高中數(shù)學(xué) 選修4-5《不等式選講》全冊(cè)教案

第一講不等式和絕對(duì)值不等式

課題：第01課時(shí)不等式的基本性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)：

1.理解用兩個(gè)實(shí)數(shù)差的符號(hào)來規(guī)定兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的意義，建立不等式研究

的基礎(chǔ)。

2.掌握不等式的基本性質(zhì)，并能加以證明；會(huì)用不等式的基本性質(zhì)判斷不

等關(guān)系和用比較法，反證法證明簡(jiǎn)單的不等式。

教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)推理判斷命題的真假；代數(shù)證明，特別是反

證法。

教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)。

教學(xué)過程：

一、引入：

不等關(guān)系是自然界中存在著的基本數(shù)學(xué)關(guān)系?！读凶?湯問》中膾炙人口的

“兩小兒辯日”：“遠(yuǎn)者小而近者大”、“近者熱而遠(yuǎn)者涼”，就從側(cè)面表明

了現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的廣泛存在；日常生活中息息相關(guān)的問題，如“自來水

管的直截面為什么做成圓的，而不做成方的呢?”、“電燈掛在寫字臺(tái)上方怎樣

的高度最亮？”、“用一塊正方形白鐵皮，在它的四個(gè)角各剪去一個(gè)小正方

形，制成一個(gè)無蓋的盒子。要使制成的盒子的容積最大，應(yīng)當(dāng)剪去多大的小正

方形？”等，都屬于不等關(guān)系的問題，需要借助不等式的相關(guān)知識(shí)才能得到解

決。而且，不等式在數(shù)學(xué)研究中也起著相當(dāng)重要的作用。

本專題將介紹一些重要的不等式(含有絕對(duì)值的不等式'柯西不等式、貝

努利不等式'排序不等式等)和它們的證明，數(shù)學(xué)歸納法和它的簡(jiǎn)單應(yīng)用等。

人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結(jié)構(gòu)，事與事成因與結(jié)果的

不同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系，這表明現(xiàn)實(shí)世界中的量，不等是普遍的、絕對(duì)

的，而相等則是局部的、相對(duì)的。還可從引言中實(shí)際問題出發(fā)，說明本章知識(shí)

的地位和作用。

生活中為什么糖水加糖甜更甜呢轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：a克糖水中含有b克糖

(a>b>0),若再加m(m>0)克糖,則糖水更甜了，為什么

分析：起初的糖水濃度為"，加入m克糖后的糖水濃度為"+只要證

a

竺A4-上>h2即可。怎么證呢a+m

a+ma

二、不等式的基本性質(zhì)：

1、實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：

數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)，從實(shí)數(shù)的減法在數(shù)

2

軸上的表示可知:

a>boa-b>0

a=b<^>a-h=O

a<b<^>a-b<0

得出結(jié)論：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)即可。

2、不等式的基本性質(zhì)：

①、如果a>b,那么b<a,如果b<a,那么a>b。（對(duì)稱性）

②、如果a>b,且b>c,那么a>c,即a>b,b>c=>a>co

③、如果a>b,那么a+c>b+c,即a>bna+c>b+c。

推論：如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.即a>b,c>dna+c>b+d.

④、如果a>b,且c>0,那么ac>bc；如果a>b,且c<0,那么ac<bc.

⑤、如果a>b>0,那么?！?gt;匕“（neN,且n>1）

⑥、如果a>b>0,那么癡>十方（neN,且n>1）。

三、典型例題：

例1、比較。+3）。+7）和（x+4）（x+6）的大小。

分析：通過考察它們的差與0的大小關(guān)系，得出這兩個(gè)多項(xiàng)式的大小關(guān)

例2、已知求證：a-c>b-d.

例3、已知a>b>0,c>d>0,求證：5

四、課堂練習(xí)："'

1：已知x>3,比較冗3+1lx與6x2+6的大小。

2：已知a>b>Qc〈d<0,求證：/_<，一。

a-cb-d

課本P第1、2、3、4題

9

六、教學(xué)后記：

3

課題：第02課時(shí)基本不等式

教學(xué)目標(biāo)：

1.學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握均值不等式定理；

2.能夠簡(jiǎn)單應(yīng)用定理證明不等式并解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

教學(xué)重點(diǎn)：均值不等式定理的證明及應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：等號(hào)成立的條件及解題中的轉(zhuǎn)化技巧。

教學(xué)過程：

一、知識(shí)學(xué)習(xí)：

定理1：如果a、bGR,那么a2+b222ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取

號(hào)）

證明：a?+b2—2ab=（a—b）2

當(dāng)aRb時(shí)，（a—b）2>0,當(dāng)a=b時(shí)，（a—b）2=0

所以，（a—b）220即a2+b222ab

由上面的結(jié)論，我們又可得到

a+b.—

定理2（基本不等式）：如果a,b是正數(shù)，那么一二2舸（當(dāng)且僅當(dāng)

a=b時(shí)取“=””

號(hào)）

證明：./（/）2+）222.

:.a+b22,ab?,即?—--2,ab

顯然，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，一--=-\/ab

a+b2_

說明：1）我們稱一y-為a,b的算術(shù)平均數(shù)，稱婀為a,b的幾何平均

數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均

數(shù).

a+b.—

2）a?+b2、2ab和一^—2啊成立的條件是不同的：前者只要求a,b

都是實(shí)數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù).

3）“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件

4）幾何意義.

二'例題講解：

例1已知x,y都是正數(shù)，求證：

（1）如果積xy是定值P,那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2#；

（2）如果和x+y是定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值;Sz

證明：因?yàn)閄,y都是正數(shù)，所以「廣，皿

（1）積xy為定值P時(shí)，有六一；.x+y》2群

上式當(dāng)x=y時(shí)，取“=”號(hào)，因此，當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2鏟.

4

LS1

(2)和x+y為定值S時(shí)，有皿，xyW7S?

上式當(dāng)x=y時(shí)取"=”號(hào)，因此，當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值。S2.

說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個(gè)條件:

i)函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù)；

ii)函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)；

iii)等號(hào)成立條件必須存在。

例2:已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證：

(ab+cd)(ac+bd)24abcd

分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正

確運(yùn)用，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)均值不等式定理的條件的認(rèn)識(shí)

證明：由a、b、c、d都是正數(shù)，得

ab+cd，―-------,ac+bd-.......—,

--~?cd>0,——S：Jac?bd>0,

^ab+cd)(ac+bd)2v

/.---------；---------^abcd

4

即(ab+cd)(ac+bd)24abcd

例3某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋貯水池，其容積為4800叫深為3m,

如果池底每1m?的造價(jià)為150元，池壁每1m?的造價(jià)為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池

能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？

分析：此題首先需要由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然

后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理

解：設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為xm,水池的總造價(jià)為^^*據(jù)題意，得

,,1600、/1600

1=240000+720(x+——)2240000+720X2、/x--------

xVx

=240000+720X2X40=297600

當(dāng)x=?,即x=40時(shí)，I有最小值297600

因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低

總造價(jià)是297600元.

評(píng)述：此題既是不等式性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函

數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適

用條件.

三、課堂練習(xí)：課本P練習(xí)1,2,3,4.

91

四'課堂小結(jié)：

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平

均數(shù)的定理，并會(huì)應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，，但是在應(yīng)用時(shí)，

5

應(yīng)注意定理的適用條件。

五'課后作業(yè)

課本P習(xí)題第5,6,7題

10

六、教學(xué)后記匚—，

課題：第03課時(shí)三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平

均不等式

教學(xué)目標(biāo)：

1.能利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式證明一些簡(jiǎn)單的不等式，解決最

值問題；

2.了解基本不等式的推廣形式。

教學(xué)重點(diǎn)：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式

教學(xué)難點(diǎn)：利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式證明一些簡(jiǎn)單的不等式，解決

最值問題

教學(xué)過程：

一、知識(shí)學(xué)習(xí)：

定理3：如果,那么"+"+'之Rabe。當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)

+3

成立。

推廣：4+<+???+%2城.0…。當(dāng)且僅當(dāng)。=。=-=。時(shí)，等號(hào)成

YI*12n12n

立。

語言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

思考：類比基本不等式，是否存在：如果那么。3+加+>3abe

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立)呢？試證明。

二'例題分析：

例1:求函數(shù)y=2x2+(%>0)的最小值。

3x1?/i~2

解一：y=2x2+_=2x2+—+—>3^2x2.—?_=3</4y=

2XIXVXX7/l^in

解二：y=2產(chǎn)+—>212x2?—=2J6x當(dāng)2x2=—即x=-3--時(shí)

2

...y.=2丁|6--場(chǎng)--=2丫J3—4/12=2—Q3T24Hx

min2

上述兩種做法哪種是錯(cuò)的錯(cuò)誤的原因是什么

變式訓(xùn)練1若eR且a>b,求a+--!---的最小值。

?(a-b)b

由此題，你覺得在利用不續(xù)式■決這類題目時(shí)關(guān)鍵是要

6

例2：如下圖，把一塊邊長(zhǎng)是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方

形，再把它的邊沿名著虛線折轉(zhuǎn)成一個(gè)無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長(zhǎng)

是多少時(shí)，才能使盒子的容積最大？

變式訓(xùn)練2已知：長(zhǎng)方體的全面積為定值S,試問這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高

各是多少時(shí)，它的體積最大，求出這個(gè)最大值.

由例題，我們應(yīng)該更牢記一___二三,三者缺一不可。

另外，由不等號(hào)的方向也可以知道：積定,和定.

三、鞏固練習(xí)

17

1.函數(shù)y=3x+—（x〉0）的最小值是（）

X2_

B.676

2.函數(shù)y=4m+I，-.的最小值息___

-（X2+1）2

3.函數(shù)y=x4（2-尤2）（?<x<J5）的最大值是（）

C史D,當(dāng)

2727

4.（2009浙江自選）已知正數(shù)滿足x+y+z=l,求4,+4>，+4/的最小值。

5（2008,江蘇，21）設(shè)a,6,c為正實(shí)數(shù)，求證：—+-L+-+abc>2y/3

Q3加

四'課堂小結(jié)：

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平

均數(shù)的定理，并會(huì)應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，，但是在應(yīng)用時(shí)，

應(yīng)注意定理的適用條件。

五、課后作業(yè)

P戶題第11,12,13題

六'教學(xué)后記：

7

課題：第04課時(shí)絕對(duì)值三角不等式

教學(xué)目標(biāo)：

1：了解絕對(duì)值三角不等式的含義，理解絕對(duì)值三角不等式公式及推導(dǎo)方

法，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)

單的應(yīng)用。

2：充分運(yùn)用觀察、類比'猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體會(huì)轉(zhuǎn)化和數(shù)

形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并能運(yùn)用絕對(duì)值三角不等式公式進(jìn)行推理和

證明。

教學(xué)重點(diǎn)：絕對(duì)值三角不等式的含義，絕對(duì)值三角不等式的理解和運(yùn)用。

教學(xué)難點(diǎn)：絕對(duì)值三角不等式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)、取等條件。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

關(guān)于含有絕對(duì)值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一

類是證明不等式。本節(jié)課探討不等式證明這類問題。

1.耳同驪崛憶(廣下絕對(duì)值的意義。

兇={0,如果c=0o

幾何叫義：喇軸ot,一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離稱為這個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的絕對(duì)

值。

2.證明一個(gè)含有絕對(duì)值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)

之外，經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對(duì)值的和、差、積、商的性質(zhì):

(1)|?|>?,當(dāng)且僅當(dāng)“20時(shí)等號(hào)成立，回》-。.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成

立。

(2)|a|=y[a^,(3)網(wǎng).例=QH，(4)H=：吐0)

b

那么+W=\a+.?|a|—=\a+h\?

8

二'講解新課:

探究：網(wǎng),例之間的什么關(guān)系？F3b-x

結(jié)論：|a+耳W|a|+p|（當(dāng)且僅當(dāng)為20時(shí),等號(hào)成立.）

已知a仍是實(shí)數(shù)，試證明：卜+。尸同+回（當(dāng)且僅當(dāng)初'0時(shí)，等號(hào)成立.）

方法一：證明：1。.當(dāng)ab，0時(shí)，2.當(dāng)ab<0時(shí)，

ah=—\ab\,

ab=labI,

IQ+AI=J(a+b)2

\a+b\=,（a+b）2

=J-2+2〃"+匕2

=yja2+2ah-\-b2=Ja|2二21"I+I。|2-

=^\a\i+l\a\\b\+\b\2

<^\a\2+2\a\\b\+\b\2

綜合1。,氣知流理成立.

=加1+而

方法二：=命柝海,l兩邊平方（略）

=\a\+\b\

定理1如果小〃是實(shí)數(shù)，則a\+\b\(當(dāng)且僅當(dāng)打20時(shí)，等號(hào)成

立.）

（1）若把〃換為向量情形又怎樣呢？

a+b

根據(jù)定理1,有「+4+|-4卻a+b-q,就是，K+q+碼；網(wǎng)：所以,

|a+&|>|a|-1/?|o

定理（絕對(duì)值三角形不等式）

如果生分是實(shí)數(shù)，貝IJ網(wǎng)一網(wǎng)尸\a±b\^|?|+|Z?|

注：當(dāng)。/為復(fù)數(shù)或向量時(shí)結(jié)論也成立.

推論1：|a+。++a|W|a|+|?|++|?I

9

推論2：如果4、6、C是實(shí)數(shù)，那么慳-。乒.-耳+口-斗當(dāng)且僅當(dāng)

(a—b)(b—c)20時(shí),等號(hào)成立.

思考：如何利用數(shù)軸給出推論2的幾何解釋？

(設(shè)A,B,C為數(shù)軸上的3個(gè)點(diǎn)，分別表示數(shù)a,b,c,則線段

M《AC+C8.當(dāng)且僅當(dāng)C在A,B之間時(shí)，等號(hào)成立。這就是上面的例3。特

別的，取c=0(即C為原點(diǎn))，就得到例2的后半部分。)

三'典型例題：

例1、已知|x-a|<-/?|<i.,求證|(x+y)-(a+b)\<c.

證明|(x+y)-(a+b)|=|(尤-a)+(y-b)|<|x-a|+|y-Z>|(1)

■：\x-a\<L,\y-b\<L,

..\x-a\+\y-k\<-^+—=c

(2)一一

由(1),(2)得：|(x+y)-(a+b)\<c

例2、已知W<二,|y|<2.求證：Rx—3yl<<。

證明?.?因

4.622〃〃

由例1及上式，|2x-3y|<|2A|+|3y|<_+-=ao

注意：在推理比較簡(jiǎn)單時(shí)，我們常常將幾N不喜式連在一起寫。但這種寫

法，只能用于不等號(hào)方向相同的不等式。

例3兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線的兩個(gè)地點(diǎn)施工這兩個(gè)地點(diǎn)分別

位于公路路碑的第10公里和第20公里處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個(gè)施工隊(duì)的共同

臨時(shí)生活區(qū)每個(gè)施工隊(duì)每天在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之間往返一次要使兩個(gè)施工

隊(duì)每天往返的路程之和最小,生活區(qū)應(yīng)該建于何處？

解：如果生活區(qū)建于公路路碑的第xkm處，兩施工隊(duì)每天往返的路程之和為

—?-----------------------------------?-----------

那么S(x)MJ(|x-10|+|x-20|)%20

四'課堂練習(xí)：

1.(課本P習(xí)題第1題)求證：

20

(1)|a+Zr|+|a-6|>2|a|;(2)|a+*|-|a-6|2\b\

2.(課本P習(xí)題第3題)求證：

19

(1)|x-a|+|x-￡>|^|a-Z?|;(2)|x-a|-|x-Z>|^|a-Z>|

3.(1)、已知忸一句<多求證：|(A_8)_(a—?jiǎng)?lt;c°

10

(2)、已知|x-a|<￡,|y-b|<￡.求證：|2x-3y-2a+3b|<c。

五'課堂小結(jié)：46

1.實(shí)鄧自轆勸直的意義：

⑴何=<0(a=0);(定義)

⑵同的人何意義)

2.定理(絕對(duì)值三角形不等式)

如果方是實(shí)數(shù)，貝4網(wǎng)-網(wǎng)|忘w士外w網(wǎng)+加注意取等的條件。

六、課后作業(yè)：課本P第2,4,5題

19

七.教學(xué)后記:

課題：第05課時(shí)絕對(duì)值不等式的解法

教學(xué)目標(biāo)：

1：理解并掌握兇<a與兇>a(a>0)型不等式的解法.

2：掌握叵+.<c與W+M>c(c>0)型不等式的解法.

教學(xué)重點(diǎn)：國<。與因>。3>0)型不等式的解法.

教學(xué)難點(diǎn)：把絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式(組)來求解.

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

在初中課程的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)對(duì)不等式和絕對(duì)值的一些基本知識(shí)有了一

定的了解。

請(qǐng)同學(xué)們回憶一下絕對(duì)值的意義。

在數(shù)軸沖右個(gè)做到驚點(diǎn)的距離稱為這個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的絕對(duì)值。即

|x|=<0,如果x=0o

在此基3七，本牌討袍含有絕對(duì)值的不等式。

二、新課學(xué)習(xí)：

關(guān)于含有絕對(duì)值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一

11

類是證明不等式。下面分別就這兩類問題展開探討。

1、解在絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的不等式（也稱絕對(duì)值不等式），關(guān)鍵在

于去掉絕對(duì)值符號(hào)，化成普通的不等式。主要的依據(jù)是絕對(duì)值的幾何意義.

2、含有絕對(duì)值的不等式有兩種基本的類型。

第一種類型：設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對(duì)值的意義，不等式因〈。的解集是

[x\-a<x<a},它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于a的點(diǎn)的集合是開

區(qū)間（-a,a）,如圖所示。

圖1-1

如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結(jié)果來解。

第二種類型：設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對(duì)值的意義，不等式因>。的解集是

{xIx>?；騲<-a},它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離大于a的點(diǎn)的集合

是兩個(gè)開區(qū)間（F,-a）,（a,8）的并集。如圖1-2所示。

圖1-2

同樣，如果給定的不等式符合這種類型，就可以直接利用它的結(jié)果來解。

3、|ax+44c和+.2c型不等式的解法。

Wc。-cWax+b<c

|ax+/?|>c<=>ax+b<—c或ax+8>c

4、|x—a|+k—b|?c和卜一4+,一耳2。型不等式的解法。（三種思路）

三、典型例題：

例1、解不等式內(nèi)一1|<》+2。

例2、解不等式|3尤-1|〉2-x。

方法1：分類討論。

方法2：依題意，原不等式等價(jià)于3x-l〉2-x或3x-l<x-2,然后去

解。

例3、解不等式|2尤+1|+|3%-2|25。

例4、解不等式,一2|+,一1|?5。

解：本題可以按照例3的方法解，但更簡(jiǎn)單的解法是利用幾何意義。原不

等式即數(shù)軸上的點(diǎn)x到1,2的距離的和大于等于5。因?yàn)?,2的距離為1,所

12

以X在2的右邊，與2的距離大于等于2(=(5-1)+2)；或者X在1的左

邊，與1的距離大于等于2。這就是說，xN4或X4-1.

例5、不等式|x-l|+|x+3|>a,對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍。

四、課堂練習(xí)：解下列不等式：

1、2|2x-l|>l.2、4|1-3A|-1<03、|3-2x|<x+4.

4、|x+1|>2—x.5\卜2-2x-4|<16、|x2-1|>x+2.

7、|Aj+|x-2]>48、|x-l|+|x+3|>6.9、N+|x+l]<2

10、||x|-|x-4||>2.

五'課后作業(yè)：課本20第6、7、8、9題。

六'教學(xué)后記:

第二講證明不等式的基本方法

課題：第01課時(shí)不等式的證明方法之

一:比較法

教學(xué)目標(biāo)：能熟練地運(yùn)用作差、作商比較法證明不等式。

教學(xué)重、難點(diǎn)：能熟練地運(yùn)用作差、作商比較法證明不等式。

教學(xué)過程：

一、新課學(xué)習(xí)：

要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)即可，即利用不等式的

性質(zhì)：

a>b<^>a-b>0

a=b<^>a-b=0

a<b<^>a-b<0

13

二'典型例題：

例1、設(shè)a,6都是正數(shù)，且求證：a3+b3>a2b+aba。

例2、若實(shí)數(shù)XHl,求證：3(1+X2+X4)>(1+X+X2)2.

證明：采用差值比較法：

3(1+X2+X4)-(1+X+X2)2

=3+3x2+3x4—1—x2—X4—2x—2x2-2x3

二2(X4—X3—X+1)

=2(X-1)2(X2+X+1)

-2(x-l)2[(x+—)2+_].

,24]3

???XW1,從而(x—l)2>0,且(X+_)2+二>0,

1324

2(X-1)2[(X+-)2+_]>0,

3(l+x2+X4)>(1+X+X2)2.

討論：若題設(shè)中去掉xHl這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換?

例3、已知a/eR+,求證。血2

本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。

證明：1)堂直勢(shì)較法：注意到要證的不等式關(guān)于對(duì)稱，不妨設(shè)aN6>0.

,從而原不等式得證。

2)商值比蚊法：設(shè)a、b>0,

=(2)f>1.故原不等式得證。

ba>bah

例4、甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)。甲有一半時(shí)間以速度加

行走，另一半時(shí)間以速度〃行走；乙有一半路程以速度加行走，另一半路程以

速度〃行走。如果問甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)。

分析：設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是S,甲、乙兩人走完這段路程所用

的時(shí)間分別為/Jo要回答題目中的問題，只要比較/的大小就可以了。

1212

解：設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是S,甲、乙兩人走完這段路程所用的

時(shí)間分別為,根據(jù)題意有Lm+L〃=s,1-+g=f,可得/=三一，

S(m+n)12222m2n21m+n

A2加〃2SS(m+n)S[4mn—(/n+n)2]S(m-幾)2

IIIJt—t------c=---------------=—----------,

12+2mn2(m++n)mn

其中S,W,"都m是在n數(shù)，甬H"。手是/-t<0,即f<tO

I2I2

從而知甲比乙首先到達(dá)指定地點(diǎn)。

討論：如果加=〃，甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)？

14

三'課堂練習(xí)：

1.比較下面各題中兩個(gè)代數(shù)式值的大?。?/p>

（1）X2與X2-X+1;（2）X2+/+1與（*+1）2.

2.已知GHI.求證：（1）。2>2。一1;（2）2"_<1.

、"+，，+，、1+42

3.^a>h>c>0,求證a”從C。2（abc）3.

四、課時(shí)小結(jié)：

比較法是證明不等式的一種最基本'最重要的方法。用比較法證明不等式

的步驟是：作差（或作商）'變形'判斷符號(hào)?！白冃巍笔墙忸}的關(guān)鍵，是最

重一步。因式分解'配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。

五、課后作業(yè)：

課本23頁第1、2、3、4題。

六'教學(xué)后記：

課題：第02課時(shí)不等式的證明方法之

二：綜合法與分析法

教學(xué)目標(biāo)：

1、結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜

口后O

2、了解分析法和綜合法的思考過程。

教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程。

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明

15

方法。

教學(xué)過程：

一、引入：

綜合法和分析法是數(shù)學(xué)中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的

基本方法。由

于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性，這里將其放在一起加以認(rèn)識(shí)、學(xué)

習(xí)，以便于對(duì)比研究?jī)煞N思路方法的特點(diǎn)。

所謂綜合法，即從已知條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)或已知的不等式，逐

步推導(dǎo)出要證

的不等式。而分析法，則是由結(jié)果開始，倒過來尋找原因，直至原因成為明顯

的或者在已知中。前一種是“由因及果”，后一種是“執(zhí)果索因”。打一個(gè)比

方：張三在山里迷了路，救援人員從駐地出發(fā)，逐步尋找，直至找到他，這是

“綜合法”；而張三自己找路，直至回到駐地，這是“分析法”。

二'典型例題：

例1、已知a,6,c>0,且不全相等。求證：

a(Jn+c2)+/?(c2+〃2)+C(Q2+/?2)>6abe

分析：用綜合法。

例2、設(shè)。求證+加

證法一分析法

要證。3+/?3>成立.

只需證(。+b)(Q2-ab+b2)>ab(a+b)成立，又因a+b〉0,

只需證。2-ab+b^2成立，又需證a2-2ab+b?>0成立，

即需證(a-份2NO成立而(a-32>0顯然成立由此命題得證。

證法二綜合法

(a-b)220na2-2ab+b220=。2—+>ab

注意至>0,/?>0,即。+〃〉()，

由上式即得(a+。)(。2-ab+b^)>ab(a+b),從而。3+加2。2匕+ab?成立。

議一議：根據(jù)上面的例證，你能指出綜合法和分析法的主要特點(diǎn)嗎？

例3、已知a,b,m都是正數(shù)，并且。求證：竺竺>2.

b+mb

(1)

證法一要證(1),只需證優(yōu)。+加)>々S+機(jī))(2)

要證(2),只需證加m(3)

16

要證（3）,只需證b〉a（4）

已知（4）成立，所以（1）成立。

上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。

證法二因?yàn)椤?gt;"7是正數(shù)，所以Am>am

兩邊同時(shí)加上ab得仇a+m）>a（b+m）兩邊同時(shí)除以正數(shù)b（b+m）

得（1）O

例4、證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管橫截面的周長(zhǎng)相

等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。

分析：當(dāng)水的流速相同時(shí)，水管的流量取決于水管橫截面面積§勺大小。設(shè)

截面的周長(zhǎng)為L(zhǎng),則周長(zhǎng)為勺圓的半徑為截面積為周長(zhǎng)為L(zhǎng)

的正方形為4,截面積為（4丫。所以本題只親證明/上丫率丫。

證明：設(shè)截面的周長(zhǎng)名匚則整面是圓的水管的截面再積名,截面

是正方形的水管的截面面積為才。只需證明：兀隹卜（打。2兀

為了證明上式成立，只需端如巴〉與。⑴

414fi216

兩邊同乘以正貯，得：->lo因此，只需證明兀。

L2（j*14/V

上式顯然成立，所以:（>[:。

這就證明了：通過水磊朵魯克速相同時(shí)，如果水管橫截面的周長(zhǎng)相

等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。

例5、證明：6Z2+/?2+c2>ah+hc-\-cao

證法一：因?yàn)?2+/?2>2ah（2）

Z?2+。222bc（3）

C2+tz2>2ca（4）

所以三式相加得23+/?2+c2）22{abbe+cd）

（5）

兩邊同時(shí)除以2即得（1）。

證法二：

。2+。2+C2—（ab+be+ca）=—（a-b）2+_（。-c）2+—（c—a）i>0,

222

所以（1）成立。

例6、證明：（。2+/?2）（C2+"2）之（〃C+Z?d）2.（1）

證明（1）=（〃2+〃2）（C2+d2）-（QC+/M）220（2）

=42c2+b2c2+Q2d2+/72d2-（。2。2+2abe4+b2d2）>0

（3）

0/?2c2+Q2d2-2abcd>0(4)

=(hc-ad)2>0(5)

17

(5)顯然成立。因此(1)成立。

例7、已知a,6,c都是正數(shù)，求證公+加+c323a兒.并指出等號(hào)在什么時(shí)候

成立？

分析：本題可以考慮利用因式分解公式

+bi+。3-3abc-(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)著手°

證明：。3+加+c3-3abc

TQ+/?+C)(Q2+/72+c2-ab-bc-cd)

+〃+c)[(〃―/?)2+S-C)2+(C-Q)2].

由于a,仇c都是正數(shù)，所以。+b+c>0.而

(a-b)2+(b-C)2+(c-a)2>0,

可知。3+/73+。3-3ahc>0

即+加4-C3>3abe(等號(hào)在a=b=c時(shí)成立)

探究：如果將不等式。3+加+C3>3aoe中的。3,/?3,c3分別用a,6,c來代替,

并在兩邊同除以3,會(huì)得到怎樣的不等式？并利用得到的結(jié)果證明不等式：

(l+a+0)(l+b+c)(l+c+a)>27,其中a,瓦c是互不相等的正數(shù)，且

abc-1.

三、課堂小結(jié):

解不等式時(shí)，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時(shí)加上

(或減去)一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，移項(xiàng)，在不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)一個(gè)

正數(shù)或一個(gè)正的代數(shù)式，得到的不等式都和原來的不等式等價(jià)。這些方法，也

是利用綜合法和分析法證明不等式時(shí)常常用到的技巧。

四、課堂練習(xí)：

1、已知x>0,求證：X+—>2.

%、、114

2、已知x>0,y>0,xy,求證一+—>----.

、"____xyx+y

3、已知。>0,求證yja-b>y/a-y[b.

4、已知a>0,〃>0.求證：

(1)伍+/?)(〃—+/?-!)>4.(2)(。+b)(Q2+82)(。3+加)>8。3b3.

5、已知a,bed都是正數(shù)。求證：

z.xa+b+c+d、(-T-r—ra+Z?+c+d、―

(1)----------->yjab+y[cd;(2)----------->《abedr.

6、已知a,，c都是互不相等的正數(shù),求證(?+/?+c)(qb+/?(?+co)>9ahc.

18

五、課后作業(yè)：

課本25頁第1、2、3、4題。

六'教學(xué)后記：

課題：第03課時(shí)不等式的證明方法之

三：反證法

教學(xué)目標(biāo)：

通過實(shí)例，體會(huì)反證法的含義、過程與方法，了解反證法的基本步驟，會(huì)

用反證法證明簡(jiǎn)單的命題。

教學(xué)重點(diǎn)：體會(huì)反證法證明命題的思路方法，會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的命題。

教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的命題。

教學(xué)過程：

一、引入：

前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說，直接從題設(shè)出

發(fā)，經(jīng)過一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對(duì)于一些較復(fù)雜的不等式，

有時(shí)很難直接入手求證，這時(shí)可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是

指不直接從正面確定論題的真實(shí)性，而是證明它的反論題為假，或轉(zhuǎn)而證明它

的等價(jià)命題為真，以間接地達(dá)到目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方

法。

反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾。具體

地說，反證法不直接證明命題“若P則q”，而是先肯定命題的條件P,并否定

命題的結(jié)論q,然后通過合理的邏輯推理，而得到矛盾，從而斷定原來的結(jié)論

是正確的。

利用反證法證明不等式，一般有下面幾個(gè)步驟：

第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；

第二步作出與所證不等式相反的假定；

第三步從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；

第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原

證不等式成立。

二'典型例題：

19

例1、已知?！等?gt;0,求證：nja>Hjb(九EN且〃>1)

例1、設(shè)〃3+加=2,求證a+b<2.

證明：假設(shè)〃+人>2,則有。>2-匕，從而

。3>8-12/?+6/?2一加，

。3+加>61n-12/?+8=6s-1)2+2.

因?yàn)?(8-1)2+222,所以原+加>2,這與題設(shè)條偉3+加=2矛

盾，所以，原不等由+。工2成立。

例2、設(shè)二次函數(shù)/(x)=x2+p無+外求證：J⑴|,|/(2)|,|/(3)］中至少有一

個(gè)不小于JL.

2

證明：假設(shè)|川)|,|/(2)|,|/(3)|都小于;，則

|/(1)|+2|/(2)|+|/(3)|<2.(D

另一方面，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，有

|/(D|+2|/⑵|+1/(3)|>|/(1)-2/(2)+/(3)|

二|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2

(1)、(2)兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來的結(jié)論正確。

注意：諸如本例中的問題，當(dāng)要證明幾個(gè)代數(shù)式中，至少有一個(gè)滿足某個(gè)

不等式時(shí)，通常采用反證法進(jìn)行。

議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通

常是指所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及

與臨時(shí)假定矛盾等各種情況。試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有

什么特點(diǎn)？

例3、設(shè)0<a,b,c<1,求證：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可

能同時(shí)大于L

4

證：設(shè)(1?a)b>1,(1?b)c>1,(1?c)a>1,

444

20

則三式相乘：ab<(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a<1①

64

(1?)

又<a,b,c<1,,-0<(l-q)a<|~^tfT=L

24

同理：(l-b)b<1,(l-c)c<1

44

以上三式相乘：(1?a)a?(1?b)b?(1?c)cW-L與①矛盾...原

64

式成立

例4、已知a+b+c>0,ab+be+ca>0,abc>0,求證：a,b,

c>0

證：設(shè)a<0,,「abc>0,.'.be<0又由a+b+c>0,則b+

c=?a>0

.".ab+be+ca=a(b+c)+be<0與題設(shè)矛盾又：若a=

0,則與abc>0矛盾，必有a>0

同理可證：b>0,c>0

三、課堂練習(xí)：

1、利用反證法證明：若已知a,b,m都是正數(shù)，并且a<6,則

a+ma

------->—.

b+mb

2、設(shè)0<a,b,c<2,求證：(2?a)c,(2?b)a,(2?c)b,不可能

同時(shí)大于1

3、若x,y>0,且x+y>2,則3和士中至少有一個(gè)小于2。

xy

提示：反設(shè)22,火22..)，y>0,可得x+yW2與x+

xy

V>2矛盾。

四、課時(shí)小結(jié)：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個(gè)步驟：

第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；

第二步作出與所證不等式相反的假定；

第三步從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果;

21

第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原

證不等式成立。

五'課后作業(yè)：

課本29頁第1、4題。

六'教學(xué)后記：

課題：第04課時(shí)不等式的證明方法之

四：放縮法

教學(xué)目標(biāo)：

1.感受在什么情況下，需要用放縮法證明不等式。

2.探索用放縮法證明不等式的理論依據(jù)和技巧。

教學(xué)重、難點(diǎn)：

1.掌握證明不等式的兩種放縮技巧。

2.體會(huì)用放縮法證明不等式時(shí)放大或縮小的“度”。

教學(xué)過程：

一、引入：

所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當(dāng)?shù)胤糯螅ɑ蚩s小），使之得出

明顯的不等量關(guān)系后，再應(yīng)用不等量大、小的傳遞性，從而使不等式得到證明

的方法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)用

處更為廣泛。

下面我們通過一些簡(jiǎn)單例證體會(huì)這種方法的基本思想。

22

二、典型例題：

例1、若“是自然數(shù)，求證_L+_L+JL+…+」_<2.

11112[2232〃2

證明：:——<------=----——=2,3,4,…，幾

勺24(大一《)氏-1]111

/__+—+—+…+—<-+——+---+…+-------

122232?211-212-i31(n-l)-nii

=彳+(7一彳)+(不一不)+???+(---7——

111223n-1n

=2——<2.

..111〃1

注意：實(shí)際上，我們?cè)谧C明上+一+—+???+—<2的過程中，已經(jīng)得到

1I112122321〃2

一個(gè)更強(qiáng)的結(jié)論」■+-!-+上+--+」-<2-1，這恰恰在一定程度上體現(xiàn)了放縮

122232幾2n

法的基本思想。

1

例2、求證：1+1+J-+-L+???+<3.

J1__1x_2l_x_2xj廣31xi2x3x???xH

證明：由-----f----------<--——-<--：-一----,(k是大于2的自然數(shù))

甲2X我…x51-2-2...2J2A-I

得1+_+---+-------+…+--------.——L

1112ilx2x31[X2X3XG巧7ri

v1+1+—+——+——+???+—=1+"=3一<3.

222232”1T112〃-1

例3、若a,b,c,d?R+,求證：1一2

iabcd

1<--------+------+--------+--------<2

、。+。+db+￡+ac+y+bd+w+cj

證：記m=-------+--------+--------+/a,b,c,d?R+

a+b-^db+c+abc+d+bd^-a+cd

??m>+---------+----------+-------=-1---

Q方Z?+c%da卞b+c%c+d+a+Z?d+a+b+c

m<----+----+----+——二2/.1<m<2即原式成

a+ba+bc+dd+c

立。

例4、當(dāng)n>2時(shí)，求證：log(n-l)log(n4-1)<1

nn

證：'/n>2log(n-1)>0,log(n4-1)>0

log(H-l)log(〃；1)<厚產(chǎn)一甘做(〃+1邛=嗎(〃口

“?1吃〃2卜]」12

-'.n>2時(shí)，log(n-l)log(n+1)<1

三、課堂練習(xí)：

1、設(shè)〃為大于1的自然數(shù)，求證」…+_L>_L.

1,?^1〃彳2〃+2a2

2、設(shè)〃為自然數(shù)，求證(2-_)(2-一)(2-_)…(2-----)>-.

nnnn/i!

四、

常用的兩種放縮技巧：對(duì)于分子分母均取正值的分式，

(I)如果分子不變，分母縮小(分母仍為正數(shù))，則分式的值放大;

(II)如果分子不變，分母放大，則分式的值縮小。

五、課后作業(yè)：課本29頁第