浙江專版2023高考數(shù)學一輪復習：第8章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程

第三節(jié)圓的方程

抓基礎?自主學習I理教材?雙基自主測評

知識梳理

1.圓的定義及方程

定義平面內與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)

標準

(x—a)'+(y—b)2=f(r>0)圓心(a,8),半徑r

方程

圓E心(［一D,~2A)f

一般?+―+瓜+發(fā)+尸=o,

方程半徑右/)+廣一4/

2.點與圓的位置關系

點、MAO,%)與圓(x—a)?+(y—6)°=/的位置關系:

(1)假設水松，㈤在圓外，那么(般一a)?十(%—02＞產.

(2)假設材(加，丹)在圓上，那么(加一動2+(%—〃2=/

(3)假設M(xo,H)在圓內，那么(施一@/+(%—

學情自測

1.(思考辨析)判斷以下結論的正誤.(正確的打“J",錯誤的打"X").

(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.()

(2)方程(x+a)?+(y+份2={teR)表示圓心為(a,6),半徑為力的一個圓.()

(3)方程4/+5盯+夕+加+陵+尸=0表示圓的充要條件是4=今0,8=0,4+4一

4加＞0.()

⑷假設點欣胸，㈤在圓/+/+以+砂+尸=0外，那么■+髭+浜+庚+冷0.()

［解析］由圓的定義及點與圓的位置關系，知(1)(3)(4)正確.

(2)中，當［W0時，表示圓心為(-a,-6),半徑為|t|的圓，不正確.

［答案］⑴V(2)X(3)V(4)V

2.(教材改編)方程f+/+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，那么a的取值范圍是()

22

A.aV—2或3＞鼻B.—-＜a＜0

jo

2

C.-2<a<0D.-2<a<-

D［由題意知3+4才一4(2a'+a—1)>0,

2

解得一2caV..］

3.圓2x—8y+13=0的圓心到直線ax+y—1=0的距離為1,那么a=()

3

B.-4-

C.小D.2

A［圓/+/—2x—8y+13=0,得圓心坐標為(1,4),所以圓心到直線ax+y—1=0的

□匚8，Id+4-114

品巨離d=/。-=1,解得a——-]

7a旺1J

4.(2023?嘉興一中質檢)假設圓。的半徑為1,其圓心與點(1,0)關于直線y=x對稱,

那么圓C的標準方程為.

/+(y-l)2=l［兩圓關于直線對稱那么圓心關于直線對稱，半徑相等.圓C的圓心為

(0,1),半徑為1,標準方程為f+(y—1)2=1.］

22

5.一個圓經過橢圓?+個=1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，那么該圓的標準

164

方程為________.【導學號：51062268］

(X—5)+/=彳［由題意知a=4,b—2,上、下頂點的坐標分別為(0,2),(0,—2),

右頂點的坐標為(4,0).由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(0,2),(0,-2),(4,0)三點.設

+4=r,

圓的標準方程為(x—4+/=/(0〈水4,r〉0),那么22解得

I4—ffl'—r,

所以圓的標準方程為+T]

明考向?題型突破?析典例?探求規(guī)律方法■

~求圓的方程

卜例口⑴三點4(1,0)，夙0,小),以2,小),那么△/比外接圓的圓心到原點的距

離為()

5y/21

A.-B.~~

oo

C.羋D.|

Jo

(2)圓C的圓心在x軸的正半軸上，點材(0,4)在圓C上，且圓心到直線2x—y=0的

距離為T-,那么圓。的方程為

5

(DB(2)(x-2)2+y=9[(1)法一：在坐標系中畫出△/回(如圖)，利用兩點間的距

離公式可得=MCI=I8。=2(也可以借助圖形直接觀察得出)，所以為等邊三角

形.設a'的中點為。，點￡為外心，同時也是重心.所以|四|=芻/"=縛，從而|第=

oo

法二：設圓的一般方程為丁+/+以+。+尸=0,

'D=-2,

jl+〃+尸=0,

那么43+小什尸=0,解得＜￡=一羋,

O

[7+2D+yliE+F=0,

/=L

所以△/(比外接圓的圓心為11,

因此圓心到原點的距離d=

(2)因為圓C的圓心在x軸的正半軸上，設C(a,0),且a>0,

所以圓心到直線2x—y=0的距離"=親=唔

解得a=2,

所以圓C的半徑r=|CM\=4中=3,

所以圓，的方程為5—2)2+/=9.]

[規(guī)律方法]1.直接法求圓的方程，根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進

而寫出方程.

2.待定系數(shù)法求圓的方程：①假設條件與圓心(a,6)和半徑r有關，那么設圓的標準

方程，依據條件列出關于a,b,r的方程組，從而求出a,b,r的值；②假設條件沒有明確

給出圓心或半徑，那么選擇圓的一般方程，依據條件列出關于〃，E,b的方程組，進而求出

D,E,尸的值.

溫馨提醒：解答圓的方程問題，應注意數(shù)形結合，充分運用圓的幾何性質.

［變式訓練1］(2023?浙江五校聯(lián)盟聯(lián)考)經過點4(5,2),M3,-2),且圓心在直線

2x-y-3=0上的圓的方程為一.

_?+/—4”一2y一5=0(或(*-2)2+(7-1)2=10)

［法一：；圓過/(5,2),6(3,—2)兩點，

.?.圓心一定在線段46的垂直平分線上.

易知線段18的垂直平分線方程為y=-1(^-4).

(2a—b-3=0,

設所求圓的圓心為C(&6),那么有(1

［b=~2L4，

解得a=2,且，=1.

因此圓心坐標(7(2,1),半徑r=\AC\

故所求圓的方程為(x—2尸+(y—i)2=io.

法二：設圓的方程為丁+/+%+。+夕=0(〃+百一4/>0),

"25+4+5〃+2￡+尸=0,

9+4+34-2E+少=0,

那么j

2X^+f-3=0,

解得〃=-4,E=—2,F=-5,

.,.所求圓的方程為x+y-4x-2y~5^0.]

IWP1_2J_________________與圓有關的最值問題

卜例財材(為力為圓G一4x-14y+45=0上任意一點，且點0(—2,3).

⑴求|,留的最大值和最小值；

(2)求臺|的最大值和最小值.【導學號：51062269］

［解］(1)由圓C：/+/—4x—14y+45=0,

可得(X-2)2+(尸-7)2=8,

二圓心C的坐標為⑵7),半徑r=2p2分

又|^|=72+22+7-30的

二I第［=+2隹=6小，

I幽［=44-2*=2蚯.6分

⑵可知曷表示直線板的斜率左8分

設直線，媳的方程為y—3=A(x+2)，即成一了+24+3=0.10分

所以菅廿三2m

由直線制與圓，有交點,

可得2—

，色|的最大值為2+4，最小值為2-m.14分

［遷移探究1］(變化結論)在本例的條件下，求y-x的最大值和最小值.

［解］設y—x=Z?,那么x—p+b=0.4分

當直線尸x+力與圓。相切時，截距b取到最值，

27+b

/.(［-—^2\［2,；.6=9或8=1.12分

+T

因此y-x的最大值為9,最小值為1.14分

［遷移探究2］(變換條件結論)假設本例中條件”點。(-2,3)”改為"點0是直線3x

+4y+l=0上的動點”，其它條件不變，試求\媳|的最小值.

［解］:圓心(7(2,7)到直線3x+4y+l=0上動點0的最小值為點C到直線3x+4y+l

=0的距離，

..12X3+7X4+11八

QC\Bi=(/-/-?”=7.6分

n0+4'

又圓C的半徑r=2班,

：.\MQ\的最小值為7-2^2.14分

［規(guī)律方法］1.處理與圓有關的最值問題，應充分考慮圓的幾何性質，并根據代數(shù)式的

幾何意義，數(shù)形結合求解.

2.某些與圓相關的最值可利用函數(shù)關系求最值.

根據題目條件列出關于所求目標式子的函數(shù)關系式，然后根據關系式的特征選用參數(shù)

法、配方法、函數(shù)的性質、利用根本不等式求最值是比擬常用的.

［變式訓練2］設尸為直線3x—4y+H=0上的動點，過點一作圓G^+^-2x-2y

+1=0的兩條切線，切點分別為4B,求四邊形胡龍的面積的最小值.

［解］圓的標準方程為(x—1)2+(y—1產=1,2分

圓心為以1,1),半徑為r=L6分

根據對稱性可知，四邊形為⑦的面積為

2區(qū).=2Xg必|r=|必|=y\\PC\'-r.8分

要使四邊形用％的面積最小，那么只需|此1最小，最小時為圓心到直線/：3A~4Z+

11=0的距離

3-4+11110°_八

d=-]=一—=2.12分

#2十—425

所以四邊形為⑶面積的最小值為

IPC\1=y［i.14分

I「向3|與圓有關的軌跡問題-

卜例圖點尸(2,2),圓G*+/—8y=0,過點。的動直線/與圓。交于4,6兩點,

線段47的中點為M,0為坐標原點.

(1)求，"的軌跡方程；

⑵^\OP\=甥時，求/的方程及的面積.

［解］(1)圓C的方程可化為f+3-4)2=16,所以圓心為以0,4),半徑為4.2分

設J/(x,y),那么。/=(x,y—4),MP—{2—x,2—y).

由題設知MP=0,故x(2—x)+(y—4)(2—0=0,

即(x—1)2+(y—3)2=2.

由于點尸在圓。的內部，

2

所以"的軌跡方程是1尸+(7-3)=2.6分

(2)由(1)可知歷的軌跡是以點Ml,3)為圓心，啦為半徑的圓.

由于|8|=|，故。在線段的垂直平分線上.

又一在圓/V上，從而ONLPM.8分

因為〃V的斜率為3,所以1的斜率為一4，

O

1O

故1的方程為y=-^x+-A2分

JJ

又|QV|=|加=2娘，。到/的距離為絲旦|掰=空幽，所以△陽”的面積為15

［規(guī)律方法］求與圓有關的軌跡問題的四種方法

(1)直接法：直接根據題設給定的條件列出方程求解.

(2)定義法：根據圓的定義列方程求解.

(3)幾何法：利用圓的幾何性質得出方程求解.

(4)代入法(相關點法)：找出要求的點與點的關系，代入點滿足的關系式求解.

［變式訓練3］點4(—1,0),點以2,0),動點61滿足14a=|M，求點C與點尸(1,4)

所連線段的中點M的軌跡方程.

［解］由題意可知：動點C的軌跡是以（一1,0）為圓心，3為半徑長的圓，方程為（x+

1）'+/=9.4分

設就施，％）,那么由中點坐標公式可求得

C（2的一1,2%—4）,8分

代入點。的軌跡方程得4京+4（%—2尸=9,

化簡得笳+（%—2）2=*13分

9

故點材的軌跡方程為/+（y-2）2--15分

名師微博與

［思想與方法］

1.確定一個圓的方程，需要三個獨立條件，“選形式、定參數(shù)”是求圓的方程的根本

方法.

2.解答圓的問題，應注意數(shù)形結合，充分運用圓的幾何性質，簡化運算.

［易錯與防范］

1.二元二次方程/+y+Dx+Ey+F—0表示圓時易無視jf+^—4F>0這一前提條件.

2.求圓的方程需要三個獨立條件，所以不管是設哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個

獨立方程.

3.求軌跡方程和求軌跡是有區(qū)別的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡在得出方程

后還要指明軌跡表示什么曲線.

課時分層訓練（四十五）圓的方程

A組根底達標

（建議用時：30分鐘）

一、選擇題

1.(2023?舟山模擬)圓(x—l)2+(y—2)z=l關于直線y=x對稱的圓的方程為

)

A.(A~2)2+(y-l)2=lB.(x+l)-+(y-2)2=l

C.(x+2)?+(y—1)2=1D.(x—1)~+(y+2)-=l

A[(1,2)關于直線y=x對稱的點為(2,1),.,.圓(x-l)2+(y—2)2=l關于直線y=x

對稱的圓的方程為(x—2)2+(y—1)2=1.]

2.圓V+/—2x+4y+3=0的圓心到直線x一尸1的距離為()

【導學號：51062270]

A.2B弋

C.1D.^/2

D[圓的方程可化為(x—1)2+5+2尸=2,那么圓心坐標為(1,-2).

故圓心到直線x—y—1=0的距離"=上擊"=[1]

3.圓(x—2)2+(y+l)2=16的一條直徑通過直線x—2y+3=0被圓所截弦的中點，那

么該直徑所在的直線方程為()

A.3x+y—5=0B.x—2尸=0

C.x—2y+4=0D.2x+y-3=0

D[易知圓心坐標為(2,-1).

由于直線X—2y+3=0的斜率為今

...該直徑所在直線的斜率k=-2.

故所求直線方程為y+l=-2(x—2),即2x+y—3=0.]

4.假設圓心在x軸上，半徑為乖的圓。位于y軸左側，且與直線x+2y=0相切，那

么圓0的方程是()

A.(%—A/5)+/=5B.(x+4)"+/=5

C.(x—5尸+/=5D.(>+5尸+/=5

D[設圓心為(20)(〃<0),

那么r=縹等-=m，解得a=-5,

yjl+2"v

所以圓。的方程為(x+5)2+/=5.]

5.設P是圓(x-3)2+(y+l)2=4上的動點，0是直線x=-3上的動點，那么|尸0|的最

小值為()

A.6B.4

C.3D.2y

B［如下圖，圓心M(3,—1)與直線x=-3的最短距離為"心

=3—(-3)=6,又圓的半徑為2,故所求最短距離為6—2=4」

二、填空題

6.(2023?浙江高考)aGR,方程-1+(a+2)/+4*+8y+5a=0表示圓，那么圓心坐

標是,半徑是.

(-2,-4)5［由二元二次方程表示圓的條件可得a?=a+2,解得a=2或一1.當a

=2時，方程為4V+4/+4x+8y+10=0,即/+/+才+2夕+|=0,配方得，+；)+(9+

1)2=—1<0,不表示圓；

當&=一1時，方程為f+/+4x+8y—5=0,配方得(x+2)*+(y+4)'=25,那么圓心

坐標為(-2,-4),半徑是5.］

7.點M(l,0)是圓G_?+/-4x—2y=0內的一點，那么過點必的最短弦所在直線的方

程是.【導學號：51062271］

x+y~l=0［圓G系+/-4*一2尸0的圓心為以2,1),

1—0

=

那么kcn-72)—r11-

?..過點M的最短弦與C"垂直，最短弦所在直線的方程為y-0=-l(%-l),即x+y

-1=0.］

8.在平面直角坐標系xa中，以點(1,0)為圓心且與直線mx—y—2〃L1=0(/6R)相切

的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為

(x—1>+/=2［因為直線wx—y—20-1=0恒過定點(2,-1),所以圓心(1,0)到直

線mx-y-2m-1=0的最大距離為d=y］2-12+-1-02=^2,所以半徑最大時的

半徑r=心,所以半徑最大的圓的標準方程為5—1)2+爐=2.］

三、解答題

9.直線/：尸x+m,m《R,假設以點M(2,0)為圓心的圓與直線/相切于點只且點一

在y軸上，求該圓的方程.

［解］法一：依題意，點戶的坐標為(0,必)，2分

因為物所以汽Xl=-1,6分

解得勿=2,即點尸的坐標為(0,2),10分

圓的半徑r=I，網=y)2-02+0-22=2^2,

故所求圓的方程為(x—2/+/=8.15分

法二：設所求圓的半徑為r,那么圓的方程可設為(*-2尸+/=d，2分

依題意，所求圓與直線/：x—y+勿=0相切于點戶(0,加,

4+/?=r,

那么，2-0+7|6分

zff—2,

解得|r-10分

lr=2隹

所以所求圓的方程為(x—2尸+/=8.15分

10.過原點的動直線/與圓G：/+/-6犬+5=0相交于不同的兩點4B.

(1)求圓G的圓心坐標；

(2)求線段48的中點”的軌跡。的方程.【導學號：510622721

［解］(1)由f+/—6x+5=0得(1-3)2+/=4,2分

所以圓G的圓心坐標為(3,0).6分

(2)設M(x,y),依題意GM?〃井=0,

所以(x—3,y),(x,y)=0,那么3x+/=0,

所以(x-■!)+/=*9分

又原點。(0,0)在圓G外，

因此中點"的軌跡是圓，與圓G相交落在圓G內的一段圓弧.

卜-3x+/=0,5

'I'x+/—6x+5=0,消去/得x=1，

O

5

因此12分

O

所以線段的中點材的軌跡方程為(L|)+/=3(|VXW3)15分

B組能力提升

(建議用時：15分鐘)