2024屆一輪復習人教A版 距離問題 作業(yè)

課時分層作業(yè)(九)距離問題

［A組基礎合格練］

一、選擇題

1.若。為坐標原點，了=(1,1,-2),而=(3,2,8),應'=(0,1,0),則線段4?的中點

P到點C的距離為()

A.B.2714C.小D.隼

D「.?正上總+麗=34,3,6)=(2,|,3),

OC=(0,1,0),.?.港=赤-港=(-2,-;，-3),

.?.向=^4+［+9=隼］

2.在棱長為1的正方體48。484〃中，V為4。的中點，則點G到直線位的距離為

()

A.|B.乎C.坐D.當

C［建立空間直角坐標系，如圖，

則C(l,1,0),G(l,1,1),

/(o，1),所以a'=(1,I，—lj,

3.如圖，點P為矩形5所在平面外一點，為J_平面4四9,。為線段｛。的中點，AB

=3,BC=4,PA=2,則點？到平面8初的距離為()

PA

10id□乙

B［如圖，分別以力反AD,/IP所在直線為x軸、p軸、z軸建立空間直角坐標系，則

8(3,0,0),2(0,4,0),尸(0,0,2),0(0,0,1),

萍⑶0,-1),礪=(-3,4,0),~QP=(0,0,1).

設平面微9的法向量為〃=(x,y,z),

n?BD=0,—3x+4y=0,

則4即

[3%—z=0.

n?QB=。,

令x=4,則y=3,z=12,：.n=(4,3,12).

???點尸到平面的距離"J"：］

\n\13

4.已知三棱錐6M8c中，OA^OB,OBIOC,OCLOA,且A4=l,0B=2,0C=2,則點/

到直線勿的距離為()

A.72B.小C.乖D.3

B［以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。ryz.由題意可知4(1,0,0),

8(0,2,0),以0,0,2),

...拓=(-1,2,0),加=(0,-2,2),

取a=9(-l,2,0),

u=-=fo,—乎，則點力到直線%的距離為『才一a?爐=鄧三=m.]

|汨I22)

5.如圖，正方體18a〃的棱長為1,。是底面4AG〃的中心，則。至I」平面/比的

的距離是（）

B?平

B[以〃為坐標原點，DA,DC,9所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標

系,則有4(0,0,1),系0,0,0),4(1,0,0),5(1,1,0),4(1,0,1),^（O,1,1）.

因為。為4G的中點,

所以《，1），

法=(-1,0,1),

48=(0,1,0).

設平面/8G4的法向量為A=(x,y,z),

n,力。=0,

則有，

n?AB=Q,

—彳_|—z—Q

取X=L則n=(1,0,1),

{y=o,

1

...0到平面ABGtt的距離為"=￥*='=坐]

\n\勺24

二、填空題

9

6.直角△胸的兩條直角邊6口，心4,心平面胸，PC二,則點戶到斜邊四

的距離是—

3［以C為坐標原點，CA,CB,CP為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

則4(4,0,0),6(0,3,0),(0,0,|

所以罰=(-4,3,0),

小J,0,

取4,0,|

AB

HI0

UB\

則。至I」/呂的距離為

,81256.

d=y]a-a?il—16+25-"25'=3,1

7.如圖所示，在棱長為2的正方體力aD43G〃中，點r為8c的中點，點。在線段

BE上，點P到直線CG的距離的最小值為

續(xù)［如圖所示,建立空間直角坐標系，則以(0,0,2),￡(1,2,0),訪=(-1,-2,2).

設P(x,y,z),EP=A,4G[0,1],且而=(x—l,y~2,z),

所以(x—1,y—2,z)=。(—1,—2,2),

解得x=l—4,y=2—2A,z=2A,

所以夕（1—4,2—2才，24）.

設點尸在直線CG上的射影為Q,則（2（0,2,24）,

IPQ\=41一儲+4

當兒=3時，|圖。,=誓.]

8.棱長為1的正方體/靦?45G〃中，E,b分別為破，GC的中點，G為線段加上

的點，且加=4〃，過E,F,G的平面交于點4則4。到平面硒加的距離為_______.

O

啜一[以點〃為坐標原點，直線為，DC,〃〃分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐

JI

標系，如圖所示.

(0,0,5，4(0,0,1),

4(1,0,1),

.,.建=(-1,0,0),而=(0,-1,-1

易尸（1,0,0）,

：.D^AJ/~EF.又,：EFU平面EFG/j,D1Ag平面印GH,

."M〃平面的出.?.4〃到平面甌W的距離，

即為點4到平面夕必的距離.

設平面陰第的一個法向量為〃=（X,y,Z）,

—x=0

n-EF=。,9

n?FG=Q,

令z=6,則y=—L.*./?=(0,—1,6),

又?.岳=(o,1,一；)，

D\F,nI—1—314\/37

點〃到平面防笫的距離d=-n-=4====-^-,

nA/0+1+3637

:.AM到平面即G〃的距離為坐L］

OI

三、解答題

9.如圖，正方體460464〃的棱長為1,求平面4切與平面8勿間的距離.

［解］以點〃為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,

則〃(0,0,0),4(1,0,1),

6(1,1,0),〃(0,0,1),

46=(0,1,-1),4g

(—1,0,一1),A\D\—(—1,0,0).

設平面4勵的法向量為A=(x,y,z),

n,AiS—0,

.n,AiD=0

令z=1,得y=1,x——\,

n—(—1,1,1),

???點〃到平面AxBD的距離d=拼斗=坐.

"6n勺33

易證平面A\BD//平面B\CD\,

???平面4劭與平面Bm間的距離等于點〃到平面4初的距離，，平面4劭與平面B\CD

間的距離為算.

10.如圖，在四棱錐月四切中，底面四切是矩形，陽，平面/比。，P4=34,AB=

2,"是加上一點，電.BM1PD.

(1)求異面直線必與CV所成角的余弦值；

⑵求點M到平面必C的距離.

［解］(1)分別以46,AD,/尸所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐

標系，

4(0,0,0),6(2,0,0),C(2,4,0),次0,4,0),尸(0,0,4),

則礪=(2,0,-4),1=(2,4,-4),加(0,4,一4),

設,右力麗(0W4W1),

則/U(0,4*,-44),

所以否/=即-礪=(-2,44,4-4A),

由BMLPD^BM-90+164—4(4-41)=0,

所以兒=/M為陽的中點，

所以加0,2,2),CM={-2,-2,2),

麗?豆一4+0-8巫

cos〈PB,CM)

5?

所以異面直線PB與。/所成角的余弦值為卑.

0

(2)AP=(0,0,4),AC=(2,4,0),

設平面為C的法向量為〃=(x,y,z),

AP-〃=0,4z=0,

由＜得

2x+4y=0,

C?77=0,

所以z=0,取x=2,得y=-1,

所以〃=(2,—1,0)是平面力。的一個法向量.

所以點〃到平面必。的距離為

|市?/?1|-4+2+02m

㈤-^/22+-12+0-5-

［B組能力過關練］

1.如圖，已知正方體例84臺G4的棱長為3,點〃在棱上，且/4=1,在側面

BCCB內作邊長為1的正方形EFGG,〃是側面BCC出內一動點,且點〃到平面曲G的距離

等于線段"的長，則當點刀運動時，的最小值是()

A.21B.22C.23D.13

D［根據(jù)題意，以〃為原點建立空間直角坐標系，如圖所示.

作加1防交班于點機連接力隊則祝L/W,

作4月_8交CG于點N,則可即為點尸到平面鶴G的距離.

設尸(%3,z),則尸(1,3,2),,”(3,3,2),MO,3,z)(0WxW3,0WzW3).

???點尸到平面CD隊C、的距離等于線段所的長，

：.PN=PF.

由兩點間距離公式可得x=>x-J+Z—22,化簡得2x—l=(z—2尸，則2x—120,解

得x》；，

綜上可得，^WxW3,

則在Rt△/期0中，^=//(/+,^=32+(X-3)2+(Z-2)2=32+(x-3)2+2jr-l=U-2)2

+13&W啟3),

所以加213(當且僅當x=2時取等號).故選D.]

2.(多選題)已知正方體力靦?4為G4的棱長為1,E,。分別是4劣，4G的中點，點一

f3fJ2f

在正方體內部且滿足力尸=彳力4+不力吐可/%,則下列說法正確的是()

44J

A.點4到直線跖的距離是感

□

B.點。到平面46G〃的距離為田

C.平面4曲與平面為必間的距離為半

O

25

D.點尸到直線46的距離為正

36

BC[如圖，建立空間直角坐標系,則4(0,0,0),6(1,0,0),Z?(0,1,0),4(0,0,1),

所以筋=(-1,0,0),筋=卜/0,1J.

沒/ABE=9,則cos?=巫巫=蜚，sin。=上許=與性

向麗55

故點4到直線跖的距離d=I施sin?=羋，故A錯誤.

□

易知6(7=卜提—2'o)

平面49G〃的一個法向量為位=(0,—1,1),

—?-?-1r—

則點。到平面的距離&=等,故B正確.

4

|M|小

行=(1,0,-1),Zh=(o,1,-1),AZ?1=(O,1,0).

設平面4必的法向量為〃=(x,y,z),

n?46=0,卜一z=0,

則V所以

[y—z=09

、n,AiD=0,

令z=L得y=Lx=l,所以〃=(1,1,1).

所以點。到平面4班的距離4絲產(chǎn)=1=半

因為平面4劭〃平面BxClX,

所以平面4面與平面B6X間的距離等于點〃到平面4劭的距離,

所以平面48〃與平面83間的距離為十,故C正確.

—*3-?1-?2--*(312、

El^AP^-AB-\--AD-\--AAx,所以4片(j,-J.

3.在底面是直角梯形的四棱錐84四9中，側棱必，底面4a〃BC//AD,NABC=90°,

PA=AB=BC=2,AD=\,則/〃到平面W的距離為.

y[2]49到平面W的距離等于點/到平面如C的距離.由已知可得46,AD,4P兩兩

垂直.以力為坐標原點，通,~AD,挪]方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標

系(圖略)，

則4(0,0,0),夙2,0,0),C(2,2,0),2(0,0,2),

則底=(2,0,-2),而=(0,2,0).

設平面的法向量為〃=(4b,c),

nl^B=0,2a—2c=0,

則即

6=0,

nLBC=0,

取w=l,得〃=(1,0,1),又力6=(2,0,0),

—?

▼2,\AB?n\廠.

所以d——~=yJ2.]

4.正方體力及》454〃的棱長為4,亂N,E,尸分別為4〃，4―CD,4G的中點,

則平面4必V與平面￡7湖的距離為

O

T［如圖所示，建立空間直角坐標系〃/彩,

則4(4,0,0),M2,0,4),2(0,0,0),8(4,4,0),￡(0,2,4),尸(2,4,4),N(4,2,4).

.,.赤=(2,2,0),而—(2,2,0),

正(一2,0,4),赤、=(一2,0,4),

.,.談=贏樂=亞

：.EF//MN,BF//AM,EFCBF=F,MNCAM=M.

平面4楙'〃平面EFBD.

設〃=(x,y,z)是平面41邠的法向量，

n,,W=2x+2y=0,x=2z,

則.-解得

y——2z.

、n?4獷=—2x+4z=0,

取z=l,則x=2,y=—2,得z?=(2,—2,1).

平面4也V到平面切切的距離就是點3到平面加邠的距離.

,:就=(0,4,0),二平面⑷邠與平面跖切間的距離d=〃［幽,=1］

n3