浙江省杭州市太炎中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

浙江省杭州市太炎中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.PA、PB、PC是從P點引出的三條射線，每兩條的夾角為60°，則直線PC與平面APB所成角的余弦值為(

)A． B． C． D．參考答案：A2.函數(shù)的值域是

（

）

A．(0，＋∞)B．(0,1)

C．(0,1]

D．[1，＋∞)參考答案：C3.給出以下四個數(shù)：6，-3，0，15，用冒泡排序法將它們按從大到小的順序排列需要經(jīng)過幾趟（

）A．1B．2C．3D．4參考答案：C4.定義集合運算：A☆B=.設(shè)集合，，則集合A☆B的元素之和為（

）A．2

B．1

C．3

D．4參考答案：C5.過點且傾斜角為30o的直線方程為（）A．. B．. C． D．.參考答案：C【考點】直線的點斜式方程．【分析】由直線的傾斜角求出直線的斜率，代入直線方程的點斜式得答案．【解答】解：∵直線的傾斜角為30°，∴其斜率為tan30°=，由直線過點（2，3），∴直線方程為y﹣3=（x﹣2），即y=x+1，x﹣3y+3=0，故選：C．6.若復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：B7.若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是(

)（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D8.數(shù)列{an}的首項為a1=1，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列且bn=，若b10b11=2015，則a21=(

)A．2014 B．2015 C．2016 D．2017參考答案：B【考點】數(shù)列遞推式．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知結(jié)合bn=，得到a21=b1b2…b20，結(jié)合b10b11=2015，以及等比數(shù)列的性質(zhì)求得答案．【解答】解：由bn=，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…an=b1b2…bn﹣1．∴a21=b1b2…b20．∵數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，∴a21=（b1b20）（b2b19）…（b10b11）=．故選：B．【點評】本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題．9.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，若a1·a5·a9=-8，b2+b5+b8=6π，則cos的值是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C由題意得a1·a5·a9=，b2+b5+b8=，所以=，選C.4.若向量=（1，x），=（2x+3，－x）互相垂直，其中x∈R，則|－|等于（

）A.-2或0

B.2

C.2或-2

D.2或10【答案】D【解析】同兩向量垂直可得或x=-1,當(dāng)x=3時=，當(dāng)x=-1時，=，選D.10.已知函數(shù)，則其在點處的切線方程（

）A

B

C

D參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線l與圓x2+y2=1交于P、Q兩點，P、Q的橫坐標(biāo)為x1，x2，△OPQ的面積為（O為坐標(biāo)原點），則x12+x22=．參考答案：1【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】直線與圓．【分析】當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+b，聯(lián)立方程由韋達定理可得x1+x2=，x1x2=，由三角形的面積可得∠POQ=90°，進而可得?=0，可得2b2=k2﹣1，代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，化簡可得．【解答】解：當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+b，和圓的方程聯(lián)立消y并整理得（1+k2）x2+2kbx+b2﹣1=0，由韋達定理可得x1+x2=，x1x2=，∵△OPQ的面積為，∴×1×1×sin∠POQ=，∴sin∠POQ=1，∠POQ=90°，∴?=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2=（1+k2）+kb+b2=0，化簡可得2b2=k2﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==1驗證可得當(dāng)直線斜率不存在時，仍有x12+x22=1故答案為：1【點評】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，涉及三角形的面積公式和韋達定理以及向量的垂直，屬中檔題．12.向量，若向量與向量共線，則_______.參考答案：13.若x,y滿足則為

.參考答案：-214.直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為

▲

.參考答案：略15.函數(shù)的最大值是______________.參考答案：【分析】通過導(dǎo)數(shù)的符號得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最大值.【詳解】，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減；所以.【點睛】一般地，若在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則在上為單調(diào)增（減）函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導(dǎo)且為單調(diào)增（減）函數(shù)，則．16.對任意實數(shù)，定義運算，其中是常數(shù)，等式右邊的運算是通常的加法和乘法運算。已知，并且有一個非零常數(shù)，使得對任意實數(shù),都有，則的值是______________參考答案：417.定義運算x?y，若|m﹣1|?m=|m﹣1|，則m的取值范圍是

．參考答案：m≥考點：絕對值不等式．專題：計算題；新定義．分析：由題意知，|m﹣1|?m的結(jié)果是取|m﹣1|和m中的較小者，故得到|m﹣1|和m的不等關(guān)系，最后解此絕對值不等式即得m的取值范圍．解答： 解：由題意得：|m﹣1|≤m，①∴m≥0，①式平方得：m2﹣2m+1≥m2，即：m≥．故答案為：m≥．點評：本小題主要考查絕對值不等式、函數(shù)的概念、絕對值不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知a，b是兩條異面直線，a?α，b?β且a∥β，b∥α，求證：α∥β參考答案：【考點】平面與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【分析】先過直線b做平面γ根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得到b∥c，進而得到c∥β；再結(jié)合a∥β即可證明α∥β．【解答】證明：如圖所示，過直線b做平面γ，面γ與面α相交于直線c，則：∵α∩γ=c，β∩γ=b，b∥α，∴b∥c又∵b?面β，c?面β∴c∥β又∵a∥β且a∩c=P∴α∥β19.如果有窮數(shù)列（，）滿足條件

即，我們稱其為“反對稱數(shù)列”。（1）請在下列橫線上填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使這6個數(shù)構(gòu)成“反對稱數(shù)列”：－8，

，－2，

，4，

；（2）設(shè)是項數(shù)為30的“反對稱數(shù)列”，其中構(gòu)成首項為-1，公比為2的等比數(shù)列.設(shè)是數(shù)列的前n項和，則=

參考答案：略20.設(shè)p：實數(shù)x滿足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，q：實數(shù)x滿足．（1）若a=1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；（2）p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；2E：復(fù)合命題的真假．【分析】（1）利用一元二次不等式和分式不等式的解法即可化簡命題p，q，命題p與q都為真命題，即可得出．（2）p是q的必要不充分條件，可得，即可解出．【解答】解：（1）當(dāng)a=1，（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3，由．解得2＜x≤3，∵p，q均正確，∴2＜x＜3，故實數(shù)x的取值范圍為（2，3），（2）p是q的必要不充分條件，∵p為a＜x＜3a，∴，解得1＜a≤2，故實數(shù)a的取值范圍（1，2]．21.直線y=a與函數(shù)f（x）=x3﹣3x的圖象有三個互不相同的公共點，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】首先根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后畫出函數(shù)的圖象，從而根據(jù)圖象判斷函數(shù)與直線的公共點的情況．【解答】解：先求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，由f′（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，當(dāng)x＜﹣1或x＞1時，f′（x）＞0，當(dāng)﹣1＜x＜1時，f′（x）＜0，∴在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上，f（x）=x3﹣3x是增函數(shù)，在（﹣1，1）上，f（x）=x3﹣3x是減函數(shù)，由此可以作出f（x）=x3﹣3x的草圖（如圖）．由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)﹣2＜a＜2時，直線y=a與函數(shù)f（x）=x3﹣3x的圖象有三個互不相同的公共點．22.某險種的基本保費為a（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)01234≥5概率0.300.150.200.200