分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理一

分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理一分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的比較分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的練習(xí)題及解析contents目錄01分類加法計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理是指完成一項(xiàng)任務(wù)，需要分成$n$類方法，第$1$類方法有$m_1$種不同的方法，第$2$類方法有$m_2$種不同的方法，第$3$類方法有$m_3$種不同的方法，......，第$n$類方法有$m_n$種不同的方法，那么完成這項(xiàng)任務(wù)總共有$N=m_1+m_2+m_3+...+m_n$種不同的方法。定義分類加法計(jì)數(shù)原理的核心思想是將問題分解為若干個(gè)互不重疊的子問題，然后分別對(duì)各個(gè)子問題求解，最后將各個(gè)子問題的解相加得到原問題的解。理解定義與理解排列組合問題排列組合問題中經(jīng)常使用分類加法計(jì)數(shù)原理，將問題分解為若干個(gè)子問題，然后分別計(jì)算各個(gè)子問題的解，最后將各個(gè)子問題的解相加得到原問題的解。概率計(jì)算概率計(jì)算中也可以使用分類加法計(jì)數(shù)原理，將事件分解為若干個(gè)子事件，然后分別計(jì)算各個(gè)子事件的概率，最后將各個(gè)子事件的概率相加得到原事件的概率。分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，假設(shè)我們要從5個(gè)不同的班級(jí)中選出3個(gè)班級(jí)參加學(xué)校的文藝比賽，那么我們可以將這個(gè)問題分解為5個(gè)互不重疊的子問題，即從第1個(gè)班級(jí)中選出1個(gè)班級(jí)、從第2個(gè)班級(jí)中選出1個(gè)班級(jí)、從第3個(gè)班級(jí)中選出1個(gè)班級(jí)、從第4個(gè)班級(jí)中選出1個(gè)班級(jí)、從第5個(gè)班級(jí)中選出1個(gè)班級(jí)。根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，完成這個(gè)任務(wù)總共有5+4+3+2+1=15種不同的方法。分類加法計(jì)數(shù)原理的實(shí)例02分步乘法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理是指完成一件事情，需要分成若干個(gè)相互聯(lián)系的步驟，完成每一步都有若干種不同的方法，則完成這件事情的不同方法數(shù)是每一種方法都有的不同方法的乘積。理解分步乘法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是明確分步的標(biāo)準(zhǔn)，并理解每一步中方法的獨(dú)立性。定義與理解分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用在解決排列組合問題時(shí)，分步乘法計(jì)數(shù)原理可以用來計(jì)算完成某一任務(wù)的不同方法數(shù)。在實(shí)際生活中，分步乘法計(jì)數(shù)原理也廣泛應(yīng)用于計(jì)劃安排、路程規(guī)劃等方面。實(shí)例一某班有10名學(xué)生，每個(gè)學(xué)生有3種不同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目可選擇，求該班學(xué)生選擇運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的不同方法數(shù)。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，該班學(xué)生選擇運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的不同方法數(shù)是10（學(xué)生數(shù)）乘以3（每個(gè)學(xué)生的選擇數(shù)），即10*3=30種。實(shí)例二某快遞公司需要將一封信從A地送至B地，中間需要經(jīng)過3個(gè)中轉(zhuǎn)站，每個(gè)中轉(zhuǎn)站都有2種不同的傳遞方式。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，該信從A地到B地經(jīng)過3個(gè)中轉(zhuǎn)站的不同傳遞方式數(shù)是2（第一個(gè)中轉(zhuǎn)站的選擇數(shù)）乘以2（第二個(gè)中轉(zhuǎn)站的選擇數(shù)）乘以2（第三個(gè)中轉(zhuǎn)站的選擇數(shù)），即2*2*2=8種。分步乘法計(jì)數(shù)原理的實(shí)例03分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的比較分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是基于組合數(shù)學(xué)的基本原理，用于解決計(jì)數(shù)問題。在某些情況下，這兩種原理可以相互轉(zhuǎn)化，即通過調(diào)整分類或分步的方式，可以使問題更適合用其中一種原理來解決。兩者之間的聯(lián)系兩者之間的區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)將問題分為幾個(gè)互斥的子類別，然后分別對(duì)每個(gè)子類別進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后將各個(gè)子類別的計(jì)數(shù)結(jié)果相加得到總數(shù)。分步乘法計(jì)數(shù)原理則強(qiáng)調(diào)將問題分為若干個(gè)有序的步驟，每個(gè)步驟可以有多種選擇，然后根據(jù)各個(gè)步驟的可能性，將各個(gè)步驟的可能性相乘得到總數(shù)。對(duì)于涉及互斥事件的問題，分類加法計(jì)數(shù)原理更為適用，因?yàn)樗梢灾苯佑?jì)算各個(gè)互斥事件的可能性之和。具體選擇哪種原理取決于問題的特性和具體情境。在解決實(shí)際問題時(shí)，需要根據(jù)問題的具體情況和目標(biāo)，選擇合適的原理來應(yīng)用。對(duì)于涉及有序步驟的問題，分步乘法計(jì)數(shù)原理更為適用，因?yàn)樗梢钥紤]到各個(gè)步驟之間的先后順序和相互影響。在實(shí)際問題中的應(yīng)用選擇04分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的練習(xí)題及解析基礎(chǔ)練習(xí)題從5名學(xué)生中選3名參加知識(shí)競(jìng)賽，其中甲被選中的概率為多少？題目本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題。從5名學(xué)生中選3名參加知識(shí)競(jìng)賽，可以分成兩類情況，一是包含甲的三名學(xué)生，二是除去甲的三名學(xué)生，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有$C_{5}^{3}=10$種情況，甲被選中的情況有$C_{4}^{2}=6$種，所以甲被選中的概率為$frac{6}{10}=frac{3}{5}$。解析題目從5名學(xué)生中選3名參加知識(shí)競(jìng)賽，其中甲被選中的概率為多少？解析本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題。從5名學(xué)生中選3名參加知識(shí)競(jìng)賽，可以分成兩步，第一步從除去甲的4名學(xué)生中選2名，第二步從剩下的3名學(xué)生中選1名，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有$C_{4}^{2}timesC_{3}^{1}=18$種情況，甲被選中的情況有$C_{4}^{1}timesC_{3}^{2}=12$種，所以甲被選中的概率為$frac{12}{18}=frac{2}{3}$。基礎(chǔ)練習(xí)題VS在數(shù)字``2013''中，各位數(shù)字相加和為7，稱該數(shù)為``如意四位數(shù)''用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字且大于2013的用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的``如意四位數(shù)''有____個(gè)．解析本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。根據(jù)題意可知``如意四位數(shù)''的千位數(shù)字可以為$2,3,4,5$。若千位數(shù)字可以為$2$時(shí)，剩余三位數(shù)可以為$013,031,103$；若千位數(shù)字可以為$3$時(shí)，剩余三位數(shù)可以為$015,051,105$；若千位數(shù)字可以為$4$時(shí)，剩余三位數(shù)可以為$015,051,105$；若千位數(shù)字可以為$5$時(shí)，剩余三位數(shù)可以為$014,041,104$。所以共有$6+6+6+6=24$個(gè)。題目進(jìn)階練習(xí)題在所有的三位數(shù)中，滿足其數(shù)字和等于$12$的三位數(shù)共有多少個(gè)？本題主要考查分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。根據(jù)題意可知百位數(shù)字可以為$3,4,5,6,7,8,9$。當(dāng)百位數(shù)字為$3$時(shí)，剩余兩位數(shù)可以為$99,89,79,69,59,49,39,29,19$共$9$個(gè)；當(dāng)百位數(shù)字為$4$時(shí)，剩余兩位數(shù)可以為$98,88,78,68,58,48,38,28,18$共$9$個(gè)；同理可知當(dāng)百位數(shù)字為$5,6,7,8,9$時(shí)也各有$9$個(gè)。所以共有$9+9+9+9+9+9=54$個(gè)。題目解析進(jìn)階練習(xí)題題目在數(shù)字``2013''中，各位數(shù)字相加和為7，稱該數(shù)為``如意四位數(shù)''用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字且大于2013的用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的``如意四位數(shù)''有____個(gè)．要點(diǎn)一要點(diǎn)二解析本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)