數(shù)列中的知識(shí)交匯和創(chuàng)新型問題（解析）

的前n項(xiàng)和.120=120-1120-1 11、??、m+1am(m+1am表示高度為am的方體連續(xù)堆疊m+1層的總高取等差數(shù)列的公差d=-2.4，則an=33.6-2.4n-1=36-2.4n，故an=36-2.4n符合題意.設(shè)數(shù)列{n+1an{的前n項(xiàng)和為Sn，7=2a1+3a2+4a3+...+8a7=856.8>310， 22表11=ac1=b1+(a-b1)2=c1-(c1-b1)2=b2+(c1-b2)3=c2-(c2-b2)3=b3+(c2-b3)第n次n=cn-1-(cn-1-bn-1)cn=bn+(cn-1-bn)n的表達(dá)式并求出n；n計(jì)算即可.=a，-2a+?+（-5a+a，n=cn-1-(cn-1-bn-1(=（-a（+（-2a+?+（-2n-1a+a=-a1+2n-1+an=〈=-a+a=a.故a=≈1.08b故商家將有約8%的利潤.3344 3,?,a6n為第n年年底扣除運(yùn)營成本后直播平臺(tái)的資金，a2=600a3=7401=500a2=5002-1.4a-a?a6=5006-1.45+1.44+?+1a6≥3000 <0時(shí)n的取值范圍即可S1=S2=設(shè)cn+1-cn=300-200×1.05n-1>0，即1.05n-1<1.5，解得1≤n≤8所以當(dāng)1≤n≤8時(shí)，{cn{遞增，當(dāng)n≥9時(shí)，cn遞減n-1 ‘200-20n,1≤n<5n=‘200-20n,1≤n<5【分析】(1)分別求出當(dāng)n≤5時(shí)和n≥6時(shí)的通項(xiàng)公式，即可得到年垃圾排放量當(dāng)n≤5時(shí)，{an{是首項(xiàng)為a1=2所以an=a1+(n-1(d=180-20(n-1(=200-20n；所以an=a5qn-5=100×n-5，55an=n-5,1≤n<5n≥6則An=.由于An+1-An={an{的前n項(xiàng)和， Sn+1-Sn=nSn+1-(n+1(Snn+1nn(n+1(=n(Sn+an+1(-(n+1(=n(n+1(=nan+1-Snn(n+1(=(an+1-a1(+(an+1-a2(+???+(an+1-a=n(n+1(1≤n≤5時(shí)，an=200-20n，所以{an{為遞減數(shù)列，且a6<a5，所以{an{為遞減數(shù)列，于是an+1-a1<0,an+1-a2<0,...,an+1-an<0因此An+1-An<0，772=14.42=m+a1?20%，a3=m+a2?20%計(jì)算可得.n+1=m+an-1，66所以an+1-m=an-ma1-m=-m，所以an-m=-m×n-1，an=m-m，m-m≤25，m≤，即m≤20，>=20， n}則Sn=25n+×5=(5n2+45n(，77n-1，99量維持在這一年的水平不變.a1=102=9.53=4=1=22=33=.4=an=.5-0.5n,n∈N*;bn=*a1=102=9.53=94=8.51=22=33=4.5.4=6.75n=.5-0.5n,n∈N*;而根據(jù)題意a4+b4=15.25≥15因此數(shù)列{bn{的通項(xiàng)公式為bn=*n為數(shù)列{an{的前n項(xiàng)和，Tn為數(shù)列{bn{的前n項(xiàng)和,設(shè)累計(jì)各年發(fā)放的牌照數(shù)為(-2++,n≤4,n?N*88 試計(jì)算該筆貸款的總利息.n表示數(shù)列{an{的前n項(xiàng)和，則x+x1+0.004+x1+0.0042+?+x1+0.004239=600000×1+0.004240，所以x- 2 2=5000,99所以小張?jiān)摴P貸款能夠獲批. 數(shù)最多？并求這一天的新感染者人數(shù).數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解即可；n=50n-20，當(dāng)k+1≤n≤30時(shí)，an=-20n+n(1≤n≤30)，n(1≤n≤30)，當(dāng)k+1≤n≤30時(shí)，an=(50k-20)-20(n-k)=-20n+70k-20，鍵在于建立等差數(shù)列模型，當(dāng)1≤n≤k時(shí)，an=50n-20，當(dāng)k+1≤n≤30時(shí)，an=-20n+70k-20，進(jìn)而求和解方程. 3,并且規(guī)定若第i(i=1,2,?,n-1(題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，則第i+1題正確選項(xiàng) 3 .3;第i(i=1,2,?,n-1(題正確選項(xiàng)為三個(gè)，則第i+1題正確選項(xiàng)為三個(gè)的概率為nP-nPn(C2(表示第n題正確選項(xiàng)為2個(gè)的概率，Pn(C3(表示第n題正確選項(xiàng)為C3(=1-P2(C2(=，所以X的分布列為:X02P +1(C2(=Pn(C2(+Pn(C3(=Pn(C2(+(1-Pn(C2((=-Pn(C2(，所以Pn+1(C2(-=-Pn(C2(-,又因?yàn)镻1(C2(-=-=-，所以Pn(C2(-=-n-1=×-n.=+×-n.nn=n=-×-n,n=+×-n，-nnn<.{Pi+1-Pi{(i=0,1,2,?,5(為等比數(shù)列.P(X=2)=0.2，P(X=3)=0.5，P(X=4)=0.3，則X的分布列為：X234P=0，根據(jù)全概率公式得P1=0.3P2+0.5P1+0.2P0，所以=，同理可得====，所以{Pi+1-Pi{i=0,1,2,?,5為等比數(shù)列.是解題關(guān)鍵.已知數(shù)列{an{的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2，對(duì)任意的正整數(shù)n，點(diǎn)an+1,Sn均在函數(shù)fx=x圖n=2nn=-1,,假設(shè)存在2≤m<n<p使得am,an,ap成等差數(shù)列，化+1,Sn(均在函數(shù)f(x(=x圖象上，可得Sn=an+1=Sn+1-Sn，即Sn+1=2Sn，又因?yàn)閍1=2=a1=2，n-1=2n，當(dāng)n≥2時(shí)，可得an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1，又因?yàn)閍1=2n=-1,假設(shè)存在2≤m<n<p使得am,an,ap成等差數(shù)列，可得2an=am+ap，即2n=2m-1+2p-1，n+1-m=1+2p-m 題目15如果數(shù)列{an{對(duì)任意的n∈N*，an+2-an+1>an+1-an，則稱{an{為“速增數(shù)列”.=1，a2=3an+2-an+1>an+1-an即可；k=2023=(ak-ak-1(+(ak-1-ak-2(+?+(a3-a2(+(a2-a1(+a1，根據(jù)速增數(shù)列的定義可得ak-ak-1>ak-1-ak-2>?a3-a2>a2-a1=2，從而可得(ak-ak-1(+(ak-1-ak-2(+?+(a3-a2(+(a2-a1(+a1≥k+k-1+?+3+2+1，進(jìn)而可求解.n=2n，則an+2-an+1=2n+2-2n+1=2n+1，an+1-an=2n+1-2n=2n，n+1>2n，所以an+2-an+1>an+1-an，ak=2023=(ak-ak-1(+(ak-1-ak-2(+?+(a3-a2(+(a2-a1(+a1，所以ak-ak-1>ak-1-ak-2>?a3-a2>a2-a1=2，且an∈Z，所以(ak-ak-1(+(ak-1-ak-2(+?+(a3-a2(+(a2-a1(+a1≥k+k-1+?+3+2+1，n=≤q<1和1<q數(shù)列{an{的前項(xiàng)和Sn=(n2+3n((n∈N*(，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(n2+3n(-[(n-1)2+3(n-1([=n+，又+=1=a1，即a1=1滿足an=n+，因此an=所以對(duì)任意n∈N*,a1=((==1+n+(n∈N*(， n+1所以<a1=1+n1<2，n=a1,Sn=na1，所以≤a1=1≤2,≤1=n1=1+≤2，滿足題意；n=a,qn-1,Sn=，≤a1=q≤2.即≤q<1或1<q≤2，q1>--=1，1=11<--=(1+n-((n-qn(=1+qn<2， 17已知{an{和{bn{是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮數(shù)列，若{an{和{bn{都是遞增兩個(gè)不同的項(xiàng)的和不是{bn{中的項(xiàng)，則稱{an{被{bn{屏蔽．已知數(shù)列{cn{滿足++???+=n(n∈N*(.n=2n-1n=(2n-3(?2n+1+6當(dāng)n≥2時(shí)，++???+=n，++???+=n-1，上述兩式作差可得cn=2n-1(n≥2)，n=2n-1(n∈N*).2+n2+33+n+1，=2+2×-2n-1?2n+1=-6+3-2n?2n+1.所以Sn=2n-3?2n+1+6.而遞增數(shù)列{cn{的各項(xiàng)均為奇數(shù)，所以{Sn{中的任意兩項(xiàng)的和均不是{cn{中的項(xiàng)，所以{Sn{能被{cn{屏蔽.設(shè)y=f(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，如果對(duì)任意的x1、x2∈Rx1≠x2,fx1-fx2<x1-x2均成立，則稱y=f(x)是“平緩函數(shù)”.(x)=,f2(x)=sinx，試判斷y=f1(x)和y=f2(x)是否為“平緩函數(shù)”?并說明理由;(參考公式:x>0時(shí)，sinx<x恒成立)R，均有fx1-fx2<;義數(shù)列{xn{滿足:x1=0,xn=gxn-1(n=2,3,4,?)，試證明:對(duì)任意的正整數(shù)n,gxn≤.-x2≤、x1-x2>，根據(jù)y=fx為R上的“平緩函數(shù)”可得答案；(3)由y=gx為R上的“平緩函數(shù)”得gx1-gx2<x1-x2，對(duì)任意的n≥2，利用gxn-gxn-1<xn-xn-1=gxn-1-gxn-2<xn-1-xn-2<...<x2-x1=|sinx1-sinx2|=2sincos≤2sin<2=|x1-x2|，-==|x2-x1|?<|x2-x1|+<|x2-x1|+<|x2-x1|+=|x2-x1|，因此函數(shù)y=f2(x(也是R上的“平緩函數(shù)”；(2)由已知可得f(0(=f(1(，由于函數(shù)y=f(x(是周期函數(shù)，時(shí)，由y=f(x(為R上的“平緩函數(shù)”得|f(x1(-f(x2(|<|x1-x2|≤；時(shí)，不妨設(shè)0≤x1<x2≤1，x2-x1≥，此時(shí)由y=f(x(為R上的“平緩函數(shù)”得|f(x1(-f(x2(|=|f(x1(-f(0(+f(1(-f(x2(|≤|f(x1(-f(0(|+|f(1(-f(x2(|<|x1-0|+|1-x2|=x1-x2+1≤-+1=.|g(xn(-g(xn-1(|<|xn-xn-1|=|g(xn-1(-g(xn-2(|<|xn-1-xn-2|<...<|x2-x1|=因此g(xn(=|g(xn(-g(xn-1(+g(xn-1(-g(xn-2(+...+g(x1(|<|g(xn(-g(xn-1(|+...<1+++...+|g(0(|<|g(0(|=|g(0(|. 19若項(xiàng)數(shù)為N(N≥3(的數(shù)列AN:a1,a2,?,aN滿足：a1=1,ai∈N*(i=2,3,?,N(，且存在M∈,則稱數(shù)列AN具有性質(zhì)P.M≤n≤N-1{{2,則稱數(shù)列AN具有性質(zhì)P.M≤n≤N-1②若N=4,a4=3，寫出一個(gè)具有性質(zhì)P的數(shù)列A4；ai②A4(2)根據(jù)性質(zhì)P及累加法得aM≥M和aM≥2025-M，兩式相加即可求解；(3)根據(jù)性質(zhì)P及累加法得aM≤2N-3，bM≤2N-3，求出并集中元素個(gè)數(shù)的最大值，從而求出交集②A42-a1≥1,?,aM-aM-1≥1，累加得aM≥M；又由a2024≥1,a2023-a2024≥1,?,aM-aM+1≥1，累加得aM≥2025-M；M≥1013.1=1,a2-a1≤2,?,aM-aM-1≤2，累加得aM≤2M-1.又M≤N-1，所以aM≤2N-3，同理，bM≤2N-3，{1,2,?,2N-3{,card(T1∪T2(≤2N-3，因?yàn)閏ard(T1(=card(T2(=N，an=-(n=1,2,?,N-1((n=N(n=〈2n-2N-5(n=1((n=2,3,?,N-1((n=N(={1,2N-4,2N-5{. n.1，[-2.6[=-3)；0=10所以P2=5+4=9，S2=1+4+3+5+2+7+5+8+3=38；所以Pn+1=Pn+(Pn-1(=2Pn-1，所以Pn+1-1=2Pn-2=2(Pn-1(，所以Pn-1=4?2n-1=2n+1，所以Pn=2n+1+1，所以=3，=2a+3b+2c，=S1+3a+6b+3c，,且S3=S2+9a+18b+9c， aii+1,ai+2,?,ai+jj≥0,使得ai+ai+1+ai+2+???+ai+j=n,則稱Q為m-連續(xù)可表數(shù)列.1=2,a1+a2=3,a3=4,a2+a3=5,a3+a4=6,a1+a2+a3=7,ii+1,ai+2,?,ai+jj≥0,使得ai+ai+1+ai+2+???+ai+j=n,因?yàn)閍1+a2+a3+a4=9,a1+a2+a3=7,a2+a3+a4=7,此時(shí)a3=1,a2=2,a4=3,a3+a4=4,a1=5,a2+a3+a4=6,a1+a2=7,a1+a2+a3=8,<?<im)，順次排列{an{為完全數(shù)列．設(shè)數(shù)列{an{滿足an=n，1≤n≤25,n∈N*.(3)數(shù)列{an{的子列{bk{長度m=5，且{bk{為完全數(shù)列，求++++的最大值.2+4+8=14,2+4+16=22,2+8+16=26,4+8+16=28,2+4+8+16=30，則長度為m的數(shù)列{bk{的每一子列的所有項(xiàng)的和有2m-m-1個(gè)，則b=25+24+???+28-m+b1+b2=+b1+b2，可得2m-m-1≤+b1+b2-(b1+b2(+1=+1，整理得2m+1+m2-57m+102≤0，所以2m+2+m2-57m+104≥2250-1425=825>0；m+2+m2-57m+102≤0成立.所以m的最大值為6.2=2；因?yàn)閎1+b2=33=4；因?yàn)閎1+b4=9,b2+b4=10,b3+b4=12,b1+b2+b4=11,b1+b3+b4=13,b2+b3+b4=14，1+b2+b3+b4=15，5=16；1+2+++5=1++++1=，所以1+2+++5的最大值為.ai-ai+1i=1,2,?,m-1，bi≤bi+1i=1,2,?,m-2.i(3)若1≤ai≤mi=1,2,...,m，bk=m+1，求m的所有可能取值.333≤-1或1-a3≥1，ai-a22-a33-a44-a51-a22-a33-a44-a5|4-a53-a42-a31-a24-a54=-2；3-a43=1；2-a32=-1，故a1=0；4-a5|=4>|a3-a4imax=1+2+3+4=10.(3)對(duì)于1≤ai≤mi=1,2,...,m，則bk的最小值為m-1，而bk=m+1>m-1，i≤bi+1i=1,2,?,m-2，i元素分布. 1?6?,解得q=d=2.所以a(i,j(=2i-1×a(1,j(=2i-1[1+2(j-1([=2i-1(2j-1(.>3時(shí)不為整數(shù)，因此i=3.*1,=n×21-1=n；若n為偶數(shù)，設(shè)n1=.若n1*2,=n12-1=2n1=n；1+k,=nk×2k=n，1+k,=n.假設(shè)a(i,j(=a(k,l(=n，則2i-1(2j-1(=2k-1(2l-1(.若數(shù)列{an{滿足|ak+1-ak|=1(k=1,2,3,?,n-1(n≥2((，則稱數(shù)列{an{為η數(shù)列.記Sn=a1+a2+a3+?+an.k+1-ak=1k=1,2,=a5=1和S5=5可寫出數(shù)列.得a2000≤a1+1999證明即可.-2)(1-b2)+?+(1-bn-1)],再分析Sn的奇偶,n取值只能為n=4m+1或n=4m+2(m∈N*)，并寫出符合條件的數(shù)列.所以ak+1-ak=1(k=1,2,3,?,k+1-ak|=1，所以ak+1-ak≤1.所以a2000-a1999≤1，a1999-a1998≤1，??a2-a1≤1.所以a2000=a1+1999.所以ak+1-ak=1>0(k=1,2,3,?,1999).n}是遞增數(shù)列.所以a2=a1+b1，a3=a1+b1+b2，??an=a1+b1+b2+?+bn-1.所以Sn=na1+(n-1)b1+(n-2)b2+?+bn-1=n+(n-1)+(n-2)+?+1-[(n-1)(1-b1)+(n-2)(1-b2)+?+(1-bn-1)]=-[(n-1)(1-b1)+(n-2)(1-b2)+?+(1-bn-1)].k=±1，)+(n-2)(1-b2)+?+(1-bn-1)為偶數(shù).必須使-1=為偶數(shù).因?yàn)閚≥3，所以n=4m+1或n=4m+2(m∈N*).a4k-3=1,a4k-2=0,a4k-1=-1,a4k=0,a4m+1=1(k=1,2,3,?,m)時(shí)，當(dāng)n=4m+2(m∈N*)時(shí)，η數(shù)列{an}的項(xiàng)滿足a4k-3=1,a4k-2=0,a4k-1=-1,a4k=0,a4m+2=0(k=1,=1,Sn=1.=1難點(diǎn)是求得Sn并變形為Sn=2-[(n-1)(1-b1)+(n-2)(1-b2)+?+(1-bn-1)] 2為偶數(shù)，從而確定n的取值只能為n=4m+1或n=4m+2.nn．(2)求數(shù)列{a2n+3b2n-1+1{的前n項(xiàng)和Sn.n+n2+2n-21是否滿足n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式，即可證明；,-1(bn=(n2-1(2n，當(dāng)n≥2時(shí)，bn=2nn=n，當(dāng)n=1時(shí)，由nan+bn=n2+2n及a1=1，得b1=2=21，所以an=n,bn=2n(n∈N*)，n+1-an=1，b1=2，2n+3b2n-1+1=2n+1+3×22n-1=2n+1+×4n，則Sn=(3+5+?+2n+1)+×(41+42+?+4n)=+×=2?4n+n2+2n-2. 通項(xiàng)公式為an=2n.n=6nk=a3k，n=a3n=6n，所以數(shù)列{bn{的通項(xiàng)公式為bn=6n.kmk所以集合M中所有元素之和為2+3+5+6+10=26.n為數(shù)列{an{的前n項(xiàng)和.n；0+b10+10+10=11=1．若f(m)=b0+b1+?+bk，求數(shù)列{Sn?f(Sn({的前n項(xiàng)n=n+1-n=3n-1，所以Sn==.n=30+31+32+?+3n-1=1×30+1×31+1×32+?+1×3n-10=b1=?=bn-1=1由題意f(Sn)=b0+b1+?+bn-1=1+1+?+1=n，n則T'=11+22+?+n×3n①3T'=12+23+?+n×3n+1②①-②得：-2T'=3+32+33+?+3n-n×3n+1=-n×3n+1=-+-n(×3n+1，所以TI=+×3n+1；=； =b2).n=3×n-1；k-1-.2)=a2=a1+(2a1-1)=3a1-1，b2)=a2+(2a2-1)=3a2-1,b2)=a2+(2q==，所以{an{的通項(xiàng)公式是an=a1qn-1=3×n-1.2)=a2+(2a2-1)(i-1)=2+3(i-1)=3i-1，b1=3i+2，==-,所以=-+-+?+-=-=.所以bk)=[(2i-1)ak-(i-1)]=ak(2i-1)-(i-1)=ak??n-?n=n2ak-=3n2?k-1-. 題目30已知數(shù)列{an{的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2n+1.n=n=1n≥2n=2n+1，得到Sn-1=2n-1+1,n≥2，求得an=Sn-Sn-1=2n-1，結(jié)合n=1時(shí)，求得a1=3，進(jìn)而得到數(shù)列{an{的通項(xiàng)公式；當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=2n-1+1，所以an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,n≥2，234則T100=[3+(21+22+?+212([+[(1+2+3+?+12(+9[=90+213-2=88+213=8192+88=8280.*(1≤i≤j≤k)，aj+ai或aj-ai是數(shù)列{an}中的項(xiàng)，則稱數(shù)列{an}具有性質(zhì)P.k-ai一定是{an}中的n}是等差數(shù)列.k+ai一定不是數(shù)列{an{中的項(xiàng)，進(jìn)而證得ak-ai一定是數(shù)列{an{中的項(xiàng)；ak-ak-i=ai+1，當(dāng)3≤i≤k-2，得到ak-1-ak-i=ai，由k≥5時(shí)，得到ak-1-ak-i=ai(1≤i≤k-1)，兩式相減得出ak-ak-1=ai+1-ai(1≤i≤k-1)，結(jié)合等差中項(xiàng)公式，即可求解.理由：根據(jù)有窮數(shù)列{an{滿足：0≤a1<a2<a3<???<ak，且對(duì)任意的i,j(1≤i≤j≤k)，aj+ai或aj-ai是數(shù)列{an{中的項(xiàng)，則稱數(shù)列{an{具有性質(zhì)P，i≤j≤k)，可得aj-ai=0或1或2，i(i=1,2,?,k)是數(shù)列{an{中的任意一項(xiàng)，因?yàn)閿?shù)列{an}具有性質(zhì)P，即aj+ai或aj-ai是數(shù)列{an{中的項(xiàng)，令j=k，可得ak+ai或ak-ai是數(shù)列{an{中的項(xiàng)，又因?yàn)?≤a1<a2<?<ak，可得ak+ai一定不是數(shù)列{an{中的項(xiàng)，所以ak-ai一定是數(shù)列{an{中的項(xiàng).=0，又由ak+ai?{an{，所以ak-ai∈{an{，又由0=ak-ak<ak-ak-1<ak-ak-2<?<ak-a2<ak-a1，①設(shè)2≤i≤k，因?yàn)?≤a1<a2<?<ak可得ak-ak=0,ak-ak-1=a2,ak-ak-2=a3,?,ak-a2=ak-1,ak-a1=ak，k-ak-i=ai+1(1≤i≤k-1)，(*)②設(shè)3≤i≤k-2，則ak-1+ai>ak-1+a2=ak，所以ak-1+ai?{an{，由0=ak-1-ak-1<ak-1-ak-2<?<ak-1-a3<ak-a3=ak-2，又由0≤a1<a2<?<ak-3<ak-2，可得ak-1-ak-1=a1,ak-1-ak-2=a2?<ak-1-ak-3=a3,ak-1-a3=ak-3，所以ak-1-ak-i=ai(1≤i≤k-3)，k-1-ak-1=a1且ak-1-ak-2=a2，所以ak-1-a1=ak-1且ak-1-a2=ak-2，所以ak-1-ak-i=ai(1≤i≤k-1)，(**)k-ak-i=ai+1(1≤i≤k-1)k-ak-1=ai+1-ai(1≤i≤k-1)，所以當(dāng)k≥5時(shí)，數(shù)列{an{為等差數(shù)列.n(n≥3)中的每一項(xiàng)都是不大于n的正整數(shù).對(duì)于滿足1≤m≤n的整數(shù)m，令集合A(m)={kak=m，k=1，2，?,n}.記集合A(m)中元素的個(gè)數(shù)為s(m)(2)若++?+=n，求證：a1,a2,?,an互不相同；j(i≠j，i+j≤n)都有i+j∈A(ai)或i+j∈A(aj)，求a1+a2+?+an的值.(2)先得到≤1，故++?+≤n，再由++?+=n得到s(aii+j=ai或ai+j=aj，令j=1，得到a3=a2或a3=a1，當(dāng)a=b時(shí)得到a1+a2+?+an=na，當(dāng))=3；i則有≤1，因此++?+≤n，又因?yàn)?+?+=n，2,?,an互不相同.(3)依題意a1=a,a2=b.由i+j∈A(ai)或i+j∈A(aj)，知ai+j=ai或ai+j=aj.令j=1，可得ai+1=ai或ai+1=a1，對(duì)于i=2,3,...n-1成立，故a3=a2或a3=a1.a3=a4=?=an=a，所以a1+a2+?+an=na.a3=a或a3=b.3=a同理a5=a6=?=an=a，所以a1+a2+?+an=(n-1)a+b.3=b2=a3=b，4=a或a4=b.所以a5=b.若a4=aj=4，可得a5=a5=b矛盾.所以有a4=b.不妨設(shè)a2=a3=?=ak=b(k≥5)，令i=1,j=k，則ak+1=a或ak+1=b.故ak+1=b.所以a1+a2+?+an=(n-1)b+a.+a2+?+an=na.1+a2+?+an=(n-1)a+b.a3=b1+a2+?+an=(n-1)b+a. 題目33已知無窮數(shù)列{an{滿足an=max{an+1,an+2{-min{an+1,an+2{(n=1,2,3,?)，其中max{x,y}1=12=2n≥0，假設(shè)存在n0∈N*使an≤an，進(jìn)而有an≤max{an+1,an+2}≤an，可得min{an+1,an+2}=nn+1(n=2,3,?)，令S={n|an>an+1,n≥1}，討論S=?、S≠?求證an>M即可判斷存在性.n=max{an+1,an+2{-min{an+1,an+2{≥0，a1=max{2,a3}-min{2,a3}=1，若a3>23-2=13=32=max{3,a4}-min{3,a4}=2，4>34<34=24=1；若a3<23=13=12=max{1,a4}-min{1,a4}=2，4>1a4=3；4<14=24=-1(舍)；n≥0，則min{an+1,an+2{≥0，n=max{an+1,an+2}-min{an+1,an+2}≤max{an+1,an+2}≤an，所以min{an+1,an+2}=0，故存在k∈{n0+1,n0+2}使ak=0，所以0為數(shù)列{an{中的項(xiàng)；設(shè)S={n|an>an+1,n≥1}，若S=?,則a1≤a2，ai<ai+1(i=2,3,?)，對(duì)任意M>0，取n1=+2([x]表示不超過x的最大整數(shù))，當(dāng)n>n1時(shí)，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+...+(a3-a2)+a2=an-2+an-3+...+a1+a2≥(n-1)a1>M；設(shè)m=max{n|an>an+1,n≥1}，am+i<am+i+1(i=1,2,3,?)，對(duì)任意M>0，取n2=+m+1([x]表示不超過x的最大整數(shù))，當(dāng)n>n2時(shí)，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+...+(am+2-am+1)+am+1=an-2+an-3+...+am+am+1≥(n-m)am+1>M；n設(shè)λ為整數(shù)．有窮數(shù)列{an{的各項(xiàng)均為正整數(shù)，其項(xiàng)數(shù)為m(m≥2)．若{an{滿足如下兩個(gè)in+1==1,2,?,m-1)n-1,(2)依題意an+1=an存在數(shù)列{an{為P-1數(shù)列；n+1,an為奇數(shù)n+1=n為偶數(shù)，所以m=6.n-1,an為奇數(shù)(2)依題意an+1==k時(shí)，不存在數(shù)列{an{為P-1數(shù)列，設(shè)此時(shí)k的最小值為M(M≥3(，,4,?,M-1時(shí)存在P-1數(shù)列，a1=M時(shí)不存在P-1數(shù)列，n+1,(3)依題意an+1=anm=1，am-1=2，am-2=4，?,先證明d=2符合題意，即m≤2log2a1+2，當(dāng)m=2時(shí)顯然成立，i+2≤+1，即ai-2≥2(ai+2-2(，m-1(i)當(dāng)m=2t+1(t=1,2,?(時(shí)，由a2-2≥2t-1(am-2-2(=2t，a1≥2t+2=22+m-1所以2log2a1+2>2log2(2+2=m+1>m.(ii)當(dāng)m=2t+2(t=1,2,?(時(shí)，由a2-2≥2t-1(am-2-2(=2t，a2≥2t+2=2-1+2，a1≥a2-1=2-1+1，所以2log2a1+2>2log2(2-1(+2=m.再證明d≥2.先驗(yàn)證{an{為P1數(shù)列，m-n-1m-(n+1(當(dāng)n=1,3,?,m-3時(shí)an=22+1為奇數(shù)，an+1=22+2=an+1，符合②;anm-nm-(n+1(an當(dāng)n=2,4,?,m-2時(shí)an=22+2為偶數(shù)，an+1=22+1=當(dāng)n=m-1時(shí)am-1=2，am=1，符合②;又{an{符合①,所以{an{為P1數(shù)列.下面證明d<2不符合題意.假設(shè)d<2，因?yàn)?m=2t(t=2,3,?(，d≥m-2log2a1=m-2log2(2-1+1(=2-2log2(21-+1(，結(jié)合反證法達(dá)到轉(zhuǎn)化證明. (an,an+1(在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中n為正整數(shù)，n=*.+1(在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，∴an+1=a+2an，n+1+1=(an+1(2,∴{an+1{是“平方遞推數(shù)列”.因?yàn)閘g(a1+1(=lg(9+1)=1>0，對(duì)an+1+1=(an+1(2兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得lg(an+1+1(=2lg(an+1(，n=lg(an+1(=1×2n-1=2n-1，當(dāng)n≤4時(shí)，bn<cn；當(dāng)n>4時(shí)，bn>cn.n=當(dāng)n≤4且n∈N*時(shí)，Sn=b1+?+bn==2n-1；當(dāng)n>4且n∈N*時(shí)，Sn=b1+b2+b3+b4+c5+c6+?+cn=(24-1(+=n2+5n-21，n=*.n=an+1，數(shù)列{bn{為等比數(shù)列，N*n=2n-1nan+1>4nn≥2，再由放縮法得到<Sn<，求出<<3，即可得解.n+1an=32n-1①,nan-1=32n-3②,所以數(shù)列{a2n{n∈N*和數(shù)列{a2n-1{n∈N*是等比數(shù)列.n+1an=32n-1，所以a2=3，所以a2n=32n-1，a2n-1=32n-2，n=3n-1，從而=3>2n≥2，所以a1>2n+1>2an>an，因此數(shù)列{an{遞增．又bn=an+1，所以bn+1-bn=an+1-an>0，因此{(lán)bn{遞增，所以公比q>1.*1≤2a1+1=2，所以bn=2nn=2n-1.nan+1=2n-12n+1-1=22n+1-3×2n+1>22n+1-3×2n，2n+1-3×2n=4n+2n2n-3>4nn≥2，所以anan+1>4nn≥2，所以cn=<n≥2.當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=+++???+<=+=+1-<+=即當(dāng)n≥2時(shí)，<Sn<，所以<<3.+++???+ 說明理由.n-3nnnn=log3Tn，令n=1，得a1=S1=log3T1=2log3b1=2log3=-2，即a1=-2，設(shè)等差數(shù)列{an{的公差為d，4=a1+3d=4，解得d=2，n=-2+2n-1=2n-4，Sn===n2-3n，即log3Tn=n2-3n，可得Tn=(3)n-3n.n-3n，當(dāng)n≥2時(shí)，則Tn-1=(3)(n-1)-3(n-1)=(3)n-5n+4，n==(3)2n-4=3n-2；n=3n-2n∈N*.要使cn-1=cn+cn+1成立，即=+，解得n=4，4=c3+c5，∴存在n=4符合題意.若無窮數(shù)列{an{滿足?n∈N*，|an-an+1|=n+1，則稱{an{具有性質(zhì)P1．若無窮數(shù)列{a*nan+4+1≥a+2，則稱{an{具有性質(zhì)P2.公式.n=-n=-質(zhì)可求得a+a的取值范圍；nan+4≥a+2-1≥0可推導(dǎo)出an、an+4k(k∈N*(必同號(hào)，再利用性33=22n<02=±2，3=-1或5.則anan+4+1=(an+2-2d((an+2+2d(+1=a+2-4d2+1≥a+2，2≤1，所以，-≤d≤，所以，a+a=(1+d(2+(1+2d(2=5d2+6d+2=5（d+2+，因?yàn)?≤d≤，則1≤d+≤，*n≥1，4=-2，a3=-6，a2≤-3，a1≤-1，這與a1a5+1≥a矛盾，3>0*a2≤151≤163=2，4=8，又因?yàn)閍1a5=3a1+1≥a=16，所以，a1≥5，