云南省曲靖某中學(xué)2022-2023學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

云南省曲靖天人高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中

考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合/={0』,2},8="€川-2＜工＜3}，則4u8=（）

A.{0,1}B.乩2}C{0.1,2}D.{-1,0,1,2}

2.己知i為虛數(shù)單位，（i+i”=2,貝（)

A...B.i.C...D.

l+il-i-1+1-l-i

3.已知￡=（x,i）,力=（_2,4），若小〉則'=（）

A.1B.2C.3D.4

4.若把英語單詞“word”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有（)

A.24種B.23種C.12種D.11種

5.在（五一2）5的展開式中，r的系數(shù)為（).

A.,B.5cD.10

-3J-10

6.函數(shù)y=bg,（2x-4）的定義域是（）

A?[2,+oo)B.⑵+②)C(f2]D.(-8,2)

7.2021年江蘇省實(shí)行“3+1+2”新高考模式，學(xué)生選科時(shí)語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選，物

理、歷史兩科中選擇I科，政治、地理、化學(xué)、生物四科中選擇2科，則學(xué)生不同的選科方

案共有（）

A.6種B.12種C.18種D.24種

8.如圖是一款多功能粉碎機(jī)的實(shí)物圖，它的進(jìn)物倉(cāng)可看作正四棱臺(tái)，已知該四棱臺(tái)的

上底面邊長(zhǎng)為4（）cm，下底面邊長(zhǎng)為10cm，側(cè)棱長(zhǎng)為30cm，則該款粉碎機(jī)進(jìn)物倉(cāng)的容

積為（）

試卷第11頁，共33頁

A-860072cm3B-86006cm'C?1050072cm3D-10500V3cm3

二、多選題

9.下列各式正確的是（）

B.(cosx)=sinxC.(sinx)=cosx

10.已知函數(shù)/(x)=2sin(3x-馬，則(

6

A.”刈的最大值是2B.”X）的最小正周期為工

3

C.在［0,%］上是增函數(shù)D.”刈的圖像關(guān)于點(diǎn)（生,0）對(duì)稱

_6.6

11.給定數(shù)5,4,3,5,3,2,2,3,1,2,則這組數(shù)據(jù)的（）

A.中位數(shù)為3B.方差為號(hào)

5

C.眾數(shù)為3D.85%分位數(shù)為46

12.傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)

球的直徑恰好與圓柱的高相等.這是因?yàn)榘⒒椎抡J(rèn)為這個(gè)“圓柱容球”是他最為得意

的發(fā)現(xiàn)，于是留下遺言：他死后，墓碑上要刻上一個(gè)“圓柱容球”的幾何圖形.設(shè)圓柱

的體積與球的體積之比為m，圓柱的表面積與球的表面積之比為〃，若

試卷第21頁，共33頁

則()

A.y(x)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是56

B./(x)的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為0

C./(x)的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大值是70

D./(,)=76,其中i為虛數(shù)單位

三、填空題

13.函數(shù)/(的=1-2》在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為.

14.若在等差數(shù)列｛%｝中，%=7,%=3,則通項(xiàng)公式/=.

15.在V/8C中，角4,8,C所對(duì)的邊分別是a,6,c,并且a=l,/,=6，Z=30"，則0

的值為一.

16.已知/(x)的定乂域?yàn)?0,+8)，/'(x)為/'(X)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足/(x)<-，

則不等式/(》+1)>@_1)/卜2_1)的解集是------.

四、解答題

17.己知數(shù)列｛.J的前〃項(xiàng)和s“，且s,,=/+”；

(1)求它的通項(xiàng)

試卷第31頁，共33頁

(2)若a=2"-i,求數(shù)｛〃+/)｝的前”項(xiàng)和

18.已知V/8C中，角A、8、C的對(duì)邊分別為“，b，c>若°sinB-Gbcos/=0.

(1)求角A的大??；

⑵若be=3,b+c=4,求。的值?

19.如圖，在四棱錐5_/3。。中，SD1底面48cO，底面/8C0是正方形，且

SD=AD,E是弘的中點(diǎn).

⑴求證：直線平面S/D：

(2)求直線SA與平面8EO的夾角的正弦值.

20.滕州市教育局為了解學(xué)生網(wǎng)絡(luò)教學(xué)期間的學(xué)習(xí)情況，從初中及高中共抽取了50名

學(xué)生，對(duì)他們每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì).請(qǐng)根據(jù)下面的各班人數(shù)統(tǒng)計(jì)表和學(xué)習(xí)時(shí)間

的頻率分布直方圖解決下列問題：

年級(jí)人數(shù)

初一4

初二4

初三6

高一12

高二6

---

同二18

合計(jì)50

試卷第41頁，共33頁

+頻率/組距

（1）抽查的50人中，每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間為6?8小時(shí)的人數(shù)有多少？

（2）經(jīng)調(diào)查，每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間不少于6小時(shí)的學(xué)生均來自高中.現(xiàn)采用分層抽樣的

方法，從學(xué)習(xí)時(shí)間不少于6小時(shí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取6名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，求這三個(gè)

年級(jí)各抽取了多少名學(xué)生；

（3）在（2）抽取的6名學(xué)生中隨機(jī)選取2人進(jìn)行訪談，求這2名學(xué)生來自不同年級(jí)

的概率.

21.已知橢圓c：片+片=過點(diǎn)“（2，°）,離心率為由.

a2b2'J2

（1）求橢圓c的方程；

（2）已知定點(diǎn)E（l,0），若直線夕=h-2（〃*0）與橢圓C相交于加、N兩點(diǎn)，試判斷

是否存在實(shí)數(shù)人使以加雙為直徑的圓過定點(diǎn)￡?若存在求出這個(gè)/值，若不存在說明

理由.

22.設(shè)函數(shù)/'（x）=ae*eR?

（1）當(dāng)a=l時(shí),求/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)X￡（0,+8）時(shí)，/（x）＞0恒成立，求。的取值范圍；

試卷第51頁，共33頁

參考答案:

1.c

【分析】求出8={0,1,2}，利用并集概念進(jìn)行求解.

【詳解】8={0,1,2}，故4U5={O,1,2卜

故選：C

2.B

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解.

【詳解】解：由（l+i”=2，

故選：B

3.B

【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求解.

【詳解】由北行得代在皿國(guó)由"xH2,

故選：B.

4.B

【分析】根據(jù)對(duì)立事件以及排列組合的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】“word”一共有4個(gè)不同的字母，

這4個(gè)字母全排列有A：=24種方法，

其中正確的有1種，所以錯(cuò)誤的有247=23種.

故選：B

5.C

【分析】首先寫出展開式的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合通項(xiàng)公式確定的系數(shù)即可.

答案第11頁，共22頁

【詳解】(4-2『展開式的通項(xiàng)公式為：&|=^(4廣(-2)'=(-2)七)4，

令三=2可得：-=1,則的系數(shù)為：(-2)'C；=(-2)x5=-10.

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給

出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中〃和廠的

隱含條件，即“，，,均為非負(fù)整數(shù)，且〃4，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第

二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng).

6.B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0,直接計(jì)算可得答案.

【詳解】由已知得，2x@0,解得x>2，故xe(2,+8)-

故選：B

7.B

【分析】先求得物理、歷史兩科中選擇1科的選法，再求得政治、地理、化學(xué)、生物四科中選擇

2科的選法，根據(jù)乘法計(jì)數(shù)原理，即可求得答案.

【詳解】由題意得：物理、歷史兩科中選擇1科，有c；=2種選法，

政治、地理、化學(xué)、生物四科中選擇2科，有盤=6種選法，

所以學(xué)生不同的選科方案共有2x6=12種.

故選：B

8.C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合棱臺(tái)的體積計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

答案第21頁，共22頁

畫出滿足題意的正四棱臺(tái)/BCD-ZSGA，如圖所示，則=40&,引？=10及?過點(diǎn)

0作DELBQi于點(diǎn)￡,則Z)￡=15&,Z)E=質(zhì)芯質(zhì)'=15a,所以該正四棱臺(tái)的體

$J^r=1(402+102+10x40)xl5>/2=105005/2(cm3).

故選：C

9.CD

【分析】根據(jù)常函數(shù)，三角函數(shù)和塞函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，逐一排除即可.

A萬

【詳解】解：對(duì)于，(sin?y=o,選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于8,(cosxy=-sinx,選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C，(sinxy=cosx，選項(xiàng)正確；

對(duì)于。，(x"y=-5xY，選項(xiàng)正確；

故選：CD，

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.AC

【分析】對(duì)A,由函數(shù)的解析式即可求出函數(shù)的最大值，對(duì)B,D根據(jù)正弦函數(shù)的周期與

答案第31頁，共22頁

對(duì)稱中心公式，整體代入即可判斷；對(duì)C,先求出/卜）的單調(diào)遞增區(qū)間，即可判斷.

7T

【詳解】解：對(duì)A,?.?/（x）=2sin（3x-二），

6

故當(dāng)sin(3x-王)=1時(shí)，/(x)max=2sin(3x-J)=2,故A正確;

66

對(duì)B,人力的最小正周期7=容=生，故B錯(cuò)誤；

M3

對(duì)C,令---1-2kn43x---4—F2kn,kGz,

262

A?z12kn,,27r2攵乃,

解^得a：----1----?%4----1----，左￡Z,

9393

故?。┑膯握{(diào)遞增區(qū)間沏卜尹等著+華

當(dāng)上=°時(shí)，/（X）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為:712%

V

故在o,-上單調(diào)遞增，故C正確;

6

對(duì)D,令3x—三=k兀、kQZ,

6

hTiZF1兀kjT.

解得：x------------1-------------,kwz,

183

故/卜）的對(duì)稱中心為:7ik4_]

——+—,0，

183J

答案第41頁，共22頁

口口7C7Zk冗.

即一=一+—,kwz,

6183

解得：k=—^Z1

3

故C，0）不是‘（“）的對(duì)稱中心，故D錯(cuò)誤.

6

故選：AC.

11.AB

【分析】先將數(shù)5,4,3,5,3,2,2,3,1,2,按小到大的順序排列,再逐項(xiàng)判斷.

【詳解】解:將數(shù)5,4,3,5,3,2,2,3,1,2,按小到大的順序排列為：

1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為H=3,故A正確;

2

數(shù)據(jù)中2,3,出現(xiàn)的此時(shí)最多，所以眾數(shù)為2和3,故C錯(cuò)誤;

詆it-.拈>11+2X3+3X3+4+5X2.

平均數(shù)為：--------------------二3，

10

則方差為'[（1-3）2+（1-3）2+（2-3/X3+（3-3）2X3+（4-3）2+（5-3/X2]=|,故B正確:

第85%分位數(shù)是數(shù)據(jù)中至少有85%的數(shù)據(jù)小于或等于該數(shù)，因此，從小到大第9個(gè)數(shù)字為

5,故D錯(cuò)誤，

故選：AB

12.BC

【分析】設(shè)內(nèi)切球的半徑為〃，由圓柱和球的體積和表面積公式可求得見〃，進(jìn)而得到

?。?/p>

對(duì)于A,利用二項(xiàng)式定理得到展開式通項(xiàng)，令24—4廠=0可求得代入得到常數(shù)項(xiàng)，知A

錯(cuò)誤;

答案第51頁，共22頁

對(duì)于B,采用賦值法，令丫_|可得各項(xiàng)系數(shù)和，知B正確：

對(duì)于C,由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)知最大值為C：，知C正確；

對(duì)于D,根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可知D錯(cuò)誤.

【詳解】設(shè)內(nèi)切球的半徑為廠，則圓柱的高為

71rl-2r3271rl+271r?2廠3m_i(.]V

??…"=廿=5,則”z3x+一9

丁

r243r

對(duì)于A,/(x)展開式通項(xiàng)公式為：T_Cx~

2r+l-5人

令24-4r=0,解得：廠=6,初串工展開式的常數(shù)項(xiàng)為㈠/《=28,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,/0)=0,即/卜)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為0,B正確；

對(duì)于C，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大值為C：=70,C正確；

對(duì)于D，/()=)=(_/+爐=0,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以立體幾何的知識(shí)為載體，重點(diǎn)考查了二項(xiàng)式定理的知識(shí)，解

題關(guān)鍵是能夠利用球和圓柱的表面積及體積公式確定二項(xiàng)展開式的表達(dá)式.

13.x-y-2=0

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線斜率，即可求解切線方程.

【詳解】因?yàn)椤╔)=X3-2X，所以/”)=3x2-2,所以/，⑴=1

所以/⑴在點(diǎn)0J⑴)處的切線斜率為1，又/⑴=1-2=-1，

則在點(diǎn)0,/0))處的切線方程為

答案第61頁，共22頁

=，即x-y-2=0,

故答案為：x-y-2-0-

14--n+10

【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，然后根據(jù)已知條件列方程組可求出q,d，從而可求出

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛對(duì)｝的公差為d，則

,+2"=7,解得!％=9,

]q+6d=3=T

所以4=a]=9-(/i-l)=-w+10?

故答案為：-〃+10

15.1或2

【分析】利用余弦定理列出關(guān)系式，將a,b及cos4代入方程中解出c驗(yàn)證即可?

【詳解】在VN8C中，因?yàn)閍=l,6=6，A=30°,

所以由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosAf

即：F=(6)+c2-2xcx>/3x^-<=>c2-3c+2=0(

解得：c=l或c=2

當(dāng)c=l時(shí)，a=l?b=54=30°，C=30°>8=120°滿足題意；

當(dāng)c=2時(shí)，a=\,b=B4=30°，C=90"，8=60°滿足題意；

故答案為：,7或

答案第71頁，共22頁

16.{x|x>2}

【詳解】設(shè)g(x)=Rx),則g'(x)=W(x)]=/(x)+M'(x)<0,

函數(shù)g(x)在(0,+oo)上是減函數(shù)，

V/(x+1)>(x-l)/(x2-1),xe(0+oo),

.-.(x+l)/(x+l)>(x+l)(x-l)/(x2-l),

,-.(x+l)/(x+l)>(x2-l)/(x2-l)-

.-.g(x+l)>g(x2-l)，

X+1<—19

解得x>2?

故答案為{x|x)2卜

點(diǎn)睛：本題主要考查構(gòu)造函數(shù)，常用的有：/(x)+xr(x)>構(gòu)造聯(lián)X)；

2研工)+療(》)，構(gòu)造力(x)；

"'(x)-f(x),構(gòu)造/(x)；

X

/'(x)—/(x),構(gòu)造.；

/r(x)-/(x)，構(gòu)造e"(x)?等等?

17.⑴4=eN")

(2)Tn="2+〃+2“一i￡N*)

答案第81頁，共22頁

【分析】(1)運(yùn)用an=Sn-Sn-1?求出％n;

(2)運(yùn)用分組求和分別求出｛(｝和他｝的前n項(xiàng)和即可.

【詳解】(1)S〃=,當(dāng)〃=1時(shí)，4=5=2，

當(dāng)〃22時(shí),an—Sn-—2n?經(jīng)驗(yàn)證，q=2泗足=2〃，

%=2〃(〃wN*)；

(2).?也=2"\”=1-2，

5

'bn2"T

，數(shù)列也“｝是以首項(xiàng)為1，2為公比的等比數(shù)列，

-'-Tn=(al+a2+---+an)+(bl+b2+---+b?)

=.+〃)+"片)

=+〃+2"-1；

綜上，an=2/?GN*)>。=〃2+〃+2〃wN*),

18.(1)-；(2)

3

【分析】(1)由題設(shè)條件和正弦定理化簡(jiǎn)得到sin/_6cos/=0,進(jìn)而求得A的大小;

jra

(2)由(1)知/=§,結(jié)合題設(shè)條件和余弦定理，即可求得的值?

【詳解】(1)因?yàn)閍sinB-&bcos4=0，

由正弦定理可得sin4sin5-6sin5cos4=0'

答案第91頁，共22頁

因?yàn)?e（0,zr）,可得sinBxO，所以sin/-6cosZ=0，可得tanN=5

又因?yàn)?e（°，左）,所以力=?.

（2）由（1）知N=w，又由,,

2222

由余弦定理可得/=^+c-2hccosA=h+c-he=（b+c『-36c=16-3x3=7，

所以“="

19.⑴證明見解析：⑵近

3

【分析】0）證明S￡>，結(jié)合4D/N5,即可證明直線比1_L平面S/。；

（2）以。為原點(diǎn)，分別以D4,OC，OS為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量,

求出平面2即的一個(gè)法向量，設(shè)直線”與平面3m所成角為。，利用向量的數(shù)量積求解

即可.

【詳解】解：⑴：S￡>_L底面488，

又；底面/8CD是正方形，，力。工/夕

ADcSD=D,4Du平面S4D,SZ）u平面S4>，

氏4_L平面SND.

（2）以。為原點(diǎn)，分別以。4,OC，DS為x，V，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

設(shè)A8=2，則Z（2,0,0），S（0,0,2），8（l,2,0），E（l,0,0），

:,工=（2,0,-2），麗=（2,2,0），怎=（1,0,1）?

答案第101頁，共22頁

設(shè)平面'功的法向量為￡=(xj,z),

由（玩,竺=。得（x+z=o,令X=1

m~DB=O[x+y=O

則蔡=(1,一1,一1>

設(shè)直線制與平面BE。所成角為。,

貝ijco'：S限網(wǎng)=二：,胃=乎

\/時(shí)W3，

sin?=近，即直線"與平面'功的夾角的正弦值為逅.

33

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面所成角的求法，向量的數(shù)量積的運(yùn)用，直線與平面垂直的

判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.(1)18人；(2)從高中三個(gè)年級(jí)依次抽取2名學(xué)生，1名學(xué)生，3名學(xué)生；(3)

15

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖，可求得學(xué)習(xí)時(shí)間為6?8小時(shí)的頻率，進(jìn)而得學(xué)習(xí)時(shí)

間為6?8小時(shí)的人數(shù).

(2)根據(jù)分層抽樣特征，即可確定在高中三個(gè)年級(jí)依次抽人數(shù).

(3)設(shè)高一的2名學(xué)生為4,4高二的1名學(xué)生為8,高三的3名學(xué)生為q,a，C3.

利用列舉法得所有可能，進(jìn)而求得2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率.

【詳解】(1)由直方圖知，學(xué)習(xí)時(shí)間為6?8小時(shí)的頻率為

答案第111頁，共22頁

1-(0.02+2x0.12+0.06)x2=0.36，

學(xué)習(xí)時(shí)間為6?8小時(shí)的人數(shù)為50x0.36=18（人）；

（2）由直方圖可得，學(xué)習(xí)時(shí)間不少于6小時(shí)的學(xué)生有］8+i2+6=36人.

???從中抽取6名學(xué)生的抽取比例為9=工，高中三個(gè)年級(jí)的人數(shù)分別為12、6、18,

366

從高中三個(gè)年級(jí)依次抽取2名學(xué)生，1名學(xué)生，3名學(xué)生；

（3）設(shè)高一的2名學(xué)生為4,4高二的1名學(xué)生為8,高三的3名學(xué)生為q，g，C」

則從6名學(xué)生中選取2人所有可能的情形有（4,4），（4,8），（4G），（4（2），（4,G）'

（4,8），（4，G），（4C），（8，G），（8C），（8，G），（￡C），（GC）'

（c?c3）?共15種可能?

其中2名學(xué)生來自不同年級(jí)的有（4”），（4,G），（4,G），（4G），（4,8），（4,G），

（4C），（4，G），（8，G），（8，G），（8C），共11種情形，

故所求概率為p=U.

15

【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，分層抽樣特征，列舉法求古典概型概率

的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

217

21.（1）土+J=i；（2）存在，k=三.

416

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a2=h2+c2a\b2C

C_yf5

【解析】（1）解方程組a-T即可得的值，進(jìn)而可得橢圓的方程;

a=2

（2）設(shè)必），N區(qū)皿）聯(lián)立直線^=去_2化/0）與橢圓的方程消元可得關(guān)于%的一元

二次方程，由韋達(dá)定理可得e+乙，芭工2用女表示且△〉0，解方程

西.麗=（石一1）（巧一1）+必％=0,若有解說明存在，否則說明不存在?

a2=b2+c2

￡_走

【詳解】（1）由題得可得

a2

a=2

解得/=4，〃=i，/=3,

「

所以橢圓9的方程為土2+貫=1.

4

（2