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文檔簡介

一、單選題

1.已知集合4=上苗+》<0},8={x|y=ln(2x+l)},則AcB=()

A.f-^olB.1—,o]C.fi,olD.「T,-!

12」L2J12」L2.

【答案】A

2.復(fù)數(shù)z=(l+2i)i的實(shí)部和虛部之和為()

A.1B.-iC.3D.-3

【答案】B

3.2022年2月4日,中國北京第24屆奧林匹克冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式以二十四節(jié)氣的方式開

始倒計(jì)時(shí)創(chuàng)意新穎,贏得了全球觀眾的好評(píng).某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國二十四節(jié)氣文化,特制作

出“立春”、“雨水”、“驚蟄”、“春分”、“清明”、“谷雨”六張知識(shí)展板分別放置在六個(gè)并排的

文化櫥窗里,要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰,且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰,則不

同的放置方式種數(shù)有()

A.24B.48C.144D.240

【答案】C

4.函數(shù)/(x)=3sin(與-2x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是()

7713乃71171冗7C71

—,—C.—,一D.--,一

1212J12266

【答案】B

22

5.已知尸I,尸2為橢圓C:=+4=l(a>b>0)的左,右焦點(diǎn),為C的短軸的一個(gè)端點(diǎn),直

ab-

線班與C的另一個(gè)交點(diǎn)為,若"4弱為等腰三角形,則IA圖/-I=

A.12

B.\_C-D.3

323

【答案】A

01

6.己知FG分別為5-2=l,a>0,6>0的左、石焦點(diǎn),為雙曲線右支上任一點(diǎn),

ab西

最小值為8a,則該雙曲線的離心率的取值范圍是()

A.(1,2)B.(1.3]C.(2,3)D.(3,4-00)

【答案】B

?

7.關(guān)于函數(shù)/(x)=lnx+—,下列判斷正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

ax

①函數(shù)/(%)的圖像在點(diǎn)X=1處的切線方程為(吁2)x-ay+4-a=。

2

②是函數(shù)/a)的一個(gè)極值點(diǎn);

a

③當(dāng)時(shí),/(x)>ln2+l;

④當(dāng)a=-1時(shí),不等式/(2x+D-/(3x-D>0的解集為(1,2);

⑤f(x)20恒成立的充分必要條件是ae(0,2e];

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

8.已知函數(shù)/(x)是定義在(-1,2)上的單調(diào)函數(shù),且對(duì)任意的xe(-l,2),都有

—1)=1恒成立,則/(2)=()

211

A.-B.1C.-D.-

【答案】D

二、多選題

9.已知等差數(shù)列{4}的前項(xiàng)和為S”,若q=31,$=210,則()

A.SI9=19a10

B.數(shù)列{2%}是公比為28的等比數(shù)列

C.若,=(-1)"-凡,則數(shù)列{包}的前2023項(xiàng)和為-4037

D.若么=——,則數(shù)列他,}的前項(xiàng)和為

【答案】ABD

10.已知4e;是平面向量的一組基底,則下列四組向量中,可以作為一組基底的是()

A.。和q+e,B.q—2e?和/一2??1

C.q+e2和弓―e2D.q—2/和4%—2q

【答案】ABC

11.如圖,在菱形ABCQ中,AB=^-,ZBAD=60,沿對(duì)角線8D將△ABZ)折起,使點(diǎn),

3

C之間的距離為2夜,若P,Q分別為直線52CA上的動(dòng)點(diǎn),則下列說法正確的是()

A.當(dāng)人。=。。,49=。3時(shí),點(diǎn)。到直線也的距離為巨

21

B.線段PQ的最小值為加

C.平面ABDI平面BCD

D.當(dāng)RQ分別為線段的中點(diǎn)時(shí);PQ與A。所成角的余弦值為理

4

【答案】BCD

12.記/(X)的導(dǎo)函數(shù)為數(shù)為),若F(x)v獷(的v2/(x)-*對(duì)任意的正數(shù)都成立,則下列

不等式中成立的有()

A.〃1)<2/出B./(1)<|/(2)

C.D./(1)<1/(2)4

【答案】BC

三、填空題

13.如圖,某河流上有一座拋物線形的拱橋,已知橋的跨度加=10米,高度/?=5米(即橋

拱頂?shù)交鵄B所在的直線的距離).由于河流上游降雨,導(dǎo)致河水從橋的基座處開始上漲了

1米,則此時(shí)橋洞中水面的寬度為米.

【答案】475

14.等比數(shù)列{0“}中,S“是其前項(xiàng)和,且5*=100,1=300,則邑4=

【答案】700

15.球的一個(gè)內(nèi)接圓錐滿足:球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半,則該圓錐的體積和

此球體積的比值為.

【答案】《9或三3

3232

16.已知函數(shù)/*)=,-3修,現(xiàn)給出下列結(jié)論:

①/(x)有極小值,但無最小值

②/(X)有極大值,但無最大值

③若方程fM=b恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根,則b>61

④若方程/(x)="合有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根,則0<b<Ge,

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為

【答案】②④

四、解答題

17.為了更好地幫助高二學(xué)生準(zhǔn)備生物地理的等級(jí)考試,復(fù)旦附中就“住校備考”還是“回家

備考”問題進(jìn)行了抽樣調(diào)查,調(diào)查數(shù)據(jù)如下表(單位:人):

住校備考^山家備考合計(jì)

男4812

女10313

合計(jì)141125

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答,能否有95%以上的把握判定是否回家備考與性別有關(guān)?

(2)從“回家備考”的11人中選出4人進(jìn)行座談,設(shè)參加座談的男生人數(shù)為X,求X的分布和

期望.

說明:解答本題,可以參考如下資料:

P(/")

2n(^ad-bcy

,(o+b)(c+d)(a+c)(b+d).

【答案】(1)答案見解析;

(2)分布列見解析,期望為三32.

(1)

25x(8x10-4x3)2

由%2=?4.812>3.841

14x11x12x13

所以有95%以上的把握判定回家備考與性別有關(guān).

由題設(shè),X可能值為"2,3,4},

P(X=D=詈嘀,尸《=2)=署U嘉尸-3)=詈嘲

玖*=4)=詈=爵,

X分布列為

X1234

88416870

330330330330

18c84168.7032

E(X)=1x---F2x---F3x----F4x---=

33033033033077

18.在MBC中,AB=6,AC=3&,ABAC=-18.

(1)求BC邊的長;

(2)求AABC的面積.

【答案】(1)3V1O;(2)9.

【詳解】(1)由AB-AC=A8-AC-cosA=-18,且A8=6,AC=3叵,

BC=ylAB2+AC2-2ABAC-cosA={62+(3河一2.18)=3x/10:

(2)在MBC中,AB=6,AC=3y/2,BC=3x/i(j,

.ABAC-186.*r----ry夜

cosA=------=----f==----,smA=vl-cosA=---,

ABAC6x3V222

所以SMBC=gAB-4C-sinA=g-6-3VLq=9.

19.如圖,在四棱錐P-ABC。中,底面四邊形ABCD是矩形,A8="=2BC,平面PAB1

平面ABCD,二面角尸-BC-A的大小為45.

(1)求證:Q41平面ABCD;

(2)求直線”與平面PAC所成的角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2)叵.

10

【詳解】(1)四棱錐尸-ABCD中,四邊形ABCD是矩形,所以BC1AB,

又因?yàn)槠矫?鉆1平面ABCD,平面PABc平面BCu平面ABCD

所以BC工平面RM,

又因?yàn)锳B、朋、P8u平面BW,所以BC143,BC1PA,BCLPB,

從而/PBA是二面角尸―BC-A的平面角,

因?yàn)槎娼荘-BC—A的大小為45,所以/PA4=45",

在:%B中,AB=PA>所以/8抬=/尸班=45,所以NP8A=90",

即加1",

又因?yàn)锽C工尸A,ABcBC=B,所以B41平面/1BCD;

(2)在底面ABCD內(nèi),過點(diǎn)作B//1AC,垂足為〃,連接PH,

由(1)知241平面ABCD,又BHu平面ABCD,所以m1BH,

又因?yàn)閃/1AC,PA^AC=A,所以BH1平面PAC,

從而ZBPH為直線尸s與平面PAC所成角,

設(shè)BC—a,則AB=AP=2a,AC=>/AB^+BC~=后a,

”,??BABC2a__________「

所以,BH=AC=忑,PB=>JPA2+AB2=2j2a>

2a

所以直線”與平面PAC所成角的正弦值為sm/PH=也==眄-

PB2缶10

20.已知某數(shù)列的第一項(xiàng)為1,并且對(duì)所有的自然數(shù)稔2,數(shù)列的前“項(xiàng)之積為/.

(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng);

(2)寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式并加以證明.

1(〃=1)

【答案】2

(l)1,4,y,U;(2)??=■n

4"Io(n>2)

(n-1)2

【詳解】(1)已知。/=1,由題意,得。/?。2=22,???02=22.

.3"

VCU,d2,d3=y19?*C13=?

4~5~

同理,可得。4=三,"5=不?

因此這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)分別為1,%之.

4,16

⑵觀察這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng),猜測數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)為:

1(〃=1),

2

an=5n

(n>2).

("一1產(chǎn)

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)“22時(shí),an=-^—r.

22

①當(dāng),7=2時(shí),C12=~~~—r—22,結(jié)論成立.

(2—1)

②假設(shè)當(dāng)"=?Q2,keN*)時(shí),結(jié)論成立,

k2

即以

2

°:ag?…,aki=(k—\¥,arar...'ak-rakakA/=(A:+1),

,(A+1)2Gt+1)2a-1)2(&+l)2/+1)2

十(4。2ak-\^'ak(4—1)2k2k2[(/:+1)-1]■

這就是說當(dāng)〃=%+l時(shí),結(jié)論也成立.

根據(jù)①②可知,當(dāng)“N2時(shí),這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是

n2

1(〃=1),

???這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為加={〃2,、小

-----7(“22).

〔5-1)2

21.已知復(fù)數(shù)2=工+加(兀丫€?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為河(x,y),且滿足|z+2|-|z-2|=2,

點(diǎn)”的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)A(-LO),8(1,0),若過尸(2,0)的直線與C交于,0兩點(diǎn),且直線w與80交于點(diǎn).證

明:

(i)點(diǎn)在定直線上;

(ii)若直線AQ與配交于點(diǎn)S,則RF_LSF.

【答案】(1)x2_《=i(x>o);(2)(i)證明見解析;(ii)證明見解析.

【詳解】(1)由題意可知:7U+2)2+/-^x-2)2+y2=2)

所以點(diǎn)”到點(diǎn)片(—2,0)與到點(diǎn)名(2,0)的距離之差為2,且2〈衍q=4,

所以動(dòng)點(diǎn)”的軌跡是以E,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,

設(shè)其方程為.一方=l(x>0,〃>0/>0),其中2〃=2,2c=4,

所以〃=1,c=2t

所以從=C2-/=3,所以曲線c的方程為V-9=l(x>0).

(2)(i)設(shè)直線P0的方程為X=〃+2,P(x,9y,)f0(*2,/),其中%>0,電>。.

(x=ty+2

聯(lián)立卜一片=],消去,可得(3,2-1)〉2+]2療+9=0,

由題意知3r_1*o且△=144/一36(3r2-l)=36(r+1)>0,

由…一⑵

所以,+%=鏟7反=彳9才

直線招:,=38+1),直線BQ:y=-2r7(x-D0,

X1+IX2~i

由于點(diǎn)尸(x,,x)在曲線c上,可知y:=3(x;-l),所以扁=蟄二D,

所以直線他:yK芭0(X+1)②.

聯(lián)立①②,消去y可得士二】),

M七一1

3(x+l)=^

即A-1(王_1)(々-1),

而N3(x+D=)1必=________3^2_______

所’x-1(^,+1)(%+1)/%必+/(必+為)+1'

所以點(diǎn)在定直線x=7上.

2

(ii)由題意,與(i)同理可證點(diǎn)S也在定直線》=■!■上.

2

由于在直線@:丫=」;。+1)上,S在直線AQ:y=』y(x+l)上,

X1+1x2+1

所以r=*得■,5=|--^77.

2X1+12x2+1

而“2..___Z12?___=2,____Z122____

所以rs=4(再+1)(芍+1)-4儂+3)(優(yōu)+3)

=9___________________=9_________9________=_9

-4/%刈+3,(乂+%)+9—49產(chǎn)―36產(chǎn)+9(3/-1)-4,

9

所以耳??烈=二+小=0,所以RF1SF.

Y

22.設(shè)函數(shù)./■(*)=xlnx,g(x)=----

'/VII

(1)若直線y=;x+b是曲線y(x)的一條切線,求力的值;

(2)證明:①當(dāng)0<x<l時(shí),g(x)-/(x)>gx(x-l);

2

②Vx>0,g(x)-〃x)<-.(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e?2.718)

【答案】⑴一「

(2)①證明見解析②證明見解析

(1)

由f(x)=x\nx,則/(x)=lnx+l,

設(shè)產(chǎn)}+/?在/(x)上的切點(diǎn)為(Xo,/ln%),

_,1-1

從而f(x0)=Inx0+1=-=>x()=e2,

iAi.1

故y=-x+Z?在jf(x)上的切點(diǎn)為(e2,--e2),

22

-11-11i_l1J._1

將(e2,——e2)代入y=_1+/?得,——e2=—e2+b=b=-e2,

2222

故b的值為_eW.

(2)

①當(dāng)時(shí),>^x(x-l)<=>21nx-x+—>0,

不妨令〃(x)=21nx-x+L則〃'(x)=2-i--g*二D<0,

xxxx

故/2(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

從而對(duì)Vxe(0,1),都有h(x)>h(V)=0,

故當(dāng)0<工<1時(shí),g(x)-/(x)>|x(x-l)

②(i)由①知,當(dāng)0<x<l時(shí),^(x)-/(x)>-x(x-l),

從而xlnx〉,,_]),

2

欲證g(x)_f(x)<一,只需證9(x)=——x2+—<—,

ex+122e

l-x(x+l)2

則。(x)=x

-(--%--+---1-)27~=----(--X--+---l-)2-

令0(x)=l-x(x+l)2,則d(x)=-(x+l)2-2x(x+l)<0,

從而。(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

因?yàn)樾?1」(1+1)2>1,i9

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