數(shù)學(xué)思想方法的靈魂-化歸

數(shù)學(xué)思想方法的靈魂-------化歸化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最根本的思想方法之一,數(shù)學(xué)中很多問題的解決都離不開化歸:數(shù)形結(jié)合思想表達(dá)了數(shù)于形的相互轉(zhuǎn)化,函數(shù)方程思想表達(dá)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化，分類討論思想表達(dá)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化?；瘹w思想也是高考的重要考查對(duì)象，數(shù)學(xué)中的各種變換多離不開化歸，化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂。那么，如何在解題中應(yīng)用化歸思想？一、特殊和一般轉(zhuǎn)化設(shè)都是正數(shù)，求證：。解析：此題是一多元不等式，從整體上考慮一時(shí)難以入手，現(xiàn)行教材只學(xué)過均值不等式；對(duì)于三個(gè)以上的式子不等式關(guān)系未作介紹，能否從學(xué)過的不等式入手呢？事實(shí)上：，，……，，各式相加即得即二、正與反的互化例2、拋物線，，中至少有一條與軸相交，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由解得，再求它的補(bǔ)集，那么的取值范圍是：或三、變量與常量的轉(zhuǎn)化例3、對(duì)于滿足的所有實(shí)數(shù)，求使不等式恒成立的取值范圍。解：原不等式化為，令，它是關(guān)于的一次函數(shù)，定義域?yàn)椤Ｓ梢来魏瘮?shù)的單調(diào)性知解得：或例4、求證：解：把看作變量，、看作常量，有，所以因?yàn)?，又因?yàn)椋?，所以，所以同理，所以在上恒大?，所以，即。四、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化例5、函數(shù)的最大值。解：用待定系數(shù)法、配方為轉(zhuǎn)化為幾何問題。幾何意義是拋物線上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和到點(diǎn)距離之差。由解得：的最大值為。還可以考慮用向量的知識(shí)解此題：可考慮……eq\o\ac(○,1)，令可知和，可知和，由eq\o\ac(○,1)式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)與共線同向時(shí)等號(hào)成立。所以的最大值是。點(diǎn)評(píng)：，當(dāng)且僅當(dāng)共線同向時(shí)取得最大值反向時(shí)取得最小值。五、相等與不等的轉(zhuǎn)化例6、假設(shè)正數(shù)、滿足，那么的取值范圍。解：由均值不等式得：，將不等式轉(zhuǎn)化為：令，。所以，解得：〔舍去〕，所以，即的取值范圍是例7、為使不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)、恒成立，試求實(shí)數(shù)、應(yīng)滿足的條件。解：為使不等式成立，必須且只需為一個(gè)實(shí)數(shù)的平方加上一個(gè)增量。令，即，由多項(xiàng)式恒等的條件有解得：。所以，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立。應(yīng)用柯西不等式實(shí)現(xiàn):相等與不等的轉(zhuǎn)化例8、，求證：分析：由，聯(lián)想到柯西不等式。當(dāng)且僅當(dāng)：，代入得：例9、且，試求的值。分析：不等式…………eq