cosC=3矛盾，所以不符合題

424

意，舍去；

當(dāng)a=5時(shí)，S=—?/?sinC=.

AKBC24

故答案為：1；區(qū)L

44

15.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-A耳G"中，E為棱BC上的動(dòng)點(diǎn)且不與B重合，尸為線段4E

的中點(diǎn).給出下列四個(gè)命題：

①三棱錐A-ABE的體積為g；

②AB1±A^E；

③△4￡>廠的面積為定值；

④四棱錐F-A344是正四棱錐.

其中所有正確命題的序號(hào)是

【答案】②③④

【解析】

【分析】利用錐體體積公式可判斷①，利用線面垂直的判定定理可判斷②，利用平行線的傳遞性及三

角形面積公式可判斷③，利用正棱錐的定義可判斷④.

［詳解】因?yàn)槿忮F4―48后體積為匕_4蝮=匕,-.￡=<'：乂叢8良441=1.8石《：,

所以三棱錐A-ABE體積的最大值為故①錯(cuò)誤；

6

連接則又3。1平面AB用4,A^u平面AB四4,

所以因?yàn)锳BIBC=B,\B\BCu平面AQE,

所以AB|J.平面A/E,因?yàn)锳|Eu平面ABE,所以故②正確;

設(shè)ABABy=G,連接GE,則GF//BE,BE//AD,所以GF//AD,即P和G到AO的距離相等且

不變，所以三角形AZ）尸的面積不變，故③正確;

由Gb//BC,可知GEL平面A881A，又為正方形，G為其中心，故四棱錐E-AB4A是正

四棱錐，故④正確.

故答案為：②③④.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.已知復(fù)數(shù)2=工+負(fù)卜>0,?>0）滿足回=5,且Z—3是純虛數(shù).

（1）求z及L

Z

⑵若z?+az+b=0（a,/?eR）,求n和〃的值.

134.

【答案】（1）z-3+41）—=------i

z2525

（2）。=—6,b—25

【解析】

【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的類型即可得到關(guān)于的方程，解出即可；

（2）根據(jù)一元二次方程復(fù)數(shù)根的特點(diǎn)結(jié)合韋達(dá)定理即可.

【小問(wèn)1詳解】

z-3=x-3+yi為純虛數(shù)，：.x=3,

忖={x2+V=5且y>0,y=4,z=3+4i,

11（3-4i）34.

z3+4i（3+4i）（3-4i）2525,

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知，方程z?+Rz+c=O的一根為z=3+4i,則另一根為：z=3—4i,

解得：〃=25,a=—6.

17.已知a,z?是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，其中。=(1,2),且|Z?I=JG.

(1)若d」b，求b的坐標(biāo)；

(2)若|4+3=|。一2切，求a與b夾角.

【答案】(1)1=(2,—1)或萬(wàn)=(一2,1)

(2)-

3

【解析】

【分析】(1)設(shè)。=(x,y),按照向量的坐標(biāo)表示計(jì)算即可；

(2)根據(jù)數(shù)量積與模、夾角的關(guān)系轉(zhuǎn)化即可.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)石=(x,y).

因?yàn)?。上b，ci=(1,2),

所以。力=0即x+2y=0

又因?yàn)閨。|=右，所以Jf+y=6

解之得x=2時(shí)，丁=-1或x=-2時(shí)，y=i.

所以b=(2,—l)或6=(-2,1).

【小問(wèn)2詳解】

記6與b夾角為e.

因|“+。|=|.一2。|,所以(a+b)2=(a—26)2,

則a?+人3=。2+482-4。?匕，即2。?匕=82,

a-hb21

所以cos。=-------—

\a\\b\2|b『2

TV

又因?yàn)?e[0,7i],所以6=§.

18.為提高服務(wù)質(zhì)量，某社區(qū)居委會(huì)進(jìn)行了居民對(duì)社區(qū)工作滿意度的問(wèn)卷調(diào)查.隨機(jī)抽取了100戶居民的

問(wèn)卷進(jìn)行評(píng)分統(tǒng)計(jì)，評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)分組依次為：[60,65),[65,70),[70,75),

(2)求這100戶居民問(wèn)卷評(píng)分的中位數(shù)；

(3)若根據(jù)各組的頻率的比例采取分層抽樣的方法，從評(píng)分在[65,70)和[70,75)內(nèi)的居民中共抽取6

戶居民，查閱他們答卷的情況，再?gòu)倪@6戶居民中選取2戶進(jìn)行專項(xiàng)調(diào)查，求這2戶居民中恰有1戶的評(píng)

分在[65,70)內(nèi)的概率.

【答案】(1)0.02

8

(2)77.5(3)—

15

【解析】

【分析】(1)根據(jù)己知條件，由頻率分布直方圖中各組矩形面積之和等于1,即可求出。的值；

(2)結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及中位數(shù)的定義，即可求解；

(3)根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，列舉法，以及古典概型的概率公式，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

由頻率分布直方圖可得，(0.01+24+0.04+0.05+0.06)x5=1,解得a=0.02;

【小問(wèn)2詳解】

由頻率分布直方圖可得，

(0.01+0.02+0.04)X5=0.35<0.5,

(0.01+0.02+0.04+0.06)x5=0.65>0.5

則中位數(shù)在［75,80）之間，設(shè)為x,

則（x—75）x0.06+0.35=0.5,解得%=77.5,

故中位數(shù)為77.5分；

【小問(wèn)3詳解】

評(píng)分在［65,70）,［70,75）對(duì)應(yīng)的頻率為0.1,0.2,

從評(píng)分在［65,70）和［70,75）內(nèi)的居民中共抽取6人，

則評(píng)分在［65,70）占2人，設(shè)為a,b,

評(píng)分在［70,75）占4人，A,B,C,D,

從6人中選取2人的情況為：

ab,aA,aB,aC,aD,bA,bB,hC,hD,AB,AC,AD,BC,BD,CD,共15種，

其中這2人中恰有1人的評(píng)分在［65,70）的情況為:山，。氏aC,“D,處，共8種，

Q

故這2人中恰有1人的評(píng)分在［65,70）內(nèi)的概率為：

19.已知.中，/?sinB+csinC=（?-2Z?sinC）sinA.

（1）求A的大?。?/p>

（2）若力是邊AB的中點(diǎn)，且8=2,求匕+注c的取值范圍，

2

3兀

【答案】（1）A--

4

（2）（2,2。

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理得到sinA=—cos4,即可求出A；

（2）設(shè)NAC￡）=a，利用正弦定理表示出AO，AC,設(shè)f（a）=b+%,利用輔助角公式化簡(jiǎn)，最后

結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【小問(wèn)1詳解】

在一A8C中，由正弦定理有上7=3=三；，

sinAsinBsinC

Z?sinB+csinC=sinA?（Q—2hsinC）,

sin2B+sin2C=sinA-（sinA-2sinBsinC）,即b14-c2=a2-2Z?csinA,

（1）求證：砂//平面以

（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求三棱錐G—OCE的體積.

條件①：G是棱BC上一點(diǎn)，且8G=2GC；

條件②：G是PB的中點(diǎn)；

條件③：G是二PBC的內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心）.

注；如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）連接AC,則AC與BO交于尸點(diǎn)，推導(dǎo)出砂/〃力,由此能證明石///平面辦Q；

2

（2）選擇①?gòu)亩矫鍼QC,再推導(dǎo)出三棱錐G—OCE的高為GC=—,由此能求出三棱錐

3

G—0CE的體積；選擇條件②：推導(dǎo)出PD_LBC,CD_L8C,從而工平面POC,再推導(dǎo)出三棱錐

G-DCE的高為GE=1,由此能求出三棱錐G—DCE的體積;選擇條件③:推導(dǎo)出PD，8C,CD_L8C,

從而平面PDC,設(shè)」PBC的內(nèi)切圓與PC邊相切于點(diǎn)〃，則G〃_LPC,三棱錐G—0CE的高為

GH,由此能求出三棱錐G—0CE的體積.

【小問(wèn)1詳解】

連接AC,則AC與BQ交于尸點(diǎn)，

在△P4C中，E,F均為中點(diǎn)，.?.所//Q4,

￡戶（Z平面PAD,Q4u平面，；.七///平面.

【小問(wèn)2詳解】

選擇條件①

又底面ABCD是矩形,CO，,

PDcCD=D,P。,COu平面PCD,，8C，平面PDC,

6G=2GC,:.G是3C的三等分點(diǎn)，且GC=13C,

3

2

8C=AD=2,.?.三棱錐G-0CE的高為GC=—,

3

在,PDA中，E為PC中點(diǎn)，

.1.S=—x—xPD又DC=—>

CrnDFE224

.?■三棱錐G-。CE的體積為:VG_I)CE=-SAXEGC=k旦“走.

G"CE3AOCE34318

選擇條件②

同條件①得到BC1平面PDC,

G是P8中點(diǎn)，E是PC中點(diǎn)，

.,在_PBC中,GE=，BC,

2

二三棱錐G—DCE的高為GE=1,

PD，底面ABCD,DC<=底面ABCD,PDVDC,

在△P￡>(:中,E為PC中點(diǎn)，

iiFi

.\S=-X-XPDXDC=—，

CDDEF224

三棱錐的體積為：

G-DCEVic/—_Un\c^FL.=-3S.ncFGE=34]2

選擇條件③

同條件①得到BC1平面PDC,

設(shè).PBC內(nèi)切圓與PC邊相切于點(diǎn)“，則G”_LPC,

BC_L平面PCD,PCu平面PCD,BC±PC,GH//BC,

三棱錐G—DCE的高為GH,

在Rt/XPDC中，pc=y]PD2+DC2=2-8c=2，

—x2x2

PB=\IPC2+BC2=272,GH=-j-2-------------=2-近，

-(2+2+2V2)

2

PD，底面ABC。,DCu底面ABC。，P。J.OC,

在△PDC中,E為PC中點(diǎn),

SCDF=—SPDC——X—xPDxDC————?

CDC2224

???三棱錐G—DC石的體積為：KDCF=-S陽(yáng)卅==且又（2_應(yīng)）=26_瓜.

3MCC34、']2

21.如圖，在直三棱柱ABC-A4C中，點(diǎn)M在棱AC上，且gc//平面ABM,AB=BC,AC=2,

A4j=A/2.

4

A

（1）求證：例是棱4c的中點(diǎn)；

（2）求證：AG_L平面ABM；

BN

（3）在棱上是否存在點(diǎn)N,使得平面AGN,平面ACGA?如果存在，求出右的值；如果不

￡>