2023-2024學年某中學高三年級上期開學摸底考試數(shù)學試卷及答案

2023?2024學年懷仁一中高三年級摸底考試

數(shù)學

全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填■寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上

的指定位置。

2,請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非

答題區(qū)域均無效。

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡

上作答；字體工整，筆跡清楚。

4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交。

5.本卷主要考查內(nèi)容：高考范圍。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.設復數(shù)z=(2+i)(l+『)，則它的共軌復數(shù)z的虛部為

A.-2B.-1（：.iD.1

2.已知集合A=｛z|，7=7<夜｝，3=｛制/-6工+8<0｝,則4口8=

A.[l,2)B.(3,4)C.(2,3)D.口.+8)

3.設m,n是兩條不同的直線,a,是三個不同的平面，給出下列命題：

①若加〃。,，2〃9，0〃3，則7"〃②若a〃則a〃6；

③若m_La，"JL8，a〃3，則④若aJ_Y，S」-y，則a//P-

其中正確命題的序號是

A.①③B.①④C.②③D.②④

5,已知向量a,b都是單位向量，若|2a-b|=|a+b|，則向量a,b的夾角的大小為

c27rD.乎

A.fB.年CT

030

6.在圓C：｛z—算+/=!|的圓周上及內(nèi)部所有的整點(橫坐標，縱坐標均為整數(shù)的點)中任

意取兩個點，則這兩個點在坐標軸上的概率為

A,TB.2c.D.1

【高三數(shù)學第1頁(共4頁)】24010C

7.已知定義在R上的偶函數(shù)fCr）,當.1<0時"Cr）=-1|，則不等式/（己一2石？+1>0的

解集為

A.（0,j）B.（—,1）c.停,+8）D.（—8,考）

8.已知雙曲線C：馬一4=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為R,Fz,點、P在雙曲線C的右支上,

ab

P居JLPFz，線段PB與雙曲線。的左支相交于點Q,若IPFz[IQB|,則雙曲線C的離心率為

A.V3B.2C.V5D.272

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.從1,2,3,…，9中任取三個不同的數(shù)，則在下述事件中，是互斥但不是對立事件的有

A.“三個都為偶數(shù)”和“三個都為奇數(shù)”

B.“至少有一個奇數(shù)”和“至多有一個奇數(shù)”

C.“至少有一個奇數(shù)”和“三個都為偶數(shù)”

D.個偶數(shù)兩個奇數(shù)”和“兩個偶數(shù)一個奇數(shù)”

10.已知函數(shù)八才）=c?s2?+sin?（工一年），將函數(shù)/（l）的圖象先向右平移合個單位長度，再向

下平移1個單位長度得到函數(shù)gG）的圖象，則下列說法正確的是

A.函數(shù)/（工）為偶函數(shù)

B.g（x）=cos^2,r+-yj

C.g(z)=cos(2x

D.函數(shù)g（.r）的圖象的對稱軸方程為彳=竽+金GCZ）

（z?e',才&0,

11.已知函數(shù)/（]）=4|lg,0<工<10,若8（7）=3/（7）-根/（才）一2/有6個不同的零點

I—x4-11,z210,

分另U為，才2,工3，工4?X=,X6，旦Hl<Zz<a<工1<X5<X6,/（23））=/（了5），則下列

說法正確的是

A.當H40時，一十《/（7）&0

B.Z3+外的取值范圍為（2,窄）

C.當m<.o時，/（乃）+/（X2）+3/（X3X1X5）+/（Z6）的取值范圍為（—5，0）

D.當m>0時—十f（Hz）+3f（H3H出）十，5）的取值范圍為（0,臺

12.如圖，在三棱錐A-BCD中,AB=6C=AC=CD=2,/BCD=120°,二面角A-BC-D的大小

為120°,則下列說法正確的是

A.直線AB與CD為異面直線

B.BD=2y/3

C.三棱錐A-BCD的體積為亭

D,三棱錐A-BCD的外接球的表面積為244爭1r

【高三數(shù)學第2頁（共4頁）】24010C

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.sin20°cos10°4-sin70°sin10°=.

14.設隨機變量X服從正態(tài)分布若P（XVa）=0.25,則P（XV6—a）=.

15.已知拋物線C：丁=42.的焦點為F,過點F且斜率為2的直線與拋物線C相交于A,B兩點

（點A在1軸的上方），則囂?=.

16.已知數(shù)列｛%；>的前"項和為S"，數(shù)列是首項為公差為■的等差數(shù)列.[與表示不超

[n）oo

過Z的最大整數(shù)，如[0.1>O，E1<91=1,則數(shù)列｛[%]｝的前35項和為________.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過靛祠凝驟.

17.（本小題滿分10分）

已知等比數(shù)列｛“力前〃項和為S,,a】=2且Sn=2an-ai.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛〃%｝的前〃項和

18.（本小題滿分12分）

已知△ABC中，內(nèi)角八，8（所對的邊分別為。，6,小（6+。）2=。2+（2+呼）兒.

（1）求sinA的值；

（2）如圖，D為AB上的一點，且AD=2BD,若/BCD=2/ACD,B為銳角，求cos/BCD,

sinB的值.

C

ADB

19.（本小題滿分12分）

疫情過后，某工廠快速恢復生產(chǎn)，該工.廠生產(chǎn)所需要的材料價錢較貴，所以工廠一直設有節(jié)

約獎，鼓勵節(jié)約材料，在完成生產(chǎn)任務的情況下，根據(jù)每人節(jié)約材料的多少到月底發(fā)放，如果

1個月節(jié)約獎不少于1000元，為“高方約獎”，否則為“低節(jié)約獎”，在該廠工作滿15年的為

“工齡長工人”，不滿15年的為“工齡短工人”，在該廠的“T齡長工人''中隨機抽取60人，當

月得“高節(jié)約獎”的有20人，在“工齡短工人”中隨機抽取80人，當月得“高節(jié)約獎”的有

10人.

⑴若以“工齡長工人”得“高節(jié)約獎''的頻率估計概率，在該廠的“T齡長工人”中任選取5

人，估計下個月得“高節(jié)約獎”的人數(shù)不少于3人的概率；

（2）根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，分析得“高方約獎”是否與工人工作滿15年

有關(guān).

參考數(shù)據(jù)：附表及公式：/=注喏字,n=t+b+c+d

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【高三數(shù)學第3頁（共4頁）】24010C

20.(本小題滿分12分)

如圖，在三棱錐P-ABC中,AP，PC,AC，BC,AP=PC=2,AC=BC,二面角P-AC-B

為鈍角，三棱錐P-ABC的體積為言.

(1)求二面角P-AC-B的大?。?/p>

(2)求直線AP與平面PBC所成角的正弦值.

21.(本小題滿分12分)

22

已知橢圓E號十方=1">6>0)的左、右焦點分別為6,Fz,M為橢圓E的上頂點，

際?幅=0,點N(原'，一：!)在橢圓E上.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)設經(jīng)過焦點Fz的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A,B兩點和C,D兩點，求

四邊形ACBD的面積的最小值.

22.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=-(a+l)ln(H+l)+ax+e—2(aGR,e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)八工)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)人口有且僅有3個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

【高三數(shù)學第4頁(共4頁)】24010C

參考答案、提不及評分細則

1.D由z=(2+i)(l+i')=(2+i)(l—i)=3—i,可得z=3+i,所以它的共舸復數(shù)z的虛部為1.故選D.

2.C由題意可知M7=TV淄'=0&_z-1<2。14]〈3,所以A={z|l4zV3},

又由H2—6H+8V?=(z—2)(z—4)V0n2V_rV4,所以B={z|2VzV4}，所以AAB=(2,3).故選C.

3.C當〃?〃a,"〃仇a〃9時，，入〃可能平行，也可能相交或異面，所以①不正確；當a_L7$_Ly時,a甲可以平行.也

可以相交，所以④不正確；若a〃八3〃八則a〃自若"?_La,〃，8，a〃四則初〃九故正確命題的序號是②③.

4.A由/(一■!")=-/—sin7=一/(才)，可得函數(shù)/(7)為奇函數(shù),可排除B.D選項，又由/'(1)=1+sin1>0.可

排除C選項,可知答案為A.

I.

5.B由題意有I2Q—b|之=Q+討2,川得5—4Q?b=2+2a-b,解得Q?方=。，"J得cos〈a,b〉=一■，故向量a，b

乙L?

的夾角的大小為全

6.D畫圖可知共有5個整點，分別為(0,0),(1,0),(2,0),(1,1),(1,-1),有3個點在坐標軸上，記為P，Q.R,

另外兩個記為M*N.5個點中任取兩個包括的基本事件為(P,Q),(P,R),(P,M),(P,N),(Q,R),(Q,M),

(Q,N),(R,M),(R,N),(M,N),共10個，兩個點在坐標軸上包括(P.Q),(P.R).(Q,R),共3個基本事件，

則這兩個點在坐標軸上的概率為吉.

7.B當工>0時，，(才)=C一"|一1，令gGr)=2內(nèi)了-1,

依題意f(依>g(_r),則.f(z)圖象在g(z)圖象上方，

由ex+1—1=2\/ea——1,得了=十，

則/(3>2而-1的解集為(一8,十).

8.C設|PBl=3z(i>0),lQF"=2_r,雙曲線C的焦距為2g由雙曲線的定

22

義可知QRzl=2a+2.r,|PQ|=2a+；r.在RtAPQF2中.有|QB|=|PQ|

9

+\PF212?得(2々+21)2=(20+7)2+912,解得工=號。,可得小乙|=2a"PR|=4a.在RtAPF,F2中，

有IB6Iz=IPB12+1PR12，“J■得4az+16a2=4?,解得c=^a,可得雙曲線C的離心率e=展.

9.AD.從1-9中任取三數(shù)，按這三個數(shù)的奇佃性分類.有四種情況，(1)三個均為奇數(shù)；(2)兩個奇數(shù)一個偶

數(shù)；(3)一個奇數(shù)兩個偶數(shù)；(4)三個均為偶數(shù)，所以AD是互斥但不是對立事件，(、是對立事件，B不是互示事

件.故選：AD.

10.ACD由/(7)=cos2x+cos2J-=2cos27=1+cos2j-,函數(shù)/(了)為偶函數(shù)，可得g(z)=1+

coJ2(j-一卷)]—1=cos(2.x—,令2J9,46Z,可得才="+羽，&GZ.可知選項為ACD.

11.AC當時，/(1)=l?e'，此時，(工)=(7+1)?H,可得/(了)在(-8,—])上單調(diào)遞減，在

(—1,0)上單調(diào)遞增，且/'(—1)=L,f(0)=0,.?.當“&()時,L&/〈疝)40,由g(.?,)=3f~(.r)—

ee

)nf()-2m2有6個不同的零點?等價于3.尸(/)一〃?/(才)-2m2=06個不同的實數(shù)根，解得.f(/)=

，〃或/,()=——?V.Z3?14=1,若加十力=不+G(2,得上V/3<1,而當〃?>0時，一」-

3.不3'iu'e

〈一孕V0,可得0<7?<y-,fftjy-<l=f(3)；當；?<0時,一"L〈,"V0,可得0V—繆<1~，而及<】=

3Ze，R.\]0，e33e3e

【高三數(shù)學參考答案笫1頁(共6頁)】24010C

/（A）,故心的范圍為（《?1）的子集，占十工，的取值范圍不可能為（2,片）.故B選項錯誤；

該方程有6個根.且/（才3）=/（11）=/（了5），知卬74=1且/（11）=/（了2）=/（16），

當m<0時，/（力）=/（>2）=/（?%）="￡（一十'。）,

/（才3）=/（）=/（15）=-G（0?1），聯(lián)立解得"2€（L,0）?

o、e，

f（4）+/（12）+3/（才3工4才5）+/（z5）=3/（1]）+3/（才5）=3〃Z—2〃7=”？￡（------.0

—

當加>0口寸?/O]）=/（.r2）=/（16）=一寸e（—*0）?

/（13）=./（心）=/（a：5）="?￡（0,1）,聯(lián)立解得〃/G（0*,

\Zc7

./（.J'l）+/（才2）+3/（.73]4工5）+/（76）=3/O|）+3/5）=—2m+3m=rnE（°琮）.

12.ABD由異面直線的定義知A選項正確；在△8（7）中.川）=2，1廝B選

項正確；如圖.愀'的中點E.在AE上取點U.使得A（\=20）E,取BD的

中點G，并延KCG到點（）2.使得HA=BC=2,SAW=；X2X2X第=居,

VX-BCD=4XV3XV3Xsin60°=哼,可知C選項錯誤;記。為三棱錐A-BCD

的外接球的球心.連接OO1.（X）2.（）/：.并延K05，QE相交于點F.由AB=8C=AC=2.可知△ABC為

等邊三角形.乂由A。=20匕可知（為為△ABC的外心.由BC=（'D=2./BCD=12O°.BG=GD,可得

NB（.@=60°.又由（'Q=2.可得△BCa.ZXCDQ都為等邊三角形，可得（工％=BQ=DQ=2,可得（A為

△BCD的夕卜心.可得AEJJ3CEQIBC,可知NAEQ為二面角A-/3c-Q的平面角，可得/AEQ=

120°.由A8=BC=AC=CO=2,可得AE=V^.。"=伍X十=岑.K"=代.在△￡/，'（％中,NF"。=

180°-/AEQ=60°.（X）/LAE.可得（）；F=l.EF=孚.由QF=EF+aE=孚+伍=眸,在

2

RtAOFO,中.可得（X）2=（），F(xiàn)tan30°=咚X攣=■.在△（）（,（為中?（）（.'=，（'（方十（X3=A/2+（-1-）

ooOV0

=3魚.可得三棱錐A-B（7）的外接球的表面積為47rx（芽?。?=斗獸.可知D選項正確.

<5'J，J

13.；sin20°cos10°+sin700sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=J.

乙乙

14.0.75因為N（3.1）,所以所對應的正態(tài)曲線關(guān)于z=3對稱.

因為。（XV。）=0.25,所以P（.X<a）=P（X>G-a'）=0.25.

所以P（X<6-a）=l-0,25=0.75.

、后-1-3fy2=4T.

15.R^設A5.g）.B5r2）?由F（1.0）可得直線AB的方程為y=2#—2.聯(lián)立方程一后整理

2（y=2x-2

為三-37+1=0.解得處=與丫?加=五盧.且有力才2=1.由拋物線的定義,有Ipr,|=口i|"

ZZ|orI^2+112+]

居"+3

=乃=一2一.

16.397因為2=g.所以

flooo

【高三數(shù)學參考答案第2頁（共6頁）】24010C

6567c0

，念$=-y，必x=":-，生5=23,

所以by~Otbi~.1,h>~.1也~2,bi~3,Z>63.6?4,,1,,陽,b認~~22,b^~23,

所以數(shù)列([>」>前35項的和為T?5=(0+2+4+-+22)+2(l+3+54-----1-21)+23=397.

故答案為：397.

17.解：(1)因為S,=2%,一處.①

所以$7=2仇7一%E》2)，②..................................................................................................................1分

①②得a?=S?-Sx-i=2ax212kl，即a”=2a,,-1,.......................................................................................3分

則｛a*為等比數(shù)列，且公比Q*2,........................................................................................................................4分

因為句=2,所以。，=也?q"=2".....................................................................................................................5分

(2)由(1)可得,OnlXZ+ZXNZ+SXZ[+…+(*-1)?2"T+"?2",③.................................................6分

2s4

2TX-1X2+2X2-r3X24--+(?-1).2*+n?2f，④...................................7分

③一④得一工=2+22+23+24卜---'2'_北?2廿1=(1一公.2"+i_2,......................................................9分

*'?=(?-1).2"+5+2,..................................................................................................................[◎分

1&解：Q）（6+c）2=/+{2十..4.5）be可化為從+C。一/=空慶，..............................2分

\4，4

由余弦定理得cosA—--、”尸’...............................4分

z

"?'AC(O,TC)?AsitiA=*/1—cosA=^/1—((J=^-；......................................................................5分

(2)設/ACDHH,由/BCDh2/ACD可得NBCD：。2仇

Ze

在△<「《：中，由正弦定理得工3」名,有善可得忐工6sin公....................7分

sin0SinA3smD1CZJ

"I"

在ABCD中,由iF而定落程……3……="C…，可得…￡.?=叁：生2’.

仇八」j必b土俯$山窗導由》JCDsinB'

一介吠.

nj.侍3一s：--E.—2■?9■—_??03)Qan.侶-.6.s.i—n8?8-sogsi_nuj(?

smsin上》f

義sin(?>0,有sinB-cos&,.................................................................................................................................9分

又由B為銳角.有sinB-sin(^--(?)，有6工今一&,可得6+2今，

乙'乙乙

又由A+B+C=”，可得/BCD=28=q?-A,有cos/BCD=sinA=J,.............................................11分

6&

又由cos2&=2cos2一1.宥285%—1=3、可得85.，即sinB=°qe.......................................12分

444

19.解：⑴以“工齡長工人”得“高節(jié)約獎”的頻率怙計概率，每個“工齡長工人”得“高節(jié)約獎”的概率為您=5，

Wo

...................................................................................................................................................................................1分

5人中，恰有3人得“高節(jié)約獎”概率為Cg-（4）??（［-）'=票，............................2分

'3/'3'乙43

恰有4人得“高節(jié)約獎"概率為q?（《）’Y-=.黑，.......................................3分

5人都得“高節(jié)約獎”概率為（J「="看，...................................................4分

、3//A.S

【高三數(shù)學參考答案第3預（共6頁”24010C

所求概率為市+而+會=H；6分

(2)列出列聯(lián)表如下:

“高節(jié)約獎”“低“約獎”合計

“工齡長工人”204060

“工齡短工人”107080

合計30110140

8分

零假設H。：得“高行約獎”是否與工人工作滿15年有關(guān).

。-。)工

140X(20X740X1g.838>7.879.分

LQAv11nYv11

八AAVMV八60

根據(jù)小概率值a=O.005的獨立性檢驗.得“高空約獎”與工人工作滿15年有關(guān).................12分

20.解：⑴如圖.取AC的中點().A8的中點D.連接OD*過點P作/X)的延長線的垂線,垂足為H.1分

AP_\_IJC.AC_LBC.AP-PC=2MC=BC.

，△APC和△ABC都為等腰直角三角形,AC=HC=2展.AH=4.

'：A()=()C,Al)=BL),：.()L)為AABC的中位線.

：.()□//BC4)1)=&、..................................................2分

V()L)//BC.AC_LBC,：.()L)±AC.

'：AP=PC=2.：.()P±AC.

一］_4('.0。_|_八(、.。/)「()口=().0/),0口匚平面O/)P.，ACJ_平面O/)R

,.?AC_L平面()DP.：.AC±PH,............................4分

,.."P_L(〃L〃PJ_AC,OMnAC=Q,OU,ACU平面ABC.；.平面ABC.

???S&w=4X2/X24=4,HRL平面ABC,三棱錐P-ABC的體枳為《，

/?VP-AHC=yX4HP=y，,HP=1........................................................................5分

；()P=72....OH='()pz—”=后、=1.

??.△OPH為等腰直角三角形，可得/H()P=45°，NPOD=135°,

'：()P_\_AC,O1)_LAC.：.ZPOD為二面角P-AC-B的平面角.

二二面角P-AC-B的大小為135；°.............................................................................6分

(2)由(1)可知。4，(〃).”匕［平面48(',以。4,(〃)和過點()作HP的平行線的

方向分別為了?》.z軸.建立如圖所示的空間直角坐標系.

則()(0.0,0).A(V2,0,0).P(o,—1.1).c(—V2.0.0).B(—x/2.272.0).

.,.7f/5=(-y21,D.BC=(0.-272.0),CP=(72.-1.1)......................8分

(BC?機=0.

設平面PBC的法向量為,"=，則

?m=Q.

—2北y=0.

即,令7=1.則y=0?N=_V?，???機=(1,0?-7?)?.........................................................1。分

A/FJ——丁+之=0,

.\AP?m=-2\/2.|AP|=2,|/n|二用,

\m-AP\_2V2_V6

'|/H|-|AP|2VI3'

【高三數(shù)學參考答案第，1頁(共6頁)】24O1IC

二直線AP與平面PR。所成角的正弦值為與、.............................................12分

21.解：（1）設F°（c.O），由說?調(diào)=。，有溫」.際..........................................「分

又由I=1MF2!，有/MF20=-f（O為坐標原點?？傻?=c,黯-2b"

可得橢圓E的方程為暴十,=1,...................................................................................................................3分

代人點N的坐標，有系十會E，解得丘乃，

故橢圓E的標準方程為今十差■口；.......................................................4分

4Z

（2）①當直線AB的斜率不存在或為。時，［ABI為長福長或空-,

cl

不妨設|AB\H2ZK4,|CQ|』上』2.

故$因這珍念如h|AB|X|CDIE4;................................................................................................................5夕〉

N

②當直線AB的搭率存在且不為。時，設直線A&y工乂x-41），A（公.為）,B5,2）,

jy=^（.r—vT）,

聯(lián)立方程,22消去y得（1十2/）/-4S/7旌力+4〃-4?=0,

與十夫工1,

則工、+及一條舞6分

所以|AB|=>、/14一式丁+（?—於A=V（xx—X?/+DKxi—、⑶一瓜.工2-V2）J2=A/1+L?"q—工2r=

V'lW.X/『工一產(chǎn)二跖冢工。千戶XAk±幽『一4乂』坐；十」,

V\1+2女/二十ZA「1

4（,+1）_4西+1）

同理可得ICD\…~2"7\一聲不了…3分

后+1

8（肥+1）2

所以==y|AB|xICDI二分

S附以再AC5Q-（FTzxzFTn9

「（貫,+2）+（2Z：2?+1）：2…9（過+1〉

因為（〃十2）〈2公+"W

2

當?shù)﹥H當后十2=2/+1,即&=士工時等號成立,.....................................................................................11分

-.,c、3（為2十D23232…

，G’r；!以I、、區(qū)邊形~.?［、廣q，口口c'*、，，

4

綜上：四邊形ACBD的面積的最小值為警.

................................................................................................12分

22.解：（1）函數(shù).武6的定義域為（一1,十8）,

/.?/■,i<J+1I-I1/1\工［?！瘁苁瓺—1］一工［ox-（l一加［

〈金十1廠n+1\二一1八公十1/G?;+1；Gz十1）

①當時，由工+1>0