數(shù)學(xué)選修4-1高考題組合

選修4-1平面幾何選講1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段_________.推論1:經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必______________。推論2:經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線________________。2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的________________成比例。推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊〔或兩邊的延長線〕所得的對應(yīng)線段____________。3.相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于_______；相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于_________________；相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________；4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們在斜邊上_______與_________的比例中項(xiàng)。5.圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的____________的一半。圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于_______________的度數(shù)。推論1：同弧或等弧所對的圓周角_________；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧_______。推論2：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是_______；90o的圓周角所對的弦是________。弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的______________。6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角_______；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的_________。如果一個(gè)四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)__________；如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)_________。7.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的__________。推論：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過________；經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過______。切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的__________。8.相交弦定理：圓內(nèi)兩條相交弦，________________________________的積相等。割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，________________________________的兩條線段長的積相等。切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是________________________________的比例中項(xiàng)。切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長_____;圓心和這點(diǎn)的連線平分_______的夾角。知識演練1.如圖，在四邊形ABCD中，EF∥BC，F(xiàn)G∥AD，那么________．2.如圖，PAB、PCD是圓的兩條割線，PA＝6，AB＝2，PC＝CD．那么PD＝________．3.如下圖，PA與圓O相切于A，PCB為圓O的割線，并且不過圓心O，PA=2，PC=1，那么PB等于.4.〔2008·寧夏〕如下圖，過圓O外一點(diǎn)M作它的一條切線，切點(diǎn)為A，過A點(diǎn)作直線AP垂直于直線OM，垂足為P.〔1〕證明：OM·OP=OA2；〔2〕N為線段AP上一點(diǎn)，直線NB垂直于直線ON，且交圓O于B點(diǎn).過B點(diǎn)的切線交直線ON于K.證明：∠OKM=90°.5.〔2008·江蘇〕如下圖，設(shè)△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC交于點(diǎn)D.求證：ED2=EC·EB.6.〔2010寧海卷〕如圖：圓上的弧AB=BD，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長線于E點(diǎn)，證明：〔Ⅰ〕=?！并颉?解:〔Ⅰ〕因?yàn)锳B=BD,所以.又因?yàn)榕c圓相切于點(diǎn)，故所以.……5分〔Ⅱ〕因?yàn)?,所以,故.即.……10分7.〔2010·遼寧〕如圖，的角平分線的延長線交它的外接圓于點(diǎn)〔Ⅰ〕證明：∽△;〔Ⅱ〕假設(shè)的面積，求的大小.證明：〔Ⅰ〕由條件，可得∠BAE＝∠CAD.因?yàn)椤螦EB與∠ACB是同弧上的圓周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.〔Ⅱ〕因?yàn)椤鰽BE∽△ADC，所以，即AB·AC＝AD·AE.又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.那么sin∠BAC＝1，又∠BAC為三角形內(nèi)角，所以∠BAC＝90°.4-1高考題匯編1.2010·北京〕如圖，圓O的弦ED，CB的延長線交于點(diǎn)A。假設(shè)BDAE，AB＝4,BC＝2,AD＝3,那么DE＝；CE＝?！久}立意】此題考查幾何證明的知識。運(yùn)用割線定理是解決本題的突破口?！舅悸伏c(diǎn)撥】此題可由相交弦定理求出DE，再利用三個(gè)直角三角形中求CE?！緲?biāo)準(zhǔn)解答】由割線定理得，，即，得。。連接BE，因?yàn)椋訠E為直徑，所以。在中，。在中。在中，。【答案】52EQ\r(,7)2.〔2010·廣東〕如圖，是半徑為的圖3圓的兩條弦，他們相交于AB的中點(diǎn)P，，圖3，那么＝_________．．【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，由垂徑定理知，.在中，.由相交弦定理知，，即，所以．3.〔2010·江蘇〕AB是圓O的直徑，D為圓O上一點(diǎn)，過D作圓O的切線交AB延長線于點(diǎn)C，假設(shè)DA=DC，求證：AB=2BC?！久}立意】此題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識，考查推理論證能力。【思路點(diǎn)撥】利用圓心角和圓周角之間的關(guān)系證明OB=BC=OD=O即可.【標(biāo)準(zhǔn)解答】方法一：連結(jié)OD，那么：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=300，∠DOC=600，所以O(shè)C=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。方法二：連結(jié)OD、BD。因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以∠ADB=900，AB=2OB。因?yàn)镈C是圓O的切線，所以∠CDO=900。又因?yàn)镈A=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，從而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。4.〔2010·天津理〕如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點(diǎn)P，假設(shè),那么的值為【答案】【解析】此題主要考查四點(diǎn)共圓的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)，屬于中等題。因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)共圓，所以,因?yàn)闉楣步?，所以⊿PBC∽⊿PAB,所以.設(shè)OB=x，PC=y，那么有，所5.〔2010·天津文〕如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點(diǎn)P。假設(shè)PB=1，PD=3，那么的值為。【命題立意】考查三角形的相似性質(zhì)的應(yīng)用?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用相似三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化。【標(biāo)準(zhǔn)解答】由題意可知∽相似，所以?！敬鸢浮?.〔2010·陜西理〕如圖,的兩條直角邊AC,BC的長分別為3cm,4cm,以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D,那么；.【命題立意】此題考查幾何證明選做題的解法，屬送分題【思路點(diǎn)撥】條件結(jié)論【標(biāo)準(zhǔn)解答】因?yàn)橐訟C為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D,所以，【答案】7．〔2010·陜西文科〕如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，那么BD＝cm.【命題立意】此題考查幾何證明選做題的解法，屬送分題【思路點(diǎn)撥】條件【標(biāo)準(zhǔn)解答】因?yàn)橐訟C為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D,所以，【答案】8.〔2010·湖南〕如圖1所示，過圓O外一點(diǎn)P作一條直線與圓O交于兩點(diǎn)．PA=2，點(diǎn)P到圓O的切線長PT=4，那么弦的長為．解析：由圓的切割線定理得：，，故．9.如圖，在四邊形ABCD中，△ABC≌△BAD.求證：AB∥CD.解：本小題主要考查四邊形、全等三角形的有關(guān)知識，考查推理論證能力?？偡种?0分。證明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四點(diǎn)共圓，從而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。10.〔2009·遼寧〕ABC中，AB=AC,D是ABC外接圓劣弧AC上的點(diǎn)〔不與點(diǎn)A,C重合〕，延長BD至E。求證：AD的延長線平分CDE；假設(shè)BAC=30，ABC中BC邊上的高為2+，求ABC外接圓的面積。(1〕如圖，設(shè)F為AD延長線上一點(diǎn)，∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，=，又AB＝AC，∴，且，∴，對頂角，故，故AD的延長線平分。---------------5分.(2〕設(shè)O為外接圓圓心，連接AO交BC于H，那么AH⊥BC,連接OC，由題意OAC＝OCA=，，∴，設(shè)圓半徑為r，那么，得：r=2，故外接圓面積為。---------10分11.〔2009·寧?！橙鐖D，ABC中的兩條角平分線和相交于，B=60，在上，且。〔1〕證明：四點(diǎn)共圓；〔2〕證明：CE平分DEF。〔Ⅰ〕在△ABC中，因?yàn)椤螧=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°.因?yàn)锳D,CE是角平分線，所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120°.于是∠EHD=∠AHC=120°.因?yàn)椤螮BD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四點(diǎn)共圓?！并颉尺B結(jié)BH，那么BH為的平分線，得30°由〔Ⅰ〕知B，D，H，E四點(diǎn)共圓，所以30°又60°，由可得，可得30°所以CE平分12.〔2008·廣東〕是圓的切線，切點(diǎn)為，．是圓的直徑，與圓交于點(diǎn)，，那么圓的半徑．【解析】依題意，我們知道,由相似三角形的性質(zhì)我們有,即。13.如圖5所示，圓的直徑，為圓周上一點(diǎn)，過作圓的切線，過作的垂線，分別與直線、圓交于點(diǎn)，那么，線段的長為