2024屆新高考數(shù)學一輪復習配套練習 直線與圓錐曲線

2024屆新高考數(shù)學一輪復習配套練習專題9.6直線與圓

錐曲線

練基礎

1.（2021?四川成都市高三月考（文））已知點K是拋物線x?=4y的焦點，點爲為

拋物線的對稱軸與其準線的交點，過K作拋物線的切線，切點為A,若點A恰在以6、入為

焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）

C.四史D.V2-1

2

2.（2022?全國高三專題練習）直線4日一4），一-0與拋物線V『交于A、8兩點，若|A8|

=4,則弦AB的中點到直線x+g=0的距離等于（）

1179

A.T-B.-C.-D.—

2344

3.（2020?浙江高三月考）如圖，已知拋物線6：〉2=4》和圓。2：0一1）2+丁=1，直線

/經(jīng)過G的焦點尸，自上而下依次交&和G于4B,C,。四點，則A5-C￡>的值為

II

A.—B.—C.1D.2

42

4.（2019?天津高考真題（理））已知拋物線必=4%的焦點為F,準線為1.若1與雙曲線a-

《=1（a>0,b>0）的兩條漸近線分別交于點力和點8,且=4|OF|（。為原點），則雙

曲線的離心率為

A.V2B.V3C.2D.V5

5.【多選題】（2021?河北滄州市?高三月考）已知直線l:x=ty+2與拋物線C:V=心交于A,8

兩點，若線段AB的中點是〃（見2）,則（）

A.t=-B.m=3

2

C.|A即=8D.點（—2,2）在以A8為直徑的圓內

6.（2021?江蘇揚州?高三月考）直線y=x-l過拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點尸，且與C交

于4,B兩點,則|AB|=.

7.（2022?全國高三專題練習）在直角坐標系xOy中，直線/過拋物線V=4x的焦點F,且

與該拋物線相交于A、B兩點，其中點A在x軸上方.若直線/的傾斜角為60。，則AOAF

的面積為.

8.（2022?全國高三專題練習）拋物線的焦點尸是圓N+y—號=0的圓心.

（1）求該拋物線的標準方程；

（2）直線/的斜率為2,且過拋物線的焦點，若/與拋物線、圓依次交于A、B、C、D,求

|A劇十|CD|.

9.（2020.廣西欽州.高二期末（文））已知拋物線9=2/*（〃>0）的頂點為。，焦點坐標

為加?

（1）求拋物線方程；

（2）過點（1,0）且斜率為1的直線/與拋物線交于P，。兩點，求線段|P9的值.

10.（2021.江蘇揚州.高三月考）在平面直角坐標系x0y中，已知橢圓C：\+1=1（〃>6>0）

ab

的右焦點為尸（1,。），離心率為3.

（I）求橢圓c的標準方程；

（2）若過點F的直線/交C于A,B兩點,線段AB的中點為M,分別過4,B作C的切線

4，4,且4與4交于點P，證明：O,P,M三點共線.

練提升

1.【多選題】（2021?山東濟南?高三月考）已知直線/過拋物線C:/=_4y的焦點尸，且直線

/與拋物線C交于A8兩點，過AB兩點分別作拋物線C的切線，兩切線交于點G,設

4（七\，以），B（4,%），G（xO,yc）.則下列選項正確的是（）

A.%?%=4

3

B.以線段A3為直徑的圓與直線y相離

9

C.當AF=2尸8時，|厶用=5

D.△GAB面積的取值范圍為［4,+8）

2.（2019?全國高三月考（文））已知拋物線V=2px（p>0）的焦點為凡直線

/:2x+y—12=0與拋物線交于加川兩點，且以線段脈為直徑的圓過點E貝ijp=（）

A.1B.2C.4D.6

3.（2020.山西運城.高三月考（理））已知拋物線。：丁=丄％2的焦點為尸，。為坐標原點，

4

點A在拋物線C上，且|A月=2,點尸是拋物線C的準線上的一動點，則|馴+儼。|的最

小值為（）.

A.V13B.2^/13C.3V13D.2娓

4.（2021?重慶北硝區(qū)?西南大學附中高三月考）已知鳥分別為雙曲線=1的左、右

3

焦點，過心的直線與雙曲線的右支交于A,B兩點，記AAf；鳥的內切圓。1的半徑為乙，△8冗8

的內切圓。2的半徑為弓，圓Q、。2的面積為$、邑，則5+52的取值范圍是.

5.（2020.山東青島.高三開學考試）已知直線/：y=Z（X-1）與拋物線C：/=2px（p>0）

在第一象限的交點為A，/過C的焦點F，|AF|=3,則拋物線的準線方程為；k=

6.（2020?江蘇如皋?高二月考）己知F是拋物線y2=2*（p>l）的焦點，N（p,l）,M為

拋物線上任意一點，+冃的最小值為3,則片；若過尸的直線交拋物線

于A、5兩點，有A/=2五8，則|A8|=.

2o

7.（2021.天津南開區(qū).南開中學高三月考）設橢圓E：3+卓=1（a>〃>0）的左焦點為尸，

離心率為亜，過點E且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為生亙.

33

（1）求橢圓E的方程；

（2）設A,8分別為橢圓E的左、右頂點，過點尸且斜率為左的直線與橢圓E交于點C,D

52

兩點，&ACDB+ADCB=—,求％的值.

8.（2021?北京）在平面直角坐標系xOy中,拋物線C的焦點在y軸上，且拋物線上的點P（xo,4）

到焦點F的距離為5.斜率為2的直線I與拋物線C交于A,B兩點.

（1）求拋物線C的標準方程，及拋物線在P點處的切線方程；

（2）若4B的垂直平分線分別交y軸和拋物線于M,N兩點（M,N位于直線/兩側），當

四邊形AMBN為菱形時，求直線/的方程.

22

9.（2019?天津高考真題（文））設橢圓3+?！?l（a＞6＞0）的左焦點為尸，左頂點為A，

上頂點為6.已知、6|OA|=2|OB|（。為原點）.

（I）求橢圓的離心率；

3

（II）設經(jīng)過點F且斜率為二的直線/與橢圓在x軸上方的交點為P,圓C同時與x軸和

4

直線/相切，圓心C在直線x=4上，且OC〃AP,求橢圓的方程.

10.（2019?全國高三月考（理））如圖，己知拋物線》2=4＞，直線丁=區(qū)+1交拋物線于43

兩點，P是拋物線外一點，連接PAPB分別交地物線于點C。，且8AB.

（1）若％=1,求點P的軌跡方程.

（2）若PC=2C4，且P4平行x軸，求A/XB面積.

練真題

1.（2021?天津高考真題）已知雙曲線萬＞0）的右焦點與拋物線

y2=2px（p＞0）的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于4B兩點，交雙曲線的漸近線

于C、。兩點，若|CD|=75|AB|.則雙曲線的離心率為（）

A.y/2B.73C.2D.3

22

2.（2020?全國高考真題（理））已知尸為雙曲線C:鼻-斗=1（。＞0/＞0）的右焦點，/為

a~b~

C的右頂點，8為。上的點，且跖垂直于x軸.若的斜率為3,則。的離心率為

22

3.（2019?浙江高考真題）已知橢圓工+匕=1的左焦點為尸，點尸在橢圓上且在x軸的

95

上方，若線段P廠的中點在以原點O為圓心，|。冃為半徑的圓上，則直線PE的斜率是

4.（2020?全國高考真題（文））已知橢圓C:二+==1（0＜根＜5）的離心率為巫，A，

25m2344

8分別為C的左、右頂點.

(1)求C的方程；

(2)若點P在。上，點。在直線x=6上，且18Phi8Q|,BPLBQ,求qAPQ的面積.

22

5.(2019?江蘇高考真題)如圖，在平面直角坐標系中，橢圓cf+1=l(a>6>0)

的焦點為A(-1、0),凡(1,0).過月作x軸的垂線1,在x軸的上方，?與圓E：

(x-l>+y2=4/交于點/,與橢圓C交于點〃連結/￡并延長交圓K于點氏連結和交

橢圓。于點后連結母；.已知?！?一.

2

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)求點少的坐標.

6.(2021?山東高考真題)已知拋物線的頂點是坐標原點。，焦點尸在工軸的正半軸上，。是

拋物線上的點，點。到焦點F的距離為且到y(tǒng)軸的距離是］

O

(1)求拋物線的標準方程；

(2)假設直線I通過點M('1),與拋物線相交于A,8兩點，且丄08,求直線I的方程.專

題9.6直線與圓錐曲線

練基礎

1.(2021?四川成都市高三月考(文))已知點￡是拋物線V=4y的焦點，點瑪為

拋物線的對稱軸與其準線的交點，過八作拋物線的切線，切點為A,若點A恰在以《、人為

焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為()

D

c號『

【答案】B

【分析】

設切線方程為丫="-1,將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，由A=0可求得女的值，設

點日），利用韋達定理求出X；的值，利用雙曲線的定義求出2a的值，進而可求得該雙

曲線的離心率.

【詳解】

拋物線x2=4y的焦點為￡（0,1）,易知點,（0,-1）,

設切線方程為丫=依-1,聯(lián)立/二*',即丁―4日+4=0,

y=kx-\

則厶=16公-16=0,解得九=±1,設點41%,多,由韋達定理可得片=4,

以蜴、人為焦點的雙曲線的實軸長為2”，

則2a=卜周一|A周卜=2(72-1),則a=a_l，

因此，該雙曲線的離心率為e=Wj=0+l,

故選：B.

2.（2022?全國高三專題練習）直線4fcL4），T=0與拋物線y2=x交于A、B兩點，若|AB|

=4,貝lj弦AB的中點到直線x+g=0的距離等于（）

1179

A.—■B.-C.—D.一

2344

【答案】D

【分析】

分析可得直線恒過拋物線的焦點，根據(jù)拋物線焦點弦的性質|厶8|=筋+尤2+；=4,可得弦AB

的中點的橫坐標是：7，即得解

4

【詳解】

直線4fcv—4），一左=0,即y=k（x-；）,

即直線4日一4y—%=0過拋物線y2=x的焦點，,0）.

設AQi,yi）,8a2,”）,

177

則|A8|=XI+X2+1=4,故xi+i2=;,則弦AB的中點的橫坐標是:，

224

所以弦A8的中點到直線x+；i=0的距離是：7+：1=9

2424

故選：D

3.(2020?浙江高三月考)如圖，已知拋物線。1：產(chǎn)=4%和圓。2：(%-1)2+：/=1,直線

/經(jīng)過G的焦點F，自上而下依次交G和于兒B,C,。四點，則ARC。的值為

42一

【答案】C

【解析】

因為拋物線￡：V=4x的焦點為F(1,O),

又直線/經(jīng)過C的焦點F,設直線/：y=儀》一1),

-y2=4Ax

由M得公/一(2/+4)》+公=0,

y=k.{x-V)

設A。，y),B(X2,以)，則中2=1

由題意可得：|AB|=|A目一忸目=玉+1—1=玉，

同理

所以ABCD=|AB|-|C￡)|-COSO==xtx2-1.

故選C

2

4.(2019?天津高考真題(理))已知拋物線y2=4x的焦點為F,準線為1.若I與雙曲線v京-

《=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點4和點8,且|4B|=4|OF|(。為原點)，則雙

曲線的離心率為

A.V2B.V3C.2D.V5

【答案】D

【解析】

拋物線必=4x的準線/的方程為x=-1,

雙曲線的漸近線方程為y=±￡x,

則有4(—1,-今

：

.\AB\=—a,—a=4,b=2a,

.c4a2+b2r=

..e=-a=----a---=73.

故選D.

5.【多選題】(2021?河北滄州市?高三月考)已知直線/：x="+2與拋物線C:/=趺交于AB

兩點，若線段A8的中點是則()

A.t=-B.m=3

2

C.|A卻=8D.點(—2,2)在以48為直徑的圓內

【答案】AB

【分析】

直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理和中點坐標可構造方程求得人知A正確；

將中點坐標代入直線方程即可求得〃?，知B正確：

根據(jù)直線過拋物線焦點，根據(jù)拋物線焦點弦長公式可知C錯誤；

根據(jù)長度關系可確定AP丄3P,由此可確定D錯誤.

【詳解】

對于A,設A(X],yJ,5(^,y2),

(x=ty+2.

由｛2得：>2-8卄-16=0,.?.%+%=8，

[y=8ox

又線段AB的中點為M(m,2),.?.上產(chǎn)=4f=2,解得：f=g,A正確；

對于B,M(相,2)在直線/:x=gy+2上，，〃?=l+2=3,B正確；

對于C,/:x=；y+2過點(2,0),(2,0)為拋物線丫2=81的焦點，

=玉+々+4=g(y+%)+8=10,C錯誤；

對于D,設尸(一2,2),則|MP|=J(-2-3)2+(2-2『=5,又|4?|=10,

.?.慳4=；[48|,；.僧丄族，二網(wǎng)—2,2)在以厶8為直徑的圓上，D錯誤.

故選：AB.

6.(2021?江蘇揚州?高三月考)直線y=x-l過拋物線(7:丁=20圧(0>0)的焦點尸，且與C交

于4,B兩點,則|AB|=.

【答案】8

【分析】

由題意，求出。=2,然后聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達定理及|厶8|=4+/+。即可求

解.

【詳解】

解：因為拋物線C:V=2*5>0)的焦點坐標為尸(多°)，

又直線y=x-l過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F,

所以P=2,拋物線C的方程為y?=4x,

[y=x-\

由<,,,得f_6x+l=0,所以4+4=6,

[y'=4x

所以|厶8|=*4+爲+?=6+2=8.

故答案為：8.

7.(2022?全國高三專題練習)在直角坐標系x0y中，直線/過拋物線V=4x的焦點尸，且

與該拋物線相交于A、B兩點，其中點A在x軸上方.若直線/的傾斜角為60。，則AOAF

的面積為.

【答案】E

【分析】

根據(jù)焦點坐標和直線的傾斜角得出直線的點斜式方程，然后利用直線和拋物線相交可得出A

點坐標.繼而可求出So”.

【詳解】

解：由題意得：拋物線交點尸(L0),直線/的傾斜角為60°

.?.%=tan60'=G，直線/的方程為y=G(x-l),即》=4+1

代入拋物線方程V=4x,得/_竽丫_4=0

解得X=26,必=一乎(舍去)

所以4(3,2折，于是可得川y|=gxlx2G=6

故答案為：G

8.(2022?全國高三專題練習)拋物線的焦點F是圓N+屮一4x=0的圓心.

(1)求該拋物線的標準方程；

(2)直線/的斜率為2,且過拋物線的焦點，若/與拋物線、圓依次交于A、B、C、D,求

HB|十|CQ|.

【答案】(1)[=8x；(2)6.

【分析】

(1)由圓的方程寫出圓心坐標，進而可得拋物線方程.

(2)由題意知為陰+|C￡>|=|A。一|BC1,寫出直線/的方程，設戶)、0(X2,”)，聯(lián)立拋物

線求xi+竝、xiX2,即可求|AO|,進而求|A8|+|C￡)|.

【詳解】

(1)由圓的方程知：圓心坐標為(2,0).故所求的拋物線焦點為(2,0),

???拋物線的標準方程為V=8x.

(2)如圖，\AB\+\CD\^\AD\-\BQ,又18cl=4,只需求出|A￡>|即可.

由題意，AO所在直線方程為)，=2(》—2),與拋物線方程V=8x聯(lián)立得：x2-6x+4=0,

設A(xi,yi),0(X2,”)，則制+及=6,X\X2—4,

...|A￡)|=|AF|+|￡>Q=(M+2)+(X2+2)=XI+X2+4=6+4=10,

|AB|+|CD|=\AD\-|BQ=6.

9.(2020?廣西欽州?高二期末(文))己知拋物線y2=2px(p>0)的頂點為。，焦點坐標

為I｝，。;

(1)求拋物線方程；

(2)過點(1,0)且斜率為1的直線/與拋物線交于P,。兩點，求線段的值.

【答案】(1)y2=2x.(2)2"

【解析】

（1）：丁=2〃x焦點坐標為

.p1

??一=-，p=11,

22

，拋物線的方程為丁=2工.

（2）設直線/方程為％=>+1,設P（x，yJ,Q（w，%），

x=y+\

聯(lián)立《

y1=2x

消元得y2_2y_2=0,

，A=12>0,乂+必=2,x%=-2,

???|PQ|=Vi7FN-%|

=Jl+儼.’（弘+必）2_4>卩2

=Jl+『.J⑵2—4.（-2）=276.

???線段|P0的值為2n.

22

10.（2021?江蘇揚州?高三月考）在平面直角坐標系x0y中，已知橢圓C:=+4=l（“>b>0）

a-b-

的右焦點為尸（1,0）,離心率為g.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若過點F的直線/交C于A,B兩點,線段A8的中點為M,分別過A,8作C的切線

/1,12,且4與4交于點P,證明：。，P,M三點共線.

【答案】（1）—+^=1:（2）證明見解析.

43

【分析】

（1）根據(jù)離心率及焦點求出。即可得橢圓標準方程；

（2）設直線/的方程為：x=my+\,聯(lián)立方程后結合根與系數(shù)的關系計算七即可證

明三點共線.

【詳解】

c=1

c1a=2丫2V2

（1）-=-n,r-,橢圓方程為土+匕=1.

a2[b=yj343

a2=b2+c2

（2）由題意知斜率不為0,設直線/的方程為：x=my+l,厶（玉,苗），8仇,*）,M（x0,y0）,

產(chǎn)（毛,見），

由1:二"l+zl工=3（川y2+2,wy+l）+4yZ=12,

[3x+4/=12''

即（3〉+4）/+6wy-9=0.

,v_X+%_-3m_4

23m~4-43〃廣+4

,3

,,MM=-W機，

直線4的方程為：乎+券=1①，

直線4的方程為#+邛=1②，

43

②-①n1（y2f）=鹼-％），

y3x.-x.3

=>—=---!----=—m,

X4必一必4

為3

-'■~"=~~m=kop,

占4

???k0M=k0P,即。，p,M三點共線.

練提升

1.【多選題】（2021?山東濟南?高三月考）已知直線/過拋物線C:/=-4y的焦點/，且直線

/與拋物線C交于AB兩點，過48兩點分別作拋物線C的切線，兩切線交于點G,設

A（xA,yA）,B（xB,yB）,G（%,%）.則下列選項正確的是（）

A.力?%=4

3

B.以線段為直徑的圓與直線y=；相離

Q

C.當4F=2FB時，|4同=萬

D.△G4B面積的取值范圍為H+8）

【答案】BCD

【分析】

求出拋物線的焦點及準線，設直線I的方程為y=履-1,與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理,

計算可判斷A；

利用定義及直線與圓的位置可判斷B；由向量共線求出弦長判斷C；求岀點G的坐標及

△GAB面積的函數(shù)式即可判斷作答.

【詳解】

拋物線C：/=-4y的焦點尸準線方程為y=l,設直線/的方程為丫=米-1,

2

由卜'「厶」消去y得：x+4fcr-4=0，于是得/+4=-4乂％得=-4,

[x~=-4y

〃?%=[?]=]，A不正確；

以線段AB為直線的圓的圓心(%,%),則為=&1%=蛆二產(chǎn)二2=一2公一1,點

(%,%)到直線)，=；距離d=2^+：,

由拋物線定義得1厶例=|厶用+|8尸|=2-(%+%)=4%2+4,顯然4>548],即以線段A8為

3

直徑的圓與直線y=]相離，B正確；

當AF=2FB時，有。-4=2(/-0),即X.=-24，而乙+4=一以，xx=-4,于是得二=弓，

ABO

9

|48|=4二+4=_,C正確；

2

由y=求導得y,=一;X,于是得拋物線C在A處切線方程為：y-yA=-^-(x-xA),

即y=_/x+%3

同理，拋物線C在B處切線方程為：y=-^-x+-x-,聯(lián)立兩切線方程解得

x°=3區(qū)+*8)=-2女，yc=~^xAxB=\,

點G(-2k,1)到直線/：kx-y-\=O的距離h='奇詈=2的

11-------------m

2222

于是得△G4BGAK=-\AB\h=-(4k+4)-2y/k+1=4(A:+1)>4,當且僅當k=0時

取“=”，

△G48面積的取值范圍為[4,”)，D正確.

故選：BCD

2.(2019?全國高三月考(文))已知拋物線丁=2px(p>0)的焦點為五，直線

/:2x+y-12=0與拋物線交于肌"兩點，且以線段加，為直徑的圓過點凡則°=()

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【解析】

設M（X，y）,N（w，y2），

y2-2px、

聯(lián)立，消去X得y2+py—12〃=0,

2x+y-12=0

由韋達定理可得：yxy2=-12p,必+%=一〃

C^i44r

/.x+x==36

]2=3二小.4P24/72

以線段版v為直徑的圓的方程為(x—4)(萬-9)+()—x)(y—)2)=o,又其過點E

.亡_2（%,+x）+xx+^y=0,

"422l2l2

2/、

;上--“3+12+36-12〃=0,

42(2丿”

**?p=2,

故選：B

3.(2020?山西運城?高三月考(理))已知拋物線。：，=丄x2的焦點為尸，0為坐標原點，

4

點4在拋物線C上，且|A耳=2,點p是拋物線。的準線上的一動點，則|PA|+|PO|的最

小值為().

A.V13B.2>/13C.3713D.276

【答案】A

【解析】

拋物線的準線方程為y=-l,

IA用=2,A到準線的距離為2,故A點縱坐標為1，

把y=1代入拋物線方程可得X=±2.

不妨設A在第一象限，則A(2,l),

點。關于準線y=-l的對稱點為用(0,-2),連接AM，

貝|J|PO|=|PM|,于是|PA|+|PO|=|弘|+|PM|.」

故IPA|+IP。|的最小值為|AM|=故2+32=V13.

故選：A.

4.（2021?重慶北倍區(qū)?西南大學附中高三月考）已知耳，鳥分別為雙曲線Y-f=1的左、右

3

焦點，過心的直線與雙曲線的右支交于AB兩點，記鳥的內切圓01的半徑為小厶8耳心

的內切圓。2的半徑為弓，圓Q、a的面積為，、邑，則5+S2的取值范圍是.

【答案】2肛等）

【分析】

首先根據(jù)雙曲線以及切線性質證明。。2丄尤軸，然后根據(jù)三角形相似關系求出弓與4之間的

關系，再根據(jù)已知條件求出的取值范圍，進而求岀1的取值范圍，最后利用函數(shù)思

想求出T+娯的取值范圍即可求解.

【詳解】

2

由雙曲線/-二=1的方程可知，實半軸長“=1,虛半軸長方=石，居（c,0）且c=2,

3

設圓Oi與分別切于M,N,E,連接002,如下圖所示:

由圓的切線性質可知，IAN冃AM|,|《N|=|KE|,1KMl=|乙E|,

有雙曲線定義可知，有用-|A瑪|=2a=|4N|一|巴凡|,即|耳目一|1E]=2,

設E（x（,,O）,故Xo+c-（c-x（））=2a,解得，x0=a,

由切線性質可知，與E點坐標都為。，

同理可知，圓。2也與x軸也切于E點，故。02丄x軸，且。1、。2、E三點共線，

又由三角形內切圓的性質可知，0c、分別為N4F/和N8F/的角平分線,

冗

易得，/。的二，

\0,E\\EF2\

從而可得，AO'EF?^O2EF2,故舟=?爲，

因為|EE,|=c-a=l,所以：=—=e=1,4=丄，

1r24

因為雙曲線=1的漸近線：y=±gx,所以其傾斜角分別為言和期,

又因為直線AB與雙曲線的右支交于A,8兩點，

所以直線AB的傾斜角范圍為（[名），易得NOF，Ee（￡,芻

J363

所以tan/q￡E=當照="€（更,有），

\EPiI3

由7+娯+」?，不妨令f={%（；,3）,y=t+-,

r\3t

易知，^=/+1在（4,1）上單調遞減，在。,3）上單調遞增，

t3

故丫=1+：的最小值為為7=2,又因為/=（，￡=3=>=￥，

從而y=r+；在（g,3）上的值域為［2,學）,

所以Y+娯的取值范圍為［2,與），

又因為51+邑=燈"+娯），

所以S1+S2的取值范圍為2萬，等）.

故答案為：2肛^^）一

5.（2020?山東青島?高三開學考試）已知直線/：y=Z（x-1）與拋物線C：9=2廃（〃>0）

在第一象限的交點為A，/過C的焦點尸，|厶尸|=3,則拋物線的準線方程為；k=

【答案】x=-l2yli

【解析】

易知直線/與x軸的交點為（1,0）,即拋物線的焦點為/（L0）,...準線方程為》=一1,

設4芭,3）,則|A冃=西+5=玉+1=3,玉=2,作AC丄》軸于點C,如圖，

則C（2,0）,|R7|=1,：.\AC\=>j32-l2=242,

二直線I的斜率為k=tanZAFC=半=20.

故答案為：x=-l；2夜.

6.（2020.江蘇如皋.高二月考）已知產(chǎn)是拋物線丁=2/（〃>1）的焦點，N（p,l）,M為

拋物線上任意一點，+目的最小值為3,則片；若過戶的直線交拋物線

于A、5兩點，有AF'nZFB，則|厶財=.

9

【答案】2；

2

【解析】

過點M作垂直于拋物線丁=2a（〃>1）的準線I,垂足為點P,

由拋物線的定義可得\MP\=\MF\,

P>1,則12<2〃2,則點N在拋物線內，如下圖所示：

|MN|+|M同=|M/V|+財冃，當點p、M、N共線時,|MN|+阿日取得最小值p+-|=3,

解得。=2,

所以，拋物線的標準方程為V=4x,該拋物線的焦點為尸（1,0）,

設點A（Xi，y）、B（x2,y2）,可知直線AB不與“軸重合，設直線的方程為彳=my+1,

x=fny+l.

聯(lián)立〈2），可得y2-4粧y-4=0,△=16加？+16>0恒成立，

y=4x

由韋達定理得凹+%=4"，乂%=一4，

LILUUUU1zx/\

QAF=2FB，則（1一七,一乂）=2（%2—1，%），”=-2%，

所以，X+>2=一必=4m,可得%，

y%--2y；=-32m2--4,可得//=丄

8

22（2）

因此，岡=Jl+加.舊—y21=Vl+m-\l（yt+y2）-4yty2=4l+m=|.

9

故答案為：2；—.

2

7.(2021?天津南開區(qū)?南開中學高三月考)設橢圓E：7V=1(4＞。＞0)的左焦點為尸

離心率為近，過點尸且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為生旦.

33

(1)求橢圓E的方程;

(2)設A,B分別為橢圓E的左、右頂點，過點B且斜率為左的直線與橢圓E交于點C,D

兩點，S.ACDB+ADCB=—,求％的值.

【答案】(1)工+t=1;(2)±2.

32

【分析】

(1)利用橢圓的離心率，和過點尸且與X軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為地，列出方

3

程求解，可得橢圓的方程；

(2)聯(lián)立直線CD和橢圓方程，利用韋達定理和向量數(shù)量積的坐標公式代入解出k的值.

【詳解】

(1)設尸(一(:,0),由￡=且，知“=&.過點F且與x軸垂直的直線為X=-C,代入橢

a3

圓方程有號

解得y=土半，于是半=生巨，解得方=夜，又/一°2=從，從而c=l,

22

所以橢圓的方程為?1.

(2)設點C(xi,yi),D(X2,y2),由F(—1，0)得直線CQ的方程為y=?x+1),

y=Z(x+l),

由方程組v2消去y，整理得(2+3產(chǎn)庶+6標x+3公一6=0.

—+—=1

32

求解可得X|+X2=-一"F，X1X2=3k.因為4(_石，0),B,0),

2+3k22+3公

所以AC-OB+A￡)，CB=(XI+G，yi>(6—X2,—”)+(x2+6，J2)-(>/3-x\,—yi)

=6-2xiX2—2yly2=6—2XIX2—2R(xi+1)(x2+1)=6—(2+2k2)xiX2—2k2(xt+t)-2N=

/2公+12

6+----------

2+3-

由己知得6+空當="，解得％=±2.

2+3公7

8.(2021?北京)在平面直角坐標系xOy中,拋物線C的焦點在y軸上，且拋物線上的點P(xo,4)

到焦點F的距離為5.斜率為2的直線I與拋物線C交于A,B兩點.

(1)求拋物線C的標準方程，及拋物線在尸點處的切線方程；

(2)若AB的垂直平分線分別交y軸和拋物線于M,N兩點(M,N位于直線/兩側)，當

四邊形AM3N為菱形時，求直線/的方程.

【答案】⑴x2=4y；切線方程為2x+y+4=0或2x-y-4=0；(2)y=2x+10.

【分析】

(1)利用拋物線定義，結合已知即可求參數(shù)?，寫出拋物線標準方程，即可得尸點坐標，

利用導數(shù)的幾何意義求P點處切線的斜率，即可寫出切線方程.

(2)設直線/為y=2x+機，A(x”y),以士,必)，聯(lián)立拋物線并整理，應用韋達定理求為+當，

王々，再根據(jù)中點公式求AB的中點，并寫出AB的垂直平分線方程，利用菱形的對稱性求N

點坐標，由點在直線上求參數(shù)，"，即可得直線/的方程.

【詳解】

(1)依題意，設拋物線C：x2=2py(p>0),由P到焦點F的距離為5,

/.P到準線尸卷的距離為5,又P(xo,4),

.?.由拋物線準線方程得：^=1,即。=2,則拋物線的標準方程為V=4y.

?…%,則點P(:H,4),

?.?y'li=；x(-4)=-2,y'l^4=lx4=2.

???尸(-4,4)處拋物線切線方程為y-4=-2(x+4),即2x+y+4=0；

P(4,4)處拋物線切線方程為y-4=2(x-4),即2x-y-4=0.

綜上，P點處拋物線切線方程為2x+y+4=0或2x-y-4=0.

(2)設直線/的方程為y=2x+m,A(X“M),B(x2,y2),

聯(lián)立拋物線得：4'，消y得x2-8x-4w=0,A=64+16m>0.

y-2x+m

：.xt+x2=8,xm=-4機，則丐2=4,當&=8+m，即AB的中點為Q(4,8+〃z).

；?AB的垂直平分線方程為y-(8+，〃)=-；(x-4).

.四邊形AMBN為菱形，

/.Af(0,w+10),M,N關于0(4,8+㈤對稱,則N(8,〃?+6),又N在拋物線上，

64=4x(m+6),即m=10,

故直線/的方程為y=2x+10.

上頂點為厶已知行|0A|=21051(。為原點).

(I)求橢圓的離心率；

3

(II)設經(jīng)過點尸且斜率為一的直線/與橢圓在》軸上方的交點為P，圓C同時與x軸和

直線/相切，圓心C在直線x=4上，且0C〃AP,求橢圓的方程.

122

【答案】(I)(II)二+二=1.

1612

【解析】

(I)解：設橢圓的半焦距為J由己知有島=2匕，

又由。2=〃+。2,消去/，得/=(30)2+。2,解得￡=1,

2a2

所以，橢圓的離心率為!.

2

22

(II)解：由(I)知，a=2c,b=j3c,故橢圓方程為2+當=1,

3

由題意，b(-c,0),則直線/的方程為y=：(x+c),

點尸的坐標滿足，,消去V并化簡，得至1「7萬2+6℃—13。2=0,

w13c

解得X|=C,工2=----

39

代入到/的方程，解得RC，

3

因為點P在x軸的上方，所以P(c,-c),

2

由圓心在直線x=4上，可設C(4,r),因為0C〃AP,

3

且由(I)知A(-2c,0),故;3c,解得f=2,

4c+2c

因為圓C與X軸相切，所以圓的半徑為2,

又由圓。與,相切，得”1=2,解得八2,

22

所以橢圓的方程為：—+-^-=1.

1612

10.(2019?全國高三月考(理))如圖，己知拋物線f=4y,直線丁=履+1交拋物線于45

兩點，P是拋物線外一點，連接PAP8分別交地物線于點C,。，且CDAB.

(1)若左=1,求點P的軌跡方程.

(2)若尸C=2CA，且卩4平行x軸，求AfAB面積.

【答案】(1)x=2(-l<y<l)(2)74而

121

【解析】

⑴解法1：QCDPAB,^,PD=ADB,A(x(,y,)B(x2,y2\