運(yùn)用點(diǎn)差法巧解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題

關(guān)于運(yùn)用點(diǎn)差法巧解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題

導(dǎo)言

圓錐曲線綜合題是每年高考必考的題目，這些題目的解法靈活多變，其中涉及圓錐曲線中點(diǎn)弦的有關(guān)問(wèn)題，我們稱之為圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題。用點(diǎn)差法求解此類問(wèn)題，具有構(gòu)思精巧，簡(jiǎn)便易行的優(yōu)點(diǎn)。若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為、，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”。第2頁(yè),共15頁(yè)，2024年2月25日，星期天

過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程．A（x2,y2）Mxyo（x1,y1）B一.問(wèn)題引入第3頁(yè),共15頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1：已知橢圓過(guò)點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被平分，求此弦所在直線的方程.解法一：韋達(dá)定理→斜率韋達(dá)定理法：利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)構(gòu)造二、例題講解第4頁(yè),共15頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1：已知橢圓過(guò)點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被平分，求此弦所在直線的方程.點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率．點(diǎn)作差二、例題講解第5頁(yè),共15頁(yè)，2024年2月25日，星期天小結(jié)：弦中點(diǎn)、弦斜率問(wèn)題的兩種處理方法

1.聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用韋達(dá)定理解決.2.點(diǎn)差法:設(shè)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo),代入曲線方程相減后分解因式,便可與弦所在直線的斜率及弦的中點(diǎn)聯(lián)系起來(lái).第6頁(yè),共15頁(yè)，2024年2月25日，星期天xyo..NM點(diǎn)差法例2二、例題講解第7頁(yè),共15頁(yè)，2024年2月25日，星期天xyo..NM二、例題講解第8頁(yè),共15頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3、已知橢圓,求它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則，

又

，兩式相減得即，即

，即由，得弦中點(diǎn)的軌跡方程為：二、例題講解第9頁(yè),共15頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4

已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程是，有一條傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為，則求橢圓的方程。二、例題講解第10頁(yè),共15頁(yè)，2024年2月25日，星期天解 設(shè)，則，且，（1），（2）得：，，，（3），，（4），（5）由（3），（4），（5）可得，所求橢圓方程為.二、例題講解第11頁(yè),共15頁(yè)，2024年2月25日，星期天注：凡關(guān)于中點(diǎn)弦和弦中點(diǎn)的問(wèn)題，可采用點(diǎn)差法求解。三、變式練習(xí)第12頁(yè),共15頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、變式練習(xí)第13頁(yè),共15頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.弦中點(diǎn)問(wèn)題的兩種處理方法課堂小結(jié)

（1）聯(lián)立方程組,消去一個(gè)未知數(shù),利用韋達(dá)定理；（2）設(shè)兩端點(diǎn)坐標(biāo),代入曲線方程相減可求出弦的斜率和弦的中點(diǎn)坐標(biāo)（點(diǎn)差法）。1、利用點(diǎn)差法求解圓錐曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題，方法簡(jiǎn)捷明快，結(jié)構(gòu)精巧，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美，而且應(yīng)用特征明顯，是訓(xùn)練思維、熏陶數(shù)學(xué)情感的一個(gè)很好的材料，利于培養(yǎng)學(xué)生的