2023年高考數學一輪復習（全國版文） 第2章 函數的圖象

函數的圖象

【考試要求】1.在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析

法)表示函數.2.會畫簡單的函數圖象3會運用函數圖象研究函數的性質，解決方程解的個數與

不等式解的問題.

【知識梳理】

1.利用描點法作函數圖象的方法步驟

2.利用圖象變換法作函數的圖象

(1)平移變換

(2)伸縮變換

?>|,橫坐標縮短為原來的黑，縱坐標不變

①y=/U)-------------------i----------=3)-

0<a<l,橫坐標伸長為原來的伊，縱坐標不變

⑨=。>1,縱坐標伸長為原來的。倍，橫坐標不變，,=

51一<x)縱坐標縮短為原來的“倍，橫坐標不變"丫一碓必

(3)對稱變換

①G,=加a0、關--于-x-軸-對-稱Ay=*zxv)、.

令、關于軸對稱

②y=A“)---y---Ay==-x).

與c.關于原點對稱c

③y=/U)--------?v=-C-x).

@y=ax(a>0且a#1)'"'"'')=唾=(4>0且“#1).

(4)翻折變換

保留*軸上方圖象

①y=/U)將謝下方圖象翻折上至，=皎”

小?、保鼠軸右邊圖象，并作其...

②產危)關V于剛對稱的圖象，產.皿?

【常用結論】

1.函數y=*x)與y=/(2a—x)的圖象關于直線x=a對稱.

2.函數y=/(x)與y=26一火2a—x)的圖象關于點(a,%)對稱.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

⑴函數_y=|/(x)|為偶函數.(X)

(2)函數y=/(l—x)的圖象，可由y=/(—x)的圖象向左平移1個單位長度得到.(X)

⑶當xd(O,+8)時，函數y=|/(x)|與y=/(W|)的圖象相同.(X)

⑷函數)=危)的圖象關于y軸對稱即函數>=/)與>=/(-x)的圖象關于y軸對稱.(X)

【教材改編題】

X<0

1.下列圖象是函數'=''的圖象的是()

X—1,x^O

答案c

解析其圖象是由^=爐圖象中x<0的部分和y=x—l圖象中x2O的部分組成.

2.函數y=/(x)的圖象與的圖象關于y軸對稱，再把y=/(x)的圖象向右平移1個單位長

度后得到函數y=g(x)的圖象，則g(x)=.

答案

解析fix)=eTx,

.?.g(x)=e-(*F=er+i.

3.已知函數ZU)在R上單調且其部分圖象如圖所示，若不等式一2勺(x+f)<4的解集為(一1,2),

則實數t的值為.

答案1

解析由圖象可知不等式一2勺(x+f)<4即為負3)勺g+。勺(0),

故x+fW(0,3),

即不等式的解集為(一r,3-0,

依題意可得f=l.

題型一作函數的圖象

例1作出下列函數的圖象：

⑴尸2E一1；

(2)y=|lg(x—1)|；

(3)y=x2—|x|—2.

解(1)將y=2*的圖象向左平移1個單位長度，得到y=2/i的圖象，再將所得圖象向下平移

1個單位長度，得到-1的圖象，如圖①所示.

(2)首先作出y=lgx的圖象，然后將其向右平移1個單位長度，得到y=lg(x—l)的圖象，再

把所得圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方，即得所求函數y=|lg(x—l)|的圖象，如圖②所

示(實線部分).

,,1.二’函數為偶函數，先用描點法作出［0,+8)上的圖象，

x2+x—2,x<0,

再根據對稱性作出(-8,0)上的圖象，其圖象如圖③所示.

①②③

【教師備選】

作出下列函數的圖象：

(1)尸2邛1；

(2)y=sin園.

解(1)先作出)，=6｝的圖象，保留y=(g>圖象中xNO的部分，再作出y=R｝的圖象中x>0

部分關于y軸的對稱部分，即得的圖象，如圖①實線部分.

圖①圖②

(2)當時，)，=$而仇|與y=sinx的圖象完全相同，又y=sin|x|為偶函數，圖象關于y軸對

稱，其圖象如圖②.

思維升華圖象變換法作函數的圖象

⑴熟練掌握幾種基本初等函數的圖象.

(2)若函數圖象可由某個基本初等函數的圖象經過平移、翻折、對稱和伸縮得到，可利用圖象

變換作出，但要注意變換順序.

跟蹤訓練1作出下列函數的圖象：

(2)y=4—4x+3］.

解(i)y=^5r=2+-z-r.故函數的圖象可由的圖象向右平移1個單位長度，再向上

XIXIA

平移2個單位長度得到，如圖①所示.

(2)先用描點法作出函數y=/-4x+3的圖象，再把x軸下方的圖象沿x軸向上翻折，x軸上

方的圖象不變，如圖②實線部分所示.

①②

題型二函數圖象的識別

例2(1)(2022?百師聯盟聯考涵數於)=寫尸■的圖象大致為()

答案D

解析由題意知，的定義域為R,

—xcos(—X)

Kr尸產

—XCOSX

=—函一=_%)，

故犬x)為奇函數，排除C；

貝1)=注_1>0,排除人；

42)=幺皆<0,排除B.

(2)已知定義在區(qū)間［0,2］上的函數y=/(x)的圖象如圖所示，則y=-/(2-x)的圖象為()

答案B

作關于F軸對稱的圖象

解析y=fi.x)

。、向右平移2個單位長度

y=A-x)----------------------

作關于X軸對稱的圖象℃、

y=fl2-x)---------------------?,=-fi.2-X).

【教師備選】

(2022?咸陽模擬)函數y(x)=cosTtx+In|2x|的大致圖象是()

答案C

解析因為y(x)=cosxr+ln|2x|(x#0),

所以,*一x)=cos(—xr)+ln|-2x|=cos兀t+ln|2_￥|=/(x),所以,/(x)是偶函數，其圖象關于y軸對

稱，故排除選項A；

y(l)=cosn+ln2=-1+ln2<0,故排除選項B；

y(2)=cos2?r+ln4=1+21n2>0,故排除選項D.

思維升華識別函數的圖象的主要方法有：(1)利用函數的性質.如奇偶性、單調性、定義域

等判斷.(2)利用函數的零點、極值點等判斷.(3)利用特殊函數值判斷.

31—3x

跟蹤訓練2(1)函數?r)=/的大致圖象為()

答案B

解析易知定義域為(-8,0)U(0,+8),關于原點對稱.

qr一qxf一4r

則式X)是奇函數，其圖象關于原點對稱，排除A,

18

#1)=3—§=亍>0,排除D,

當Rf+8時，3"f+00,

則40-+8,排除C,選項B符合.

⑵如圖可能是下列哪個函數的圖象()

A.y=2x—x*12—3l

C.y=(x2—2x)eA

-x

D.y=j

)Inx

答案c

解析函數的定義域為R,排除D；

當x<0時，y>0,A中，x=-l時，

3

y=21—1=—2<0,排除A；

B中，當sinx=O時，y=0,

???>=筌誓有無數個零點，排除B.

題型三函數圖象的應用

命題點1研究函數的性質

例3已知函數4x）=xPc|-2%,則下列結論正確的是（）

A.貝x）是偶函數，單調遞增區(qū)間是（0,+8）

B./（x）是偶函數，單調遞減區(qū)間是（一8,1）

C.火x）是奇函數，單調遞減區(qū)間是（一1,1）

D.Xx）是奇函數，單調遞增區(qū)間是（一8,0）

答案C

解析將函數y（x）=4x|-2x

X2—2x,x20,

去掉絕對值，得y（x）=

—xr-lx,x<0,

畫出函數式x）的圖象，如圖所示，觀察圖象可知，函數40的圖象關于原點對稱，故函數火X）

為奇函數，且在（一1,1）上單調遞減.

命題點2函數圖象在不等式中的應用

例4若當xd（l,2）時，函數y=（x—I/的圖象始終在函數y=logd的圖象的下方，則實數“

的取值范圍是.

答案（1,2]

解析如圖，在同一平面直角坐標系中畫出函數y=（x-l）2和y=k）g?x的圖象.

由于當xe（l,2）時，函數y=（x-l）2的圖象恒在函數y=log〃x的圖象的下方，

?>1,

則解得l<aW2.

命題點3求參數的取值范圍

2A-x,xWO,

例5已知函數7U）=若方程/（工）=一M+。有兩個不同的實數根，則實數

log2%—X，x>0,

a的取值范圍是.

答案（一8,1]

解析方程,/（x）=-2x+。有兩個不同的實數根，即方程,/（x）+x=—有兩個不同的根,

等價于函數y=J（x）+x與函數y=—冗+。的圖象有兩個不同的交點.

2V—x,xWO,

因為/U)=

log2X-X,x>0,

'2X,xWO,

所以y=Wx)+x=j,

Uog2X,X>0,

作出函數y=/(x)+x與y=—x+a的大致圖象如圖所示.

數形結合可知，當。<1時，兩個函數的圖象有兩個不同的交點，即函數y=Ax)+2x—a有兩

個不同的零點.

【教師備選】

已知奇函數兀0在時的圖象如圖所示，則不等式W)<0的解集為.

答案(-2,-1)U(1,2)

解析Vx/(x)<0,

.'.x和?r)異號，

由于?r)為奇函數，補齊函數的圖象如圖.

當xW(-2,-l)U(0,l)U(2,+8)時，/)>0,

當x?(-8,-2)U(-1,0)U(1,2)時,

魚)<0，

...不等式切>)<0的解集為(-2,-1)U(1,2).

思維升華當不等式問題不能用代數法求解或用代數法求解比較困難，但其對應函數的圖象

可作出時，常將不等式問題轉化為圖象的位置關系問題，從而利用數形結合思想求解.

跟蹤訓練3(1)若函數兀r)=〃-x—a(4>0,且aWl)有兩個零點，則實數a的取值范圍是

答案(1,+°°)

解析函數人》)的零點的個數就是函數)，="(4>0,且aWl)與函數y=x+。的圖象的交點的個

數，如圖，當1時，兩函數圖象有兩個交點；當0<a<l時，兩函數圖象有一個交點.故“>1.

⑵奇函數段)的定義域為(一1,1),/)在第一象限的圖象為圓心在原點，半徑為1的圓弧，如

圖所示，則不等式段)令的解集為.

答案(一察o)u停,1)

解析因為奇函數火x)的定義域為(-1,1),且負x)在第一象限的圖象為圓心在原點，半徑為1

的圓弧，所以定義域內的函數圖象，如圖所示，

當yu)=x時，解得x=當或x=一坐,

由圖象知，不等式段)4的解集為(一坐o)u停1).

課時精練

1.函數人；0=百：的圖象大致為（）

答案A

3Y

解析因為/＜一）一正工=一段），

所以y（x）為奇函數，其圖象關于原點對稱，排除B,D；

因為大兀）=瓷3兀7＞。，所以排除c.

x+3

2.為了得到函數＞=館丁的圖象，只需把函數y=lgx的圖象上所有的點（）

A.向左平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度

B.向右平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度

C.向左平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度

D.向右平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度

答案C

x+3

解析，-'y=lg-jQ-=lg(x+3)—1,

.,向左平移3個單位長度

..y=1g%----------------------

向下平移I個單位長度

y=lg(x+3)

y=lg（x+3）—1.

3.已知函數段）的圖象如圖所示，則函數凡r）的解析式可能是（）

A./）=（平一4刃國

B./(x)=(4，_4r)log2kl

4、+4七

C.火》）=不

A

D.犬x）=（4"+4）log2|x|

答案D

解析由圖知，#力為偶函數，故排除A,B；

對于C,九0乂）不符合圖象，故排除C；

對于D,火一力=（4*+4-%（唱2園=於）為偶函數,且在區(qū)間（0,1）上，貝x）＜0,符合題意.

\ax+b,x＜-lf

4.（2022?銀川質檢）若函數外）=,、的圖象如圖所示，則共一3）等于（）

[ln（xItz）,X3一1

A.—gB.一、C.-1D.—2

答案c

解析.,.ln(-l+a)=O,

??l+a=l,..a=2,

又y—ax+b過點(-1,3),

；.2X(—l)+6=3,：,h=5,

—3)——3a+i>=-6+5=-1.

5.(2022?長沙質檢)已知圖①中的圖象對應的函數為y=7U),則圖②中的圖象對應的函數為

()

圖①圖②

A.y=7(bl)B.，=_/(一|%|)

c.y=miD.產一心I)

答案B

解析觀察函數圖象可得，②是由①保留y軸左側及y軸上的圖象，然后將)，軸左側圖象翻

折到右側所得，結合函數圖象的對稱變換可得變換后的函數的解析式為了=式一僅|).

6.下列函數中，其圖象與函數_/(x)=lnx的圖象關于直線x=l對稱的是()

A.y=ln(l—x)B.y=ln(2—x)

C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+x)

答案B

解析方法一設所求函數圖象上任一點的坐標為(x,y),則其關于直線x=l的對稱點的坐

標為(2—x,y),由對稱性知點(2—x,y)在函數_/U)=lnx的圖象上，所以y=ln(2-x).

方法二由題意知，對稱軸上的點(1,0)既在函數7(x)=lnx的圖象上也在所求函數的圖象上，

代入選項中的函數解析式逐一檢驗，排除A,C,D.

7.對于函數火x)=lg(|x-2|+1),下列說法正確的個數是()

@(x+2)是偶函數；

②/(x+2)是奇函數；

@/(x)在區(qū)間(-8,2)上單調遞減，在區(qū)間(2,+8)上單調遞增；

④/(x)沒有最小值.

A.IB.2C.3D.4

答案B

解析yu+2)=ig(M+i)為偶函數，①正確，②錯誤.作出y(x)的圖象如圖所示，可知y(x)在(一

8,2)上單調遞減，在(2,+8)上單調遞增；由圖象可知函數存在最小值o,③正確，④錯

誤.

f—x2—2%,xWO,

8.(2022?西安模擬)已知函數犬x)=[log?x\,x>0,若函數g(x)=/(x)+2一機有4個零點,

則m的取值范圍為()

A.(0,1)B.(-1,0)

C.(1,3)D.(2,3)

答案D

解析由g(x)=y(x)+2—”?=o,

得犬X)=OJ—2,

所以問題轉化為函數y(x)的圖象與直線y=機-2有4個不同的交點，

函數/U)的圖象如圖所示，

所以0<根一2<1,得2<小<3,

所以加的取值范圍為(2,3).

9.已知函數了=4一》)的圖象過點(4,2),則函數y=_/(x)的圖象一定過點

答案(-4,2)

解析y=_A—x)與y=/(x)的圖象關于y軸對稱，

故y=/(x)的圖象一定過點(-4,2).

10.若函數人》)=注3的圖象關于點(1,1)對稱，則實數4=.

答案1

~ax-a+a-2,a—2

解析危)=/7]=〃+不?7,

關于點(1,。)對稱，故。=1.

x2+〃一?

11.(2022?青島模擬)已知函數/(x)=,_則對任意xi,X2￡R，若X2>0"I>

x22x1f1<0,

—X2,則人為)與7(X2)的大小關系是.

答案犬為)勺(X2)

解析作出函數,/(X)的圖象(圖略)，

由圖知犬X)為偶函數，且在(一8,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增，

0>Xl>—X2f

，式汨)<7(—及)=/2).

12.已知函數｛r)=k-2|+l,g(x)=fcv.若方程|x)=g(x)有兩個不相等的實根，則實數4的取

值范圍是.

答案&1)

解析先作出函數<］）=k一2|+1的圖象，如圖所示，當直線g（x）=fcc與直線AB平行時斜率

為1,當直線g（x）=日過A點時斜率為故段）=g（x）有兩個不相等的實根時，A的取值范圍

為&1）

13.（2022?濟南模擬）若平面直角坐標系內A,8兩點滿足：（1）點A,8都在式x）的圖象上；（2）

點A,8關于原點對稱，則稱點對（4,8）是函數4x）的一個“和諧點對”，（A,B）與（B,A）可

jt2+Zx,x<0,

看作一個，，和諧點對”.已知函數於）={2則式x）的''和諧點對”有（）

G，xZO,

A.1個B.2個

C.3個D.4個

答案B

解析作出函數ynf+ZxCrvO）的圖象關于原點對稱的圖象（如圖中的虛線部分），著它與函數

的圖象的交點個數即可，觀察圖象可得交點個數為2,即40的“和諧點對”有2

個.

（\

一，x<0,

x1

14.若函數加）=<則不等式的