2023年中考數(shù)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)提升練習(xí) 三角形動點(diǎn)問題綜合(含解析)

2023年中考九年級數(shù)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)提升練習(xí)一三角形動點(diǎn)問題綜合

1.如圖，在AABC中，ZC=90°,=3厘米，CB=2厘米.動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),

沿CB方向以1厘米/秒的速度向B運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿BC方向以1厘米/

秒的速度向C運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，以CP為一邊向上

作正方形CPDE,過點(diǎn)Q作QFIIAB,交AC于點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒，正方

形CPDE和梯形4FQB重合部分的面積為S平方厘米.

(1)當(dāng)1=秒時(shí)，點(diǎn)P于點(diǎn)Q重合；

(2)當(dāng)1=秒時(shí)，點(diǎn)D在QF上；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在Q、B兩點(diǎn)之間(不包括Q、B兩點(diǎn))時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系

式.

2.如圖，在△ABC中，已知AB=AC=10cm,BC=16cm,ADLBC于D,點(diǎn)E、F分

別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)E沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動，速度為4cm/s；點(diǎn)F沿

CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動，速度為5cm/s,設(shè)它們運(yùn)動的時(shí)間為x(s).

(1)求x為何值時(shí)，AEFC和AACD相似；

(2)是否存在某一時(shí)刻，使得AEFD被AD分得的兩部分面積之比為3：5,若存

在，求出x的值，若不存在，請說明理由；

(3)若以EF為直徑的圓與線段AC只有一個(gè)公共點(diǎn)，求出相應(yīng)x的取值范圍.

3.如圖，直線y=/cc+b(kH0)與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，OA=8,OB=6.動點(diǎn)

P從O點(diǎn)出發(fā)，沿路線O一A—B以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動

停止.

[B

。1p/

(1)則A點(diǎn)的坐標(biāo)為,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在0A上，且BP平分/OBA時(shí)，則此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)

為;

(3)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒(0<t<4),ABPA的面積為S,求S與t之間的函數(shù)

關(guān)系式：并直接寫出當(dāng)S=8時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

4.如圖，在RtAZBC中，ZB=90°,AC=40cm,乙4=60。，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿C4方

向以4cm/秒的速度向點(diǎn)4勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)4出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向

點(diǎn)B勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動

的時(shí)間是t秒(0<t<10).過點(diǎn)。作OF1BC于點(diǎn)F,連接。E,EF.

(1)四邊形AEFC能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請說明

理由；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，/DEF為直角三角形？請說明理由.

5.如圖1,OA=2,OB=4,以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰R3ABC,

(1)求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖2,P為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)向y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動時(shí)，以P

為頂點(diǎn)，PA為腰作等腰R3APD,過D作DELx軸于E點(diǎn)，求OP-DE的值;

(3)如圖3,已知點(diǎn)F坐標(biāo)為(-2,-2),當(dāng)G在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動時(shí)，作

RtAFGH,始終保持/GFH=90。,FG與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)G(O,m),FH與x軸正半軸交于

點(diǎn)H(n,O),當(dāng)G點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動時(shí)，以下兩個(gè)結(jié)論：①m-n為定

值；②m+n為定值，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請找出正確的結(jié)論，并求出其值.

6.如圖

圖1圖2

(1)如圖1,點(diǎn)E在四邊形ABC。的邊BC上，EA=ED,且/4血=/3=

ZC.判斷A3、BC、CD三邊的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,在RtAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=S,點(diǎn)。在線段BC上，

CD=3,點(diǎn)E是AC邊上一動點(diǎn)，將線段。E繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段連

接3月當(dāng)AE的值為多少時(shí)，線段3尸有最小值？并求出線段3尸的最小值.

7.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6cm,8C=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線

段AB以每秒1cm的速度運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿折線B-C-A以每秒2cm的

②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)尸Q,PC,BQ,求證：△CPQS^ABQ；

(2)當(dāng)ABPQ是直角三角形時(shí)，求t的值.

8.已知AABC中，^BAC=90°,4B=AC,點(diǎn)D為直線BC上的一動點(diǎn)(點(diǎn)

D不與點(diǎn)B、C重合)，以AD為邊作△ADE,使Z.DAE=90°,,連

接CE.

E

發(fā)現(xiàn)問題：

如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，

(1)請寫出BD和CE之間的位置關(guān)系為,并猜想BC和CE、CD之間

的數(shù)量關(guān)系：.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不變時(shí)，(1)中BD和CE之

間的位置關(guān)系、BC和CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系是否成立？若成立，請證明；若不成

立，請寫出新的數(shù)量關(guān)系，說明理由；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長線上且其他條件不變時(shí)，若BC=6,CE=

2,求線段ED的長.

9.如圖，P、Q分別是邊長4cm為的等邊AABC的邊AB,BC上的動點(diǎn)，

點(diǎn)P從頂點(diǎn)A,點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，分別沿AB,BC邊運(yùn)動，點(diǎn)P到

點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q到點(diǎn)C停止.社運(yùn)動時(shí)間為t秒，他們的速度都為lcm/s.

(1)連接AQ,CP相交于M,在點(diǎn)P,Q的運(yùn)動過程中乙CMQ的大小是

否變化？若變化，說明理由；若不變，求出它的度數(shù)；

(2)當(dāng)t取何值時(shí)，APBQ是直角三角形.

10.如圖所示，點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,0)，點(diǎn)A坐標(biāo)為(6,12),動點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿

OB以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B移動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BA以每秒2個(gè)單

位長度的速度向點(diǎn)A移動，如果P,Q分別從O,B同時(shí)出發(fā)，用t(秒)表示移動的

時(shí)間(0<t<6).

(1)用含t的式子來表不BP=.AQ=.

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與AZOB相似？

(3)若四邊形OPQA的面積為y,試寫出y與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出t取何值

時(shí)，四邊形OPQA的面積最??？

(4)在y軸上是否存在點(diǎn)E,使點(diǎn)P、Q在移動過程中，以B、E、Q、P為頂點(diǎn)的

四邊形的面積是一個(gè)常數(shù)？若存在請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(0,0),

(6,0),點(diǎn)D是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連接CD,將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到

ABCE,連接DE.

圖①備用圖

(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為,△CDE為三角形；

(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動時(shí)，四邊形CDBE的周長是否存在最小值？若存

在，求出四邊形CDBE的周長最小值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)當(dāng)ABDE是直角三角形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo).

12.如圖，已知AABC中，AB=AC=6cm,Z.B=ZC,BC=4cm,點(diǎn)。為4B的中

點(diǎn).

A

(1)如果點(diǎn)P在線段BC上以lon/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段C4

上由點(diǎn)C向點(diǎn)4運(yùn)動.

①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與4CQP是否全

等，請說明理由；

②若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時(shí)，能夠使

△BPD與ACQP全等？

(2)若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時(shí)出

發(fā)，都逆時(shí)針沿AZBC三邊運(yùn)動，則經(jīng)過秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在AZBC的

4C邊上相遇？(在橫線上直接寫出答案，不必書寫解題過程)

13.如圖，點(diǎn)4坐標(biāo)是(0,0),點(diǎn)C坐標(biāo)是(2,2),現(xiàn)有E、尸兩點(diǎn)分別從點(diǎn)0(0,2)

和點(diǎn)3(2,0)向下和向右以每秒一個(gè)單位速度移動，。為EF中點(diǎn).設(shè)運(yùn)動時(shí)間為人

(1)在運(yùn)動過程中始終與線段EC相等的線段是；四邊形CEAF面積

(2)當(dāng)t=l秒時(shí)，求線段CQ的長.

(3)過點(diǎn)3作3P平行于Cr交EC于點(diǎn)P.當(dāng)一▲時(shí),線段AP最短，

此時(shí)作直線EP與x軸交于點(diǎn)K,試證明，點(diǎn)K是線段A3的黃金分割點(diǎn).

14.如圖1,已知△ABC是邊長為3cm的等邊三角形，動點(diǎn)P,Q同時(shí)從A,B兩點(diǎn)出

發(fā)，分別沿AB,方向勻速移動，它們的速度都是lcm/s,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P,

Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t(s).

A

(1)當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為t秒時(shí)，則BQ的長為cm,BP的長為

cm.(用含t的式子表示)

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，APBQ是直角三角形；

(3)如圖2,連接AQ,CP相交于點(diǎn)M,則點(diǎn)P,Q在運(yùn)動的過程中，NCMQ的大

小會變化嗎？若變化，請說明理由.若不變，請直接寫出它的度數(shù).

15.旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決

問題.

圖①圖②圖③

(1)嘗試解決：如圖①，在等腰RtZiABC中，ABAC=90%AB=AC,點(diǎn)M

是BC上的一點(diǎn)，BM=1cm,CM=2cm,將XABM繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到△

ACN,連接MN,則AM=cm.

(2)類比探究：如圖②，在“箏形"四邊形ABCD中，AB=AD=a,CB=

CD,AB1BC于點(diǎn)B,AD1CD于點(diǎn)D,點(diǎn)P、Q分別是AB,AD上的點(diǎn)，且

乙PCB+乙QCD=APCQ,求AAPQ的周長.(結(jié)果用。表示)

(3)拓展應(yīng)用：如圖③，已知四邊形ABCD,AD=CD,乙ADC=

60°,AABC=75。，AB=2e，BC=2,求四邊形ABCD的面積.

16.如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,動點(diǎn)P以2cm/s的速

度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動，同時(shí)動點(diǎn)Q以lcm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)，

沿CB向點(diǎn)B移動，設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動ts(0<t<5)后，ACQP的面積為

Scm2.

(1)在P、Q兩點(diǎn)移動的過程中，ACQP的面積能否等于3.6cm2?若能，求

出此時(shí)t的值；若不能，請說明理由；

(2)當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為多少秒時(shí)，ACPQ與ACAB相似.

答案解析部分

1.【答案】（1）1

（2）I

（3）解：點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，由（1）知t=l；

當(dāng)點(diǎn)D在AB上時(shí)，如下圖所示：

此時(shí)DP=CP=BQ=t,

乙DPB=^ACB=90°,乙DBP=^ABC,

DBPABC,

DP_G4_3

：,PB=CB=2,

22

PB=勺DP=母3

???CP+PB=CB,

2

t+Wt=29

解得t=f,

CE=1.

???QF||AB,

???Z-FQC=/-ABC,

又乙FCQ=LACB=90°,

???△FQCABC,

.絲=絲，即2TCF,

??CB-CAJRTF

6

CruF=寧

.??t=q時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)F重合；

當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，此時(shí)t=2.

當(dāng)點(diǎn)P在Q、B兩點(diǎn)之間（不包括Q、B兩點(diǎn)）時(shí)，其運(yùn)動過程可分析如下:

①當(dāng)l<tw卷時(shí)，如下圖所示，此時(shí)重合部分為梯形GDPQ.

CQP"

則PQ=CP+BQ—CB=2t—2,PD=t,

由^FQC-△力BC得：CF=]CQ=|x(2—t)=3—

***EF=CF—CE=3-77t—t=3—TTt?

??.QF||AB,

???Z-A=Z-EFG,

又(ACB=MEG=90°,

ABCFGE,

FE_EG

??.CA=CB9

2255

EG=可EF="gx(3-]￡)=2—不匕

Co

:.DG=ED-EG=t—(2-t)=t—2,

11R7o

???S梯形GDPQ=](PQ+DG),DP=，(2t—2+—2)?t—23

7o

?，.S=可t—21;

②當(dāng)時(shí)，如下圖所示，此時(shí)重合部分為一個(gè)多邊形.

則CP=BQ=t,CQ=BP=2—t,

易知△ABCs&FQCsAMBP“AMND,

可得CF=5CQ=5(2—t)=3--ytfMP=5BP=y(2—t)=3—t,

乙乙乙乙乙乙

35

??.DM=DP-MP=t-(3-尹)=尹一3,

2255

DN=可DM=耳X(]t-3)=可1—2,

二S—S正方形EDPC_S&CFQ_S^MDN

11

=CP2-^CF-CQ--^DM-DN

13155

=「2_2(3_21).(2_t)_2(21_3).(W￡_2)

11

__t2+8t-6;

綜上，當(dāng)點(diǎn)P在Q、B兩點(diǎn)之間（不包括Q、B兩點(diǎn)）時(shí)，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式

為:

76

gt2o-2t(1<t<)

S=

—&t?+8t—6(耳<t<2)

2.【答案】（1）解：如圖1中,點(diǎn)

圖1

F在AC上，點(diǎn)E在BD上時(shí),①當(dāng)作=籌時(shí)，△CFE^ACDA,5t

16-4t

8?廣64

10'"41'

②當(dāng)作=焉時(shí)，即5t_10

16-4t

：.t=2,

當(dāng)點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)E在CD上時(shí)，不存在△EFC和△ACD相似,

綜上所述，t=黑s或2s時(shí)，△EFC和△ACD相似.

（2）解：不存在.理由：如圖2中，當(dāng)點(diǎn)F在AC上，點(diǎn)E在BD上時(shí)，作FHLBC

于H,EF交AD于N.

C

B

H

圖2

VCF=5t.BE=4t,

CH=CF?cosC=4t,

.\BE=CH,

〈AB=AC,AD±BC,

???BD=DC,

?'?DE=DH,

,EDEN

VDN/7FH,9UDH=NF=1,

?'?EN=FN,

??SAEND-SAFND,

.?.△EFD被AD分得的兩部分面積相等,

同法可證當(dāng)點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)E在CD上時(shí)，△EFD被AD分得的兩部分面積相等,

.??不存在某一時(shí)刻，使得AEFD被AD分得的兩部分面積之比為3：5.

（3）解：①如圖3中，當(dāng)以EF為直徑的。0經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，。。與線段AC有兩個(gè)交

點(diǎn)，連接AE,由

AC4

ECwe一5

/-0<t<J時(shí)，。。與線段AC只有一個(gè)交點(diǎn).

O

②如圖4中，當(dāng)。。與AC相切時(shí)，滿足條件,此時(shí)t=64

41-

圖4

③如圖5中，當(dāng)。。與AB相切時(shí)，cosB=器，即g=線“，解得t=黑.

圖5

④如圖6中，。。經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，連接AE,則NEAF=90。.

圖6

由cosB-4B一4n10_425

由c°sB-荏一耳，即S花一百'J百

.?.令＜長4時(shí)，。。與線段AC只有一個(gè)交點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)。。與線段AC只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，OWt＜彳或翳或黑或等＜區(qū)4

3.【答案】(1)(8,0)；(0,6)

(2)(3,0)

(3)解：VOA=8,v=2,二t=8+2=4,二P從O運(yùn)動到A的時(shí)間為4秒，...當(dāng)0＜t＜4

時(shí)，P在線段OA上運(yùn)動.

OP=2t,PA—8OP—82t,S—SABAP—|?PA?OB=1?(8-2t)?6=24-6t.

當(dāng)S=8時(shí)，8=24-6t,解得：t=|,Z.0P=2t=2x卜竽，，P(竽，0).

答：S=24-6t(0<t<4),當(dāng)S=8時(shí)，P(竽，0).

4.【答案】(1)解：能.

理由如下：

在/QFC中，ZDFC=90°,ZC=30°,DC=M,

DF=2t,

又???AE=2t,

AE=DF,

???AB1BC,DF1BC,

???AE//DF,

XvAE=DF,

???四邊形4EFD為平行四邊形，

當(dāng)ZE=4。時(shí)，四邊形力EFD為菱形，即40—4t=2t,

解得"冬

???當(dāng)”冬秒時(shí)，四邊形力即。為菱形.

(2)解：①當(dāng)ADEF=90。時(shí)，由(1)知四邊形4EFD為平行四邊形,

???EF//AD,

???^ADE=4DEF=90°,

???乙N=60°,

???乙AED=30°,

1,

???AD=1力￡*=t,

又力。=40—43即40—41=3

解得t=8；

②當(dāng)乙EOF=90。時(shí)，四邊形EBFD為矩形，

在RtZL4E。中=60°,

/.^ADE=90°—ZA=30°,

AD=2AE,即40—4t=43

解得t=5.

③若NDFE=90°,則E與B重合，。與A重合，此種情況不存在.

綜上所述，當(dāng)t=8或5秒時(shí)，/DEF為直角三角形.

5.【答案】（1）解：過C作CM，x軸于M點(diǎn)，如圖1,

.,.ZMAC+ZOAB=90°,ZOAB+ZOBA=90°

則NMAC=NOBA

2cMA=ZAOB=90°

在^MAC和仆OBA中^MAC=AOBA

AC=BA

貝必MAC^AOBA(AAS)

則CM=OA=2,MA=OB=4,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-6,-2)；

(2)解：過D作DQLOP于Q點(diǎn)，如圖2,

則OP-DE=PQ,/APO+NQPD=90°,

ZAPO+ZOAP=90°，則NQPD=NOAP,

AAOP=乙PQD=90°

在^AOP和^PDQ中乙QPD=/-OAP

AP=PD

則^AOP0△PDQ(AAS)

.?.OP-DE=PQ=OA=2；

(3)解：結(jié)論②是正確的，m+n=-4,

如圖3,過點(diǎn)F分別作FS±x軸于S點(diǎn),FTLy軸于T點(diǎn),

(乙FSH=4FTG=90°

在^FSH和^FTG中］乙FHS=乙FGT

(FS=FT

則4FSH^AFTG(AAS)

貝I」GT=HS,

又???G(0,m),H(n,0),點(diǎn)F坐標(biāo)為(-2,-2),

AOT=OS=2,OG=|m|=—m,OH=n,

AGT=OG-OT=-m-2,HS=OH+OS=n+2,

則-2-m=n+2,

貝ijm+n=-4.

6.【答案】(1)解：AB,BC,CD三邊的數(shù)量關(guān)系是：AB+CD=BC,

理由如下：

VZAEB+ZAED=ZBED,NEDC+NC=NBED,且NAED=NC,

.\ZAEB=ZEDC,

在△ABEECD中，

乙B=zC

乙AEB=4EDC，

.AE=ED

.*.△ABE^AECD(AAS),

AAB=EC,BE=DC,

???AB+CD=BE+EC=BC；

(2)解：如圖，過D作BD垂線BD且使得BD=BD,連接B，E,

ZEDF=NBDB=90。,

，ZBDF+ZB'DF=ZB'DF+ZB'DE,

.,.ZBDF=ZB'DE,

在43D￡與4BDF中，

'BD=BD

'乙BDF=乙B,DE>

、DE=DF

/.△B'DE^ABDF(SAS),

.\BF=B'E,

?.?點(diǎn)到直線垂線段最短，

AB'EXAC時(shí)，B'E取最小值，

過點(diǎn)B彳乍B'G±AC交AC于G,

,/ZC=ZCDB'=ZCGB'=90°,

...四邊形CDB'G為矩形，

.\B'G=CD=3,CG=B'D=BD=8-3=5,

ABF取最小值時(shí)AE=AG=AC-CG=1,

BF最小值為B'G=3.

7.【答案】(1)0<t<7；解：②證明：如圖1中，由題意點(diǎn)P運(yùn)動到AB的中點(diǎn)時(shí)，t

.\CQ=5x2-8=2,VZACB=90°,PA=PB,

圖1

.?.PC=PA=PB=5,AZPCQ=ZA,=1=1,嘉另,.史_竺

"AQ~AB'

?.△QCP^ACAB,

(2)解：①如圖2中，當(dāng)PQ〃AC時(shí)，ZPQB=ZC=90°,

圖2

VPQ/7AC,

.BQ_BP

??阮一麗'

?2t_10—t

'，-8=T0-

解得：t=攀；

②如圖3中，當(dāng)NQPB=90。時(shí),

圖3

VZQPB=ZACB=90°,ZB=ZB,

.*.△BPQ^ABCA,

.PB_BP

''BC=BA'

?10—t_2t

,-8-"TO'

解得：t=fl;

綜上所述，滿足條件的t的值為：岑或骨.

8.【答案】(1)BD±CE；BC=CD+CW嘗試探究：

(2)解：BD1CE成立，數(shù)量關(guān)系不成立，關(guān)系為BC=CE—CD.

理由：如圖2中，由(1)同理可得，

???LBAC=^DAE=90°,

：./-BAC+LCAD=/-DAE+^CAD

即乙BAD=Z.CAE,

???在AABD和LACE中，

'AB=AC

^BAD=乙CAE,

AD=AE

VAABDgAACE(SAS),

BD=CE,Z-ACE=乙ABC,

???AB=AC,

???^ABC=Z.ACB=45°,

???BD=BC+CD,即CE=BC+CD,LACE+乙ACB=90°,

???BC=CE-CD；BDICE；

拓展延伸：

(3)解：如圖3中，由(1)同理可得，

???Z.BAC=ADAE=90°,

Z-BAC—Z-BAE=Z-DAE—Z-BAE,

即乙BAD=/-EAC,

易證AABD義AACEQSAS),

.?.BD=CE=2,^ACE=LABD=135°,

???CD=BC+BD=BC+CE=8,

?:乙ACB=45°

???(DCE=90°,

在Rt△DCE中，由勾股定理得DE2=DC2+CE2=82+22=68，

??.DE=2V17.

9.【答案】(1)???△ABC為等邊三角形，

JAB=AC,NB=NPAO60。，

??,點(diǎn)P從頂點(diǎn)A,點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為lcm/s,

???AP=BQ,

(AP=BQ

在^APC和aBQA中Jz_PAC=^B,

IAC=AB

.*.△APC^ABQA(SAS),

???NBAQ=NACP,

JNCMQ=NCAQ+NACP=NBAQ+NCAQ=NBAO60。，

???在P、Q運(yùn)動的過程中，NCMQ不變，ZCMQ=60°；

(2)??,運(yùn)動時(shí)間為ts,貝IJAP=BQ=t,

???PB=4-t,

①當(dāng)NPQB=90。時(shí)，

VZB=60°,

???PB=2BQ,

**?4-t=2t,解得|=1,

②當(dāng)NBPQ=90°時(shí),

VZB=60°,

，BQ=2PB,

8

t-

At=2(4-t),解得3-

.?.當(dāng)t為gs或§s時(shí)，APBQ為直角三角形

10.【答案】(1)6-t；12-2t

(2)解：當(dāng)乙BPQ=LBOA時(shí)，即PQ//OA,則△BPQ-ABOA,

?BP_BQnn6—t_2t

^BO=BA'即'

解得：t=3；

當(dāng)乙BPQ=ZX時(shí)，貝！JABPQ-ABAO,

?BP_BQgn6-t_2t

??麗一前'即宜一百'

解得：t=

.?.當(dāng)t=1秒或3秒時(shí)，以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與AAOB相似

(3)解：y=S&OAB一S&BPQ=2X6X12—]X2tX(6—t)=t2-6t+36=

(t-3)2+27,

'：a=l,

At=3時(shí)，y有最小值是27；

(4)解：存在，理由如下：

當(dāng)E在y軸負(fù)半軸上時(shí)，以B、Q、E、P為頂點(diǎn)不能形成四邊形；

當(dāng)E在y軸正半軸上時(shí)，

設(shè)E(0,m)，

.?.以B、Q、E、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積=梯形BQEO的面積-&OPE的面積，

111

即2x6X(m+2t)—2><mxt=(6-+3m,

當(dāng)以B、Q、E、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積是一個(gè)常數(shù)，貝U6—2租=0,解得：m=

12,

二點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,12);

11.【答案】(1)(3,3V3);等邊

(2)解：存在，

理由如下：;△ABC為等邊三角形，

.?.ZACD+ZDCB=60°,

VADCE為等邊三角形，

.,.ZBCE+ZDCB=60°,

.,.ZACD=ZBCE,

在^ACD和小BCE中，

(CA=CB

(^ACD=ZBCE,

ICD=CE

?.△ACD^ABCE(SAS)

，AD=BE,

四邊形CDBE的周長=CD+DB+BE+CE=CD+DB+AD+CE=6+2CD,

當(dāng)CD最小時(shí)，四邊形CDBE的周長存在最小值，

由垂線段最短可知，CDLAB時(shí)，CD最小，CD的最小值為3V3，

二四邊形CDBE的周長最小值為6+6V3,此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,0)

(3)解：由(2)可知，AACD且ABCE,

，BE=AD,

二NDBE=120?；?0°,不能為90°,

如圖②，NDEB=90°時(shí)，ZDBE=60°,

/.ZBDE=30°,

/.DB=2BE,

VBE=AD,

；.AD=AB=6,此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-6,0),

如圖③，當(dāng)NBDE=90°時(shí)，ZADC=90°-60°=30°,

VZCAD=60°,

Z.ZACD=90°,又NADC=30°,

；.AD=2AC=12,此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（12,0）,

綜上所述，當(dāng)ABDE是直角三角形時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-6,或（12,0）.

12.【答案】（1）解：①全等，理由如下：

t=1秒，

：.BP=CQ=1X1=1厘米，

'：AB=6cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

:?BD=3cm.

又???PC=BC—BP,BC=4cm,

/.PC=4—1=3cm,

：.PC=BD.

/.△BPD=△CQP；

②假設(shè)△BPD=△CQP,

■「UpHVQ,

：.BPHCQ,

又?：ABPD=△CQP,43=，貝I」3P=CP=2,=CQ=3,

???點(diǎn)P,點(diǎn)Q運(yùn)動的時(shí)間t=竽=2秒，

VQ—半=怖=1.5cm/s；

（2）24

13.【答案】（1）FC；4

（2）解：VACDE^ACBF,

AEC=FC,ZDCE=ZBCF,

VZDCE+ZECB=90°,

.\ZBCF+ZECB=90o,即NECF=90°,

...△ECF是等腰直角三角形，

當(dāng)t=l時(shí)，DE=1,

在R3CDE中，由勾股定理得：CE=7DF2+CD2=712+22=V5,

/.EF=V2CE=V2xV5=V10,

：Q為EF中點(diǎn),

???CQ=1EF=/xVTU=挈；

(3)解：t=(V5+1)s

VBP/7CF,NECF=90。，

???NBPC=90。，

???點(diǎn)P的軌跡在以BC為直徑的圓弧上，

設(shè)BC的中點(diǎn)為G,連接AG,如圖2所示：

當(dāng)點(diǎn)P在AG上時(shí)，AP最短,

此時(shí)，PG=BG=1,

在Rt^ABG中，由勾股定理得AG=+BG2=V22+l2=V5,

???AP=AG-PG=V5-1,

?.?BC〃DE,

???NAEP=NGCP,

,.,GC=GP,

???NGCP=NGPC,

VZGPC=ZAPE,

.\NAEP=NAPE,

???AP=AE=V5-1,

???E(0,1-V5),

/.DE=2-(1-V5)—V5+L

；.t=(V5+1)s,

故答案為：(V5+1)s；

設(shè)CE的解析式為：y=kx+b(修0),

將C(2,2)、E(0,1-V5)代入解析式得：六甘

(.0=1—V5

,_V5+1

解得：k=，

加=1-迷

/.CE的解析式為：y=等：x+1-V5,

令y=0,x=3-V5，

：.K(3-V5,0),

ABK=2-(3-V5)=V5-1,

.BK_V5-1

''AB~~2T'

二點(diǎn)K是線段AB的黃金分割點(diǎn).

14.【答案】(1)t；(3-t)

(2)解：由(1)得：4P=BQ=tcm,BP=(3-t)cm,

①如圖1,當(dāng)N