2024年中考數(shù)學復習（全國版）專題18 幾何圖形初步【十二大題型】（舉一反三）（解析版）

專題18幾何圖形初步【十二大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1從不同方向看幾何體】 3【題型2由展開圖計算幾何體的表面積、體積】 6【題型3正方體的展開圖】 8【題型4兩點之間的距離】 11【題型5與線段中點有關的計算】 13【題型6角平分線的相關計算】 16【題型7與余角、補角、對頂角有關的計算】 19【題型8利用平行線的判定進行證明】 21【題型9平行線判定或性質(zhì)的實際應用】 24【題型10由平行線的性質(zhì)求解】 29【題型11根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求角度】 31【題型12根據(jù)平行線性質(zhì)與判定證明】 35【知識點幾何圖形初步】1.直線、射線、線段(1)直線：經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線。簡稱：兩點確定一條直線。(2)相交線：當兩條不同的直線有一個公共點時，我們就稱這兩條直線相交。這個公共點叫做它們的交點。(3)兩點的所有連線中，線段最短。簡稱：兩點之間，線段最短。連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離。(4)線段的中點：線段上的一個點把線段分成相等的兩條線段，這個點叫做線段的中點。(5)直線沒有端點，向兩方無限延伸，不可度量；射線有一個端點，向一方無限延伸，不可度量；線段有兩個端點，不向任何一方延伸，能度量。2.角(1)定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角。這個公共端點是角的頂點，兩條射線是角的兩條邊。(2)角的度量1°=60′1′=60″(3)角的分類①銳角(0°<α<90°)②直角(α=90°)③鈍角(90°<α<180°)④平角(α=180°)⑤周角(α=360°)(4)角的平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線。(5)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。(6)余角與補角余角：一般地，如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角。補角：如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角。性質(zhì)：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的補角相等。3.鄰補角與對頂角鄰補角：有一條公共邊，另一邊互為反向延長線的兩個角，叫做互為鄰補角。對頂角：有一個公共頂點，一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。注：對頂角相等。如：∠1和∠2互為鄰補角，∠2和∠3互為對頂角。4.垂線(1)定義：兩直線相交所構成的四個角中有一個角是直角時，我們就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另外一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。(2)性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。(3)點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。3.同位角.內(nèi)錯角.同旁內(nèi)角如圖，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是內(nèi)錯角，∠2和∠4是同旁內(nèi)角。5.平行線(1)定義：在平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。(2)平行公理經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。(3)平行線的性質(zhì)兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補。兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等；兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。(4)平行線的判定同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行。【題型1從不同方向看幾何體】【例1】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）作為中國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識．如圖是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，下面四幅圖是從左面看到的圖形的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了從三個方面看物體，準確把握從正面、左面和上面三個方向看立體圖形得到的平面圖形是解決問題的關鍵．從正面、左面和上面三個方向看立體圖形得到的平面圖形，注意所有的看到的或看不到的棱都應表現(xiàn)在視圖中，看得見的用實線，看不見的用虛線，虛實重合用實線．【詳解】解：從左面看，得到的平面圖形是，故選：B．【變式1-1】（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考一模）用3個同樣的小正方體擺出的幾何體，從三個方向看到的圖形分別如下圖：

這個幾何體是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】結合從不同方向看幾何體的圖形作出判斷即可．【詳解】解：根據(jù)從正面看到的圖形，可以將A、C、D排除，故選：B．【點睛】本題考查了由不同方向看判斷幾何體的知識，解題的關鍵是能夠弄懂從不同方向看幾何體分別是從哪里看到的．【變式1-2】（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預測）如圖所示是由五個大小相同的正方體搭成的幾何體，則關于它從正面看、從左面看、從上面看到的平面圖形，下列說法正確的是（）

A．從正面看的圖形面積最小 B．從上面看的圖形面積最小C．從左面看的圖形面積最小 D．從三個方向看的圖形面積一樣大【答案】C【分析】分別作出從正面看、從左面看、從上面看到的平面圖形，然后結合選項判斷其面積大小即可．【詳解】解：該圖形的從正面看到的平面圖形為：

該圖形的從左面看到的平面圖形為：

該圖形的從上面看到的平面圖形為：

可知從左面看到的平面圖形面積最小，從正面看到的平面圖形面積和從上面看到的平面圖形面積一樣大，故選：C．【點睛】此題考查了從不同的方向看簡單組合體，解題的關鍵是畫出這個組合體從不同方向看的圖形．【變式1-3】（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考二模）由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的左視圖和主視圖如圖所示，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】作出相應的俯視圖，標出搭成該幾何體的小正方體的個數(shù)最少時的數(shù)字即可．【詳解】由所給的主視圖和左視圖可知：搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少5個，故選：C．【點睛】此題考查了由三視圖判斷幾何體，解題的關鍵是對知識點的記憶、理解能力．【題型2由展開圖計算幾何體的表面積、體積】【例2】（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）若直三棱柱的上下底面為正三角形，側面展開圖是邊長為6的正方形，則該直三棱柱的表面積為．【答案】36+23/【分析】根據(jù)題意得出正三角形的邊長為2，進而根據(jù)表面積等于兩個底面積加上側面正方形的面積即可求解．【詳解】解：∵側面展開圖是邊長為6的正方形，∴底面周長為6，∵底面為正三角形，∴正三角形的邊長為2作CD⊥AB，∵△ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=2，∴AD=1，∴在直角ΔADCCD=A∴S

∴該直三棱柱的表面積為6×6+23故答案為：36+23【點睛】本題考查了三棱柱的側面展開圖的面積，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【變式2-1】（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）某商品的外包裝盒的三視圖如圖所示，則這個包裝盒的體積是（）A．200πcm3 B．500πcm3 C．1000πcm3 D．2000πcm3【答案】B【詳解】試題分析：根據(jù)圖示，可得商品的外包裝盒是底面直徑是10cm，高是20cm的圓柱，∴這個包裝盒的體積是：π×(10÷2)2×20=500π考點：由三視圖判斷幾何體．【變式2-2】（2023·湖北·中考真題）如圖是一個幾何體的三視圖（圖中尺寸單位：cm），根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計算這個幾何體的表面積為cm2．【答案】4π．【分析】由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀，確定圓錐的母線長和底面半徑，從而確定其表面積．【詳解】由主視圖和左視圖為三角形判斷出是錐體，由俯視圖是圓形可判斷出這個幾何體應該是圓錐；根據(jù)三視圖知：該圓錐的母線長為3cm，底面半徑為1cm，故表面積=πrl+πr2=π×1×3+π×12=4πcm2．故答案為4π．【點睛】考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．【變式2-3】（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模）學習《設計制作長方體形狀的包裝紙盒》后，小寧從長方形硬紙片上截去兩個矩形（圖中陰影部分），再沿虛線折成一個無蓋的長方體紙盒．紙片長為30cm，寬為18cm，AD=A．960cm3 B．800cm3 C．【答案】D【分析】設AB=xcm，則AD=2xcm，列出關于【詳解】解：設AB=xcm，則AD=2x2x+x=18，解得：x=6，所以AB=6cm則長方體的底面寬為：12所以該紙盒的容積為：12×9×6故選：D【點睛】此題主要考查了展開圖折疊成幾何體及一元一次方程應用，解題的關鍵是正確題意，然后根據(jù)題目的數(shù)量關系列出代數(shù)式解決問題．【題型3正方體的展開圖】【例3】（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）下列正方體的展開圖中，是軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義分別判斷可得出結果．【詳解】解：由軸對稱圖形定義可知：A，B，C不能找到這樣的一條直線使圖形沿著這條直線對折后兩部分完全重合，所以不是軸對稱圖形；D選項中的圖形能找到這樣的一條直線使圖形沿著這條直線對折后兩部分完全重合，是軸對稱圖形，故選：D．【點睛】此題主要是考查了軸對稱圖形的定義，如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，那么這樣的圖形就叫做軸對稱圖形．【變式3-1】（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）某同學學習了正方體的表面展開圖后，在如圖所示的正方體的表面展開圖上寫下了“傳承紅色文化”六個字，還原成正方體后，“紅”的對面是（

）

A．傳 B．承 C．文 D．化【答案】D【分析】正方體的平面展開圖中，相對面的特點是之間一定相隔一個正方形，據(jù)此作答．【詳解】解：∵正方體的平面展開圖中，相對面的特點是之間一定相隔一個正方形，∴在此正方體上與“紅”字相對的面上的漢字是“化”．故選：D．【點睛】本題考查了正方體的展開圖形，解題關鍵是從相對面入手進行分析及解答問題．【變式3-2】（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖是一正方體的表面展開圖．將其折疊成正方體后，與頂點K距離最遠的頂點是（）

A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出立體圖形，即可求解．【詳解】解：折疊之后如圖所示，

則K與點D的距離最遠，故選D．【點睛】本題考查了正方體的展開與折疊，學生需要有一定的空間想象能力．【變式3-3】（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）一個不透明小立方塊的六個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小是（）

A．31 B．32 C．33 D．34【答案】B【分析】根據(jù)正方體展開圖的特征，得出相對面上的數(shù)字，再結合正方體擺放方式，得出使該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，則看不見的面數(shù)字之和要最大，即可解答．【詳解】解：由圖①可知：1的相對面是3，2的相對面是4，5的相對面是6，由圖2可知：要使該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，則看不見的面數(shù)字之和要最大，上面的正方體有一個面被遮住，則這個面數(shù)字為6，能看見的面數(shù)字之和為：1+2+3+4+5=15；左下的正方體有3個面被遮住，其中兩個為相對面，則這三個面數(shù)字分別為4，5，6，能看見的面數(shù)字之和為：1+2+3=6；右下的正方體有2個面被遮住，這兩個面不是相對面，則這兩個面數(shù)字為4，6，能看見的面數(shù)字之和為：1+2+3+5=11；∴能看得到的面上數(shù)字之和最小為：15+6+11=32，故選：B．【點睛】本題主要考查了正方體的相對面，掌握正方體展開圖中“相間一行是相對面”，是解題的關鍵．【題型4兩點之間的距離】【例4】（2023·山東·中考真題）已知線段AB=8cm，在直線AB上畫線段BC，使它等于3cm，則線段AC=cm．【答案】5或11【分析】由于C點的位置不能確定，故要分兩種情況考慮AC的長，注意不要漏解．【詳解】由于C點的位置不確定，故要分兩種情況討論：當C點在B點右側時，如圖所示：AC=AB+BC=8+3=11cm；當C點在B點左側時，如圖所示：AC=AB﹣BC=8﹣3=5cm；所以線段AC等于11cm或5cm.【變式4-1】（2023·重慶江津·重慶市江津中學校?？级＃┤鐖D，A、B、C、D依次是直線m上的四個點，且線段AB+CD=5，則線段AD?BC=【答案】5【分析】根據(jù)圖形得出AD-BC=AB+CD即可求解．【詳解】解：∵AB+CD=5，∴AD-BC=AB+CD=5．故答案為：5．【點睛】題目主要考查線段的和差，結合圖形求解是解題關鍵．【變式4-2】（2023·四川·中考真題）直線上依次有A，B，C，D四個點，AD=7，AB=2，若AB，BC，CD可構成以BC為腰的等腰三角形，則BC的長為．【答案】2或2.5【分析】由AB，BC，CD可構成以BC為腰的等腰三角形，分BC=AB或BC=CD兩種情況結合已知條件進行求解即可得.【詳解】解：如圖∵AB=2，AD=7，∴BD=BC+CD=AD-AB=5，∵AB，BC，CD可構成以BC為腰的等腰三角形，∴BC=AB或BC=CD，∴BC=2或BC=2.5，故答案為2或2.5.【點睛】本題考查了線段的和差，等腰三角形的概念，關鍵是根據(jù)等腰三角形的腰相等分兩種情況進行討論.【變式4-3】（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖所示，M是線段AB上一定點，AB=12cm，C，D兩點分別從點M，B出發(fā)以1cm/s，2cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（點C（1）當點C，D運動了2s時，求AC+MD的值．（2）若點C，D運時，總有MD=2AC，則AM=_______．（3）在（2）的條件下，N是直線AB上一點，且AN?BN=MN，求MNAB【答案】（1）6cm；（2）4；（3）13【分析】（1）由題意得CM=2cm，BD=4cm，根據(jù)AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD可得答案；（2）根據(jù)C、D的運動速度知BD=2MC，再由已知條件MD=2AC求得MB=2AM，所以AM=13AB（3）分點N在線段AB上時和點N在線段AB的延長線上時分別求解可得．【詳解】解：（1）當點C、D運動了2s時，CM=2cm，BD=4cm∵AB=12cm，CM=2cm，BD=4cm，∴AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD=12-2-4=6（cm）；（2）根據(jù)C、D的運動速度知：BD=2MC，∵MD=2AC，∴BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM，∵AM+BM=AB，∴AM+2AM=AB，∴AM=13AB故答案為：4；（3）①當點N在線段AB上時，如圖1，∵AN-BN=MN，又∵AN-AM=MN，∴BN=AM=4，∴MN=AB-AM-BN=12-4-4=4，∴MNAB②當點N在線段AB的延長線上時，如圖2，∵AN-BN=MN，又∵AN-BN=AB，∴MN=AB=12，∴MNAB綜上：MNAB的值為1【點睛】本題考查了兩點間的距離，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數(shù)量關系是十分關鍵的一點．【題型5與線段中點有關的計算】【例5】（2023·河北滄州·模擬預測）A、B、C、D四個車站的位置如圖所示．

(1)A、C兩站的距離；(2)C、D兩站的距離；(3)若a=6，C為AD的中點，求b的值．【答案】(1)3a(2)a+3b(3)4【分析】（1）根據(jù)題意列出關系式，合并即可得到結果；（2）根據(jù)題意列出關系式，去括號合并即可得到結果；（3）根據(jù)中點的定義列出方程計算即可求解．【詳解】（1）∵AC=AB+BC=a+b+2a?b=3a∴A、C兩站的距離為：3a；（2）∵CD=BD?BC=∴C、D兩站的距離為：a+3b；（3）∵C為AD的中點，∴AC=DC,∴3a=a+3b,當a=6時，3×6=解得b=4．【點睛】此題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式5-1】（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，B，C在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是?1，點B是AC的中點，線段AB=2，則點C表示的數(shù)是

【答案】2【分析】根據(jù)兩點間的距離公式和中點平分線段進行計算即可．【詳解】解：∵點B是AC的中點，線段AB=2∴AC=22∴點C表示的數(shù)是：22故答案為：22【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點間的距離，以及線段的中點．熟練掌握線段中點的定義，以及數(shù)軸上兩點間的距離公式，是解題的關鍵．【變式5-2】（2023·河南·模擬預測）如圖，點C是線段AB上的點，點D是線段BC的中點，若AB=12，AC=8，則CD=．【答案】2【分析】根據(jù)AB=12，AC=8，求出BC的長，再根據(jù)點D是線段BC的中點，得出CD=BD即可得出答案．【詳解】解：∵AB=12，AC=8，∴BC=4，∵點C是線段AB上的點，點D是線段BC的中點，∴CD=BD=2，故答案為2．【點睛】本題考查了兩點距離求法，根據(jù)已知求出BC=4是解題的關鍵．【變式5-3】（2023·河北滄州·?？寄M預測）有兩道作圖題：①“延長線段AB到C，使BC=AB”；②“反向延長線段DE，使點D是線段EF的一個三等分點”．小明正確的作出了圖形．他的兩個同學嘉嘉、淇淇展開了討論：嘉嘉說：“點B是線段AC中點”；淇淇說：“如果線段DE=xcm，那么線段EF=3xcm”，下列說法正確的是(

)A．嘉嘉對，淇淇不對 B．嘉嘉不對，淇淇對C．嘉嘉、淇淇都不對 D．嘉嘉、淇淇都對【答案】A【分析】根據(jù)作圖的方法以及線段的中點，三等分點的定義，即可求解．【詳解】解：①“延長線段AB到C，使BC=AB”，則點B是線段AC中點，故嘉嘉說法正確；②“反向延長線段DE，使點D是線段EF的一個三等分點”，如圖，如果線段DE=xcm，那么線段EF=3x或32x故選：A．

【點睛】本題考查了線段的中點，線段的三等分點，畫線段，分類討論是解題的關鍵【題型6角平分線的相關計算】【例6】（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AC∥BD，AO、BO分別是∠BAC、∠ABD的平分線，那么∠BAO與∠ABO之間的大小關系一定為（）A．互余 B．相等 C．互補 D．不等【答案】A【分析】根據(jù)AC∥BD，可得∠CAB+∠ABD=180°，再由AO、BO分別是∠BAC、∠ABD的平分線，即可求解．【詳解】解：∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∵AO、BO分別是∠BAC、∠ABD的平分線，∴∠CAB=2∠OAB，∠ABD=2∠ABO，∴∠BAO+∠ABO=90°，即∠BAO與∠ABO互余．故選：A【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；互余的兩角的和等于90°是解題的關鍵．【變式6-1】（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖1所示∠AOB的紙片，OC平分∠AOB，如圖2把∠AOB沿OC對折成∠COB（OA與OB重合），從O點引一條射線OE，使∠BOE=12∠EOC，再沿OE把角剪開，若剪開后得到的3個角中最大的一個角為76°，則∠AOB=

【答案】114【分析】由OC是∠AOB的平分線，可得∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，由題意知，剪開后得到的3個角中最大的一個角為2∠COE，即2∠COE=76°，解得∠COE=38°，由∠BOE=12∠EOC，可得∠BOE=19°，則∠BOC=∠BOE+∠COE=57°【詳解】解：∵OC是∠AOB的平分線，∴∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，由題意知，剪開后得到的3個角中最大的一個角為2∠COE，∴2∠COE=76°，解得∠COE=38°，∵∠BOE=1∴∠BOE=19°，∴∠BOC=∠BOE+∠COE=57°，∴∠AOB=2∠BOC=114°，故答案為：114．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，角平分線．解題的關鍵在于明確最大的角，以及正確表示角度之間的數(shù)量關系．【變式6-2】（2023·河南·中考真題）如圖，直線AB，CD相交于點O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，則∠CON的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義，得出∠MOC=35°，再根據(jù)題意，得出∠MON=90°，然后再根據(jù)角的關系，計算即可得出∠CON的度數(shù)．【詳解】解：∵射線OM平分∠AOC，∠AOM=35°，∴∠MOC=35°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．故選：C【點睛】本題主要考查了角平分線的定義和垂線的定義，解決本題的關鍵在正確找出角的關系．【變式6-3】（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，AO為∠BAC的平分線，且∠BAC=50°，將四邊形ABOC繞點A逆時針方向旋轉后，得到四邊形AB'O'C'，且

【答案】75°【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠BAO=∠OAC=25°，根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得∠BAC=∠B'AC'【詳解】∵AO為∠BAC的平分線，∠BAC=50°，∴∠BAO=∠OAC=25°，∵將四邊形ABOC繞點A逆時針方向旋轉后，得到四邊形AB∴∠BAC=∠B'A∴∠OAO故答案為：75°．【點睛】本題考查了角平分線的定義，旋轉的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關鍵．【題型7與余角、補角、對頂角有關的計算】【例7】（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，直角三角板的直角頂點落在矩形紙片的一邊上．若∠1=68°，則∠2的度數(shù)是（

）

A．30° B．32° C．22° D．68°【答案】C【分析】由平行線的性質(zhì)和余角的定義求解即可．【詳解】解：如圖，

由題意可知a∥b，∴∠3=∠1=68°，∴∠2=90°?∠3=90°?68°=22°．故選C．【點睛】本題考查三角板中的角度計算，平行線的性質(zhì)和余角的定義．掌握兩直線平行，同位角相等是解題關鍵．【變式7-1】（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，點O在直線AB上，OD是∠BOC的平分線，若∠AOC=140°，則∠BOD的度數(shù)為．

【答案】20°/20度【分析】根據(jù)鄰補角得出∠BOC=180°?140°=40°，再由角平分線求解即可．【詳解】解：∵∠AOC=140°，∴∠BOC=180°?140°=40°，∵OD是∠BOC的平分線，∴∠BOD=20°，故答案為：20°．【點睛】題目注意考查鄰補角及角平分線的計算，找準各角之間的關系是解題關鍵．【變式7-2】（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB，CD相交于點O，若∠1=80°，∠2=30°，則∠AOE的度數(shù)為（

）

A．30° B．50° C．60° D．80°【答案】B【分析】根據(jù)對頂角相等可得∠AOD=∠1=80°，再根據(jù)角的和差關系可得答案．【詳解】解：∵∠1=80°，∴∠AOD=∠1=80°，∵∠2=30°，∴∠AOE=∠AOD?∠2=80°?30°=50°，故選：B【點睛】本題主要考查了對頂角的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握對頂角相等．【變式7-3】（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形ABCD和正方形BEFG，點G在AD上，GF與CD交于點H，tan∠ABG=12，正方形ABCD的邊長為8，則BH

【答案】10【分析】根據(jù)正切的概念和正方形的性質(zhì)，求得AG的長度，再根據(jù)勾股定理求得BG的長度，證明∠ABG=∠DGH，求得DH,GH，最后根據(jù)勾股定理即可求得BH的長．【詳解】解：∵正方形ABCD和正方形BEFG，∴∠A=∠D=∠BGH=90°，AB=AD=8，∵tan∴AG∴AG=8×12=4在Rt△ABG中，BG=∵∠AGB+∠DGH=90°，∠AGB+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠DGH，∴∴DH=2，在Rt△CDH中，HG=∴在Rt△BGH中，HB=故答案為：10．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，正切的概念，熟知正切的概念再進行角度轉換是解題的關鍵．【題型8利用平行線的判定進行證明】【例8】（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，點A、D、C、B在同一條直線上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求證：AE∥BF．

【答案】證明見解析．【分析】可證明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF；【詳解】證明：∵AD=BC，∴AC=BD，在△ACE和△BDF中，AC＝∴△ACE≌△BDF（SSS）∴∠A=∠B，∴AE∥BF；【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及平行線的判定問題，關鍵是用SSS證明△ACE≌△BDF．【變式8-1】（2023·江蘇揚州·?？级＃┩瓿上旅娴淖C明：已知：如圖，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC．求證：AD∥證明：∵AB⊥AC（已知），∴∠BAC=90°（），∴在△ABC中，∠B+∠ACB=90°（），∵∠B=60°（已知），∴∠ACB=30°，∵∠1=30°，∴=（），∴AD∥BC（【答案】垂直定義；直角三角形的兩個銳角互余(或三角形的內(nèi)角和為180°)；∠1；∠ACB；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)垂線的定義，直角三角形的兩個銳角互余，平行線的判定，完成證明過程即可求解．【詳解】證明：∵AB⊥AC（已知），∴∠BAC=90°（垂直定義），∴在△ABC中，∠B+∠ACB=90°（直角三角形的兩個銳角互余），∵∠B=60°（已知），∴∠ACB=30°，∵∠1=30°，∴∠1=∠ACB（等量代換），∴AD∥故答案為：垂直定義；直角三角形的兩個銳角互余(或三角形的內(nèi)角和為180°)；∠1；∠ACB；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點睛】本題考查了垂線的定義，直角三角形的兩個銳角互余，平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關鍵．【變式8-2】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，AD，BC相交于點O，OB=OC，OA=OD，延長AD到F，延長DA到E，AE=DF，連接

【答案】見解析【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)得出OE=OF，再利用SAS證明△BOE≌△COF，再利用全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定解答即可．【詳解】證明：∵OA=OD，∴OA+AE=OD+DF，即OE=OF，∵∠EOB=∠FOC，∴△BOE≌△COF(SAS∴∠E=∠F．∴BE∥CF．【點睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是利用邊角邊證明兩個三角形全等．【變式8-3】（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將△ABC繞點B順時針旋轉60度得到ΔDBE，點C的對應點E恰好落在AB的延長線上，連接AD．（1）求證：BC//AD；（2）若AB=4，BC=1，求A，C兩點旋轉所經(jīng)過的路徑長之和．【答案】（1）見解析；（2）5【分析】（1）先利用旋轉的性質(zhì)證明△ABD為等邊三角形，則可證∠DAB=60°，即（2）利用弧長公式分別計算路徑，相加即可求解．【詳解】（1）證明：由旋轉性質(zhì)得：ΔABC?ΔDBE,∠ABD=∠CBE=∴AB=BD,∴ΔABD是等邊三角形所以∠DAB=∴∠CBE=∠DAB,∴BC//AD；（2）依題意得：AB=BD=4，BC=BE=1，所以A，C兩點經(jīng)過的路徑長之和為60π×4180【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、弧長公式等知識，熟練掌握這些知識點之間的聯(lián)系及弧長公式是解答的關鍵．【題型9平行線判定或性質(zhì)的實際應用】【例9】（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，∠1=45°,∠2=120°，則∠3+∠4=（

）

A．165° B．155° C．105° D．90°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等或同旁內(nèi)角互補，即可求出答案.【詳解】解：如圖所示，AB∥

∴∠1=∠3，∠2+∠4=180°.∵∠1=45°,∠2=120°，∴∠3=45°，∠4=180°?120°=60°.∴∠3+∠4=45°+60°=105°.故選：C.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應用，解題的關鍵在于熟練掌握平行線的性質(zhì).【變式9-1】（2023·安徽滁州·?？家荒＃緮?shù)學抽象】實驗證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖①，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m，反射光線n與平面鏡a所夾的銳角相等，即∠1=∠2．(1)利用這個規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖②是潛望鏡工作原理示意圖，AB、CD是平行放置的兩面平面鏡，請解釋進入潛望鏡的光線m為什么和離開潛望鏡的光線n是平行的？(2)如圖③，改變兩平面鏡之間的位置關系，經(jīng)過兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關系會隨之改變．若入射光線m與反射光線n平行但方向相反，則兩平面鏡的夾角∠ABC為多少度？【答案】(1)見解析；(2)90°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換、平角的概念即可得證；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、平角的概念及等量代換即可求得答案．【詳解】（1）證明：由題可知AB//CD，∠1=∠2，∠3=∠4，∵AB//CD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∵∠5=180°?∠1?∠2，∠6=180°?∠3?∠4，∴∠5=∠6，∴m//n；（2）∠ABC=90°，由題可知AD//CE，∠1=∠2，∠3=∠4，∵AD//CE，∴∠DAC+∠ACE=180°，又∵∠1+∠2+∠DAC=180°，∠3+∠4+∠ACE=180°，∴∠2+∠3=90°，∴∠B=90°.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、平角的概念，能夠將實際問題轉化為我們所學的數(shù)學知識是解題的關鍵．【變式9-2】（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）如圖所示是地球截面圖，其中AB，EF分別表示南回歸線和北回歸線，CD表示赤道，點P表示太原市的位置．現(xiàn)已知地球南回歸線的緯度是南緯23°26'∠BOD=23°26'，太原市的緯度是北緯37°32'∠POD=37°32'，而冬至正午時，太陽光直射南回歸線（光線

【答案】29°【分析】設PQ與OM交于點K，先由三角形內(nèi)角和定理求出．∠OKP=29°2【詳解】如圖，設PQ與OM交于點K，

∵∠BOD=23°26'，∴∠POM=∠POD+∠BOD=60°58在△OPK中，∠POK+∠OPK+∠OKP=180°，∠OPK=90°，∴∠OKP=29°2∵PN∥∴∠α=∠OKP=29°2故答案為：29°2【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，讀懂題意并熟練掌握知識點是解題的關鍵．【變式9-3】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）為了亮化某景點，石家莊市在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發(fā)出的光束自AM逆時針旋轉至AN便立即回轉，B燈發(fā)出的光束自BP逆時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉動30°，B燈每秒轉動10°，B燈先轉動2秒，A燈才開始轉動，當B燈光束第一次到達BQ之前，兩燈的光束互相平行時A燈旋轉的時間是（）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒【答案】C【分析】設A燈旋轉的時間為t秒，求出t的取值范圍為0<t≤16，再分①0<t≤6，②6<t≤12和③12<t≤16三種情況，先分別求出∠MAM'和∠PBP【詳解】解：設A燈旋轉的時間為t秒，A燈光束第一次到達AN所需時間為180°30°=6秒，B燈光束第一次到達BQ所需時間為∵B燈先轉動2秒，A燈才開始轉動，∴0<t≤18?2，即0<t≤16，由題意，分以下三種情況：①如圖，當0<t≤6時，AM∴∠MAM∵MN//∴∠MAM∴∠MAM'=∠PB解得t=1，符合題設；②如圖，當6<t≤12時，AM∴∠MAM∵MN//∴∠MAM∴∠MAM'=∠PB解得t=8.5符合題設；③如圖，當12<t≤16時，AM∴∠MAM同理可得：∠MAM'=∠PB解得t=19>16，不符題設，舍去；綜上，A燈旋轉的時間為1秒或8.5秒，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、一元一次方程的幾何應用等知識點，正確求出時間t的取值范圍，并據(jù)此分三種情況討論是解題關鍵．【題型10由平行線的性質(zhì)求解】【例10】（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知a∥b，點A在直線a上，點B，C在直線b上，∠BAC=90°，∠1=30°，則∠2的度數(shù)是（

A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和為180°進行解題即可．【詳解】解：∵a∥b，∠1=30°，∴∠ABC=∠1=30°，由題可知：∠BAC=90°，∴∠ABC+∠2=90°，∴∠2=90°?30°=60°．故選：C．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式10-1】（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB∥CD,BC∥ED,∠B=80°，則∠D=度．

【答案】100【分析】根據(jù)AB∥CD,∠B=80°，得出∠C=80°，根據(jù)BC∥ED，即可得出∠D=180°?∠C，即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD,∠B=80°，∴∠C=∠B=80°，∵BC∥ED，∴∠D=180°?∠C=180°?80°=100°，故答案為：100．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補．【變式10-2】（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB∥CD，將一個含60°角的直角三角尺EGF按圖中方式放置，點E在AB上，邊GF、EF分別交CD于點H、K，若∠BEF=64°，則∠GHC等于（

A．44° B．34° C．24° D．14°【答案】B【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)可得∠EKC=∠BEF=64°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得∠GHK=146°，問題隨之得解．【詳解】∵AB∥CD，∴∠EKC=∠BEF=64°，∵∠EKC+∠G+∠GEK+∠GHK=360°，∠GEK=60°，∠G=90°，∴∠GHK=146°，∵∠GHK+∠GHC=180°，∴∠GHC=34°，故選：B．【點睛】本題主要考查了平行的性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和為360°，掌握四邊形內(nèi)角和為360°是解答本題的關鍵．【變式10-3】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°，則∠C=°．

【答案】55°/55度【分析】先由鄰補角求得∠ADE=60°，∠BFG=65°，進而由平行線的性質(zhì)求得∠B=【詳解】解：∵∠BDE=120°,∠DFG=115°，∠BDE+∠ADE=180°∴∠ADE=60°，∠∵DE∥BC,FG∥AC，∴∠B=∠ADE=60°∵∠A+∴∠C=180°?65°?60°=55°故答案為：55°．【點睛】本題主要考查了鄰補角，平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．【題型11根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求角度】【例11】（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的“箭頭”圖形中，AB∥CD，∠B=∠D=80°，

A．80° B．76° C．66°【答案】C【分析】延長AB交EG于點M，延長CD交GF于點N，過點G作AB的平行線GH，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：如圖，延長AB交EG于點M，延長CD交GF于點N，過點G作AB的平行線GH，

∵∠E=∠F=47∴∠EMA=∠EBA?∠E=33°，∠FNC=∠FDC?∠F=33°，∵AB∥∴HG∥∴∠MGH=∠EMA=33°，∠NGH=∠FND=33°，∴∠EGF=33°+33°=66°，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)，作出正確的輔助線是解題的關鍵．【變式11-1】（2023·浙江·校聯(lián)考中考模擬）如圖所示，是我們生活中經(jīng)常接觸的小刀，刀柄外形是一個直角梯形（挖去一小半圓），刀片上下是平行的，轉動刀片時會形成∠1、∠2，則∠1+∠2=．【答案】90°【分析】如圖，過點O作OP∥AB，則AB∥OP∥CD．所以根據(jù)平行線的性質(zhì)將（∠1+∠2）轉化為（∠AOP+∠POC）來解答即可．【詳解】解：如圖，過點O作OP∥AB，則∠1=∠AOP．∵AB∥CD，∴OP∥CD，∴∠2=∠POC，∵刀柄外形是一個直角梯形，∴∠AOP+∠POC=90°，∴∠1+∠2=90°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定．平行線性質(zhì)定理：兩直線平行，同位角相等．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式11-2】（2023·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC為弦，過圓心O作OD⊥BC交弧BC于點D，連接DC，若∠DCB＝34°，則∠BAC＝．【答案】68°/68度【分析】由圓周角定理可知，∠BOD=2∠BCD=64°，由AB為直徑可知，AC⊥BC，又OD⊥BC，可知AC//OD，利用平行線的性質(zhì)可求∠BAC．【詳解】解：∵∠BOD與∠BCD為BD所對的圓心角和圓周角，∠DCB＝34°，∴∠BOD=2∠BCD=68°，∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC，又∵OD⊥BC，∴AC∥OD，∴∠BAC=∠BOD=68°，故答案為：68°．【點睛】本題考查了圓周角定理以及平行線的判定與性質(zhì)，利用圓周角定理求圓心角是解題的關鍵．【變式11-3】（2023·河南周口·校聯(lián)考二模）已知一個零刻度落在點A的量角器（半圓O）的直徑為AB，一等腰直角三角板繞點B旋轉．

(1)如圖1所示，當?shù)妊苯侨前宓男边吔话雸A于C點，一直邊交半圓于D點，另一直邊交半圓于E點，若點C在量角器上的讀數(shù)為25°，求此時點E在量角器上的讀數(shù)；(2)如圖2所示，當點C、D在量角器上的讀數(shù)α、β滿足什么關系時，直角邊與半圓O相切于點D？請說明理由．【答案】(1)點E在量角器上的讀數(shù)為115°(2)當點C、D在量角器上的讀數(shù)α、β滿足β?45°=12α時，直角邊與半圓O【分析】（1）連接OC、OE，由題意可知∠AOC=25°，求得∠COE=90°，于是得到∠AOE=∠AOC+∠COE=25°+90°=115°．（2）連接OC、OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PDO=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AOD=∠ABP=β，得到結論．【詳解】（1）如圖1所示，連接OC、OE，

∵點C在量角器上的讀數(shù)為25°，∴∠AOC=25°，∵∠CBE=45°，∴∠COE=90°，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=25°+90°=115°．（2）如圖2所示，連接OC、OD，

∵直角邊為圓O的切線，D為切點，∴∠PDO=90°，∴∠PDO+∠P=180°，∴DO∥PB，∴∠AOD=∠ABP=β，又∵∠ABC=12∠AOC=∴β?45°=1【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關鍵．【題型12根據(jù)平行線性質(zhì)與判定證明】【例12】（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預測）如圖，已知AB∥CD，射線AH交BC于點F，交CD于點D，從D點引一條射線DE，若∠1=∠2，求證：∠B+∠CDE=180°．對于上述問題，請在以下解答過程的空白處填上適當?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學式）．證明：∵∠1=∠2（已知），且∠1=∠BFH（對頂角相等），∴∠BFD=（

）（等量代換）．∴BC∥（

）．∴∠C+∠CDE=180°（

）．又∵AB∥CD（已知），∴∠B=（

）（兩直線平行內(nèi)錯角相等）．∴∠B+∠CDE=180°．【答案】∠2，DE，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，∠C【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，由∠1=∠BFH得出∠BFD=∠2，從而推出BC∥DE，再利用平行線的性質(zhì)可得∠C+∠CDE=180°，∠B=∠C，最后利用等量代換即可得出∠B+∠CDE=180°，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解此題