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文檔簡介
核心素養(yǎng)測評五十一
利用空間向量求二面角與空間距離
(30分鐘60分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.在空間直角坐標系0-xyz中,平面0AB的一個法向量為n=(2,-2,1),已知點
P(T,3,2),則點P到平面0AB的距離d等于()
A.4B.2C.3D.1
【解析】選B.P點到平面0AB的距離為d=①上1=上上步1=2.
In\
2,三棱錐A-BCD中,平面ABD與平面BCD的法向量分別為n.n,若<n,n>=-,則
12123
二面角A-BD-C的大小為()
A.-B.—或包D心或巳
333363
【解析】選C.如圖所示,當二面角A-BD-C為銳角時,它就等于當二面
123
角A-BD-C為鈍角時,它應等于Ji-<n,n>=Ji
1222
-1-
3.已知正四棱柱ABCD-ABCD中,AB=2,CC=2忑3E為CC的中點,則直線AC與平
11111W11
面BED的距離為()
A.2B.C.D.1
【解析】選D.以D為原點,DA、DC、DD所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空
1
間直角坐標系(如圖),則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),
Q(0,2,2J2),E(O,2,&D,易知AQ〃平面BDE.
設(shè)n=(x,y,z)是平面BDE的法向量.
則卜.図=2x+2y=0,
In*DE=2y+\[Zz=0.
取y=1,則n=(-1,1,為平面BDE的一個法向量.
又TH二(2,0,0),
所以點A到平面BDE的距離是
-LX2+0+0
故直線AC到平面BED的距離為1.
1
-2-
4.如圖,點C在圓錐P0的底面圓0上,AB是直徑,AB=8,ZBAC=30°,圓錐的母線
與底面成的角為60°,則點A到平面PBC的距離為()
A.gv5B.2Vz
C..訪D.”南
【解析】選C.如圖,過點0作AB的垂線Ox,以O(shè)x,OB,0P分別為x,y,z軸建立空
間直角坐標系,
由題意可得A(0,-4,0),B(0,4,0),
C(-2\5,2,0),P(0,0,4寸印.
設(shè)平面PBC的法向量為m=(x,y,z),
則加?空=0,所以儼會+2y=0,
[m*BP=0,l-4y+=0,
所以3z--vr3x>所以取m=(-1,v3,1),
因為而二(0,4,%,?),
所以d」厶3yQ百,所以點A到平面PBC的距離為色v<15.
Imlv15-<k
-3-
5,已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形,側(cè)棱長均相等,E是線段AB上的點(不含
端點),設(shè)SE與BC所成的角為9,SE與平面ABCD所成的角為9,二面角S-AB-C
12
的平面角為。,則()
3
A.0WeW0B.eW0W。
123321
C.oWowoD.eWoWo
132231
【解析】選D.如圖所示,作S的投影點0,取AB的中點F,連接SO,SF,OF,作GE
平行于BC,且GE」BC,連接SG,0G,SE,0E.
2
因為S-ABCD的底面是正方形,側(cè)棱長均相等,
所以NS0F=NS0E=NSGE=90°,
因為SE與BC所成的角為0,所以cos0
11SE
因為SE與平面ABCD所成的角為0,
2
所以sin9二次?,因為二面角S-AB-C的平面角為9,所以sin9=—,cos9=—.
2SE33SF39F
因為GE=OF,SFWSE,所以
coseWcose,sineWsin。,即。,ee,所以eee.
二、填空題(每小題5分,共15分)
6.如圖所示,P是二面角a-AB-3棱上一點,分別在a,B內(nèi)引射線PM,PN,
若NBPM=NBPN=45°,NMPN=60°,則二面角a-AB-P大小為.
-4-
【解析】如圖,過M在a內(nèi)作MF丄AB,過F在B內(nèi)作FN丄AB交PN于點N,連接
MN.
因為NMPB=NNPB=45°,所以△PMF纟△PNF.
設(shè)PM=1,則MF=NF笆PM=PN=1,
2
又因為NMPN=60°,所以MN=PM二PN=1,
所以MN2=MF2+NF2,所以NMFN=900.
答案:90°
7.在四面體P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,設(shè)PA=PB=PC=a,則點P到平面ABC的
距離為.
【解析】根據(jù)題意,可建立如圖所示的空間直角坐標系P-xyz,則
P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).
過點P作PH丄平面ABC,交平面ABC于點H,則PH的長即為點P到平面ABC的距
離.
因為PA=PB二PC,所以H為4ABC的外心.
-5-
又因為4ABC為正三角形,所以H>VAABC的重心,
可得H點的坐標為(2,2,2).
333
22
所以PH二J(|-0)+(|-0)+(|-0)所以點P到平面ABC的距離為
\
------a.
答案:亜a
3
8.如圖,在空間直角坐標系中有棱長為a的正方體ABCD-ABCD,點M是線段DC
11111
上的動點,則點M到直線A1距離的最小值為.口
【解析】設(shè)M(O,m,m)(OWmWa),而55(-a,0,a),直線A1的一個單位方向向量
由而5(0,-m,a-m),故點M到直線AD的距離d=丿
m2+(a-m)2--(a-m)2
2
:Rm?-Q171+根式內(nèi)的二次函數(shù)當m二—一二■二二時取最小值
\]222X^3
—(―)2-aX—+£a2=ia2,故d的最小值為史a.
7337aa
答案:
-6-
三、解答題(每小題10分,共20分)
9.如圖所示,在直三棱柱ABC-ABC中,ZBAC=90°,AB=AC=AA=1,D是棱CC上的
11111
一點,P是AD的延長線與AC的延長線的交點,且PB〃平面BDA.
1111
⑴求證:CD=CD.
1
(2)求二面角A-AD-B的平面角的余弦值.
1
⑶求點C到平面BDP的距離.
1
【解析】(1)連接AB,交BA于點0,連接0D.
11
因為BP〃平面BDA,BPc平面ABP,平面ABPA平面BAD=0D,所以BP〃0D.
1111111
又因為。為BA的中點,所以D為AP的中點.
1
因為CD〃AA,所以C為AP的中點.
1111
所以DC二丄AA二丄CC,所以CD=CD.
171711
-7-
所以AU。,?!?,森=(1,°,i),*=(o,1,,?
設(shè)平面BAD的一個法向量為n=(x,y,z).
1111
小打了?n=0,尸/i+Z]=0,
田,得(1
?n=0,1%+=。.
令z=2,則x=-2,y=-1,
111
所以n=(-2,-1,2).
又48;=(,。,0)為平面AAD的一個法向量,
由圖形可知二面角A-AD-B為銳角,
1
所以二面角A-AD-B的平面角的余弦值為乙
1R
(3)因為0(0,1,1),D(0,1,A),B(1,0,0),P(0,2,0),
21
所以而二(。,。,」),D8;=(1,7,-丄),DP=(0,1,-1).
22?
設(shè)平面BDP的一個法向量為m=(x,y,z).
-產(chǎn)=0,
為-12=0-
令z=2,貝Ix=2,y=1,所以m=(2,1,2).
|CD?in|
所以點C到平面BDP的*巨離d=.
1
-8-
10.(2018?全國卷HD如亂邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧力所
在平面垂直,M是加上異于C,D的點.
⑴證明:平面AMD丄平面BMC.
(2)當三棱錐M-ABC體積最大時,求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.
【解析】(1)由題設(shè)知,平面CMD丄平面ABCD,交線為CD.
因為BC丄CD,BCu平面ABCD,所以BC丄平面CMD,故BC丄DM.
因為M為f力上異于C,D的點,且DC為直徑,
所以DM丄CM.
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