初中數(shù)學(xué)因式分解十字相乘法模擬試題及要點(diǎn)分析

【模擬試題】

一.填空題：

1.X2—3X—28=()()2.%2-2孫一35y2=(x—7y)()

3.20x2-43q+14y2=(4x-7y)()4.18x2-19x4-5=()(21)

5.-35加2〃2+1+6=—()()6.6—11。-35。2=()()

7.kx2+5x-6=(3x-2)()k=

8.〃z-43孫+14y2=(4x-7y)(5x-2y),則m=

9.20尤2-43xy+m=(4x-7y)(5x+〃),則m=9n=

10.分解因式(x2+3x)4-8(x2+3x)2+16

二.選擇題：

1.冗2+10x+16分解因式為（）

A.(x+2)(x+8)B.(x—2)(x+8)C.(x+2)(x—8)D.(x—2)(x—8)

2.元2-13盯-30y2分解為()

A.(x-3y)(x-10y)B.(x+15y)(冗一2y)C.(冗+10y)(x+3y)D.(x-15y)(x+2y)

3.把6x2-29x+35分解因式為()

A.(2x-7)(3x-5)B.(3x-7)(2x-5)C.(3x-7)(2x+5)D.(2x-7)(3x+5)

4.把X2一加2+4加〃一4〃2分角軍因式為()

A.(冗+根+2〃)(工一相+2〃)B.(x+m-2n)(x-m+2n)

C.(x—m—2n)(x-m+2〃)D.(/+，％+2n)(x+m-2n)

5.在下列二次三項(xiàng)式中，不是%2+（p+q）%+pq型式子的是（）

A.x2+12x+20B.X2+9X+100C.12一13次一14D.X2+9%-52

三.解答題：

1.將下列各式因式分解。

(1)X2+5X-6(2)X2-X-30(3)x2+30x+1441)

(3)X2+11x4-18(4)25-266/+6/2(5)X2-3xy+2y2

2.將下列各式因式分解。

(1)一加4+18機(jī)2—17(2)3x4-7x2y2-20y4(3)3/?2+14/7-5

(4)2x2-x-3(5)2%2+5X-7(6)3-2。一1

3.因式分解。

(1)(X2-7x)2+10(X2-7%)-24(2)-2x2(y2+Z2)+(y2+Z2)2

Y

4.已知15x2-47孫+28尸=0,求_的值。

y

5.已知一出?一6〃2=0（。。0,A。。），求勺+巴的值

ab

6.已知。2+96一2。+66+2=0,求2Q—3b的值。

試題答案

1.x-7；x+42.x+5y3.5x-2y4.9x-5

5.5mn-3;7m/?+26.2—7a；3+5。7.2x+3；6

8.20x29.14y2；-2y10.(X+1)2(X+2)2(%2+3X-2)2

二LA2.D3.B4.B5.B

三.1.解：

(1)工2+5x—6—(x+6)(x—1)(2)—x—30—(x—6)(x4~5)

(3)X2+30x+144=(x+24)(%+6)

2.解：(1)一/%4+18m2—17=—(m4-18團(tuán)2+17)=—(m2—17)(加2—1)

=一(機(jī)2-17)(m+1)(—1)

(2)3x4-7x2#-20y4=(%2-4y2)(3x2+5y2)=(尤+2y)(x—2y)(3%2+5y2)

(3)3一2x3-8x=x(%4-2x2-8)=x(x2-4)(x2+2)=x(x+2)(x-2)(x2+2)

3.解：(1)6。4〃+&-〃2”+友一35。&二。2(6。4〃一。2〃-35)=。太(2。2〃-5)(3。2〃+7)

7511

(2)%2+_x+—=_(8X2+14x4-5)=_(2x+l)(4x+5)

4888

4.解：

(1)(x2—7x)2+10(x2—7x)—24=(工2—7x+12)(x2—7x—2)

(X-3)(%-4)(X2一7工一2)

(2)X4—2x2(y2+[2)+(y2+Z2)2=[工2—(y2+Z2)]2=*2-y2-^2)2

5.解：15x2—47孫+28y2=0(3x-7y)(5x-4y)=0

7

一y

747x37

???x=或％=y當(dāng)工=時(shí),(1)-=—

yy3

4

4X5y4

（2）當(dāng)冗=5y時(shí)，

yy5

6.解：〃2—ab-61n=0(a-3b)(a+2b)=0a=3ba=-2b

、bab3b1__1

當(dāng)。=38時(shí)，—+—=-4--=_+3=3—

ab3bb33

?bab-2b1J

當(dāng)Q=-2b時(shí)，一+—=----+-----=———2=-2—

ah-2bh22

7.解：。2+9b2—2a+6b+2=0(a?—2。+1)+(9力2+6b+1)=0

(a-l)2+(3Z?+1)2=0a=\b=-1

2a—3/?=2x1—3(——)=2+1=3

3

初中數(shù)學(xué)十字相乘法因式分解

要點(diǎn)：

一、X2+(p+q)x+pg型的因式分解

特點(diǎn)是：(1)二次項(xiàng)的系數(shù)是1(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)

的兩個(gè)因數(shù)之和。對(duì)這個(gè)式子先去括號(hào)，得到：

X2+(p+q)x+pq=犬2+px+qx+pq=(%2+px)+(qx+pq)

=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)

因止匕：冗2+(p+pq=(x+p)(x+q)

利用此式的結(jié)果可以直接將某些二次項(xiàng)床數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式。

二、一般二次三項(xiàng)式OX2+fex+c的分解因式

大家知道，(。X+C)(。X+C)=QQX2+(ac+QC)x+CC。

1I2212122112

反過來，就可得到：aaX2+(ac+ac)x+cc=(ax+c)(ax+c)

I2122112I122

我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)a分解成aa，常數(shù)項(xiàng)c分解成cc，把a(bǔ),a,c,c寫成

12I21212

AX。，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到ac+ac,那么arz+bx+c就可以分

a,0?1221

解成(ax+c)(ax+c).

I122

這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相

乘法。

【典型例題】［例1］把下列各式分解因式。(1)X2+3X+2(2)X2-1X+6

分析：(1)尤2+3%+2的二次項(xiàng)的系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)2=1x2,一次項(xiàng)系數(shù)3=1+2,這

是一個(gè)X2+(p+q)x+pq型式子。

(2)X2-7X+6的二次項(xiàng)系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)6=(-1)x(-6),一次項(xiàng)系數(shù)-7=(-1)

+(-6),這也是一個(gè)X2+(p+q)x+pq型式子，因此可用公式門+(p+q)x+pq=(x+

p)(x+q)分解以上兩式。

解：(1)因?yàn)?=1x2,并且3=1+2,所以X2+3x+2=(x+l)(x+2)

(2)因?yàn)?=(-1)x(—6),并且一7=(-1)+(—6),所以x2_7X+6=(X-1)(X_6)

［例2］把下列各式因式分解。

(1)x2+x—2(2)%2—2.x—15

分析：(1)X2+X-2的二次項(xiàng)系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)-2=(-1)x2,一次項(xiàng)系數(shù)1=(-1)+2,

這是一個(gè)X2+(p+q)x+pq型式子。

(2)苫2-2苫-15的二次項(xiàng)系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)-15=(-5)x3,一次項(xiàng)系數(shù)-2=(-5)

+3,這也是一個(gè)4+(〃+4)了+〃4型式子。

以上兩題可用X2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)式子分解。

解：(1)因?yàn)橐?=(-l)x2,并且1=(一1)+2,所以4+x—2=(x+2)(x—1)

(2)因?yàn)椤?5=(—5)x3,并且—2=(—5)+3,所以X2-2x—15=(x-5)(x+3)

注意：(1)當(dāng)常數(shù)項(xiàng)是正數(shù)時(shí)，它分解成兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們和一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相

同。

(2)當(dāng)常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)時(shí)，它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)和一次

項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同。

［例3］把下列各式因式分解。

(1)2x2-7x+3(2)6x2-7x-5(3)5x2+6xy-8y2

1-3

解：(1)2x2-7x+3=(x-3)(2x-l)

2/\-1

2x(-3)+lx(-l)=-7

21

(2)6x2-7x-5=(2x+1)(3%-5)

3/\一5

2x(—5)+3xl=—7

(3)5x2+6盯-8y2=(x+2y)(5x-4y)

5/、一4y

1x(-4y)+5x(2y)=6y

［例4］將5-丁)2-3。-〉)-40分解因式。

分析：可將x-y看成是一個(gè)字母，即x-y=a,于是上式可化為。2一3a-40二次項(xiàng)系

數(shù)是1,常數(shù)-40=(-8)x5,一次項(xiàng)系數(shù)-3=(-8)+5,所以可用心+(p+/x

+pq=(x+p)(x+q)式子分解