高數(shù)微積分中值定理

關(guān)于高數(shù)微積分中值定理12第一節(jié)中值定理一、羅爾(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理第2頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天31.函數(shù)極值的定義第3頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天4定義:函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).第4頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天5注：（1）極值的概念是局部性的（2）有的極大值可能比極小值還?。?）取得極值處，曲線的切線是水平的，即極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零。但是注意導(dǎo)數(shù)為零處，即有水平切線處，不一定取得極值，例如圖中的點(diǎn)處第5頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天62.費(fèi)馬(fermat)引理且存在證:

設(shè)則證畢存在第6頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天73.

駐點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)。注：（1）極值點(diǎn)要么是駐點(diǎn)，要么是不可導(dǎo)點(diǎn)（2）駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)費(fèi)馬引理的幾何意義：第7頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天8一、羅爾(Rolle)定理第8頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天9幾何解釋:例如,第9頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天10證第10頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天11注意:

定理?xiàng)l件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如,第11頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天12例證(1)(2)驗(yàn)證定理的假設(shè)條件滿足驗(yàn)證結(jié)論正確驗(yàn)證羅爾定理的正確性.羅爾定理肯定了的存在性,一般沒必要知道究竟等于什么數(shù),只要知道存在即可.第12頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天1313例試證方程分析注意到:第13頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天1414證設(shè)且

羅爾定理即試證方程第14頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天15例證:由介值定理即為方程的小于1的正實(shí)根.矛盾,第15頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天16二、拉格朗日(Lagrange)中值定理第16頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天17幾何解釋:證分析:弦AB方程為第17頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天18作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.第18頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天19拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理第19頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天20推論證:

在

I

上任取兩點(diǎn)氏中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).第20頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天21例證自證:經(jīng)驗(yàn):欲證時(shí)只需證在

I

上第21頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天22例.

證明不等式證:

設(shè)中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣室虼藨?yīng)有或第22頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天23三、柯西(Cauchy)中值定理第23頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天24幾何解釋:分析:要證第24頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天25證:

作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn)思考:

柯西定理的下述證法對(duì)嗎?兩個(gè)

不一定相同錯(cuò)!上面兩式相比即得結(jié)論.第25頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天26柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率第26頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天27拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例：第27頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天28例：證：分析:結(jié)論可變形為第28頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天29羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理

羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之間的關(guān)系:推廣推廣

這三個(gè)定理的條件都是充分條件,換句話說,滿足條件,不滿足條件,定理可能成立,不是必要條件.而成立;不成立.定理也可能第29頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天30應(yīng)用三個(gè)中值定理常解決下列問題(1)驗(yàn)證定理的正確性;(2)證明方程根的存在性;(3)引入輔助函數(shù)證明等式;(4)證明不等式;(5)綜合運(yùn)用中值定理(幾次運(yùn)用).

關(guān)鍵逆向思維,找輔助函數(shù)（原函數(shù)）第30頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天31例分析將結(jié)論交叉相乘得輔助函數(shù)F(x)試證明:第31頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天32或?qū)⒔Y(jié)論交叉相乘得換成輔助函數(shù)F(x)第32頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天33證設(shè)輔助函數(shù)因此F(x)滿足Rolle定理的條件.第33頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天34即得證畢.第34頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天35練習(xí)

分析即證要證證明:對(duì)任意的實(shí)數(shù)k,設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且第35頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天36證即證明:對(duì)任意的實(shí)數(shù)k,設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且由Rolle定理第36頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天37試證必存在設(shè)函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),證因?yàn)閒(x)在[0,3]上連續(xù),且在[0,2]上必有最大值M和最小值m,于是故由介值定理知,至少存在一點(diǎn)使所以f(x)在[0,2]上連續(xù),因?yàn)榍襢(x)在[c,3]上連續(xù),在(c,3)內(nèi)可導(dǎo),所以由Rolle定理知,必存在以下4題目較難第37頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天38試證:存在設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)證設(shè)f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)最大值M分別在取得.由零點(diǎn)定理,至少介于使得具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值,令則因此由羅爾定理,存在使得再由羅爾定理,存在使得即第38頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天39(1)證明拉格朗日中值定理:若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則存在(2)證明:證(1)取由題意知F(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且第39頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天40由Rolle定理,即第40頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天41(2)證明:證(2)對(duì)于任意的函數(shù)f(x)在[0,t]上由右導(dǎo)數(shù)定義及拉格朗日中上連續(xù),在(0,t)內(nèi)可導(dǎo),值定理所以第41頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天42例.試證至少存在一點(diǎn)使證:

法1

用柯西中值定理.則f(x),g(x)在[1,e]上滿足柯西中值定理?xiàng)l件,令因此即分析:第42頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天43例.

試證至少存在一點(diǎn)使法2

令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件,使因此存在第43頁(yè),共46頁(yè)，2024年2月25日，星期天44內(nèi)容小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西