數(shù)值計(jì)算方法 第4版 課件 第4章4-08,9分段插值_第1頁(yè)
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4.8分段插值法給定

(x∈［-5,5］)。取等距節(jié)點(diǎn)xi=-5+i(i=0,1,…,10),試建立插值多項(xiàng)式L10(x),并作圖形,觀察L10(x)對(duì)f(x)的逼近效果。分段三次埃爾米特插值為了避免Runge現(xiàn)象的發(fā)生,很自然地會(huì)想到把區(qū)間［-5,5］等分為10個(gè)小區(qū)間,在每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)應(yīng)用低次插值。但由于每個(gè)小區(qū)間只有兩個(gè)端點(diǎn)（插值節(jié)點(diǎn)）,按照已知的方法,得到的將是一個(gè)分段線性插值函數(shù)。

已知xi,f(xi),f'(xi)(i=0,1,…,n),求分段三次插值函數(shù)H(x)滿足

H(xi)=f(xi),H'(xi)=f'(xi) i=0,1,…,n

為了得到插值函數(shù),考慮任意子區(qū)間xi,xi+1］,i∈(0,1,…,n-1),采用Lagrange插值函數(shù)結(jié)構(gòu),在第i個(gè)子區(qū)間上H(x)=f(xi)h1(x)+f(xi+1)h2(x)+f'(xi)h3(x)+f'(xi+1)h4(x)

這樣，就把H(x)的構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化為四個(gè)插值基函數(shù)hk(x)(k=1,2,3,4)的構(gòu)造問(wèn)題。

4.9三次樣條插值

“樣條”一詞本來(lái)是指在飛機(jī)或輪船設(shè)計(jì)過(guò)程中為了描繪出光滑的外形曲線所用的一種工具，即一個(gè)具有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條。事實(shí)上，在作了某些近似簡(jiǎn)化后，樣條的數(shù)學(xué)模型并不復(fù)雜，它只是分段的三次多項(xiàng)式曲線：在相鄰兩塊壓鐵之間是三次多項(xiàng)式曲線；在壓鐵處，左右兩段曲線的切線和曲率是連續(xù)的。定義

給定［a,b］的分劃：a=x0<x1<…<xn=b,如果函數(shù)s(x)在區(qū)間［a,b］上滿足以下條件：

（1）在每一個(gè)子區(qū)間（xi,xi+1）(i=0,1,…,n-1)上s(x)是三次多項(xiàng)式；（2）

s(x)在區(qū)間［a,b］上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；

（3）s(xi)=yi(i=0,1,…,n),s'(

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