2021版高考數(shù)學(xué)(人教A版理科)一輪復(fù)習(xí)攻略核心素養(yǎng)測評(píng)五十一

核心素養(yǎng)測評(píng)五十一

利用空間向量求二面角與空間距離

（30分鐘60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1.在空間直角坐標(biāo)系0-xyz中,平面0AB的一個(gè)法向量為n=（2,-2,1）,已知點(diǎn)

P（T,3,2）,則點(diǎn)P到平面0AB的距離d等于（）

A.4B.2C.3D.1

【解析】選B.P點(diǎn)到平面0AB的距離為d=①上1=上上步1=2.

In\

2,三棱錐A-BCD中，平面ABD與平面BCD的法向量分別為n.n,若<n,n>=-,則

12123

二面角A-BD-C的大小為（）

A.-B.—或包D心或巳

333363

【解析】選C.如圖所示，當(dāng)二面角A-BD-C為銳角時(shí)，它就等于當(dāng)二面

123

角A-BD-C為鈍角時(shí)，它應(yīng)等于Ji-<n,n>=Ji

1222

-1-

3.已知正四棱柱ABCD-ABCD中,AB=2,CC=2忑3E為CC的中點(diǎn)，則直線AC與平

11111W11

面BED的距離為()

A.2B.C.D.1

【解析】選D.以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空

1

間直角坐標(biāo)系(如圖)，則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),

Q(0,2,2J2),E(O,2,&D,易知AQ〃平面BDE.

設(shè)n=(x,y,z)是平面BDE的法向量.

則卜.図=2x+2y=0,

In*DE=2y+\[Zz=0.

取y=1,則n=(-1,1,為平面BDE的一個(gè)法向量.

又TH二(2,0,0),

所以點(diǎn)A到平面BDE的距離是

-LX2+0+0

故直線AC到平面BED的距離為1.

1

-2-

4.如圖，點(diǎn)C在圓錐P0的底面圓0上,AB是直徑,AB=8,ZBAC=30°,圓錐的母線

與底面成的角為60°,則點(diǎn)A到平面PBC的距離為（）

A.gv5B.2Vz

C..訪D.”南

【解析】選C.如圖，過點(diǎn)0作AB的垂線Ox,以O(shè)x,OB,0P分別為x,y,z軸建立空

間直角坐標(biāo)系,

由題意可得A(0,-4,0),B(0,4,0),

C(-2\5,2,0),P(0,0,4寸印.

設(shè)平面PBC的法向量為m=(x,y,z),

則加?空=0,所以儼會(huì)+2y=0,

[m*BP=0,l-4y+=0,

所以3z--vr3x>所以取m=(-1,v3,1)，

因?yàn)槎?0,4,%，？)，

所以d」厶3yQ百,所以點(diǎn)A到平面PBC的距離為色v<15.

Imlv15-<k

-3-

5,已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等,E是線段AB上的點(diǎn)（不含

端點(diǎn)），設(shè)SE與BC所成的角為9,SE與平面ABCD所成的角為9，二面角S-AB-C

12

的平面角為。，則（）

3

A.0WeW0B.eW0W。

123321

C.oWowoD.eWoWo

132231

【解析】選D.如圖所示，作S的投影點(diǎn)0,取AB的中點(diǎn)F,連接SO,SF,OF,作GE

平行于BC,且GE」BC,連接SG,0G,SE,0E.

2

因?yàn)镾-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等,

所以NS0F=NS0E=NSGE=90°,

因?yàn)镾E與BC所成的角為0,所以cos0

11SE

因?yàn)镾E與平面ABCD所成的角為0,

2

所以sin9二次?，因?yàn)槎娼荢-AB-C的平面角為9，所以sin9=—,cos9=—.

2SE33SF39F

因?yàn)镚E=OF,SFWSE,所以

coseWcose,sineWsin。，即。，ee，所以eee.

二、填空題（每小題5分，共15分）

6.如圖所示,P是二面角a-AB-3棱上一點(diǎn),分別在a,B內(nèi)引射線PM,PN,

若NBPM=NBPN=45°,NMPN=60°,則二面角a-AB-P大小為.

-4-

【解析】如圖，過M在a內(nèi)作MF丄AB,過F在B內(nèi)作FN丄AB交PN于點(diǎn)N,連接

MN.

因?yàn)镹MPB=NNPB=45°，所以△PMF纟△PNF.

設(shè)PM=1,則MF=NF笆PM=PN=1,

2

又因?yàn)镹MPN=60°，所以MN=PM二PN=1,

所以MN2=MF2+NF2,所以NMFN=900.

答案：90°

7.在四面體P-ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直,設(shè)PA=PB=PC=a,則點(diǎn)P到平面ABC的

距離為.

【解析】根據(jù)題意，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系P-xyz,則

P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).

過點(diǎn)P作PH丄平面ABC,交平面ABC于點(diǎn)H,則PH的長即為點(diǎn)P到平面ABC的距

離.

因?yàn)镻A=PB二PC,所以H為4ABC的外心.

-5-

又因?yàn)?ABC為正三角形，所以H>VAABC的重心,

可得H點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2,2).

333

22

所以PH二J(|-0)+(|-0)+(|-0)所以點(diǎn)P到平面ABC的距離為

\

------a.

答案:亜a

3

8.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有棱長為a的正方體ABCD-ABCD,點(diǎn)M是線段DC

11111

上的動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)M到直線A1距離的最小值為.口

【解析】設(shè)M(O,m,m)(OWmWa),而55(-a,0,a),直線A1的一個(gè)單位方向向量

由而5(0,-m,a-m),故點(diǎn)M到直線AD的距離d=丿

m2+(a-m)2--(a-m)2

2

:Rm?-Q171+根式內(nèi)的二次函數(shù)當(dāng)m二—一二■二二時(shí)取最小值

\]222X^3

—(―)2-aX—+￡a2=ia2,故d的最小值為史a.

7337aa

答案:

-6-

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.如圖所示,在直三棱柱ABC-ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=AA=1,D是棱CC上的

11111

一點(diǎn),P是AD的延長線與AC的延長線的交點(diǎn),且PB〃平面BDA.

1111

⑴求證:CD=CD.

1

（2）求二面角A-AD-B的平面角的余弦值.

1

⑶求點(diǎn)C到平面BDP的距離.

1

【解析】（1）連接AB,交BA于點(diǎn)0,連接0D.

11

因?yàn)锽P〃平面BDA,BPc平面ABP,平面ABPA平面BAD=0D,所以BP〃0D.

1111111

又因?yàn)?。為BA的中點(diǎn)，所以D為AP的中點(diǎn).

1

因?yàn)镃D〃AA，所以C為AP的中點(diǎn).

1111

所以DC二丄AA二丄CC，所以CD=CD.

171711

-7-

所以AU。，?！?,森=(1,°,i),*=(o,1,，?

設(shè)平面BAD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z).

1111

小打了?n=0,尸/i+Z]=0,

田,得(1

?n=0,1%+=。.

令z=2,則x=-2,y=-1,

111

所以n=(-2,-1,2).

又48；=(，。，0)為平面AAD的一個(gè)法向量，

由圖形可知二面角A-AD-B為銳角，

1

所以二面角A-AD-B的平面角的余弦值為乙

1R

(3)因?yàn)?(0,1,1),D(0,1,A),B(1,0,0),P(0,2,0),

21

所以而二(。,。,」),D8；=(1,7,-丄)，DP=(0,1,-1).

22?

設(shè)平面BDP的一個(gè)法向量為m=(x,y,z).

-產(chǎn)=0，

為-12=0-

令z=2,貝Ix=2,y=1,所以m=(2,1,2).

|CD?in|

所以點(diǎn)C到平面BDP的*巨離d=.

1

-8-

10.(2018?全國卷HD如亂邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧力所

在平面垂直,M是加上異于C,D的點(diǎn).

⑴證明：平面AMD丄平面BMC.

(2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí),求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.

【解析】(1)由題設(shè)知，平面CMD丄平面ABCD,交線為CD.

因?yàn)锽C丄CD,BCu平面ABCD,所以BC丄平面CMD,故BC丄DM.

因?yàn)镸為f力上異于C,D的點(diǎn)，且DC為直徑，

所以DM丄CM.