數(shù)列綜合運用-2023年高考數(shù)學一輪復(fù)習（全國通用）（解析版）

考向21數(shù)列綜合運用

1.（2022年乙卷理科第4題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞

太陽飛行的人造衛(wèi)星.為研究嫦娥二號繞II周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)歹∣J{2}:

bl=?+-,?=ι+-,仇=ι+——:一,…，以此類推，其中

L

q-4+14+—r

其中％∈ΛΓ,(Z=l,2,)則

A.bx<b5B.&<4C.bβ<b2D.b4<b1

【答案】D

【解析】：由己知，?1=1+?,b2=1—??,故4>打；同理可得均<4,

%

4+一

a2

4>4，又因為-----Li——，故歷<白；于是得4>4>4>?7>,排除A,

"2.■11

%+一

%

」>>-----Li一，故b,<b<?,排除C,而4>4>4,排除B.故選擇D.

%a,+-^-τ

_1

%+——

方法二：(取特殊值)取4=1,于是有4=2,?,=-,h.=-,?=-,

^2345

分子分母分別構(gòu)成斐波那契數(shù)列，于是有仇=u,b6=-,h7=-.?=-.

58613721834

于是得">2,?,=1+->1+->1+—=?,%=1+§>1+'=仇.對比選項，選D.

33333486132-

2.(2022浙江卷第10題)已知數(shù)列｛%｝滿足“∣=1,an+l=??-1a；(z?∈N*),則

2<1OOΩIOO<∣

A.B.2<IOOtz100<3

77

C.3<IOOa]Q0<—D.Q<IOoqQQ<4

【答案】B

【解析】α,,+ι-Λ,,=-∣?<0，則數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減，

0<a“<1?由an+l

113又根據(jù)」——->-n^

--->一,累力口得--------->—n,得---->34>得IOOq(K)<

aaaa6zIOOa

n+ln3-%3n+??31,+i%3

1π+2

—>----所以-------------二---------<?—1+——累加得

aa3n+?

*3n+ln3-4---3_?

〃+2

Illl111

-----------<—n+—-+-+?+…+-----

%用4----33234〃+1

得—+埠1+1岸1+…+<34+U，1x6++』x931=40,

aιoo33234328

IOCkz100>—.

3.(2021年上海卷第12題)已知函數(shù)a,eN"(i=l,2,,9)對于任意2WZW8,4+∣=&+1和=4-1中

有且只有一個成立4=6,佝=9,求q+/++%的最小值.

【答案】31

【解析】由題意得，①當Z=2時，若4=%-1，則%=7.

若想前9項和最小，則可取生=1,4=2，?=1?%=2，%=1,6=2,

%=9滿足題意，此時舟=31；

②當Z=2時，若%=%+1成立，

若想前9項和最小，則可取%=1,%=2,%=1，牝=2,4=1,tz7=2,?=8,

此時§9=32.

綜上可得：al+a2++%的最小值為31

4.（2021年浙江卷第120題）己知數(shù)列｛/｝滿足4=1,%=""（"∈AΓ）,記數(shù)列｛用｝的前〃項和

ι+A

為s“，則

199

A.-<S∣oo<3B-3<S]θ0<4C.4<S∣oo<—D.-<SKX)<5

【答案】A

【解析】顯然〉0,?,?由?！?1=--?=?知4+[<a”.

ι÷A

flaa

又由4+1=1+歸得：,>+l+n+lM=,l

%=<貨B=2M-Q，

Jα,J”口

?"?SlOO<a\+2[(V^i^^^V^Γ)+(V?-7?)+-"+(7^9~7^100)]

=αl+2y[a^-y∣al00=3-y∣am<3.故選A.

5.（2021年新高考1卷第17題）17.（10分）

a+1,〃為奇數(shù)

已知數(shù)列｛凡｝滿足4=1，.向n

q+2,”為偶數(shù)

（1）記2=%,,寫出4，b2,并求數(shù)列物,J的通項公式；

（2）求｛4｝的前20項和.

【答案】（1）a=2,b2=5,b,l=3n-?；（2）300.

【解析】（1）由已知，4=1,/=4+1=2,ai=a2+2=4,a4=ai+1=5,

數(shù)列｛為｝的奇數(shù)項構(gòu)成以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，

所以當〃為奇數(shù)時,

數(shù)列｛”“｝的偶數(shù)項構(gòu)成以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，

所以a“=2+（^-1）X3=3；2，而，"="2"，所以仇=4=2，h2=a4=5,

bn=a2n=3*2；_-=3n-1,所以包=3〃-1.

(2)由(1)知：｛〃“｝的前20項和

S20=aλ+a2++〃20=(4+%++《9)+(/+6++%o)

=IOXl+^^x3+10x2+^^x3=300,所以｛凡｝的前20項和為300.

--------≡≡*?

[方法技巧)

1.公式法求和中的常用公式有

(1)等差、等比數(shù)列的前〃項和

①等差數(shù)列：s,="0+M1L∕(d為公差)或s,="i普.

∕t6Zj>g=1,

,t

a↑]-qa?-anq其中q為公比.

—p7=一ΓF^'妤1'

(2)四類特殊數(shù)列的1前〃項和

①1+2+3+...+"=]〃(〃+1).

②1+3+5+...+(2〃—1)=∏2.

③P+22+32+...+n2=∣n(n+1)(2〃+1).

Θl3+23+33+...+H3=∣n2(n+l)2.

2.解決數(shù)列與數(shù)學文化相交匯問題的關(guān)鍵

一是讀懂題意，即會“脫去”數(shù)學文化的背景，提取關(guān)鍵信息；二是構(gòu)造模型，即由題意構(gòu)建等差數(shù)列或等比

數(shù)列或遞推關(guān)系式的模型；三是‘‘解模"，即把文字語言轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的相關(guān)信息，如求指定項、公差(或公

比)、項數(shù)、通項公式或前〃項和等.

3.數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略

(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題.

(2)己知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前〃項和公式、求和方

法等對式子化簡變形.

4.數(shù)列與不等式的綜合問題

(1)判斷數(shù)列問題的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小或借助數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性比

較大小?

（2）以數(shù)列為載體，考查不等式恒成立的問題，此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值.

（3）考查與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題，此類問題一般采用放縮法進行證明，有時也可以通過構(gòu)造函數(shù)

進行證明.

J基礎(chǔ)練）

1.等比數(shù)列｛知｝的前〃項和為S",若?+452=0,則公比4=（）

A.—1B.1C.—2D.2

【答案】C

【解析】選C.方法一：因為G+4S2=0,所以“∣∕+44∣+4mq=0,因為m≠0,所以/+4g+4=0,所以q

=-2,故選C.

方法二：因為43+4S2=O,所以華+4s=0,因為由#），所以q+^+4=0,即（q+2）2=0,所以

q=-2,故選C.

2.中國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有一道題：“今有七人差等均錢，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文,

問丙丁各若干？“，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七個人，所分錢數(shù)為等差數(shù)列，甲、乙兩人共分77

文，戊、己、庚三人共分75文，則丙、丁兩人各分多少文錢？則下列說法正確的是（）

A.丙分34文，丁分31文B.丙分37文，丁分40文

C.丙分40文，丁分37文D.丙分31文，丁分34文

【答案】A

【解析】（1）方法一：設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)依次是0,6,的，?4,的，a6,a1,且成等

。1+。2=77,a?+a?+d=∏f[Λ∣=40,

差數(shù)列，設(shè)公差為d,根據(jù)題意可得BPι,1.解得

。5+。6+。7=75,αι+4d+m+5d+α]+6d=75,[d=13,

以丙分得。3=αι+2d=34（文），丁分得"4="ι+3d=31（文），故選A.

方法二：依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為a—3d,a—2d,a-d,a,α+d,α

[a-3d+a-2d=∏ffα=31,

+2d,α+3d,則《解得.所以丙分得。一d=34（文），丁分得α=31（文）,

[a+d+Q+2d+a+3d=75,[d=13

故選A.

3.在等比數(shù)列｛〃〃｝中，已知41+〃3=8,"5+07=4,貝!|。9+。11+03+05的值為（）

A.1B.2C.3D.5

【答案】C

【解析】（1）方法一：因為｛斯｝為等比數(shù)列，所以的+s是m+的與麴+?！钡牡缺戎许?，所以（怒+劭）2=

.,（的+。7）242

（。1+的）?伍9+01），故ag+a??=―〃]+〃3-=9=2?

同理，。9+〃11是。5+。7與。13+。15的等比中項，

所以(〃9+。11)2=(。5+〃7)313+。15)，故Λ∣3÷^15==^4=?,

所以硒+白口+Q∣3+Q15=2+1=3.

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為G

2

44

則45=αι√,aι-aiq,所以姬=今不詈=*=/又“9+01=048+a348=(0+43)48=8%^)—2,

“∣3+α15="42+α3q∣2=m]+α3)4∣2=8χθ?)=1,所以49+01+03+α∣5=2+l=3.

4.已知等差數(shù)列｛“”｝的前N項和為S”,公差心0,〃6和a8是函數(shù)TW=爭nx++-8x的極值點，則$8=()

A.-38B.38C.-17D.17

【答案】A

【解析】因為Xx)=號InX+%—8x,

*—8x+竽GTXLs

所以/(X)=,+χ-8=?

XX

令/(x)=0,解得工=百或X=S

又。6和。8是函數(shù)Kr)的極值點，且公差冷0,所以〃6=；，15

48=5，

m+5d=g,0=-17,

所以解得,

α∣+7d=3",T?

8x(8-1)

所以Sg=8。]+2Xd=-38?故選A.

2

5.已知數(shù)列｛斯｝是公比不等于1的正項等比數(shù)列，且Ig0+lg4202l=0,若函數(shù)兀0=7?,則已0)+夕。2)

+...+βa202ι)=()

A.2020B.4040C.2021D.4042

【答案】C

【解析】因為數(shù)列｛斯｝是公比不等于1的正項等比數(shù)列，且IgarHga2021=0,所以厄⑷生⑼)=0,即如色

2

因為函數(shù)擊2,2+2r

021=1.TU)=???=2,所以式0)十犬。2021)=2.令T=KlI)

l+x2

+/?2)+...+fi,a2O2l)-則T=Aa2021)+加2020)+…+加1).所以2T=Kal)+/?2021)+X?2)+X?2020)+...+犬42021)

+<0)=2x2021,所以7=202。故選C.

6.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S“點(〃，S,+3)("∈N*)在函數(shù)y=3x2'的圖象上，等比數(shù)列｛與｝滿足從+兒

+ι=α,,(∕2∈N*),其前"項和為力”則下列結(jié)論正確的是()

A.Sn=2TltB.Tn=2d+1C.Tn>a.D.Tn<blt+ι

【答案】D

【解析】因為點(〃，S,+3)在函數(shù)y=3x2，的圖象上，所以S”+3=3x2",即S,=3x2"—3.

π,r1n1

當n>2時，an=S,,-S,,-1=3×2-3-(3×2-3)=3×2^,

又當"=1時，S=Sl=3適合上式，所以α,,=3x2"r.

設(shè)兒=Zηq"-∣,則從∕L∣+bι∕=3x2"-∣,可得∕η=l,q=2,

所以數(shù)列｛叢｝的通項公式為?≈2n^,.

由等比數(shù)列前〃項和公式可得7],=2n-l.

結(jié)合選項可知，只有D正確.

7.(多選)已知數(shù)列｛斯｝滿足2a,Sa“-i+a“+i("GN*,n≥2),則()

A.a5>4a2~3aιB.α2+α793+46C.3(a7-aβ)≥aβ~?3D.42+α3N06+47

【答案】AC

【解析】由2α"≤α,L∣+α"+ι(，侖2),可得知一<?-ι≤<‰+ι-斯，所以有。2一α∣≤a3-β?≤…≤β,,+ι-⑨”所以的一44

+44—43+43—42≥3(α2-0ι),化簡得“5≥4?2—3αι,故選項A正確；由“7—α6≥G-S可得的+痣m疆+內(nèi)，

故選項B錯誤；由3(。7—〃6巨46一的+⑥一出+如一”3=。6—η3，故可知選項C正確；若滿足2如土”

-ι+m+ι(“≥2),但“2+"3=5<。6+。7=13,所以選項D錯誤.故選AC.

8.(多選)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛斯｝,0>1,0<?<l,其前〃項和為S”下列說法正確的是()

A.數(shù)列｛lnα,J為等差數(shù)列B.若S“=A礦+B,則4+8=0

C.SnS3n=Si,D.記…?斯，則數(shù)列｛入｝有最大值

【答案】ABD

nγ

【解析】由題意可知,an-aιq-',Sn-~——.對于A,Inαn-Ina?(f~-?nα∣+(∏-l)ln<7,In%+I=Ina?cf'

=Inal+〃ln%所以Ina.+∣-In<?=lng,所以｛ln%｝為等差數(shù)列，所以A正確.對于B,)=

產(chǎn)/+酒」，又S,=Aq"+8,所以A+B=—UD-+-=0,所以B正確.對于C,由題意，得SS,,=

1-q11—qF1—q1—q

0：一如m(:產(chǎn))M(LS)(I]產(chǎn))，貿(mào)鋁二芟，顯然.#瑞，所以C錯誤.對于

D,因為在等比數(shù)列｛a,,｝中，α,>0,0<?<l,所以數(shù)列｛為｝為單調(diào)遞減數(shù)列，所以存在從某一項開始使得

以=G^r∈(0,1),所以在數(shù)列｛〃｝中，Tiτ="∣ɑ2?…?以-I為最大值，所以D正確，故選ABD.

9.若數(shù)列｛?。凉M足二一一?=(),則稱｛斯｝為“夢想數(shù)列:已知正項數(shù)列｛*｝為“夢想數(shù)列”，且從+歷+必=1，

Cln+1%On

則?+?7÷?=?

【答案】32

【解析】由一L—9=0可得知+∣=%,,故｛斯｝是公比為;的等比數(shù)列，故自是公比為;的等比數(shù)列，則｛娟

Cln+1乙ZDnN

是公比為2的等比數(shù)列，?6÷?7÷?-(?ι÷?2÷?)25=32.

10.數(shù)列｛”“｝的前n項和為S,,定義｛如｝的“優(yōu)值"為為="'+2""j+2"",現(xiàn)已知｛斯｝的“優(yōu)值”從=2",

則Sn=________

/(/+3)

【答案】

2

,4]+2G+...+2"

【解析】由"〃=------F---------=2〃,

得〃1+2改+…+2"∣αzj=∕r2",(T)

n2nl

當論2時,aι+2a2+...+2'an-i=(n-1)2~,②

w,nfl1,l

由①一②得2^an=n?2-(n-?)2~=(π+?)2~?,即al1=n+?(n>2),

當〃=1時，αι=2也滿足式子%=〃+1,

所以數(shù)列伍“｝的通項公式為an=n+I，

“(2+〃+1)〃(勿+3)

所以S-

n22-

11.等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S,,該+。4=48,05=28,若S"+30>加對任意〃∈N*恒成立，則幺的取值

范圍為.

【答案】(一8,30)

【解析】由題意得。2+〃4=〃5+。1=48,因為〃5=28,

r-t,n,。5—。128-20l,n(九一1),

所以m=20,則1=—^一=—4—=2,所以S〃=20〃+------5------×2=H(H+19),

...-n2+19n+30.30.

由〃(〃+19)+30>wλ得λ<---------------=n+-+19,

由函數(shù)<x)=x+^+19的單調(diào)性及式5)=A6)=30知，

當"=5或”=6時，”+斗+19取最小值30,故2<30.

12.數(shù)列｛處｝的前"項和記為S”αι=l,?÷∣=2Sn+l(π≥l).

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)等差數(shù)列｛兒｝的各項為正數(shù)，其前〃項和為。且73=15,又s+加，a2+b2,的+加成等比數(shù)列，求

Tn.

【解析】(1)由4"+1=2S"+1,可得4,1=2SnT+1(論2),

兩式相減，得?！?1—?！?2斯，斯+1=3α,G≥2).

又因為“2=251+1=3,

所以。2=3。1.

故｛斯｝是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，

n

所以an=3~?

(2)設(shè)｛仇｝的公差為d,

由7?=15,得—+歷+4=15,可得由=5,

故可設(shè)"=5—d,b3=5+d.

又內(nèi)=1,“2=3,￠/3=9,

由題意可得(5-4+1)(5+d+9)=(5+3)2.

解得dι=2,?=-10.

因為等差數(shù)列｛b｝的各項為正數(shù)，

所以d>O,所以d=2.

,n(〃一?)?,

7][=3〃+2X2=77~+2兒

13.給定一個數(shù)列｛斯｝,在這個數(shù)列中，任取加(加≥3,m∈N*)項，并且不改變它們在數(shù)列｛斯｝中的先后次序,

得到的數(shù)列稱為數(shù)列｛%｝的一個，"階子數(shù)列.已知數(shù)列｛α,,｝的通項公式為斯=4?5eN*,α為常數(shù))，等差

n-ra

數(shù)列“2,。3,疑是數(shù)列｛3｝的一個3階子數(shù)列.

⑴求α的值；

(2)設(shè)等差數(shù)列∕η,bi，6,"是｛斯｝的一個〃?(吟3,z∏WN*)階子數(shù)列，且"=9(左為常數(shù)，?∈N*,?>2),

求證：加女+1.

【解析】(1)因為。2，。3,。6成等差數(shù)列,所以。2一的=。3一%.

又因為例=*‘俏=*'"6=汽'所以圭—士=±一解得"=0?

(2)證明：設(shè)等差數(shù)列仇，b2,....M的公差為d.

因為"=S所以歷從而d=?-gWτT=Z(缶).

.1m—1

所以h,n=b↑+(m-l')d≤^-k(/；+))?

又因為Z?>0,所以;一>0.即"U+1,所以m<Z+2.

KK，(；'攵；」十1)、

又因為機，?∈N*,所以〃z≤Z+l.

1.(2022.山東青島.一模)我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二稅

次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤.問本持金幾

何？”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為持金的第2關(guān)收稅金為剩余金的g,第3關(guān)收稅金

為剩余金的!，第4關(guān)收稅金為剩余金的工，第5關(guān)收稅金為剩余金的!，5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤.問

456

A一,AzXf10x+l,x>1/、

原來持金多少？記這個人原來持金為。斤，設(shè)f（x）=IU/,，則/（α）=（）

11—5xλ,U<X≤1

A.-5B.7C.13D.26

【答案】C

【解析】由題意知：這個人原來持金為。斤，

第1關(guān)收稅金為：斤；第2關(guān)收稅金為g（l-f?”=白。斤；

第3關(guān)收稅金為:?（1一］一J），。=J√'"斤，

4263x4

以此類推可得的，第4關(guān)收稅金為Jτ?。斤，第5關(guān)收稅金為J7?α斤，

4×55×6

crtu11111

所以一〃+Q+-------a-?------Q+--------a=1,

22×33×44×55×6

.Illll1111.“1、.√??π∕n6

α即rl（z1~^÷~~τ÷τ^^~÷~-7÷τ-=（1_二>〃=］，解得Q=~?

22334455665

“、［lθx+l,x>l-66

又由"x=∣<A一，所以∕g）=i0χw+ι=i3.

ll-5x,0<x≤l55

2.（2021?海南?？?模擬預(yù)測）隨著新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革持續(xù)推進，以數(shù)字化、網(wǎng)絡(luò)化、智能化以及

融合化為主要特征的新型基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)越來越受到關(guān)注.5G基站建設(shè)就是“新基建'’的眾多工程之一，截至

2020年底，我國已累計開通5G基站超70萬個，未來將進一步完善基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)體系，穩(wěn)步推進5G網(wǎng)絡(luò)建設(shè),

實現(xiàn)主要城區(qū)及部分重點鄉(xiāng)鎮(zhèn)5G網(wǎng)絡(luò)覆蓋.2021年1月計劃新建設(shè)5萬個5G基站，以后每個月比上一個月

多建設(shè)1萬個，預(yù)計我國累計開通500萬個5G基站時要到（）

A.2022年12月B.2023年2月C.2023年4月D.2023年6月

【答案】B

【解析】每個月開通5G基站的個數(shù)是以5為首項，1為公差的等差數(shù)列，

設(shè)預(yù)計我國累計開通500萬個5G基站需要八個月，則70+5"+妁FXI=500,

化簡整理得，/+9"_860=0,解得”≈25.17或-34.17（舍負），

所以預(yù)計我國累計開通500萬個5G基站需要25個月，也就是到2023年2月.

3.（2019?廣東江門?一模（理））根據(jù)市場調(diào)查，預(yù)測某種日用品從年初開始的"個月內(nèi)累計的需求量S）I（單

位：萬件）大約是5,=合（21〃-〃2一5）（n=l,2,?,?2）.據(jù)此預(yù)測，本年度內(nèi)，需求量超過5：萬件的月份

是

A.5月、6月B.6月、7月C.7月、8月D.8月、9月

【答案】C

【解析】日用品從年初開始的"個月內(nèi)累計的需求量S,(單位：萬件)大約是S,,=杯

(E2,72),則第〃(n≥2)個月的需求量為—色整0>5-5"+27x6<0,

n2—15/z+54<O=>6<M<9

4.(2022?四川涼山?二模(文))在“全面脫貧'’行動中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款

IOOoo元，用于自己開設(shè)的土特產(chǎn)品加工廠的原材料進貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測算每月

獲得的利潤是該月月初投入資金的20%,每月月底需繳納房租600元和水電費400元.余款作為資金全部用

于再進貨，如此繼續(xù)?設(shè)第〃月月底小王手中有現(xiàn)款為巴,則下列結(jié)論正確的是()(參考數(shù)據(jù)：1.2"≈7.5,

I.2'2≈9)

①4=12000

②?=1.20,,T()00

③2020年小王的年利潤約為40000元

④兩年后，小王手中現(xiàn)款約達41萬

A.②③④B.②④C.①②④D.②③

【答案】A

【解析】對于①選項，4=(l+20%)XlOoOO-Iooo=Ilooo元，故①錯誤；

對于②選項，第〃月月底小王手中有現(xiàn)款為生,，則第〃+1月月底小王手中有現(xiàn)款為。川，由題意

∕=1.2%-1()()(),故②正確；

對于③選項，由4+1=1.2%-1000,得4向—5000=1.2(?！啊?000),

所以數(shù)列｛q,-5000｝是首項為6000,公比為1.2的等比數(shù)列，

所以q2-5000=6000χl.2",即%=6000x1.2”+5000=50000

所以2020年小王的年利潤為50000-IOoOO=40000元，故③正確：

對于④選項，兩年后，小王手中現(xiàn)款為外4=5000+6000x1.223=5000+6000χl22χl.2"=410000元，即

萬，故④正確.

5.(2022.湖南.一模)在流行病學中，基本傳染數(shù)R。是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況

下，一個感染者平均傳染的人數(shù)?RO一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程

中傳染的概率決定.對于R°>l,而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播

途徑.假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)R。=3,平均感染周期為7天(初始感染者傳染R。個人為第一輪傳染,

經(jīng)過一個周期后這RO個人每人再傳染Ro個人為第二輪傳染……)那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到

IOoO人大約需要的天數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：36=729,45=1024)()

A.35B.42C.49D.56

【答案】B

【解析】感染人數(shù)由1個初始感染者增加到IoOO人大約需要"輪傳染，

則每輪新增感染人數(shù)為《"，

經(jīng)過〃輪傳染，總共感染人數(shù)為：l+N>+7√+

1一舄

?.?R°=3,.?.當感染人數(shù)增加到IoOO人時，Ul=IO(X),化簡得3"=667,

1-3

由3$=243,36=729,故得〃a6,又3平均感染周期為7天,

所以感染人數(shù)由1個初始感染者增加到IOOO人大約需要6x7=42天，

6.(2019?浙江?二模)已知數(shù)列｛4｝滿足％=4>0,α向=-d+%("wN*),若存在實數(shù)/,使｛/｝單調(diào)遞增，

則〃的取值范圍是

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】A

【解析】由｛??)單調(diào)遞增，可得=-?+tan>an,

由4=">0,可得4,>O,所以f>α,,+lSeN*).

〃=1時，可得f>a+1.①

〃=2時,可得r>-/+m+ι,即(a-l)r<(α+l)(α-1).②

若a=l,②式不成立，不合題意；

若。>1,②式等價為∕<a+l,與①式矛盾，不合題意.

排除B,C,D,故選A.

7.(2019?河南鶴壁?高考模擬(理))設(shè)數(shù)列｛q｝的前"項和為S“，?t∣+?=2n+3,且S,,=1450,若的<4,

則〃的最大值為

A.51B.52C.53D.54

【答案】A

[M?Frl'?an+ι+an=2n+3,.?.αn+1-(n+2)=-(?-(n+l)),

｛4-5+1)｝是以T為公比的等比數(shù)列，

π

:.an-(∕j+l)=(α∣-2)?(-l)∣,

〃)、κ

A(n+3J/l-(-l)

.??s,,=T+O-

當n為偶數(shù)時，s,=網(wǎng)展?=1450無解，當n為奇數(shù)時，S,,+-2=1450,

.?.4=1452/("+3),又q+g=5,.?."2=5-4<4,即4>1,

2

即"5+3)<2902,又n為奇數(shù)，故n的最大值為51.

8.(2022?遼寧?渤海大學附屬高級中學模擬預(yù)測)市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行

給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.方式①：等額本金，每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月

還款額與上月還款額的差均相同；方式②：等額本息，每個月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的

次月當天開始首次還款(若2021年7月7日貸款到賬，則2021年8月7日首次還款).已知小張該筆貸款

年限為20年，月利率為0.004,則下列說法正確的是()(參考數(shù)據(jù)：1.()()4240a2.61,計算結(jié)果取整數(shù))

A.選擇方式①，若第一個還款月應(yīng)還4900元，最后一個還款月應(yīng)還2510元，則小張該筆貸款的總利息為

289200元

B.選擇方式②，小張每月還款額為3800元

C.選擇方式②，小張總利息為333840元

D.從經(jīng)濟利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇方式①

【答案】ACD

【解析】對于A,由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個等差數(shù)列，記為｛《J,S”表

示數(shù)列｛《,｝的前”項和，則4=4900,?40=2510,

貝∣jS詡=240(4+?w)=12OX(4900+2510)=889200,

故小張該筆貸款的總利息為889200-600000=289200(元)，故A正確.

對于B,設(shè)小張每月還款額為X元，

則X+x(1+0.004)+x(l+0.004)2+???+x(l+0.004)239=600000×(1+O.OO4)240,

1_1240

240

所以XX=60∞00×1.OO4,

1-1.004

600000Xl.OO424θ×0.004600000×2.61×0.004CC小..

即ππX=----------------示--------=----------------------------≈3891,故+Bn錯il誤ta.

1.004240-l2.61-1

對于C,小張采取等額本息貸款方式的總利息為3891x240-600000=933840-600000=333840(元)，故C

正確.對于D,因為333840>2892(X),所以從經(jīng)濟利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇方式①，故D正確.

9.(2020?江蘇鎮(zhèn)江?三模)中國古詩詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學名題：“九百九十六斤綿，贈分八子作盤

纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言'’.意思是把996斤綿分給8個兒子作盤纏，按照年齡從大到小的順

序依次排列分綿，每個弟弟都比前面的哥哥多17斤綿，那么第8個兒子分到的綿的斤數(shù)為.

【答案】184

【解析】由題意可知，各個兒子分到的綿的斤數(shù)構(gòu)成以第8個兒子分到的綿的斤數(shù)為首項，公差為d=-17

的等差數(shù)列，

其中n=8,S8=996,

所以84+8*(8-%(-17)=996,

12

解得?/=184,

故答案為：184

10.(2020?黑龍江.哈爾濱三中三模(理))新型冠狀病毒蔓延以來，世界各國都在研制疫苗，某專家認為，

某種抗病毒藥品對新型冠狀病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如規(guī)定每天早上7：00和晚上7：00各服藥一

次，每次服用該藥藥量700毫克具有抗病毒功效，若人的腎臟每12小時從體內(nèi)濾出這種藥的70%,該藥在

人體內(nèi)含量超過Iooo毫克，就將產(chǎn)生副作用，若人長期服用這種藥，則這種藥(填"會”或者“不

會“)對人體產(chǎn)生副作用.

【答案】不會

【解析】由題意第一次服藥后，經(jīng)過12小時后，體內(nèi)藥物含量700χ(l-70%)=700χ30%,經(jīng)過24小時后,

體內(nèi)藥物含量700χ(30%)2,以此類推，一次服藥后體內(nèi)藥物含量構(gòu)成以4=700應(yīng)=30%為公比的等比數(shù)列,

即=700X(30%產(chǎn)，

所以第"次服藥后，體內(nèi)藥物的含量為:

700+700X0.3+700X0.3?+…+7OoX0.3"T

7OO×Γ∣-（O.3）"1r-1

=--------?-J=1OOO×[1-（O.3）,,J>

當“→”時，藥在體內(nèi)的含量無限接近IOO0,該藥在人體內(nèi)含量不超過IOoo毫克，不會產(chǎn)生副作用.

IL（2021?全國?模擬預(yù)測）在流行病學中，基本傳染數(shù)R。是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力

的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù).&一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸

過程中傳染的概率決定.假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)0=3（注：對于0>1的傳染病，要隔離感染者，

以控制傳染源，切斷傳播途徑），那么由1個初始感染者經(jīng)過六輪傳染被感染（不含初始感染者）的總?cè)藬?shù)

為（注：初始感染者傳染《個人為第一輪傳染，這《個人每人再傳染凡個人為第二輪傳染……）

【答案】1092

【解析】由題意：4=1,4=%=3所以4=。4-=3"-∣第六輪的傳染人數(shù)為由

所以前六輪被傳染的人數(shù)為=上W-I=Io92.故答案為：1092

1-3

12.（2021?河南鄭州?三模（文））1967年，法國數(shù)學家蒙德爾布羅的文章《英國的海岸線有多長？》標志著

幾何概念從整數(shù)維到分數(shù)維的飛躍.1977年他正式將具有分數(shù)維的圖形成為“分形”，并建立了以這類圖形為

對象的數(shù)學分支——分形幾何.分形幾何不只是扮演著計算機藝術(shù)家的角色，事實表明它們是描述和探索

自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具.下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1,線段AB的長度

為1,在線段AB上取兩個點C,。，使得AC=OB=以CO為一邊在線段AB的上方做一個正三角形,

然后去掉線段C。，得到圖2中的圖形：對圖2中的線段EC、ED作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此

類推，我們就得到了以下一系列圖形：

________________J\___A_

ACDBACDB

圖1圖2圖3圖4

記第"個圖形（圖1為第一個圖形）中的所有線段長的和為S“，對任意的正整數(shù)〃，都有S,<α,則”的最

小值為.

【答案】2.

【解析】設(shè)第〃個圖形中新出現(xiàn)的等邊三角形的邊長為明,則當〃≥2時，q=H二=']',

2

設(shè)第〃個圖形中新增加的等邊三角形的個數(shù)為4，則當〃≥2時，bn=2"-,

故S.一S,ι=gJX2*2,其中〃≥2,

2

由累加法可得s.=ι+幅+(I)++(I)]=ι÷r?×[ι-(∣)

”=1時，H=I也符合該式，故S,,=2-目，

故S,,<2對任意的〃≥1恒成立,故“≥2即”的最小值為2.

13.(2022?上海?模擬預(yù)測)流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病.某市去年11月份曾發(fā)生流感,

據(jù)統(tǒng)計，11月1日該市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于該市

醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從H月A+l(9≤么≤29,&eN*)日起每天的新感染者比前

一天的新感染者減少20人.

(1)若&=9,求11月1日至11月10日新感染者總?cè)藬?shù)；

(2)若到II月30日止，該市在這30天內(nèi)的新感染者總?cè)藬?shù)為11940人，問11月幾日，該市新感染者人

數(shù)最多？并求這一天的新感染者人數(shù).

【答案】(1)2480人；(2)11月13日新感染者人數(shù)最多為630人.

【解析】(1)記11月〃日新感染者人數(shù)為為(l≤"≤30),

則數(shù)列{ɑ“}(l≤〃≤9)是等差數(shù)列，q=30,公差為50,

Xa10=30+50×8-20=410,

則11月1日至11月10日新感染者總?cè)藬?shù)為：

(9x8、

(α∣+ci-t+,.?+%)+即)=[9X30H———X50I+410=2480人；

(2)記11月"日新感染者人數(shù)為4(14"≤30),

11月k日新感染者人數(shù)最多，當1≤“≤A:時，?=50/7-20.

當左+l≤"≤30時，an=(5()Λ-20)-20(n-?)=-20M+70?-20,

因為這30天內(nèi)的新感染者總?cè)藬?shù)為11940人，

,,(30+50?-20)Λ[50?-40+(70?-620)](30-k)“八

所cr以u-------------+---------------------------=11940,

22

得-35λ2+21354-99(X)=11940.BPk1-6?k+624=0

解得&=13或Z=48(舍)，

此時43=50x13-20=630

所以Il月13日新感染者人數(shù)最多為630人.

14.（2021.上海楊浦.二模）已知無窮數(shù)列｛4“｝與無窮數(shù)列｛2｝滿足下列條件：①”,,∈｛0,l,2｝,“eN*;

②筌=（T）"?∣g4"-I"+ι∣,"wN*.記數(shù)列｛么｝的前”項積為，.

（1）若α∣=4=1,%=O，4=2=1,求4;

（2）是否存在4,出,4，火，使得4也也也成等差數(shù)列?若存在，請寫出一組4,%，%，4；若不存在,請說明

理由；

（3）若a=1,求豈⑼的最大值.

?Z1'1020100

【答案】（1）7；=—;（2）不存在，理由見解析；（3）（4必）2=（￡|.