2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)拔高訓(xùn)練-菱形的證明

2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)拔高訓(xùn)練一菱形的證明

1.如圖，在R3ABC中，AACB=90°,D為AB的中點(diǎn)，AE||CD,CE||AB.

(1)證明：四邊形ADCE為菱形；

(2)若BC=6,tanB=號(hào)，求四邊形ADCE的周長(zhǎng).

2.已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE〃CF,且分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)E,F.

(1)求證：△AEB^ACFD；

(2)連接AF,CE,若/AFE=/CFE,求證：四邊形AFCE是菱形.

3.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,BC的垂直平分線DE交BC于D,交AB于E,點(diǎn)F在DE

的延長(zhǎng)線上，且AF=CE=AE.

(1)求證：四邊形ACEF是平行四邊形；

(2)當(dāng)NB=30。時(shí)，試猜想四邊形ACEF是什么圖形，并說(shuō)明理由.

4.如圖，在AABC中，BD平分乙4BC交4C于0,作DE//BC交AB于點(diǎn)E,作

DF//AB交BC于點(diǎn)F.

A

(1)求證：四邊形BEDF是菱形；

(2)若乙BED=150°,乙C=45°,CD=30,求菱形BEDF的周長(zhǎng).

5.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4cm,BC=6cm,Z.B=60°,G是CD的中點(diǎn)，E

是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，EG的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,連接CE,DF.

(1)求證：四邊形CEDF是平行四邊形；

(2)@AE=cm時(shí)，四邊形CEDF是矩形.

②2E=cm時(shí)，四邊形CEDF是菱形.

6.如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF〃AB,交BC于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形DBFE是平行四邊形；

(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形DBFE是菱形？為什么？

7.在R3ABC中，ZBAC=90°,D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF〃:BC交BE的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)證明：四邊形ADCF是菱形；

(2)若AC=3,AB=4,求菱形ADCF的面積.

8.如圖，將矩形4BCD沿對(duì)角線/C對(duì)折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為爐，B,C交4。于E點(diǎn).4F〃CB'交BC于

F.

(1)求證：四邊形4FCE是菱形；

(2)若48=4,BC=8,求EC的長(zhǎng).

9.如圖，矩形A3C。中，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)3的坐標(biāo)是(—6,8).矩形A3C。沿

直線3。折疊，使得點(diǎn)A落在對(duì)角線0B上的點(diǎn)E處，折痕與x軸分別交于點(diǎn)。、F.

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)N是平面內(nèi)任一點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)M,使M、N、E、。為頂點(diǎn)的四邊形是菱

形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)"的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.如圖1,在矩形A3CZ)中，AB=8,AD=1Q,E是CD邊上一點(diǎn)，連接AE,將矩形A3CO

沿AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上點(diǎn)F處，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

(1)求線段CE的長(zhǎng)；

(2)如圖2,M,N分別是線段AG,DG上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)不重合)，豆NDMN=NDAM,

設(shè)DN=x.

①求證四邊形A/GQ為菱形；

②是否存在這樣的點(diǎn)N,使△OMN是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

11.如圖，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,

連接AF、CE,

(2)設(shè)AE=a,ED=b,DC=c.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式.

12.綜合與探究

如圖，拋物線y=/+b%+c的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。，且與％軸的另一交點(diǎn)為(-g,0).

(1)求拋物線的解析式;

⑵若直線廠去+g與拋物線相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在第二象限)，設(shè)點(diǎn)A，是點(diǎn)A關(guān)于原

點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，連接AB,試判斷AAAB的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)在問(wèn)題⑵的基礎(chǔ)上，探究：平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A,B,N,P為頂點(diǎn)的四邊形

是菱形？若存在直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3%-亍交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,直線y=-7%+3

交X軸于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)D.

（2）如圖2,在直線y=—J%+3上存在點(diǎn)E,使得44BE=45。，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接。E，過(guò)點(diǎn)E作CD的垂線交y軸于點(diǎn)F,點(diǎn)P在直線

EF上，在平面中存在一點(diǎn)Q,使得以0E為一邊，0,E,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請(qǐng)直接

寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

14.定義：如圖（1）,E,F,G,H四點(diǎn)分別在四邊形4BC0的四條邊上，若四邊形

EFGH為菱形，我們稱菱形EFG”為四邊形ABCO的內(nèi)接菱形.

（1）動(dòng)手操作：如圖2,網(wǎng)格中的每個(gè)小四邊形都為正方形，每個(gè)小四邊形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，由

36個(gè)小正方形組成一個(gè)大正方形力BCO，點(diǎn)E、F在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D（2）中畫(huà)出四邊形力BCD的

內(nèi)接菱形EFGH；

（2）特例探索：如圖3,矩形ABCD,4B=5,點(diǎn)E在線段AB上且EB=2,四邊形

EFGH是矩形ABCD的內(nèi)接菱形，求GC的長(zhǎng)度;

(3)拓展應(yīng)用：如圖4,平行四邊形4BCD,AB=5,ZB=60。，點(diǎn)E在線段AB上且

EB=2,

①請(qǐng)你在圖4中畫(huà)出平行四邊形4BC0的內(nèi)接菱形EFG”,點(diǎn)F在邊BC上；

②在①的條件下，當(dāng)BF的長(zhǎng)最短時(shí)，BC的長(zhǎng)為.

15.如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。O交BC于D,交AC于E,連接OE,過(guò)點(diǎn)

D作DFLAC于F.

(1)求證：DF與。O相切；

(2)填空：

①若△CDF的面積為3,則4CDE的面積為.

②當(dāng)NCDF的度數(shù)為時(shí)，OE||BC,此時(shí)四邊形ODCE的形狀是：.

rnri

16.如圖，四邊形A8CO的四個(gè)頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)y=H與(x>。，0</n<?)的圖象

上，對(duì)角線軸，且BDL4c于點(diǎn)P.已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4.

(1)當(dāng)力尸4,”=20時(shí).

①若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2,求直線的函數(shù)表達(dá)式.

②若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，試判斷四邊形ABC。的形狀，并說(shuō)明理由.

(2)四邊形ABC。能否成為正方形？若能，求此時(shí)旭,〃之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，試說(shuō)明理

由.

答案解析部分

L【答案】(1)證明：rAE||CD,CE||AB,

二四邊形ADCE是平行四邊形，

???AACB=90°,。為的中點(diǎn)，

1

CD=豺B=AD,

???四邊形4DCE為菱形；

AC4

⑵解：在HM4BC中，BC=6,tanB=

JDL3

44

AAC=—FC=—x6=8,

AB=y/AC2+BC2=V82+62=10,

1

CD=^AB=5,

???四邊形ADCE為菱形，

CD=DA=AE=EC=5,

二菱形/OCE的周長(zhǎng)為：5x4=20.

2.【答案】(1)證明：如圖：

???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AB//DC,AB=DC,

/.Z1=Z2,

VAE/7CF,

/.Z3=Z4,

在^AEB和^CFD中，

23=24

Zl=z2,

VAB=CD

AEB^ACFD(AAS)

(2)證明：AEB四△CFD,

.\AE=CF,

：AE〃CF,

四邊形AFCE是平行四邊形.

VZ5=Z4,Z3=Z4,

AZ5=Z3.

，AF=AE.

四邊形AFCE是菱形

3.【答案】（1）證明：:DE垂直平分BC,

???D為BC的中點(diǎn)，EDXBC,

XVAC1BC,

，ED〃AC,

.??E為AB中點(diǎn)，

.?田口是4ABC的中位線.

，BE=AE,FD〃AC.

ACE是是△ABC斜邊上的中線

/.CE=|AB,

VCE=AE=AF.

.?.NF=N5=N1=N2.

/.ZFAE=ZAEC.

，AF〃EC.

又?.?AF=EC,

四邊形ACEF是平行四邊形

（2）解：當(dāng)NB=30。時(shí)，四邊形ACEF為菱形;

理由：VZACB=90°,ZB=30°,

，AC=|AB,

由（1）知CE=IAB,

/.AC=CE

又四邊形ACEF為平行四邊形

四邊形ACEF為菱形.

4.【答案】（1）證明：???DE//BC,DF//AB,

???四邊形BEDF是平行四邊形，乙EDB=KDBC,

???BD平分^ABC,

:.Z.ABD=Z-DBC,

:.Z.ABD=Z-EDB,

???BE=DE,

平行四邊形BEDF是菱形；

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)0作DHLBC于點(diǎn)H,

?:四邊形BEDF是菱形，

.?.BF=DF=DE=BE,

???乙DFB=乙BED=150°,

???乙DFH=180°-(DFB=30°,

???DH1BC,

???(DHF=乙DHC=90°,

1

:?DH=^DF,

???ZC=45°,

ACDH是等腰直角三角形，

...=CH=孝=孝X30=3,

DF=2DH=6,

菱形BEDF的周長(zhǎng)=4DF=24.

5.【答案】(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形,

AD//BF,

???乙DEF=乙CFE,Z.EDC=乙FCD,

■■-G是CD的中點(diǎn)，

：?GD=GC,

???△GEO之△GFC,

???DE=CF,而DE"CF,

四邊形CEDF是平行四邊形

(2)4；2

6.【答案】（1）證明：YD、E分別是AB、AC的中點(diǎn),

.?.口￡是4ABC的中位線.

.-.DE//BC.

XVEF^AB,

四邊形DBFE是平行四邊形

（2）解：當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形DBEF是菱形.

理由如下:

YD是AB的中點(diǎn),

ABD-|AB.

?.?DE是△ABC的中位線,

.\DE=|BC.

?；AB=BC,

BD=DE.

又四邊形DBFE是平行四邊形,

四邊形DBFE是菱形

7.【答案】（1）證明：YE是AD的中點(diǎn),

/.AE=DE,

VAF//BC,

AZAFE=ZDBE,

YAFE=Z.DBE

在aAEF和^DEB中，Z-AEF=乙DEB,

AE=DE

AAAEF^ADEB(AAS),

.?.AF=DB,

又?.?AF〃BC,

???四邊形ADCF是平行四邊形，

VZBAC=90°,D是BC的中點(diǎn)，

.\AD=|BC=CD,

二平行四邊形ADCF是菱形.

（2）解：:D是BC的中點(diǎn),

SAACD=SAABD—^-SAABC,

?.?四邊形ADCF是菱形，

/.S菱形ADCF=2SAACD—SAABC二|AC-AB=|x3x4=6.

8.【答案】（1）證明：在矩形4BCD中，乙40c=90。，AD//BC

：.^DAC=^BCA.

由題意得：^BCA=Z-B'CA

：.^DAC=^B'CA,

：.EA=EC

\'AD//BC,AF“CE,

...四邊形AFCE為平行四邊形

?：EA=EC

四邊形4FCE是菱形.

(2)解：如圖所示，在矩形中，^ADC^^AB'C=90°,

設(shè)AE=CE=x,則EB'=（8一％）.

在Rt△力B'E中，^AB'E=90°,AB'=4,

由勾股定理得：AB'2+B'E2=AE2,

即4?+（8—久了=",

??x-5.

：.EC=5.

9.【答案】(1)解：四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(―6,8).

ABAD=AOCB=90°,AB=OC=6,OA=BC=8,

BO=y/OC2+BC2=10；

由折疊的性質(zhì)得：BE=AB=6,^BED=ABAD=90°,DE=AD,

OE=BO-BE=10-6=4,乙OED=90°,

設(shè)0(0,a),則00=a,DE=AD=OA-OD=8-a,

在RtAEOD中，由勾股定理得：DE2+OE2=OD2,

即(8—a)2+42=a2,解得：a=5,

???0(0,5)；

(2)解：存在，

①OM,OE者B為邊時(shí)，OM=OE=4,

；.M的坐標(biāo)為(4,0),(-4,0)

②OM為邊OE為對(duì)角線時(shí)，MN垂直平分OE,垂足為G,如圖1

圖1

則OG=|OE=2,

8),

A

???OB的解析式為：y=-gX,

設(shè)E[x,—]%)，M(a,0),

4

???X2+（3%）2=16,

1212,冬土、

?,?%=-虧，x=~s（舍去），

1216

‘雙一號(hào)‘E）'

22

由OM=EM可得：（a+第+（學(xué)）=小，

解得：a-—學(xué)

1o

AM（號(hào)，0）

③OM為對(duì)角線，OE為邊，如圖2

圖2

由②得：M（—g,0）

1n?4

綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4,0）或（-4,0）或,0）或（—可，0）；

10.【答案】（1）解：I?四邊形ABCD是矩形，

.?.AD=BC=10,AB=CD=8,

.?.NB=/BCD=90°,

由翻折可知：AD=AF=10.DE=EF,設(shè)CE=x,則DE=EF=8—x.

在RtAABF中,BF=V>1F2-AB2=6，

，CF=BC-BF=10-6=4,

在R3EFC中，則有：（8—x）2=x?+42,

.?.x=3,

CE=3.

（2）解：①證明：?.?四邊形ABCD是矩形,

，AD〃BC

ADE^AGCE,

?AD_DE

""'GC~CE'

?.，AD=10,CE=3,DE=5,

.10_5

,"GC-3'

/.GC=6,

由⑴可得:CF=4,

GF=6+4=10,

四邊形AFGD是平行四邊形，

又?；AD=AF,

平行四邊形AFGD是菱形.

@VZDMN=ZDAM,

.?.若△DMN是直角三角形，則有兩種情況,

當(dāng)NMDN=90。時(shí)，

?；AD=GD,

/.ZDAG=ZDGA

又,/ZADE=NGDM=90°,

/.△ADE^AGDM(ASA)

，DM=DE=5,

又?；NDMN=NDAM,ZADE=ZMDN=90°,

/.△ADE^AMDN

?'MD—DN'即51，

?_5

??X—5;

當(dāng)ZDNM=90。時(shí)，則NMDN+NDMN=90。，

又?.?/DMN=NDAM,ZDAG=ZDGA,

.\ZDMN=ZDGA,

.".ZMDN+ZDGA-900,

/.ZDMG=90°,

DEDM

.?s.mZ/DcA_E=亦=F，

'：AE=VXD2+DE2=5V5,

.5JM

,?575'

?,.DM=2V5,

VZDMN=ZDAM

JsinZDMN=sinZDAM

?DE_DNnn5_x

?,荏二兩’即d派

解得:x=2,

綜上所述：久日或2.

U.【答案】（1）證明：?.?四邊形ABCD是矩形，

，AD〃BC,

.\ZAEF=ZEFC,

由折疊的性質(zhì)，可得：ZAEF=ZCEF,AE=CE,AF=CF,

.\ZEFC=ZCEF,

/.CF=CE,

，AF=CF=CE=AE,

四邊形AFCE為菱形

⑵a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式為：a2=b2+c2.

理由：由折疊的性質(zhì)，得：CE=AE,

?.?四邊形ABCD是矩形，

/.ZD=90°,

*/AE=a,ED=b,DC=c,

/.CE=AE=a,

在RtADCE中，CE2=CD2+DE2,

...a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式為：a2=b?+c2

12.【答案】⑴解：?.?拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,0）和（V,0）,

'c=0

?梟+c=0，

_V3

解得：f-T；

c=0

?^73

..y=X2￡+—X.

」3

（2）解：AAAB是等邊三角形；

=久2+亨力

b=Tz+3

'_2V3*,=_亟

解得：卜1-丁,3,

（%=2[y2=1

，A（-竽,|），B（苧,2）,

過(guò)點(diǎn)A分別作AC,久軸，ADXAB,垂足分別為C,D,

在RtAAOC中

OA=4AC2+OC2=1,

???點(diǎn)A，與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

...A，（孥AA，=|,

VB（竽,2）,

.?.AB=2-（-1）=8

3，

又：A（-竽,|），B（竽,2）,

.,.AD=竽BD=S，

在RtAABD中

AB=4AD2+BD2=1,

.\AA,=A,B=AB,

AAAA-B是等邊三角形

（3）解：存在正確的點(diǎn)P,且以點(diǎn)A、B、A\P為頂點(diǎn)的菱形分三種情況;

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（x,y）.

.?.點(diǎn)P為：（2V3,|）；

（2V3

3

②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，有|~2,

^-3=3+2

（=2V3

解得：，

???點(diǎn)p為：（一竽，當(dāng)；

（x—__2_V_3

③當(dāng)AA，為對(duì)角線時(shí)，有｛-J

卜+2=4仔

273

解得：f,

Iy=-2

二點(diǎn)P為：（—罕2）;

綜合上述，P1（-竽，學(xué)），P2（-竽，-2）,P3（2V3,1）

13.【答案】解：對(duì)于直線y=—3%—I,令久=0,則了=—|,故點(diǎn)B（0,—1）；

對(duì)于y=--rx+3,令第=0,貝！Jy=3,令y=0,即--%+3=0,解得：汽=4,故

44

點(diǎn)￡>(0,3)、(4,0),

q11

則BO=3+＞三，CC=4,

ii11

△BCD的面積=^xBDxOC=^x—x4=ll；

a

(2)如圖2,在直線y=—J%+3上存在點(diǎn)E,使得zZBE=45。，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

解：過(guò)點(diǎn)E作BE的垂線交48于點(diǎn)R,過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線交過(guò)點(diǎn)R與x軸的平行線于點(diǎn)

???乙ABE=45。，故ER=EB,

???乙REG+乙BEH=90°,乙BEH+乙EBH=90°,

???乙REG=乙EBH,

v乙EHB=ARGE=90°,EB=ER,

AAEHB=ARGE^AAS),

：?RG=EH,BH=GE,

即TH=-3n+-3,+3+|=m-n,解得\，

Z44Z'71——Z

故點(diǎn)F(2,1)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接。E,過(guò)點(diǎn)E作CD的垂線交y軸于點(diǎn)F,點(diǎn)P在直線EF

上，在平面中存在一點(diǎn)Q,使得以0E為一邊，0,E,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請(qǐng)直接寫(xiě)

出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

(6,當(dāng)或碟，一景0或G'2)或(一),-2)

(1)解：對(duì)于直線y=-3%-|,令x=0,貝i|y=-|,故點(diǎn)B(0,-|)；

對(duì)于丫=-彳％+3,令x=0,則y=3,令y=0,BP--x+3=0,解得：％=4,故

■44

點(diǎn)0(0,3)、(4,0),

s11

貝！J80=3+]=2,CC=4,

ABCD的面積=|xfiDx0C=1x^x4=ll；

(2)解：過(guò)點(diǎn)E作BE的垂線交48于點(diǎn)R,過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線交過(guò)點(diǎn)R與x軸的平行線于

點(diǎn)G,交過(guò)點(diǎn)B與x軸的平行線于點(diǎn)H,

???^ABE=45。，故E7?=,

???乙REG+乙BEH=90°,乙BEH+Z.EBH=90°,

???乙REG=乙EBH，

???乙EHB="GE=90°,EB=ER,

AAEHB=ARGE{AAS},

???RG=EH,BH=GE,

即zn=-3n-|+-3,+3+|=m-n,解得

故點(diǎn)F(271)；

(3)(6,學(xué)■)或(言‘一或G'2)或(―5,—2)

14.【答案】(1)解：如圖2所示，菱形EFGH即為所求；

(2)解：如圖3,連接HF，

圖3

???四邊形力BCO是矩形，NO=ZB=90。，AD//BC,AB=CD=5,:.乙DHF=

乙HFB,

???四邊形EFGH是菱形，