2024年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題訓(xùn)練 專(zhuān)題02 二次函數(shù)與將軍飲馬最值問(wèn)題（專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）原卷版+解析

專(zhuān)題02二次函數(shù)與將軍飲馬最值問(wèn)題（專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）1.（黑龍江二模）如圖，拋物線y＝x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CM+DM的值最小時(shí)，求m的值．2．（2022?寧遠(yuǎn)縣模擬）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（﹣2，﹣3）在拋物線上．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求出PA+PD的最小值；3．（2022?樂(lè)業(yè)縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是2．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使得△PBC的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；4．（2022?江陰市校級(jí)一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸分別相交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求出這條拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）PQ是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上長(zhǎng)為1的一條動(dòng)線段（點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；5．（2022秋?黃岡月考）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，y與軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)D．已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)M，使得|MB﹣MC|的值最大，求此點(diǎn)M的坐標(biāo)；6．（2022?常德）如圖，已知拋物線過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（5，5），且它的對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限．（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)△OAB的面積為15時(shí)，求B的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA﹣PB的值最大時(shí)，求P的坐標(biāo)以及PA﹣PB的最大值．7．（2022春?良慶區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+3，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交點(diǎn)于點(diǎn)C．（1）請(qǐng)分別求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；（2）連接AC、BC，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M、N，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，請(qǐng)求出使|NP﹣BP|最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并請(qǐng)直接寫(xiě)出|NP﹣BP|的最大值．專(zhuān)題02將軍飲馬最值問(wèn)題（專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）1.（黑龍江二模）如圖，拋物線y＝x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CM+DM的值最小時(shí)，求m的值．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0）在拋物線y＝x2+bx﹣2上，∴×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2＝0，解得：b＝﹣，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣2．∵y＝x2﹣x﹣2＝（x2﹣3x﹣4）＝，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，﹣）．（2）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C′，直線C′D的解析式為y＝kx+n，則，解得：．∴y＝﹣x+2．∴當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x+2＝0，解得：x＝．∴m＝．2．（2022?寧遠(yuǎn)縣模擬）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（﹣2，﹣3）在拋物線上．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求出PA+PD的最小值；【解答】解：（1）∴二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3），∴，解得：．∴二次函數(shù)解析式為y＝x2+2x﹣3；（2）∵拋物線y＝x2+2x﹣3的對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣＝﹣1，D（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），∴C、D關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣1對(duì)稱(chēng)，連接AC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，此時(shí)PA+PD＝PA+PC＝AC＝＝＝3．∴PA+PD的最小值為3；3．（2022?樂(lè)業(yè)縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是2．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使得△PBC的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，∵A、B關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，所以AC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為點(diǎn)P，此時(shí)C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，此時(shí)△BPC的周長(zhǎng)最短，∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是2，yC＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴C（2，﹣3），設(shè)直線AC的解析式為y＝mx+n（m≠0），∴，解得：，∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣1，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴P（1，﹣2）；4．（2022?江陰市校級(jí)一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸分別相交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求出這條拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）PQ是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上長(zhǎng)為1的一條動(dòng)線段（點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；【解答】解：（1）∵拋物線過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴該拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4）．（2）如圖1，將點(diǎn)C沿y軸向下平移1個(gè)單位得C′（0，2），連接BC′交拋物線對(duì)稱(chēng)軸x＝1于點(diǎn)Q′，過(guò)點(diǎn)C作CP′∥BC′，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P′，連接AQ′，∵A、B關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四邊形CC′Q′P′是平行四邊形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′＝，＝＝．∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，此時(shí)，C′、Q′、B三點(diǎn)共線，BQ′+C′Q′的值最小，∴AQ+QP+PC的最小值為+1．5．（2022秋?黃岡月考）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，y與軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)D．已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)M，使得|MB﹣MC|的值最大，求此點(diǎn)M的坐標(biāo)；【解答】解：（1）將A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，∵A、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴|MB﹣MC|＝|MA﹣MC|≤AC，∴當(dāng)A、C、M三點(diǎn)共線時(shí)，|MB﹣MC|有最大值，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+m，∴，解得，∴y＝3x+3，∴M（1，6）；6．（2022?常德）如圖，已知拋物線過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（5，5），且它的對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限．（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)△OAB的面積為15時(shí)，求B的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA﹣PB的值最大時(shí)，求P的坐標(biāo)以及PA﹣PB的最大值．【解答】解：（1）∵拋物線過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（5，5），且它的對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），設(shè)拋物線解析式為y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，解得：a＝1，∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，故此拋物線的解析式為y＝x2﹣4x；（2）∵點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限，∴設(shè)B（2，m）（m＞0），設(shè)直線OA的解析式為y＝kx，則5k＝5，解得：k＝1，∴直線OA的解析式為y＝x，設(shè)直線OA與拋物線對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)H，則H（2，2），∴BH＝m﹣2，∵S△OAB＝15，∴×（m﹣2）×5＝15，解得：t＝8，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，8）；（3）設(shè)直線AB的解析式為y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，解得：，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+10，當(dāng)PA﹣PB的值最大時(shí)，A、B、P在同一條直線上，∵P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，∴，解得：，（舍去），∴P（﹣2，12），此時(shí)，PA﹣PB＝AB＝＝3．7．（2022春?良慶區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+3，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交點(diǎn)于點(diǎn)C．（1）請(qǐng)分別求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；（2）連接AC、BC，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M、N，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，請(qǐng)求出使|NP﹣BP|最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并請(qǐng)直接寫(xiě)出|NP﹣BP|的最大值．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+4）（x﹣1）＝﹣（x+）2+，∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3），對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣；（2）如圖所示：過(guò)N作NQ⊥x軸于點(diǎn)Q，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得MB⊥x軸，∠CBN＝90°，BM＝AB＝5，BN＝BC，∴M（1，5），∠OBC+∠QBN＝90°，∵∠OBC+∠BCO＝90°，∴∠BCO＝∠QBN，又∵∠BOC＝∠NQB＝90°，BN＝BC，∴△OBC≌△QNB（AAS），∴BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1，∴OQ＝1+3＝4，∴N（4，1）；（