2022-2023學年江蘇省南京市高三上學期期末模擬數(shù)學試題及答案解析

2022-2023學年江蘇省南京市高三上學期期末模擬數(shù)學試題

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.若集合M={x+1]-14X<3},N={2"0<X42},則MnN=()

A.{x∣0≤X<4}B.{x∣0<X<4}C.{x∣l≤x<4}D.{x∣l<x<4}

2.若復數(shù)Z滿足IZ-Zl=2,z?Z=3,則z2的實部為()

A.-2B.-1C.1D.2

3.若等差數(shù)列{%l}的前5項和為75,a4=2a2,則a9=()

A.40B.45C.50D.55

4.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,d),且P(-l<X<2)=3P(X>5),則P(-l<X≤

5)=()

A.0.5B,0.625C.0.75D.0.875

5.若正n邊形442…4n的邊長為2，ΣJ?ΛΛ7I?Ai+1Ai+2=20√3,則n=()

A.6B.8C.10D.12

2

6.已知。為坐標原點，橢圓C：≡∣+y=l(a>1),C的左右兩焦點分別為0,F2,4為C上

一點，其橫坐標為1,且∣04∣2=MQ∣.∣AF2∣,則C的離心率為()

1C1

-B√2-D

A.442√22

7.若SinQ=2sin0,sin(α+0)?tan(ɑ—S)=1,則tanatan∕?=()

A.2B.IC.1D.?

8.若函數(shù)/(χ)的定義域為Z,且/O+y)+f(χ-y)=/(χ)LfCy)+f(-y)],/(-1)=

0√(0)=∕(2)=1.則曲線y=∣"x)∣與y=kg2∣x∣的交點個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知點A(CoSa,sina),B(2cos∕J,√3sinj5)>其中α,0e[0,2ττ),則()

A?點4的軌跡方程為/+y2=1B?點B的軌跡方程為5+ξ-=l

C.∣4B∣的最小值為百一1D.∣4B∣的最大值為√5+1

10.記函數(shù)f(X)=cos(ω%+?(ω>0)的最小正周期為7,且弊≤T≤nπ(neN*),若x=

4?vxO

為/(χ)的零點，則()

C.X=洲f(X)的零點D.X=誓為f⑶的極值點

11.對于伯努利數(shù)Brι(n∈N),有定義:BO=LBn=∑k°RB∣c(n>2),則()

111

A.B2=?B.B4=?C.B6=?D.B2n+3=O

12.已知函數(shù)f(x)=sin=,g(%,n)=￡)"(%+i)(n>2),則()

A.g(x,4n)=0B.g(x,4n+2n)+/(x)=0

C.g(x+1,n∕(n))+/(x)=0D.g(x+n,n∕(n))+f(x)=0

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.小穎和小星在玩抽卡游戲，規(guī)則如下：桌面上放有5張背面完全相同的卡牌，卡牌正面

印有兩種顏色的圖案，其中一張為紫色，其余為藍色,現(xiàn)將這些卡牌背面朝上放置，小穎和小

星輪流抽卡，每次抽一張卡，并且抽取后不放回，直至抽到印有紫色圖案的卡牌停止抽卡.若

小穎先抽卡，則小星抽到紫卡的概率為.

14.已知。為坐標原點，拋物線C：y=,χ2的焦點為凡過點。的直線與C交于點4記直線04

F4的斜率分別為自，k2,且自=30，則IFal=.

15.在四棱錐P-ABCO中，底面ABCO是邊長為2的正方形，平面PABl平面PC。，則P-

4BCD體積的最大值為.

16.若函數(shù)f(x)=aex-sinx,,g(x)=ɑe*-xsinx,且/^(x)和g(x)在［0,兀］一共有三個零點，

則α=.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

設(shè)(Xd)是一個二維離散型隨機變量，其所有可能取值為(七,與)，其中i∈N*,/6N*∕iι?ij=

P(X=ai,Y=與)是隨機變量(Xd)的聯(lián)合分布歹U.與一維的情形相似，二維分布列可以如下形

式表示：

（X，y）瓦???

QlPuP12

ɑzPziP22

——??????

現(xiàn)將3張卡片等可能地放入A,B兩盒，記4盒中的卡片數(shù)為X,B盒中的卡片數(shù)為匕求（X』）的

聯(lián)合分布列.

18.（本小題12.0分）

在長方體4BCD-AIBlCIDl中，AC?AB1=4,4Cl=Vβ?

（1）求四面體/C/5體積的最大值；

（2）若二面角B-AC-Dl的正弦值為g,求ABCD-&B1GD1的體積.

19.（本小題12.0分）

記回ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,分別以α,b,C為直徑的三個圓的面積依次

為Si，S2>S3,已知Si+S2-S3=4+8.

（D若C=a求mABC的面積；

（2）若圖ABC的面積為竽求回ABC周長的最小值.

20.（本小題12.0分）

已知數(shù)列｛an｝,｛匕｝滿足的=d=1，甥是公差為1的等差數(shù)列，也+1-bn｝是公差為2的等

差數(shù)列.

（I）若∕?=2,求｛Gn｝,｛bn｝的通項公式；

（2）若電￡”,an≥ab2,證明：+H------1-?<3.

21.（本小題12.0分）

已知雙曲線C：/一馬=1（/）>0）的準線方程為％=±夕C的左右焦點為a,F2.

⑴求b;

(2)若直線L與C相切，切點為4過F2且垂直于1的直線與AFl交于點B,證明：點B在定曲線上.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=ax2+InX,g(x)=2x+∣ln%.

(I)若/O)≥g(%)對％∈(0,+8)恒成立，求α的取值范圍；

(2)記f(x)的零點為V%2)，g(%)的極值點為%o，證明：2>4e%o.

人2

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題.

將集合M,N分別化簡，然后結(jié)合交集的運算即可得到結(jié)果.

【解答】

解：因為M={x+l∣—l4x<3},則M={x∣0≤x<4),

又因為N={2x∣0<X≤2},則N={x∣l<x≤4},

所以MnN={x∣l<x<4}.

故選。.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查復數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)復數(shù)z=x+yi,(x,yCR),^z=x-yi,由復數(shù)的運算可得/=2,y2=ι,進而可得答案.

【解答】

解：設(shè)復數(shù)Z=X+yi,(x,yeR),則N=X-yi,

則由IZ-z?=2,z?z=3,可得∣2yi∣=2JLx2+y2=3,

解得/=2,y2=1,

故Z2=(X+yi)2=X2-y2+2xyi,其實部為/—y2=2-1=1.

故選C

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查等差數(shù)列中的基本量計算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式列方程組求出首項％與公差d,即可得解.

【解答】

解：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,

根據(jù)題意可得-即+竽d=75,解得的=5,d=5,

(α1+3d=2(α1+d)

?*?ɑg'ɑ?+Qd—45.

故選B.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查正態(tài)分布的概率，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，由題中條件，直接求解即可.

【解答】

解：因為X?N(2,c√),所以P(-l<X42)=P(2《X<5),且P(X》2)=0.5,

又因為P(-4<X≤2)=3P(X>5),

所以P(X>2)=P(2<X<5)+P(X>5)=4P(X>5)=0.5,所以P(X>5)=0.125,

所以P(2≤X<5)=0.5-0.125=0.375,所以P(-l<X45)=2X0.375=0.75.

故選C

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查向量數(shù)量積的概念及其運算，屬于中檔題.

設(shè)正?1邊形的內(nèi)角為0,根據(jù)數(shù)量積公式可得44+；?Ai+1Ai+2=-4cos0.由于∑1K44?+1'?

Ai71Ai^=20√3.根據(jù)求和公式得到等式CoS紇迦=駕，分別代入各選項的兀即可判斷正誤.

tτι'P"nn-2

【解答】

解：設(shè)正n邊形的內(nèi)角為。，則O=空迎，

??.AiAi+l?Ai+1Ai+2=2×2cos(τr—θ)=-4cos0>，^^44+ι?4+14+2=—4(n—2)cosθ,

即一4(n-2)CoS^^=20√3≠>CoS^^=??,

vynnn—2

當n=6時，cos空里=CoSq=-以旁，4選項錯誤；

6326—2

當n=8時，cos∕≡=cos"=-或力若，8選項錯誤；

8428—2

當n=10時，cos。OUTr=cos~^^=-sin需>-sing=一導

由于孚<二鳥所以cosg≠孝，C選項錯誤；

當n=12時，CoS卑更=CoS等=一手=對，。選項正確.

126212—2

故選D

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查求橢圓的離心率，屬于中檔題.

設(shè)2(1,χ4),由|。4『=1+y/,∣AF∕=α+ex。，IzlF2I=a-ex0,根據(jù)題意列方程可得結(jié)果.

【解答】

解：設(shè)4(Lx4)，則今+y∕=ι,即y∕=ι-小

λ?0A?2=1+y/=1÷1--^=2-形.

又τ|40|=α+exA=a+e,?AF2?=a—exA=α—e,

22

.?.?AF1?■?AF2?=a-e.

又?.?∣。*2=|4居|.|4&|，

.??2-^=α2-e2①，

又U4=嚶=I-去②,a>1(3),

;由①②③得：a?=2,e2=?.

又??,0<e<1,

故選。.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查三角恒等變換，屬于中檔題.

由三角恒等變換結(jié)合已知條件化簡求解即可.

【解答】

∫cos(α+∕?)=COSaCOsβ—sinasinβ

"??^(cos(α—∕?)=cosacosβ+SinaSin夕

所以SinaSin∕?=?[cos(α—β)—cos(a+/?)],

所以sin(α+∕7)sin(α—β)=∣(cos2∕?—cos2a),

又sin(α+β).tan(α-B)=1,

所以sin(α+/?)?:叫=1，即sin(α+0)sin(α-∕?)=cos(α—0),

1

所以2(cos2∕?—cos2α)=cos(α—B),

所以,(I—2sin2β—1+2sin2a)y=cos(α—/?),即si"α—sin2β=cos(α—/?),

又Sina=2sin∕?,

所以dsiMs-sin2β=cosacosβ+SinaSin夕，

所以4si7i2g_sin2β=cosacosβ+2sinλβ,

所以si*s=cosacosβ,

?

所以^sinasin/?=cosacos/?,即SinaSin0=2cosacosβf

又易知CoSaCoS0≠0,

所以黑?=2,BPtanatan/?=2.

故選A.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查求函數(shù)值，考查對數(shù)函數(shù)的圖象，考查分析推理能力與計算能力，屬于較難題.

利用賦值法求出當Xez,且X依次取0,123,…時的一些函數(shù)值，從而找到y(tǒng)=If(X)I函數(shù)值變化的

規(guī)律，同理找到當x∈Z,且X依次取—1,-2,-3,…時，y=∣f(x)∣函數(shù)值變化的規(guī)律，即可求得答

案.

【解答】

解：由題意函數(shù)/(X)的定義域為Z,且/(X+y)+f(x-y)=/(x)[∕(y)+/(-y)].

f(一I)=Oj(O)=f(2)=1,

令y=1)則f(x+1)+Kx-1)=Λ%)[∕(i)+∕(-i)]=/W(l),

令X-1,則/(2)+/(0)=/2(1),即產(chǎn)⑴=2,

令X=2,則f(3)+f(l)=f(2)f⑴,即f(3)=0,

令X=3,則/(4)+/(2)=/(3)/(1),即/(4)=一1，

令X=4,則”5)+/(3)=/(4)/(1),即/(5)=-f⑴,

令％=5,則/(6)+/(4)=/(5)/(1),即/(6)-1=一產(chǎn)⑴/⑹=-1,

令X=6,則f(7)+f(5)=/(6)/(1),即f(7)—f(D=-/⑴,???f(7)=0

令X=7,則f(8)+f(6)=f(7)f(l),即/(8)-1=0,Λ/(8)=1,

依次類推，可發(fā)現(xiàn)此時當Z,且X依次取0,1,2,3,…時,

函數(shù)y=∣f(x)∣的值依次為l,√∑,1,0,1,√Σ,1,0,…，即每四個值為一循環(huán)，

此時曲線y=If(X)I與y=1。備團的交點為(2,1);

令X=-1,則/(0)+/(-2)=/(—1)/(1)=0,???/(-2)=-1,

令X=-2,則f(T)+/(-3)=/(-2)/(1)=-/(l),.?√(-3)=一f⑴,

令X=-3,則f(-2)+f(-4)=/(-3)/(1)=一尸⑴,???/(-4)=-1.

令X=-4,則f(―3)+/(-5)=/(-4)/(1)=-/(l),.?√(-5)=0,

令X=-5,則/(-4)+/(-6)=/(-5)/(1)=0,.?./(-6)=1,

令X=-6,則八-5)+/(-7)=/(-6)/(1)=/(I),---/(-7)=/(1),

令X=-7,則/(-6)+/(-8)=/(-7)/(1)=∕2(1),.?./(-8)=1,

依次類推，可發(fā)現(xiàn)此時當％ez,且X依次取-1,-2,-3,-“時，

函數(shù)y=Iy(X)I的值依次為o,ι,√Σ,ι,o,ι,√Σ,ι,o,…，即每四個值為一循環(huán),

此時曲線y=If(X)I與y=1。92田的交點為(T,0),(-2,1)；

故綜合上述，曲線y-If(X)卜與y=bg2∣x∣的交點個數(shù)為3.

故選艮

9.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題考查與圓、橢圓有關(guān)的軌跡問題，屬于中檔題.

將45點坐標代入方程，即可判斷4、B項；根據(jù)三角形三邊關(guān)系，結(jié)合圖象，即可求出∣4B∣的最

小值與最大值，即可判斷C、D項.

【解答】

解：對于4項，將4點坐標代入，可得CoS2。+si/。=1成立，故4項正確；

對于B項，將B點坐標代入，可得(2c%)+(丹邛)=CoS2B+SiTi2B=I成立，故B項正確；

對于C項，A點軌跡為以(0,0)為圓心，1為半徑的圓，B點軌跡為橢圓［+4=1，

43

顯然∣B0∣>∣40∣=1,因為∣4B∣》IlBOI-MOlI=IBOl-1,當且僅當4B,。三點共線時(如圖

Bl或色島)等號成立,

所以MBlmin=|8。Imin-1，當點B為短軸頂點時取得最小值,即IBolmin=6=6，所以MBlmin=

√3-1，故C項正確；

對于D項,因為∣4B∣4?A0?+?B0?=?B0?+1,當且僅當2,8,。三點共線時(如圖4出或心也)等

號成立，

所以IABlmaX=田。ImaX+1，當點B為長軸頂點時取得最大值，即|B。ImaX=a=2,所以MBlmaX=

3,故。項錯誤.

故選：ABC.

10.【答案】AD

【解析】

【分析】

本題考查求三角函數(shù)的解析式，考查余弦函數(shù)的零點、極值，屬于中檔題.

利用周期T=9計算出3的范圍，結(jié)合&)=COS(等+：)=0計算出3的值，結(jié)合余弦函數(shù)的零

點、極值即可判斷.

【解答】

解：?.?T=空，.?.竽444n7r(neN*),

ω3ωvJ

得故A正確；

nn

由題意得/(J)=CoS(詈+力=0,

???詈+5=]+kτr,/c∈Z,

3

?ω=-+6k,A∈Z,

72

又y-<s≤-?,πEN*,

nn

則*T<k<以Jn∈N*,k∈Z,

當n=2有唯一解k=0,則3=|,故B錯誤；

Tf(X)=CoS(IX+'

則居)=COS(IX〉=一1,故C錯誤；

/(y)=CoS(IXm+$=1,故O正確.

故選AD.

11.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查與二項式定理有關(guān)的問題，屬于較難題.

根據(jù)伯努利數(shù)的定義以及二項式定理，將當(n∈N)寫成遞推公式的形式，逐一代入計算即可判斷

選項.

【解答】

解：由BO=I,Bn=Bk(n≥2)得，

Bn=∑ko%Bk=CRBO+CABl+C^B2+C≡B3+……+碑BrI(TI≥2),

所以，CABO+?F1+C^B2+e?fi?+……+或TBnT=0(∏≥2),

同理，C°+ιB0+禺+/1+CKIB2+或+/3+……+常；BnT+CEIBn=0(n≥1),

所以,CQlBrl=—(C)?+IBO+Cn+1fi1+C^+1B2+C^+1B3++禺+；≥1)>

βn

Bn=一擊(C1?+IBo+Cn+1B1+C^+1B2+Cn+1B3+......+Cn+ln-l)(>1)，

其中第τn+1項為:

11(n+l)n(n—1)......(n—m+2)

―C盟IB=-—T×m

n+1n+1mn+11x2x3X.......XTnB

n(n—1)......(n—m+2)

-1x2x3X......XTn-Bm

M九T)……5-m+2)gτn+l)Bm_Cyn

1×2×3×.....×τnn-m÷l-nn-m+1

1

即可得Bn=-(Cθ?+C?+C?+……+C-??+……+Crβn-ι)(∏≥D，

令n=l,得B]=—?碧)=_；；

令n=2,得/=-(C嚼+(?)=

令n=3,得%=-(C°華+廢與+廢率)=W+；)=。，

同理,可得B,=WBS=0,B6=?,B7=0,β8=一表0=0,BIO=總BIl=0;

即可得選項AC正確，8錯誤；

由上述前12項的值可知，當n為奇數(shù)時，除了Bl之外其余都是0,

即殳“+1=0(n>1),也即B2n+3=0,neN,所以O(shè)正確.

故選ACD.

12.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查三角函數(shù)的周期性，考查學生分析推理能力，屬于較難題.

首先理解g(x,n)=厚="(x+i)(n≥2),并寫出g(x,4n),再利用函數(shù)/^(x)=Sin與的周期，結(jié)合

f(x+l)+f(x+2)+∕(x+3)+f(x+4)的值，即可判斷選項4;代特殊值，判斷B；CD選項注意

n≥2這個條件，則可判斷n∕(n)中的/(n)=1,則可得=4fc+l,fc∈N*,這樣結(jié)合條件和A的證

明，即可判斷CD.

【解答】

解：4,?；g(x,n)=+i)(n≥2),

???/W=sin≡,函數(shù)的周期T=爭=4,

z2

f(x÷1)+f(x+2)+f(x÷3)+f(x+4)

Tr

=sin?X+y)+sin(y%+7T)÷Si∏GX÷-y-)+Sin(-≈x+2τr)

LΛLΛ乙乙乙

Tr.7Γ7Γ,.πC

=cos-%-sin-%—cos-%÷sιn-x=0,

4n

?g(x,4n)=?/(%+i)=f(x+1)+/(x+2)+f(x÷3)+f(x+4)+...+/(%+4n)

i=l

=Oxn=O,故A正確;

B,當九=1時，g(%,4?i+21)=g(x,6)=/(x÷1)+/(%+2)+...+/(%+6)

=/(x+1)+/(x+2)=COSlX-sin?z,

???g(x,41+21)÷∕(x)=cos^x-sin+SinIX=cos不恒為0,故3錯誤;

C,當n=4k,∕c∈N*時，/(n)=0,

?g(x+l,nf(h))=g[x+1,0),由于九＞2,可知不合題意;

當九=4k+2,k∈N"時，/(幾)=0,由上可知不合題意;

當九二4k+3,k∈N*時，/(τι)=-l

?g(x+lfnf(n))=g(x+1,-n),不合題意;

當中=4k+l,k∈N*時，/(n)=1,

g(x,n)=∑?ι∕(x+i)(n>2),

：,g(x+1,n∕(n))=g(x÷1,4k+1)

=f(x+2)+f(x+3)+...+∕(x÷4fc+2),

由A的證明過程可知，相鄰四項和為0,所以f(%+2)+f(%+3)+.??+f(%+4>+2)=f(%+2)=

.π

-Sin-X9

???g[x+lzn∕(n))+/(x)=-sin^x+sin=0,故C正確；

D,g{x+n,n∕(n))+/(%)=0,由C的證明過程可知，

g(x+nln∕(n))+/(%)=0

=/(x÷4/c÷1÷1)+/(x+4k+1÷2)÷/(x+4/c+1÷3)

+...+/(%+4fc+1+4fc+1)+/(%)

=/(%+2)+/(%+3)+/(%+4)+…+f(x+4k+2)+f(x)

=/(x+2)+/(x)=-sinX+sinx=0,故。正確.

故選ACD.

13.【答案】I

【解析】

【分析】

本題考查古典概型及其計算，屬于基礎(chǔ)題.

將所有情況列表排列可得小星只可能在第二次和第四次抽到紫卡.

【解答】

解：按照規(guī)則，兩人依次抽卡的所有情形如下表所示，

小穎小星小穎小星小穎

情形一紫

情形二藍紫

情形三藍藍紫

情形四藍藍藍紫

情形五藍藍臨藍紫

其中情形二和情形四為小星最終抽到紫卡，則小星抽到紫卡的概率為|.

故答案為∣?

14.【答案】I

【解析】

【分析】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)直線。4為y=Zqx,與拋物線方程聯(lián)立，并根據(jù)自=3七，求得點A的坐標，利用兩點間距離公

式求|尸川.

【解答】

解：設(shè)過原點的直線OA為y=%，聯(lián)立｛；［或，解得［二粒C］翁

即A(4kι,4kJ),又“0,1),所以&=筆F，

因為的=3%所以h=3X需，解得：fc1=±^,

≡(±√6,∣),所以|凡4|=］(逐『+(1_|)2=|.

故答案為|.

15.【答案W

【解析】

【分析】

本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)，考查棱錐的體積，屬于中檔題.

過點P作-.「1〃交CD,4B于點E,F,過P作PoI平面4BC。,垂足為0,連接。民0F,

證明一()E，^OE//BC,同理可得。F〃BC,^EF//BC,且EF=BC=2,再根據(jù)面面垂直

的性質(zhì)定理得PELPF,再設(shè)各個長度，在直角三角形PEF中得到等式進行化簡，即可得關(guān)于OP的

式子，進而求得體積的表達式，求得最值即可.

【解答】

解：由題，過點P作/》?/)"AH,分別交CzMB于點E,F,

過點P作P。，平面ABC。，垂足為。，連接。E,OF,

畫圖如下：

P().(f),

PE±('D.PO二平面POE,PEU平面POE,PoCPE=P,

：.CD1平面POE,

又。EU平面POE,

CDlOE>

?.■底面ABCD是邊長為2的正方形，

ΛCDlBC.

?.?OEu平面ABC。，BCU平面ABCD,

.?.0E//BC,

同理可得。F〃BC,

故0,E,F三點共線，

S^EF/∕BC,EF=BC=2,

設(shè)平面PaBn平面PCn=I,

■■■AB//CD,ABU平面PAB,CDU平面PCO,

.?.l//AB//CD,

Ph.('!)PEJ,

???平面PABI5FffiPCD,平面P4Bn平面PCD=l,PEU平面Pm

Pi平面P4B,

...ppU平面PAB,

PI一PF，

不妨設(shè)PE=x,PF=y,OF=m,OE=2-2),

???x2÷y2=4①，

且0p2=pp2-0p2=pE2_0E2I

2222

EPy-m=x-(2-m)9

化簡即：y2一%2=4rn_4②，

聯(lián)立①②可得：y2=2m,X2=4—2m,

.?.OP2=y2-m2=2m—mz，

.?.四棱錐P-ABCZ)的體積IZ=i×2×2×√2m-m2=?√-(m-I)2+1,(0≤m≤2),

當Jn=1時，Vmax=%

故P-ABCD體積的最大值為小

故答案為：*

16.【答案】誓或苧e4

【解析】

【分析】

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，屬于較難題.

x

考慮α<0,α=0,a>0三種情況，設(shè)FI(X)=ae,F2(%)=Sinx,F3(x)=?,求出導函數(shù),

根據(jù)兩曲線相切計算得到Xiα=苧eV再根據(jù)ɑ的范圍討論零點的個數(shù)，計算得到答案.

【解答】

解：當Q<0時，/(x)=aex—sinx<0,g(x)=aex—xsinx<0,不成立；

當α=0時，/(x)=-sinx,g{x}=-xsinx,在［O,τr］上有0,幾兩個零點，不成立；

當Q>0時，/(O)=α≠0,%∈(O,τr］時，/(x)=aex—sinx=0,BPαex=sinx；

5(0)=α≠0,當％∈(0,7τ］時，g{x)=aex—xsinx=0,即W=SinX,

x

設(shè)Fl(X)=ae9F2(x)=sinx,F3W=—?

,xχ

則F1(x)=aeyF2()=cosx,F3'(X)二"■等2

x

當Fl(X)=aefF2{X}=sin%相切時，設(shè)切點為Cq,yι),則『‘對二SinX1，

Iae1—COSXj

解得XI=%a-^yβ-4;

當x6[0,1)時，F(xiàn)3,(X)<0,函數(shù)尸3(切=等單調(diào)遞減;

,

當Xe(I,兀]時，F(xiàn)3(χ)>0,函數(shù)F3Q)=?單調(diào)遞增.

畫出產(chǎn)2(%)=sinx,F3(%)=(的簡圖，如圖所示：

F2(X)=sinx,&(%)=等最多有兩個交點，故g(%)最多有2個零點，

當α>苧e-銅，f(x)沒有零點，g(x)最多有2個零點，不成立；

r-π

當a=ye^4∏?,f(x)有1個零點，三管)=駕<1=F2g)>9(乃有2個零點，成立；

π

χ4

現(xiàn)說明也<1，即4”<兀4,構(gòu)造函數(shù)，∕l(χ)=4e-x,X∈[3,3.5],

π

∕ι,(x)=4ex—4x3=4(ex—%3),設(shè)九式％)=e*—二,九??(?)=ex—3x2?

設(shè)左2(%)=ex-3x2,h2(%)=ex-6%,設(shè)期(%)=ex-6x,h3'(久)=ex-6>0恒成立，故

x3

九3(%)=e—6%單調(diào)遞增,∕ι3(x)>∕ι(3)=e—6×3>0,

x352x

故九2(%)=e—3/單調(diào)遞增，h2(χ)<?2(3.5)=e?-3×3.5<0,故九式%)=e—/單調(diào)遞

減,九ι(%)<九(3)=β3—33<0,故九(X)單調(diào)遞減，

π

3434

九(TT)<∕ι(3)=4e-3=4e-81<0,故2e”<π,所以幽<1.

π

當0<α<苧e4,/(x)有2個零點，g(x)有2個零點，若X=I是一個零點，則有兩個零點重合，

滿足題意，此時α=則?.

e

綜上所述：Q=網(wǎng)?或Q=學6一彳.

e2

故答案為：空或苧e±

17.【答案】解：由題意，(X,y)的所有可能取值為(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),

且Pθ3=CX(2)3=1P3O=廢XG)=∣,

P12=??×φ3=P21=C3χ(I)=∣,

所以(x,丫)的聯(lián)合分布列為：

(XI)3210

I

——1

3—8

3

2——-

8

3

1——-

8

1

0一——

8

【解析】本題考查利用二項分布求分布列，屬于基礎(chǔ)題.

易知(X,丫)的所有可能取值為(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),4盒中的卡片數(shù)一旦確定則B盒中的卡片數(shù)就

唯一確定了，利用二項分布求4盒中的卡片數(shù)為0,1,2,3時的概率即可.

18.【答案】解:

222222

設(shè)AB=α,BC=b,BB1—c,貝可近:=ɑ?+/，∣ΛF1∣=a+c>∣B1C∣=c+b>

且前-AB[=?AC??阿I?cos"4Bι,

由余弦定理得：AC-AB；=\AC\-\AB；\-囤;舞譚?=α2=4>則a=2,

又4Ci=√6=√α2+h2+c2,所以爐÷c2=2,

111

VACB1D1=abc-4×-×-abc=§Qb。，

即K4CBO=2bc<2χQ±∕=2,當且僅當b=C=I時等號成立，

3—323

即四面體AeBlDi體積的最大值為I；

過點。作AC的垂線，垂足為E,連接QE,

CLQb2^2-C2ITTO_2\

貝IJODl=c,jZTE，所以D】E=』2+分’

因為叫JL平面4BC。，AC?5Pffi?BCD,

所以叫LAC,H.ACIDE,

又DECDDI=D,DE,皿u平面DED1，

所以ACl平面DED1，且DIEU平面DED1，

所以AC1D1E,即NDEDl為二面角D-AC-Dl的平面角,

記二面角B-AC-必的平面角為。,

則二面角。一AC-Dl的平面角為兀-θ,

所以SE”就禹T手

則(￠2-1)(?2—10)=0,且￠2<2,所以C=1,所以b=1,

且匕BCD-41BIClDI=2bc=2,

所以4BC0-AlBlClDi的體積為2.

【解析】本題考查向量的數(shù)量積與余弦定理，考查棱錐的體積，考查基本不等式求最值，屬于中

檔題.

(1)根據(jù)數(shù)量積和余弦定理得到前?福=a?=4,即α=2,然后根據(jù)AC】=①得到乂+c?=2,

最后利用基本不等式求四面體ACBlDl體積的最大值即可;

(2)過點。作4C的垂線，垂足為E,連接。ιE,根據(jù)二面角的定義得到ZnECl為二面角D-AC-Dl

的平面角，然后根據(jù)二面角B-5的正弦值為孚列方程得到B-I)(C2_io)=O,C=1,

最后求體積即可.

19.【答案】解:⑴記回ABC的面積為S,

22222

因為Sl+S2-S3=ξ(α+b—c)=A+B=π-C=?,所以α?+b—c=3,

由余弦定理得COSC=-+b~c2<所以a?+乂—￠2=2abcosC=y[2ab-3，

2ab

則而=苧,

所以S=JabSinC=∣×?×v=τ5

ZZVZZ4

22222

(2)因為Sl+S2-S3=l(a+b-c)=A+B=π-C,得a?+b-c=

又由余弦定理得M+h2-C2=2abcosC,

所以αb=%W>0,所以cosC>0,WJO<C<≡

πcosc乙

又S=?absinC=tanC,設(shè)f(C)=tanC,0<C<^,

所以/，(C)=一包工+鼻=山磐>0，

πUcos1CTrCOSNC

所以/(C)在(0,9上單調(diào)遞增，

且Ptan.竽，從而C=*所以就號，

則2αbcosC=α2+h2-C2=|,

^?！?=α2+?2-∣≥2αh-∣=∣,即c≥竽，

且a+b≥2√HF=竽，當且僅當a=b=C=乎時取等號，

所以因ABC周長a+e+C的最小值3X=2Λ∕6?

【解析】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查三角形面積公式，考查基本不等式求最值，屬于中檔題.

22

(1)由已知條件Sl+S2-S3=>1+B和C=今可得到+b-c=3,根據(jù)余弦定理可求得αb=

苧，即可由面積公式求得團ABC的面積；

(2)由已知得αb=鬻技>0,從而可得0<C<會由面積公式可得S=FtanC,構(gòu)造函數(shù)/⑹=

一tanC確定其在0<C<］上單調(diào)性，由特殊值f償)=竽，即可得C=會αb=|,結(jié)合基本不

等式得c≥等，α+b≥2√HF=殍，從而可求得團ABC周長的最小值.

20.【答案】解：⑴因為那=1,圜是公差為1的等差數(shù)列，

n

所以言=,即αn=nbrι,

因為｛%+ι-砥｝是公差為2的等差數(shù)列且B-b1=l,

所以bn+ι—bn=2n—1,

當n》2時，

b?-b]=1,b3—b?=3,Z?4—=5,??????，bγι—。九―ι=2(幾—1)—1,

累加得bn—瓦=1+3+5+…+2n—3,

所以bn=(n—l)2+l(n>2),

又瓦=1滿足上式，所以%=(TI-1)2+1

32

則Qn=nbn=n-2n+2n；

(2)因為bn+ι—bn=2n÷?2—3,

當九>2時,

由累加法可得bn—瓦=(h2—b1)÷(b3—b2)÷???÷(bn-bn.1)

=(2+—2—3)+(4+-2—3)+…+[2(H—1)+Z>2—?]

2

=n—4n+3+(n—l)b2,

2

所以bn=n-4n+4+(n-l)b2(n≥2),

2

又bi=1滿足上式，所以bn=n-4n+4+(n-l)h2,

32

則Qn=n-4n+4n+n(n—l)h2，

則Ql=1,ab2=2域-Sbl+4h2，

^f(b2)=2bl-Sbl+4h2(fe2∈N*),

且「(尻)=6bl-IOb2+4≥0,

所以函數(shù)f(bz)=2域-5域+4b2{b2∈N*)是增函數(shù)，

所以。無？的,又αι≥c?z,所以電=1，

2

所以bn=n-3n+3,

22

且瓦=b2=l,bn=n—3n+3>n—3n+2,

從而*=n2-3n+3<n?-3n+2=一去但≥3),

所以V*+…+5<2+(1-5+(>??“+心一言)=3-言<3(03),

當n=l時，4=l<3,n=2時，4+4=2<3,

所以;+；+…+5<3?

Dlb2Dn

【解析】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項公式，考查裂項相消法求和，屬于中檔題.

2

(1)根據(jù)已知求得αn-nbn,hn+ι-