變式猜想問題-2年中考1年模擬2024年中考數(shù)學(xué)系列

備戰(zhàn)2018中考系列：劇考2耳中老1耳模也

第七篇專題復(fù)習(xí)篇

專題39變式猜想題

b斛維得點(diǎn)

矢口識(shí)點(diǎn)名師點(diǎn)晴

理解并掌握特殊的四邊形的性質(zhì)，并能解決四邊形的有關(guān)變

特殊的四邊形的變式題

變式猜式問題

想問題

三角形有關(guān)的變式題利用三角形的性質(zhì)、全等、相似解決相關(guān)是變式問題

圖形的旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱變式利用圖形的旋轉(zhuǎn)和有關(guān)變換解決相關(guān)的變式問題

寸2年中第

[2017年題組】

一、選擇題

二、填空題

三、解答題

1.（2017湖南省岳陽市）問題背景：已知/即產(chǎn)的頂點(diǎn)。在△ABC的邊所在直線上（不與A,2重合）,

ZJE交AC所在直線于點(diǎn)。尸交8C所在直線于點(diǎn)N,記的面積為N，△8ND的面積為

（1）初步嘗試：如圖①，當(dāng)△ABC是等邊三角形,A8=6,ZEDF=ZA,>DE//BC,AD=2時(shí)，則SiS2=；

（2）類比探究：在（1）的條件下，先將點(diǎn)。沿A8平移，使AD=4,再將NEZ小繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至如圖②所

示位置，求S1S2的值；

（3）延伸拓展：當(dāng)AABC是等腰三角形時(shí)，設(shè)/B=/A=NEZm=a.

（I）如圖③，當(dāng)點(diǎn)。在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)BD=b,求N8的表達(dá)式（結(jié)果用a,6和a的三

角函數(shù)表示）.

（II）如圖④，當(dāng)點(diǎn)。在BA的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AO=a,BD=b,直接寫出S0的表達(dá)式，不必寫出解

答過程.

2.(2017遼寧省盤錦市)如圖，在放△ABC中，ZACB=90°ZA=30°,點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，點(diǎn)尸為直線

BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8、點(diǎn)C重合)，連接OC、OP,將線段。尸繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段尸0,

連接BQ.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在線段8C上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段8。與CP的數(shù)量關(guān)系.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在CB延長線上時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明

理由；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在2C延長線上時(shí)，若/3尸。=15°,BP=4,請(qǐng)求出8。的長.

3.(2017遼寧省營口市)在四邊形中A8CD,點(diǎn)￡為邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸為對(duì)角線BO上的一點(diǎn)，且EF

LAB.

(1)若四邊形ABC。為正方形.

①如圖1,請(qǐng)直接寫出AE與。尸的數(shù)量關(guān)系；

②將△EBF繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接AE,DF,猜想AE與。尸的數(shù)量關(guān)系并說明理由;

(3)如圖3,若四邊形ABC。為矩形，BC=mAB,其它條件都不變，將△防尸繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°

<a<90°)得到△E'BF',連接AE',DF',請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出草圖，并直接寫出AE'與。尸'的數(shù)量關(guān)系.

4.（2017遼寧省遼陽市）如圖1,在放ZkABC中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)、D、E分別在AC、BC邊上,

（A）BE與MN的數(shù)量關(guān)系是；

（2）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，如果成立，請(qǐng)寫出

證明過程，若不成立，請(qǐng)說明理由；

（3）若C8=6,CE=2,在將圖1中的繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)B、E、。三點(diǎn)在一條直

線上時(shí)，的長度為.

5.（2017遼寧省錦州市）已知：ZvlBC和△&￡>￡均為等邊三角形，連接BE,CD,點(diǎn)F,G,H分別為DE,

BE,CD中點(diǎn).

（1）當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖1,則△FGH的形狀為,說明理由；

（2）在△ADE旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)B,D,E三點(diǎn)共線時(shí)，如圖2,若AB=3,AD=2,求線段切的長；

（3）在△AOE旋轉(zhuǎn)的過程中，若AB=a,AD=b（。>6>0）,則的周長是否存在最大值和最小值，若

存在，直接寫出最大值.和最小值；若不存在，說明理由.

6.（2017黑龍江省龍東地區(qū)）已知：△AO8和△CO。均為等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=9Q°.連接

AD,BC,點(diǎn)、H為BC中點(diǎn),,連接。/.

（1）如圖1所示，易證：且OH_LAD（不需證明）

2

（2）將△C。。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖2,圖3所示位置時(shí)，線段OH與又有怎樣的關(guān)系，并選擇一個(gè)圖形證

明你的結(jié)論.

A

H'H

O

BD

圖1圖3C

7.（2017黑龍江省龍東地區(qū)）在四邊形ABC。中，對(duì)角線AC、8。交于點(diǎn)O.若四邊形ABC。是正方形如

圖1：則有AC=B￡）,ACLB.D.

旋轉(zhuǎn)圖1中的放△CO。到圖2所示的位置，AC與有什么關(guān)系？（直接寫出）

若四邊形ABC。是菱形，ZABC=60°,旋轉(zhuǎn)出△C。。至圖3所示的位置，AC'與8D'又有什么關(guān)系？寫

出結(jié)論并證明.

8.（2017山東省萊蕪市）已知△ABC與是兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形.

（1）如圖①所示，連接AE,DB,試判斷線段AE和。B的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖②所示，連接DB,將線段DB繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到DF,連接AF,試判斷線段DE和AF

的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由.

[2016年題組】

、填空題

1.（2016四川省內(nèi)江市）問題引入:

（1）如圖①，在△ABC中，點(diǎn)。是NABC和NAC2平分線的交點(diǎn)，若NA=a,則N30G

a表示）；如圖②，ZCBO=-ZABC,ZBCO=-ZACB,ZA=a,貝l|/20C=（用a表

33

示）

拓展研究：

（2）如圖③，ZCBO=-Z.DBC,ZBCO=-ZECB,ZA.=a,請(qǐng)猜想N20C=（用a表

33-----------------------

示），并說明理由.

類比研究：

（3）BO、CO分別是aABC的外角NOBC、ZECB的n等分線，它們交于點(diǎn)。，ZCBO=-ZDB.C,

ZBCO=-ZECB,ZA=a,請(qǐng)猜想N80U

二、解答題

2.（2016山東省臨沂市）如圖1,在正方形A8CD中，點(diǎn)E,尸分別是邊BC,A8上的點(diǎn)，且CE=8尸.連

接DE,過點(diǎn)E作EGJ_OE,使EG=DE,連接尸G,FC.

（1）請(qǐng)判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是；

（2）如圖2,若點(diǎn)E,尸分別是邊C8,8A延長線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)

作出判斷并給予證明；

（3）如圖3,若點(diǎn)E,尸分別是邊8C,A8延長線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)

直接寫出你的判斷.

3.（2016山東省濟(jì)南市）在學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)知識(shí)后，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們又進(jìn)一步對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)前后的

線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了探究.

（一）嘗試探究

如圖1,在四邊形ABC。中，AB^AD,ZBAD=60°,ZABC=ZADC=90°,點(diǎn)、E、尸分別在線段3C、CD

上，ZEAF=30°,連接EF.

（1）如圖2,將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△?!'B'E'（A,B'與AD重合），請(qǐng)直接寫出/

E'AF=度，線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為.

（2）如圖3,當(dāng)?shù)c(diǎn)E、尸分別在線段BC、CD的延長線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)?zhí)骄烤€段BE、EF、FD

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（二）拓展延伸

如圖4,在等邊△ABC中，E、尸是邊3C上的兩點(diǎn)，ZEAF=30°,BE=1,將aABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°

得到B'E'（A,B'與AC重合），連接EE',AF與EE，交于點(diǎn)N,過點(diǎn)A作8c于點(diǎn)

連接MN,求線段MN的長度.

4.（2016廣西南寧市）已知四邊形ABC。是菱形，A8=4,ZABC=6Q°,/EAF的兩邊分別與射線C8,

。。相交于點(diǎn)EF,且NEAF=60°.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E是線段CB的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段AE,EF,AF之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E是線段上任意一點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與2、C重合），求證：BE=CF；

（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在線段C8的延長線上，且NEAB=15°時(shí)，求點(diǎn)尸到BC的距離.

5.（2016四川省南充市）已知正方形ABC。的邊長為1,點(diǎn)尸為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)M在AB上，且滿

足△P8CSZ\B4M,延長3P交于點(diǎn)N,連結(jié)CM.

圖二

圖一

（1）如圖一，若點(diǎn)M在線段AB上，求證：APLBN；AM=AN；

（2）①如圖二，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，滿足△PBCs△抬M的點(diǎn)M在的延長線上時(shí)，AP_L8N和AM=AN

是否成立？（不需說明理由）

②是否存在滿足條件的點(diǎn)P,使得尸C=!？請(qǐng)說明理由.

2

6.（2016江蘇省泰州市）已知正方形ABCD尸為射線上的一點(diǎn)，以BP為邊作正方形BPER使點(diǎn)尸

在線段C8的延長線上，連接EA、EC.

（1）如圖1,若點(diǎn)尸在線段A8的延長線上，求證：EA=EC；

（2）若點(diǎn)尸在線段A8上.

①如圖2,連接AC,當(dāng)P為A8的中點(diǎn)時(shí).，判斷aACE的形狀，并說明理由；

②如圖3,設(shè)AB=a,BP=b,當(dāng)E尸平分NAEC時(shí)，求a：6及NAEC的度數(shù).

7.（2016福建省南平市）己知在矩形ABC。中.，/AOC的平分線與BC邊所在的直線交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸

是線段。E上一定點(diǎn)（其中EP<PD）

（1）如圖1,若點(diǎn)尸在。邊上（不與。重合），將/OPF繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，角的兩邊P。、PF

分別交射線ZM于點(diǎn)X、G.

①求證：PG=PF；

②探究：DRDG、。尸之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2）拓展：如圖2,若點(diǎn)歹在C。的延長線上（不與。重合），過點(diǎn)P作PGLPE交射線D4于點(diǎn)G,你

認(rèn)為（1）中DE、DG、。尸之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們所

滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由.

圖1圖2

8.（2016湖北省黃石市）在△ABC中，AB^AC,ZBAC=2ZDAE=2a.

（1）如圖1,若點(diǎn)。關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為F,求證：AADFsAABC；

（2）如圖2,在（1）的條件下，若a=45°,求證：DE2=BD2+CE2；

（3）如圖3,若a=45°,點(diǎn)E在8c的延長線上，則等式+。石2還能成立嗎？請(qǐng)說明理由.

小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,2XABC中，AB=AC,點(diǎn)。在BC邊上，ZDAB=ZABD,BELAD,垂足為

E,求證：BC=2AE.

小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)A作A/U8C,垂足為F得至（從而可證△AB尸0/XBAE（如圖2）,

使問題得到解決.

（1）根據(jù)閱讀材料回答：與△54E'全等的條件是AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA"、aAAS"

或“HL”中的一個(gè)）

參考小明思考問題的方法，解答下列問題：

（2）如圖3,2XABC中，AB=AC,ZBAC=9Q°,。為8C的中點(diǎn)，E為。C的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC的延長線

上，B.ZCDF=ZEAC,若CF=2,求AB的長；

（3）如圖4,ZvlBC中，AB=AC,ZBAC=12Q°，點(diǎn)、D、E分別在A3、AC邊上，且4。=紅陽（其中0〈左

<—）,ZAED=ZBCD,求生的值（用含左的式子表示）.

3EC

10.（2016遼寧省撫順市）如圖，在△ABC中，BOAC,點(diǎn)E在BC上，CE=CA,點(diǎn)。在A3上，連接

DE,ZACB+ZAZ）E=180°,作Ca_LAB,垂足為

（1）如圖。，當(dāng)NACB=90°時(shí)，連接。，過點(diǎn)C作CPLC。交BA的延長線于點(diǎn)足

①求證：FA=DE；

②請(qǐng)猜想三條線段。E，AD,CW之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論；

（2）如圖6,當(dāng)NACB=120°時(shí)，三條線段QE,AD,CH之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

11.（2016青海?。┤鐖D1,2,3分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正三角形（等邊三角形）、

正四邊形（正方形）、正五邊形，BE和。相交于點(diǎn)O.

BC

圖3圖4

(1)在圖1中，求證：AABE^AADC.

(2)由(1)證得△ABE絲△AZJC,由此可推得在圖1中NBOC=120°,請(qǐng)你探索在圖2中，/BOC的度

數(shù)，并說明理由或?qū)懗鲎C明過程.

(3)填空：在上述(1)(2)的基礎(chǔ)上可得在圖3中NBOO(填寫度數(shù)).

(4)由此推廣到一般情形(如圖4),分別以△ABC的和AC為邊向△ABC外作正"邊形，BEC.D

仍相交于點(diǎn)O,猜想得/80C的度數(shù)為—(用含n的式子表示).

歸納1:幾何圖形的有關(guān)變式猜想問題

基礎(chǔ)知識(shí)歸納：幾何圖形的變式猜想問題主要涉及等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、

矩形、菱形、正方形等幾何載體.

基本方法歸納：對(duì)于幾何變式猜想問題主要有以下的解題思路：其一是弄清在變式過程中，存

在哪些變量與不變的關(guān)系；其二是建立起不變關(guān)系與變化的量之間存在的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)

系，其基本工具是全等三角形和相似三角形、銳角三角函數(shù)等.

注意問題歸納：解決幾何變式問題時(shí)，要注意特殊情況下的已知條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，

從特殊到一般、類比歸納是解決此類問題的重要方法.

【例11(2017棗莊)己知正方形ABC。，P為射線AB上的一點(diǎn)，以BP為邊作正方形BPEF,使點(diǎn)歹在線

段的延長線上，連接EA,EC.

(1)如圖1,若點(diǎn)尸在線段A8的延長線上，求證：EA=EC；

(2)如圖2,若點(diǎn)尸在線段A8的中點(diǎn)，連接AC,判斷△ACE的形狀，并說明理由；

(3)如圖3,若點(diǎn)尸在線段A8上，連接AC,當(dāng)EP平分NAEC時(shí)，設(shè)AB=a,BP=b,求a：b及NAEC的

度數(shù).

【例2】（2017山東省煙臺(tái)市）【操作發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖1,AABC為等邊三角形，現(xiàn)將三角板中的60°角與/AC8重合，再將三角板繞點(diǎn)C按順時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于0°且小于30°）,旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與A3交于點(diǎn)。，在三角板斜邊上取一

點(diǎn)、F,使CF=C￡）,線段AB上取點(diǎn)E,使N￡）CE=30°,連接AREF.

①求/EAF的度數(shù)；

②QE與相等嗎？請(qǐng)說明理由；

【類比探究】

（2）如圖2,△ABC為等腰直角三角形，ZACB=90°,先將三角板的90°角與NACB重合，再將三角板

繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于0°且小于45°）,旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)在三

角板另一直角邊上取一點(diǎn)「使CF=C。，線段A8上取點(diǎn)E,使NOCE=45°,連接A凡EF,請(qǐng)直接寫出

探究結(jié)果：

①求NEAP的度數(shù)；

②線段AE,ED,DB之間的數(shù)量關(guān)系.

寸1年橫板

一、選擇題

二、填空題

三、解答題

1.△ABC中，ZBAC=9Q°,AB=AC,點(diǎn)。為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與8,C重合），以為邊在4。

右側(cè)作正方形ADER連接CF.

（1）觀察猜想

如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①BC與C尸的位置關(guān)系為：.

②BC,CD,CP之間的數(shù)量關(guān)系為：；(將結(jié)論直接寫在橫線上)

(2)數(shù)學(xué)思考

如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB的延長線上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)

你寫出正確結(jié)論再給予證明.

(3)拓展延伸

如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段的延長線上時(shí)，延長54交CF于點(diǎn)G,連接GE.若已知A8=2&,CD=-BC,

請(qǐng)求出GE的長.

2.如圖1,AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC,四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)8、C分別在邊

AD,A尸上，止匕時(shí)8O=CF,8。_LCT成立.

(1)當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)8(0°<6<90°)時(shí)，如圖2,BD=CF成立嗎?若成立，請(qǐng)證明，若

不成立，請(qǐng)說明理由；

(2)當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3,延長8。交CF于點(diǎn)

①求證：BD±CF；

②當(dāng)AB=2,AQ=3應(yīng)時(shí)，求線段的長.

3.數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1,AC,8。是四邊形的對(duì)角線，ZACB=ZACD=ZABD=

ZADB=60°,則線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系？

經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的思路：如圖2,延長CB至！JE,使BE=CD,連接AE,證得

從而容易證明△ACE是等邊三角形，故AC=CE,所以AC=2C+CD

小亮展示了另一種正確的思路：如圖3,將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋