2022-2023學(xué)年遼寧省重點(diǎn)學(xué)校高二（下）期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年遼寧省重點(diǎn)學(xué)校高二（下）期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.己知掰=%則n=（）

A.5B.4C.3D.2

2.函數(shù)〃＞）=點(diǎn)在區(qū)間［1,8］上的平均變化率為（）

A._1B--C—D

714144

3.已知向量五=（-2,l,4）,b=（x,-呆,3+x）,若方〃不，則|石|=（）

A.5B.C.4D.年

4.在等差數(shù)列｛即｝中，5?14-?10=4,則｛即｝的前11項(xiàng)和為（）

A.-88B.-44C.44D.88

5.1至9中的質(zhì)數(shù)能夠組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.24B.36C.48D.64

6.足球運(yùn)動(dòng)是深受學(xué)生喜愛(ài)的一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)，為了研究是否喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與學(xué)生性別的關(guān)

系，從某高校男女生中各隨機(jī)抽取80名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查問(wèn)卷，得到如下數(shù)據(jù)（1020,me

若有90%以上的把握認(rèn)為是否喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與學(xué)生性別有關(guān)，則m的最小值為（）

2

附：丫2=_____Ma"bc)_____其中n二+b+c+d

"(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'、Q

a=P(/2>k)0.250.100.050.001

k2.0722.7063.8416.635

A.17B.15C.13D.11

7.設(shè)7；為數(shù)列｛即｝的前律項(xiàng)積，若即+2即+1=0,neN*且。2-￡16=30,則當(dāng)7；取得最小

值時(shí)n=（）

A.8B.7C.6D.5

8.已知兩條不同的直線與曲線，(x)=Inx,g(x)=1都相切，則這兩直線在y軸上的截距之

和為()

A.-2B.—1C.1D.2

二、多選題(本大題共4小題，共20.()分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.已知雙曲線C：5一9=1(加>°)的一條漸近線的傾斜角為12?！?，則()

A.C的實(shí)軸長(zhǎng)為4

B.C的離心率為

2

C.C和雙曲線孑=1有共同的漸近線

D.C和橢圓/+普=1的焦距相等

10.考研已成為當(dāng)今大學(xué)生的熱門選擇.下表統(tǒng)計(jì)了某市2017-2022年研究生的報(bào)考人數(shù),

年份201720182019202020212022

年份代號(hào)工123456

報(bào)考人數(shù)y/萬(wàn)1.872.362.923.253.734.47

由數(shù)據(jù)求得研究生報(bào)考人數(shù)y與年份代號(hào)》的回歸直線方程為'=+>且2021年研究生報(bào)

考人數(shù)的預(yù)測(cè)值比實(shí)際人數(shù)多0.12萬(wàn)，則()

A.x與y之間呈正相關(guān)關(guān)系

B.a=1.35

C.年份每增加1年，研究生報(bào)考人數(shù)估計(jì)增加了1萬(wàn)

D.預(yù)測(cè)該市2023年研究生報(bào)考人數(shù)約為4.85萬(wàn)

11.已知數(shù)列｛an｝中，%=3,且點(diǎn)(冊(cè),即+1)在函數(shù)/'(%)=/+%的圖像上，則下列結(jié)論正

確的是()

A.數(shù)列｛郁｝單調(diào)遞增B.；--一>1

anan+l

2022

C.an<9n-6D.a2023>3x4

12.已知函數(shù)/'(x),g(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)分別為/''(%),g'(x)，若f(x-1)-g(2-x)=4,

g'(x)=f'(x+l),且f(x+2)為奇函數(shù)，則()

A.g'(x)為偶函數(shù)B.f'(0)+f'(2)=0

C.f(2)-g(l)=4D./(104)=4

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X?N(4,M),若P(0.5WXW4)=0.38,則P(X豈7.5)=

14.已知函數(shù)/'(＞)=一2工3+八1)/一/(1)力則.

2Ax

15.已知(1+：%尸=劭+。/+-+。?/，若各項(xiàng)系數(shù)中只有a,最大，則正整數(shù)n的最小

值為.

16.國(guó)際圓周率日是每年的3月14日，也是國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié).我國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家祖沖之是世界

上將圓周率兀(兀=3.1415926...)精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位的第一人，他曾給出圓周率兀的兩個(gè)

近似值：與(約率)與|||(密率)，它們都可以用同時(shí)期數(shù)學(xué)家何承天的“調(diào)日法”得到.下面用

調(diào)日法進(jìn)行如下操作得到數(shù)列｛冊(cè)｝由于,＜兀＜:得到%=管=3,由?＜兀＜9得到a?=

~=^由:＜乃＜引到。3=涔=與，繼續(xù)計(jì)算…，若某次計(jì)算得出數(shù)值大于兀，與前面

小于兀的數(shù)值繼續(xù)計(jì)算得出新的數(shù)值；若某次計(jì)算得出數(shù)值小于兀，與前面大于兀的最小數(shù)值

繼續(xù)計(jì)算得出新的數(shù)值，以此類推，…，則=；若即=m，則n=.

四、解答題(本大題共6小題，共70.()分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

(l)y=4x3+x2-Inx+1；

(3)y=e2x+1sinx.

18.(本小題12.0分)

在①%=1,②S3=13,③數(shù)列｛Sn+:｝為等比數(shù)列這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在下面

的橫線上，并解答問(wèn)題.

記％為正項(xiàng)等比數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和，已知—.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)7；為數(shù)列｛S"｝的前n項(xiàng)和，若7；+n=21,求n的值.

19.(本小題12.0分)

某鄉(xiāng)鎮(zhèn)積極貫徹黨的二十大精神，全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，大力發(fā)展優(yōu)質(zhì)水果特色產(chǎn)業(yè)，為

農(nóng)民增收助力.為提高水果的產(chǎn)量，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)從4名男技術(shù)員和n名女技術(shù)員中抽取若干人進(jìn)行果

樹(shù)管理技術(shù)指導(dǎo).若一次抽出3人，則至少有1名男技術(shù)員的抽取方法有74種.

(1)若一次抽出3人，求在這3人性別相同的條件下都是男技術(shù)員的概率：

(2)若一次抽取6人，記X表示6人中女技術(shù)員的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.(本小題12.0分)

1313

記Sn是各項(xiàng)均不為零的數(shù)列5｝的前n項(xiàng)和，已知由日培=a+3(n22,neN).

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式：

(2)若勾=SnSn+「求數(shù)列｛b｝的前幾項(xiàng)和〃.

21.(本小題12.0分)

如圖，直四棱柱ABC。-&8傳1。1的底面是梯形，2.DAB=乙4DC=90°,CD=3AB=3AD,

點(diǎn)M為GDi上一動(dòng)點(diǎn)，E是MC上一動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)CM=4EM隨時(shí)，證明：4M〃平面BDE；

(2)若4CDM為等邊三角形，當(dāng)直線CM與平面ADE所成的角取得最大值時(shí)，求二面角4-

DE-B的余弦值.

22.(本小題12。分)

已知Ia,尸2為橢圓C；捻+，=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，C與拋物線E：y2=-4x有相同

的焦點(diǎn)，C與E交于A,B兩點(diǎn)，且四邊形A&BF2的面積為亨.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)斜率存在的直線，經(jīng)過(guò)M(-1,-2),且2與C交于P,Q兩點(diǎn)，線段PQ上是否存在一點(diǎn)H,

同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件，若存在，求出點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

?\MP\-\HQ\=\MQ\-\HP\i

②HF/+陽(yáng)尸2|取得最小值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：熊=廢，

則幾(n-1)=4解得n=3(n=-2舍去).

故選：C.

據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)定義求解.

本題主要考查組合數(shù)、排列數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：型二駕=匕=_工.

8-1714

故選：B.

根據(jù)平均變化率的定義計(jì)算.

本題主要考查平均變化率的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：由題意三=士=理，解得x=-l,

-214

即b=(—1,之,2),|b|=I1+^+4—

乙Y42

故選：D.

由向量平行的坐標(biāo)表示求得X,再由向量的模的定義計(jì)算.

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，向量模的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：設(shè)｛an｝的公差為d,則聶14—a］。=+13d)—(a1+9d)=—=4,

即由+5d=—8,所以怒=—8,

所以S11="駕巴-。=lla6=-88.

故選:A.

由等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量法求得。6,然后由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)求解.

本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：由題意得1至9中的質(zhì)數(shù)為2,3,5,7四個(gè)數(shù)，

故能組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的整數(shù)有：&+/+&+*=64,即。正確.

故選：D.

先得出1至9中的質(zhì)數(shù)2,3,5,7,再排列組合即可.

本題主要考查了排列組合知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：因?yàn)橛?0%以上的把握認(rèn)為是否喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與學(xué)生性別有關(guān)，

所以160x[(70-m)(30-m)-(0+m)(50+m)產(chǎn)>?706，

80x80x120x40_z./uo，

即On-10)2220.295,因?yàn)閥=(m-10/在10WmW20,rnCN時(shí)單調(diào)遞增，

且(14-10)2<20.295,(15-10)2>20.295,

所以m的最小值為15.

故選：B.

由2x2列聯(lián)表計(jì)算觀測(cè)值，根據(jù)有90%以上的把握認(rèn)為是否喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與學(xué)生性別有關(guān)列出不

等式，求出山的最小值.

本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：由題易知a-0,因?yàn)閍+20+i=0,neN*,所以竽^一；，

nnan乙

所以數(shù)列｛an｝是公比為-2的等比數(shù)列，

由a2-=30,得-1a]-(-=30,解得由=-64,所以冊(cè)=—64X(―

所以7；=-a2'03.…斯=%?%(一今?%(-》2…%(一今吁】=球(一今1+2+3+…

1n(n—1)n^+nin^—13n

=(-64)"(一=(-1)—(1)^-

要使”取得最小值，則爭(zhēng)為奇數(shù)，且處資取最小值，

結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)知n=6時(shí)，滿足包為奇數(shù)，且巴型取最小值，

22

所以當(dāng)7；取得最小值時(shí)，幾=6,

故選：C.

通過(guò)等比數(shù)列定義及等比數(shù)列基本量計(jì)算求出通項(xiàng)公式a“=-64x(-今什1,然后求出前幾項(xiàng)積

利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及二次函數(shù)知識(shí)求解最值即可.

本題主要考查數(shù)列遞推式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解:設(shè)曲線/(%)=比%上切點(diǎn)為曲線g(x)=e"上切點(diǎn)為(%2，，2)，

1(%)=[,9rM=ex,

1_lnx^—ex2

7町一”2,消去工2得％i)—4一).一]=0,

-=ex2

{打

設(shè)g(%)=x^nx—%—Znx-1,g'(x)=Inx+1—1—：=Inx—%

易知g'(%)在(0,+8)上是增函數(shù)，^(1)=-1<0,y(3)=Zn3-1>0,

因此g'(%)在(1,3)也即在(0,+8)上有唯一解%°,

Ovxv%o時(shí)，g'(%)v0,g(x)遞減,時(shí),g'(%)>0,g(x)遞增，

lnx——=0,lnx=—,g(%o)=xlnx—x—lnx—1=—(x4--)<0,

0%0XQ0oo0QXQ0

而g(e2)=2e2-e2-2-l=e2-3>0,g&)=一日一2+3-1=2—白>0,

因此g(x)=o在(o,&)和(%o,+8)上各有一解.

設(shè)g(%)=。的解分別為a,b,

1ill111

即g(a)=alna-a-Ina-1=0,又g(-)=-In------In——1=--Ina----FIna—1=

八'uWaaaaaa

alna-lna-a-1八

-----------=0,

a

所以3也是。(久)=0的解，即b=：,ab=1,

所以方程/仇-lnx1-1=0有兩解p,q且pq=1,

于是切線方程為y—lnp=；(x—p),在y軸上截距為mp-1,同理另一條切線在y軸上截距是仇q-

1,

兩截距和為，np—1+Inq—1=ln(pq)—2=—2.

故選：A.

1_m一1一/2

:"If,

-=ex^

{Xl

消去冷得i-/一伍與—1=0，設(shè)g(%)=%仇%-x-仇x-1,利用導(dǎo)數(shù)證明其有兩解，并

且兩解的積為1,從而得出曲線/(%)=仇無(wú)上兩個(gè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)積為1,寫出切線方程得出縱截距

并求和即得.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】CD

【解析】解：因?yàn)殡p曲線C：=1(巾>0)的一條漸近線的傾斜角為120。，

所以一"^：=tanl20°,即=tQ7i60。=，3,解得m=2,

即a=V~M=，五，所以C的實(shí)軸長(zhǎng)為2，克，故A錯(cuò)誤；

則c='M+爐=所以e=(=^^^=2，故3錯(cuò)誤；

2

因?yàn)镃的漸近線方程為y=±Cx,又雙曲線號(hào)-/=1的漸近線方程為y=±Cx，故C正確;

C的焦距為2c=4>/-2,而橢圓/+,=1的焦距為2c'=2V9—1=4v"一2,所以相等，故。正確.

故選：CD.

根據(jù)雙曲線C；3一4=l(m>0)的一條漸近線的傾斜角為120。，由篝=tan60°=求得m,

進(jìn)而得到雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和半焦距，然后逐項(xiàng)判斷.

本題考查雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.

10.【答案】ABD

1+2+3+4+5+6

【解析】解：x==3.5,

6

1.87+2.36+2.92+3.25+3.73+4.47

=3.1.

y=6

3.1=3.5b+a

則，解得b=05a=1.35-

5b4-a-3.73=0.12

.??研究生報(bào)考人數(shù)y與年份代號(hào)x的回歸直線方程為y=0.5%+1.35-

??.x與y之間呈正相關(guān)關(guān)系，故4正確；

a=1.35-故8正確；

年份每增加1年，研究生報(bào)考人數(shù)估計(jì)增加了0.5萬(wàn)，故C錯(cuò)誤：

預(yù)測(cè)該市2023年研究生報(bào)考人數(shù)約為y=0,5x7+1.35=4.85萬(wàn)，故。正確.

故選：ABD.

由已知求得樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)，再由題意列關(guān)于;與展的方程組，求得;與展的值，然后逐一分析

四個(gè)選項(xiàng)得答案.

本題考查線性回歸方程，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】AD

【解析】解：由點(diǎn)(an,an+i)在函數(shù)/(%)=i+%的圖像上,則有an+i=W+an,

對(duì)于4,/(%)=%24-%=(%4-1)2—開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為％=—：,

又?.?的=3,,?.數(shù)列｛an｝單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正確；

“Tc2.1111111111

對(duì)1,an+l=+Q,=---=~2~,—=----=-7——TT=----=------T7,-------=-T7,

斯+1an^~anan+l。n(即+1)an+lan。九+1anan+l。九+1

?.?%=3,數(shù)列｛a"單調(diào)遞增，???；—"<1，故選項(xiàng)2錯(cuò)誤；

anan+l

對(duì)于C,%=3,a2=12,a3=156,a3>9x3-6,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,an+1=+an=an｛an+1),van>3,an+1>4,Aan(an+1)>4an,an+1>4an,

2n-12022

.11an>4an_1>4an-2>■■->4a1,???a2023>3x4,故選項(xiàng)。正確；

故選：AD.

對(duì)于4,利用〃%)=%2+尢的單調(diào)性即可判斷；對(duì)于以將軟+1=欣+與取到數(shù)再裂項(xiàng)之后即可

判斷；對(duì)于C,特殊值法即可判斷；對(duì)于0,米用放縮法，將cin+i=成+a；,=an(an+1)>4an,

即可判斷.

本題主要考查數(shù)列和函數(shù)知識(shí)的綜合，考查計(jì)算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

12.【答案】BC

【解析】解：???f(x-1)-g(2-x)=4,g(2-x)=f(x-1)-4,

令t=2—x,則x=2—t,g(t)=/(!■—t)—4,.'.g(久)=f(l—x)—4；

又g'(x)=f'(x+1),g(x)=f(x4-1)4-m(ni為常數(shù))，

???f(l-尤)-4=f(x+1)+m,/(l-x)-/(I+x)=4+?n①，

令t——x,則有/'(1+t)—/(I—t)=4+m=/(I+x)—/(I—x)=4+m②，

:.f(l—x)—/(I+x)=4+m(3),

②+③得：4+m=0,f(l—x)=f(l+x),即/'(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

由題意/(x+2)是奇函數(shù)，.?./(?關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，f(x)是周期為4x(2-1)=4得周期函數(shù)，

9(比)=f(x+1)-4(4),

即9。)得圖像是f(x)向左平移一個(gè)單位再向下平移4個(gè)單位得到，

??.g(x)是偶函數(shù)，即g'(x)是奇函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

又“為關(guān)于直線x=1對(duì)稱，???/(乃關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，即((0)+((2)=0,故選項(xiàng)B正確；

由④得g(l)=f(2)-4,.-.f(2)-g⑴=4,故選項(xiàng)C正確；

又"%)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，???”2)=0,/(104)=/(26X4+0)=/(0)=f(2)=0,故選項(xiàng)。錯(cuò)

誤.

故選：BC.

根據(jù)條件求出f(x)的對(duì)稱軸和周期，以及/(x)與g(x)的關(guān)系，逐項(xiàng)分析即可.

本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】0.12

【解析】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布X?N(4,M),P(0.5<X<4)=0.38,

所以P(X>7.5)=P(X<0.5)=i-P(0.5<X<4)=0.5-0.38=0.12.

故答案為：0.12.

根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算作答.

本題主要考查正態(tài)分布的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】5

【解析】解：當(dāng)久=1時(shí)，/(I)=-2+f(l)-/(l),所以/1)=/⑴一1,

又((x)=—6/+2f(l)x-/(I)=-6x2+2f(l)x+1-

則/(1)=-6+21(1)4-解得((1)=10,

由定義可知，/黑。股中駕=拉"0鐺咨2=)，(1)=5.

故答案為：5.

求出導(dǎo)函數(shù)，建立/(I)與尸(1)的方程，求出((1),利用極限的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的凡何意義，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】16

【解析】解：由二項(xiàng)式定理可知，各項(xiàng)系數(shù)通項(xiàng)為為=“G)i(i=0,l,2」一,n),

、.

C泊4＞C泊3—n-3X-1>1

由題意可知|::即解得15<n<19,

(第6)4＞若?)5

/1-1

4(>>c東1弓廠】

當(dāng)n=16時(shí)，由解得學(xué)<r<^,

4(新>鈔?『+144

所以只有r=4時(shí)，a4最大，符合題意,

故正整數(shù)n的最小值為16.

故答案為：16.

根據(jù)二項(xiàng)式定理求出系數(shù)的通項(xiàng)，然后利用單調(diào)性列不等式，求解并檢驗(yàn)即可得到答案.

本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】y23

【解析】解：由已知，接著。3,由;＜兀(學(xué)得。4=篙=泉

f3,,1377r殂3+1316、

由彳V7TV彳，可得。5=石彳=亍，a5>71,

3

由,,19-T-ze3+1922、

1-可得臼=1=虧，兀，

V7TV—o?l+o/?rQ7>

3

由,,16-vze3+1619、

1-

V加V手，可得。6=不百=不，a6>n,

.322-TZB3+2225c.cl

由,V亢V萬(wàn)?，可得@8=YKT=萬(wàn)=3.125<71,

由.4花7<乃<k22'-可rz得s的。=147^+272=五69<,兀'

小25),22-rzs25+2247/

由可得。9=3亍=云<兀,

4697,22

由五V兀V~9可得"土醫(yī)=衛(wèi)

22+729

己知圓周率兀的兩個(gè)近似值：竽（約率）與需（密率），即圈＜兀＜竽.

以此類推，從第8項(xiàng)開(kāi)始，｛%」的分子、分母分別成等差數(shù)列.

25+(n-8)x22_22n-151

即

ri>8,an8+(n-8)x77n-48

令每=m,即轉(zhuǎn)=箸,得"23?

故答案為：y；23.

根據(jù)所列的具體項(xiàng)，尋求規(guī)律，計(jì)算得出結(jié)果.

本題考查歸納推理相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

17.【答案】解：（1））/'=12/+2%—；；

sinx(x2,+2)—2x(4—cosx)_(x24-2)sinx+2xcosx—8x

(2)y'='2=/“2-2；

(#+2)("+2)

(3)y'=2e2x+1sinx+e2x+1cosx=(2sinx+cosx)e2x+1

【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則和復(fù)合函數(shù)運(yùn)算規(guī)則求解.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：（1）選①a1=1,②S3=13：

設(shè)｛an｝公比是q,則S3=1+q+或=13,解得q=3或q=-4（舍去）；

所以%=3吁1；

選①%=1，③數(shù)列｛Sn+蕓為等比數(shù)列，

設(shè)｛即｝公比是q，若q=1，則冊(cè)=1，sn=n,

則Sn+?=n+4數(shù)列佛+?｝不是等比數(shù)列，舍去，

因此#1,s“=M，Sn+:=署+六等篝，

數(shù)列國(guó)+支是等比數(shù)列，則⑸+?）2=8+為區(qū)+為，s/+a】S2+1=S]S3+詈（S1+

S）+—?（1+q）2+1+q=（1+q+q2）+,（2+q+q2）,解得q=3（q=0舍去），

3"4z

所以S“+等=京絳=1x3"滿足題意，即=3吁1；

選②S3=13,③數(shù)列尻+表為等比數(shù)列

設(shè)5｝公比是q,若q=1,則a4=Sn=nalt5n+y=何+》即，數(shù)列島+??｝不是等比數(shù)

列，舍去，因此qHl,

數(shù)列｛Sn+號(hào)｝是等比數(shù)列，貝心2+號(hào))2=(&+號(hào))區(qū)+為，s汁a1S2+J=SiS3+：(S】+

S3)+J，講(l+q)2+冠(l+q)=a汽l+q+q2)+[(2+q+q2>解得q=3(q=°舍去)，

又S3=+q+q2)=13,得%=1,

所以冊(cè)=3吁】；

(2)由⑴％=富=耍

%=9+半+一.+嚶=*3+32+...+3與一；上等一廣汽3廠1)冶，

^+n=1(3M-l)+^=21,易知n=3滿足此方程，又｛〃+n｝是遞增數(shù)列，因此n=3是唯一

解.

綜上，n=3.

【解析】(1)選①②，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和定義求得公比q后可得通項(xiàng)公式an；

選①③，由數(shù)列｛Sn+:｝為等比數(shù)列，則其前3項(xiàng)也為等比數(shù)列，從而求得公比q,即可得an；

選②③，由數(shù)列｛Sn+:｝為等比數(shù)列，則其前3項(xiàng)也為等比數(shù)列，從而求得公比q,再由S3=13求

得的后即可得即；

(2)由(1)得出Sn,分組求和求得7；后，說(shuō)明｛7；+n｝是遞增數(shù)列，由特殊值得唯一解.

本題主要考查了等比數(shù)列定義的應(yīng)用，還考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于中

檔題.

19.【答案】解：(1)一次抽出3人，則至少有1名男技術(shù)員的抽取方法有盤髭+C；盤+C潸中，

由題意可知G鬣+廢廢+盤=74.

即4X*國(guó)+6n+4=74,

整理得小+2n-35=0,

解得n=5或n=-7(舍去)，

故共有5名女技術(shù)員.

若一次抽出3人性別相同的有戲+役=14種情況，其中3人都是男技術(shù)員有廢=4種情況,

故這3人性別相同的條件下都是男技術(shù)員的概率P=言=2；

147

(2)由題意，X可能的取值為2,3,4,5,

且P(X=2)=卑P(X=3)=卑=號(hào),P(X=4)=卑=與，P(X=5)=第=士,

、/42、/eg21、/eg14、7Cg21

所以X的分布列為：

X2345

51051

P

42211421

故E(X)=2x泊3x|^+4x4+5X%學(xué)

【解析】(1)根據(jù)分類加法原理及組合數(shù)知識(shí)求出女技術(shù)員人數(shù)，然后根據(jù)條件概率的計(jì)算可得答

案；

(2)確定X的可能取值，計(jì)算每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列，進(jìn)而計(jì)算其期望.

本題考查條件概率以及離散型隨機(jī)變量及其分布列，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

313

20.【答案】解：(1)因?yàn)槠?京+瓦(兀22,7167),所以3Snan=a“+3s焉

即3s九(Sn—Sn_])=Sn—Sn_]+35^，

ii

整理得—7—=3,n>2,nEN,

dn-l

故數(shù)列｛R｝是以R=2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，

則2=2+(n-1)x3=3n-1,于是有%=白，

當(dāng)nN2時(shí)，an=Sn_Sn_i=*_*=_(3n-i；(3n_4)'且"=1時(shí)，%=%不符合該式，

6,九=1

故斯=3；

-----------n>2

(3n—l)(3n—4)'一

(2)6n=SnSn+i=&11.、\=JQ11-、：丁)'

vy

aUTL3n—13n+233n—13n+2

所以Tn=瓦+⑦+…+b…超T)+蕤一》+…+家*-焉)=5(j-焉)=品

【解析】(1)將已知等式化簡(jiǎn)可得3Snan=an+3s汆再利用/與治的關(guān)系，整理得R-乙=

°n-l

3,7122,716N,即可得等差數(shù)列《■｝，求得Sn，由相減法即可得數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式;

(2)根據(jù)裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列｛%｝的前71項(xiàng)和7；即可.

本題主要考查了數(shù)列的遞推式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)證明:連接BD交4C于F,連接EF,如圖,^ADC=/.CDA=90°,則力B〃CD,

又CD=3AB,所以釜=甯=%所以笠=：=黑

C1CUGTrV'lC

所以EF〃AM,又AMC平面BDE,EFu平面BDE,

y,z軸，建系如圖,

由已知得ADJ■平面CCi。1。，CMu平面CCWi。，貝Ij/WICM,

當(dāng)E為CM中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)椤鰿DM是等邊三角形，因此OE1CM,

而CDE=D,AD,DEu平面ADE,所以CM1平面4DE,此時(shí)直線CM與平面4DE所成角為90。,

是最大角.

設(shè)4B=1,則AD=1,CD=3,△CDM是等邊三角形，由對(duì)稱性知M是中點(diǎn)，。5等于4CDM

的高，即亨

所以4(1,0,0),C(0,3,0),M(0言皚,E(0言浮),

ZL44

所以方才=(1,0,0)，DE=(0,7，^?)>DB=(1,1,0)，

44

設(shè)平面4DE的一個(gè)法向量是記=設(shè)平面的一個(gè)法向量是運(yùn)=（x2,y2,z2）,

(m-=0n?DB=血+%=0

則一yr??9.3x/~~3I

n-DE=ly2+^-z2=o'

(m-DF=-yi+—z1=0

取記=(O,1,-C)，n=(l,-l,O))

沆員

所以COS〈沆，元）=_0-1-32xT5

|m||n|=2n