2024屆廣東省六校高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷及答案

東莞中學(xué)、廣州二中、惠州一中、深圳實(shí)驗(yàn)、珠海一中、中山紀(jì)念中學(xué)2024屆高三第四次六校聯(lián)考試題數(shù)學(xué)命題人：惠州一中數(shù)學(xué)備課組審題人：惠州一中數(shù)學(xué)備課組8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.展開式中第項(xiàng)的系數(shù)是A.B.C.，則公差D.2.在等差數(shù)列中，若，A.B.C.D.3.已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為A.B.C.D.4.在中，“”是“為鈍角三角形”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5．已知三棱椎PABC，ABC是以AC為斜邊的直角三角形，PAC為邊長是2的等邊三角形，且平面ABC平面PAC，則三棱椎PABC外接球的表面積為162121A．B．C．D．3326．血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù)．人體的血氧飽和度正常范圍是95%~100%，當(dāng)血氧飽和度低于90%St)S0eKt描述血氧飽和度St)隨給氧時(shí)間tS0為初始血氧飽和度，K為參數(shù)．已知S060%，給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為80%．若使得血氧飽和度達(dá)到90%，則至少還需要給氧時(shí)間（單位：時(shí)）為（參考數(shù)據(jù)：269ln310）B．0.5C．0.7A．0.3D．0.9ab0)的左，右焦點(diǎn)分別為F,F，過F的直線與雙曲線C分別x2y27．已知雙曲線C:2b2121a233,B兩點(diǎn)，ABF內(nèi)切圓的半徑為r|BF2a，raC21的離心率為2133253A．7B．C．D．238．函數(shù)f(x)sin3xsin2x在開區(qū)間()的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.5B.6C.7D.83小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．給定數(shù)集AR，B(0,)，x,y滿足方程2y0，下列對(duì)應(yīng)關(guān)系為函數(shù)的是xfA.f:AB,yf(x)C.f:AB,xf(y)B.f:BA,yf(x)D.f:BA,xf(y)10．已知為復(fù)數(shù)，設(shè)，，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則A.B.C.D.第1頁共4頁11．英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)．已知二次函數(shù)f(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根b,c，其中cb．在函數(shù)f(x)圖像上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處作曲線yf(x)的切線，切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x；用x代替x，重復(fù)以上的過程得到x；一直下去，得到數(shù)列{x}．記2213nxnbanln，且a1，xc，下列說法正確的是1nxncecbe1A．1C．a(chǎn)6（其中l(wèi)ne1）B．?dāng)?shù)列an}是遞減數(shù)列11D．?dāng)?shù)列an}的前n項(xiàng)和Sn2nn132an三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.將1到10這10個(gè)正整數(shù)平均分成甲、乙兩組，每組5個(gè)正整數(shù)，且甲組的中位數(shù)比乙組的中位數(shù)小1，則不同的平分方法共有_________種．13．已知圓A:(x2)2y21，圓B:(x2)2y4，直線3x4yt0上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P2向圓A引兩條切線PC和PDC和DP向圓B引兩條切線PE和PFE和F，若CPDEPF，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_________．14圖，已知銳角ABC外接圓的半徑為2，且三條圓弧沿ABC三邊翻折后交于點(diǎn)若AB3，則sinPAC_________；若AC:AB:BC6:5:4，則PAPBPC的值為_________．四、解答題:本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1513分）已知橢圓C，拋物線C的焦點(diǎn)均在x軸上，C的中心和C的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，從C，C上分1別取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：212122x122223y0222（1）求C和C的標(biāo)準(zhǔn)方程；12（2）若C和C交于不同的兩點(diǎn),B，求OAOB的值.12第2頁共4頁1615分）如圖，在四棱錐PABCD中，PAD為正三角形，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，ADCD,AD2BCCD3,PB6．（1）求證：平面平面ABCD；（2）點(diǎn)M為棱PC的中點(diǎn)，求PCD.1715分）31間內(nèi)，甲、乙兩種類型無人運(yùn)輸機(jī)操作成功的概率分別為和，假設(shè)每次操作能否成功相互獨(dú)立．24（1）隨機(jī)選擇兩種無人運(yùn)輸機(jī)中的一種，求選中的無人運(yùn)輸機(jī)操作成功的概率．（2）操作員連續(xù)進(jìn)行兩次無人機(jī)的操作有兩種方案：該類型設(shè)備；若初次操作不成功，則第二次使用另一類型進(jìn)行操作．用初次所選擇的無人運(yùn)輸機(jī)進(jìn)行操作．假定方案選擇及操作不相互影響，試比較這兩種方案的操作成功的次數(shù)的期望值．第3頁共4頁1817分）已知函數(shù)fxexcosx2，gxsinx．（1）求證：當(dāng)x，g(x)xf(x)；，（2）若xfxgx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．1917分）已知集合A中含有三個(gè)元素x,y,z，同時(shí)滿足①xyz；②xyz；③xyz為偶數(shù)，那么稱集合A具有性質(zhì)P.已知集合Sn,2}(nnnNnS的非空子集BS中存在三個(gè)互不相同的*,4)元素a,b,c，使得ab,bc,ca均屬于B，則稱集合B是集合Sn的“期待子集”.（1）試判斷集合A是否具有性質(zhì)P，并說明理由.（2）若集合B}具有性質(zhì)P，證明：集合B是集合S4的“期待子集”.（3）證明：集合M具有性質(zhì)P的充要條件是集合M是集合Sn的“期待子集”.第4頁共4頁東莞中學(xué)、廣州二中、惠州一中、深圳實(shí)驗(yàn)、珠海一中、中山紀(jì)念中學(xué)2024屆高三第四次六校聯(lián)考試題標(biāo)準(zhǔn)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題二、多項(xiàng)選擇題2134567891011ABCCABADABDABAD1．A解：展開式的通項(xiàng)公式為則第項(xiàng)的系數(shù)為：2．B解：因?yàn)閯t由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，．故選A．，，，所以3．C，公差．故選B．解：因?yàn)樗?，且，所以，即，，所以向量在向量上的投影向量為．故選：4．C解：為鈍角三角形．所以在中，“”是“為鈍角三角形”的充要條件．5．A解：223，故外接球表面積為S=4πR2=16π易知外接球球心為?PAC外心，故外接球半徑R==．π2sin3336．B解：設(shè)使得血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時(shí)間至少還需要t1小時(shí)，由題意可得60e80，60eKt90，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)并整理，得K804903K4ln32ln2ln3，Ktln32，603602ln322ln2ln320.691.101.100.69則t1.5，則給氧時(shí)間至少還需要0.5小時(shí)7．A解：不妨設(shè)內(nèi)切圓與三邊切點(diǎn)分別為P，Q，R∴|AP|=|AR|，|BP|=|BQ|，|?Q|=|?R|22∵點(diǎn)A在雙曲線上∴|AF|-|AF|=2a12又∵|BF|=2a∴|AB|=|AF|12∴|BP|=|F2R|∴|BQ|=|QF2|∵點(diǎn)B在雙曲線上∴|BF|-|BF|=2a21∴|BF2|=4a2024屆高三第四次六校聯(lián)考數(shù)學(xué)答案第1頁共8頁1∴|QF|=|BF|=2a222|IQ|3設(shè)內(nèi)切圓圓心為I，連接IQ、IF，如圖所示∵tan∠IFQ==22|QF2|3ππ∴∠QF2I=6即∠BF2A=3π∴?ABF為等邊三角形∴|AF|=6a，|AF|=4a，|FF|=2c，∠FAF=21212123在?AFF由余弦定理得：|??|2=|??|2+|??|2?2|??|?|??|????∠???1212121212即：4?2=36?2+16?2?24?2=28?2?284∴?===7?8．D解：∵?(?)=???2?????+???2?????????2?=2???????2?+???2??????2????????=????(2???2?+2???2??1?2????)=????(4???2??2?????1)令?(?)=0，則????=0或4???2??2?????1=01±√5即：????=0或????=4由圖像可知，函數(shù)f(x)共8個(gè)零點(diǎn)515115另法：因?yàn)閒(x)sin(xx)sin(xx)2sinxcosx22222215由f(x)0，得sinx0，或cosx022所以1x，或x，即x2，或x52，kZ22255因?yàn)閤311379所以x0，或x,,,,,,共8個(gè)零點(diǎn)5555559．ABD解：對(duì)于yf(x)2x，對(duì)于xA，均有唯一確定f(x)(0,)B，符合函數(shù)定義，故選項(xiàng)A正確對(duì)于yf(x)2x，對(duì)于xB，均有唯一確定f(x))B，符合函數(shù)定義，故選項(xiàng)B正確對(duì)于xf(y)log2y，取y1A，x0B，不符合函數(shù)定義，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤對(duì)于xf(y)log2y，對(duì)于yB，均有唯一確定f(y)RA，符合函數(shù)定義，故選項(xiàng)D正確10．AB解：設(shè)，則，，所以，，，對(duì)于對(duì)于，，，A正確；，所以，B正確對(duì)于，，，所以對(duì)于而不一定成立，C錯(cuò)誤，，，與不一定成立，所以不一定平行，D錯(cuò)誤；故選AB．2024屆高三第四次六校聯(lián)考數(shù)學(xué)答案第2頁共8頁11．AD解：對(duì)于A選項(xiàng)，由?1=???1??=1?1???1?????????1得=?，所以?1=，A正確．?1??∵二次函數(shù)?(?)有兩個(gè)不等式實(shí)根b，c∴不妨設(shè)?(?)=?(???)(???)∵?′(?)=?(2?????)∴?′(?)=?(2?????)??∴在橫坐標(biāo)為x的點(diǎn)處的切線方程為：???(?)=?(2?????)(???)令y=0，n???(2?????)??(?)??????????(2??????)???????+1???2?????(2?????)?2?2??+?2(????)2(????)2????2????則??+1=?===∵===?(2??????)2????????+1????????(2?????)???2??+?2?2???+1??????∴??=2??即：??+1=2????+1??????∴{??}為公比是2，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列．∴??=2??1故BC錯(cuò)．111??11?2?1?1?21對(duì)于D選項(xiàng)，由??+=2??1+()，得??=+2?=2??1+2?2?=2?+1?，故D正確．??21?2122??15分，共15分）1312147234107036；[?,]33412.36解：依題意，甲組的中位數(shù)必為5，乙組的中位數(shù)必為6所以甲組另外四個(gè)數(shù)，可從1,2,3,4和7,8,9,10這兩組數(shù)各取2個(gè)，共有C42C4236107013.[?,]33解：連接圓心和切點(diǎn)，如圖所示：即有∠???=∠???=?PFCADBE?AC=1，BF=2∠???=∠???=∵|??|????=??=1|??|????=??=22|??||??|122222∴=設(shè)P(x,y)∵2|??|=|??|∴2(?+2)+?=(??2)+?3010649∴?2+?2+?+4=0化簡(jiǎn)得：(?+)2+?2=23108∴P的軌跡為以圓心（?，0為半徑的圓．∵P在直線4?+3?+?=0上331064|?10+?|8310703∴直線4?+3?+?=0與(?+)2+?2=有交點(diǎn)∴≤∴?≤?≤395314．；解：設(shè)外接圓半徑為由正弦定理，可知，則，，即，由于是銳角，故的垂心，即，又由題意可知為三角形，故，所以設(shè)；，2024屆高三第四次六校聯(lián)考數(shù)學(xué)答案第3頁共8頁則，由于，不妨假設(shè)，由余弦定理知，設(shè)，，為三角形的三條高，由于，，故則得，所以，同理可得，所以，故答案為：；四、解答題:本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1513分）解：（1）設(shè)拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)y2則2px因?yàn)?2(22)2412所以點(diǎn)(2,22)在拋物線C2上，且2p4，解得p2…3分…4分所以拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x．23x2y2將點(diǎn)(1,),(2,0)代入橢圓1的標(biāo)準(zhǔn)方程ab0)中22a2b2312a22b2，解得a2b21…6分…7分得12ax2所以橢圓1的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2.12（2）根據(jù)對(duì)稱性，可設(shè),B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x,y),(x,y)00002y4x，消y得x28x20…9分聯(lián)立方程組x22y22解得x432，x43212y2因?yàn)閤042024屆高三第四次六校聯(lián)考數(shù)學(xué)答案第4頁共8頁所以0324所以O(shè)AOB0…11分2y0202x24)24)50362.…………13分2401615分）（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)K，連接,，AD2．∵PAD為正三角形，，∴3,且…1分…2分∵2，K,又∵底面ABCD為直角梯形，BC,四邊形BKDC為平行四邊形AD,3又PB6,PK2BK2PB2PKBK.又………………4分………………5分,K,,,∴.∵PK平面PAD,平面PAD平面ABCD………………6分(2)由（1）易知PK平面ABCD，BKAD，如圖，以K為坐標(biāo)原點(diǎn),KB,所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，…7分1233則(0,0,3),(0,3,0),C(3,0),(，M(PBD)，,,22133CD(0,3,0),PD(3)BM(,,)…………9分222設(shè)平面的法向量為n(x,y,z)，3y0n0由得，令x3，則yz1，n(3,0,，……………11分，nx3z00PCD……………12分……………14分33|||n|722sin|n|n|213)2(3)2321(22221∴與平面PCD所成角的正弦值為……………15分.7（方法不唯一，若考生從幾何法入手，依據(jù)實(shí)際情況酌情給分）17.（15分）1）用事件A表示選擇甲種無人運(yùn)輸機(jī)，用事件A表示選擇乙種無人運(yùn)輸機(jī)，12用事件B表示“選中的無人運(yùn)輸機(jī)操作成功”…………………2分…………………4分則P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)112213115為所求．2422…………………6分8（2）設(shè)方案一和方案二操作成功的次數(shù)分別為X，Y，則X，Y的所有可能取值均為0，1，2，……………7分13111324222418方案一：PX01，1112024屆高三第四次六校聯(lián)考數(shù)學(xué)答案第5頁共8頁13113311311115242244224222321，PX11113311113224422232，………10分PX1151341所以EX012．………………11分8323232方案二：方法一：選擇其中一種操作設(shè)備后，進(jìn)行2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，134121254所以EY22，………………13分2方法二：133111244222325PY1，0111123344121122167PY12121，1C1C13311113PY，22442223257135所以EY012．………………13分3216324所以EXEY，即方案一操作成功的次數(shù)的期望值大于方案二操作成功的次數(shù)的期望值．………………15分1817分）（1）證明：設(shè)Gxxg(x)xsinx，x0則G'x1cosx0，所以Gx在區(qū)間上單調(diào)遞增，………2分分……………3所以GxG00，即g(x)x．設(shè)F(x)f(x)xe則F'(x)exsinx1由x0時(shí)，g(x)x，即sinxxxxxcos2，x0……………4分……………5分所以F'(x)esinx1ex1xx設(shè)hxexx1，則hxex1，當(dāng)x0時(shí)，hx，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，0hx故在區(qū)間上，hxh00，即在區(qū)間上，exx1，…………、6分所以F'(x)exx10所以F(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增所以F(x)F(0)0，即F(x)x……………7分所以g(x)xf(x)得證．（2）由fxgx在區(qū)間上恒成立，即ecosx2sinxax0在區(qū)間上恒成立，x設(shè)xexcosx2sinxax，則x0在區(qū)間上恒成立，而xexsinxcosxa…………8分令mxx，則mxexcosxsinx，由（1）知：在區(qū)間上，exx1sinxcosx，，所以在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，…………10分0x即mxexcosxsinx①當(dāng)a時(shí)，，2a2002024屆高三第四次六校聯(lián)考數(shù)學(xué)答案第6頁共8頁故在區(qū)間上函數(shù)，所以函數(shù)x在區(qū)間上單調(diào)遞增，x0x0fxgx在區(qū)間上恒成立．………13分00又2時(shí)，02a，②當(dāng)aπ4a2a2sina2cosa2a2sina2…………15分20故在區(qū)間a2上函數(shù)x存在零點(diǎn)x，即x0，00又在區(qū)間上函數(shù)x單調(diào)遞增，故在區(qū)間0上函數(shù)x00，所以在區(qū)間0上函數(shù)x單調(diào)遞減，，所以在區(qū)間x上x00，與題設(shè)矛盾．00由0綜上，a的取值范圍為,2．…………17分（矛盾區(qū)間找點(diǎn)用極限說明扣1分）19.（17分）1）集合A不具有性質(zhì)P，理由如下：………1分（i）從集合A中任取三個(gè)元素x,y,