中考數(shù)學(xué)必背知識(shí)手冊(cè)圖形及其變換（公式、定理、結(jié)論圖表）

知識(shí)必備05圖形及其變換（公式、定理、結(jié)論圖表）

、知識(shí)梳理

考點(diǎn)一、平移變換

1.平移的概念:在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離,這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為平移，

平移不改變圖形的形狀和大小.

【要點(diǎn)詮釋】

(I)平移是運(yùn)動(dòng)的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內(nèi)的變

換；

(2)圖形的平移有兩個(gè)要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個(gè)要素是圖形

平移的依據(jù)；

(3)圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過(guò)平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而

不改變圖形的大小，這個(gè)特征是得出圖形平移的基本性質(zhì)的依據(jù).

2.平移的基本性質(zhì)：由平移的概念知，經(jīng)過(guò)平移，圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都沿同一個(gè)方向移動(dòng)相同

的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質(zhì)：經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線(xiàn)

段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等.

【要點(diǎn)詮釋】

(1)要注意正確找出“對(duì)應(yīng)線(xiàn)段，對(duì)應(yīng)角”，從而正確表達(dá)基本性質(zhì)的特征；

(2)“對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線(xiàn)段平行且相等”，這個(gè)基本性質(zhì)既可作為平移圖形之間的性質(zhì)，又可

作為平移作圖的依據(jù).

典例1:(2022?大連)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2),將線(xiàn)段OA向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)

度，得到線(xiàn)段8C,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(5,2〉.

【分析】根據(jù)橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減求解即可.

【解答】解：將線(xiàn)段OA向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線(xiàn)段BC,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1+4,2),

即（5,2）,

故答案為：（5,2）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查坐標(biāo)與圖形變化一平移，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的平移規(guī)律：橫坐標(biāo)，右移

加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減.

典例2：（2022?畢節(jié)市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把一個(gè)點(diǎn)從原點(diǎn)開(kāi)始向上平移1個(gè)單位，再向右平移

1個(gè)單位，得到點(diǎn)Al（1,1）；把點(diǎn)Al向上平移2個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)A2（-l,3）；

把點(diǎn)A2向下平移3個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位，得到點(diǎn)A3（-4,0）；把點(diǎn)心向下平移4個(gè)單位，再

向右平移4個(gè)單位，得到點(diǎn)4（0，-4）,…；按此做法進(jìn)行下去，則點(diǎn)Ao的坐標(biāo)為（7,11）

【分析】根據(jù)題目規(guī)律，依次求出A5、A6……Ao的坐標(biāo)即可.

【解答】解：由圖象可知，A5（5,1）,

將點(diǎn)A5向左平移6個(gè)單位、再向上平移6個(gè)單位，可得41,7),

將點(diǎn)4?向左平移7個(gè)單位,再向下平移7個(gè)單位,可得47(-8,0),

將點(diǎn)由向右平移8個(gè)單位，再向下平移8個(gè)單位，可得小（0，-8）,

將點(diǎn)A8向右平移9個(gè)單位，再向上平移9個(gè)單位,可得A9(9,1),

將點(diǎn)A9向左平移10個(gè)單位，再向上平移10個(gè)單位，可得4o（-1,11）,

故答案為：（-1,11）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，規(guī)律型問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律，屬于中考

?？碱}型.

考點(diǎn)二、軸對(duì)稱(chēng)變換

1.軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形

軸對(duì)稱(chēng)：把一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)折疊，如果能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直

線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，也叫做這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸，折疊后重合的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

軸對(duì)稱(chēng)圖形：把一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形.

2.軸對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)

①關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等圖形.

②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn).

③兩個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，如果它們對(duì)應(yīng)線(xiàn)段或延長(zhǎng)線(xiàn)相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上.

④如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)被同一直線(xiàn)垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).

3.軸對(duì)稱(chēng)作圖步驟

①找出已知圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)作對(duì)稱(chēng)軸的垂線(xiàn)，并延長(zhǎng)至2倍，得到各點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

②按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即得所作圖形.

4.翻折變換：圖形翻折問(wèn)題是近年來(lái)中考的一個(gè)熱點(diǎn)，其實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，折疊重合部分必全等，折痕

所在直線(xiàn)就是這兩個(gè)全等形的對(duì)稱(chēng)軸，互相重合的兩點(diǎn)（對(duì)稱(chēng)點(diǎn)）連線(xiàn)必被折痕垂直平分.

【要點(diǎn)詮釋】翻折的規(guī)律是，折疊部分的圖形，折疊前后，關(guān)于折痕成軸對(duì)稱(chēng)，兩圖形全等，折疊圖形中有

相似三角形，常用勾股定理.

典例3：（2022?資陽(yáng)）如圖,正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn).若AB=4,則

AE+OE的最小值是（)

B.2√5+2C.2√13D.2√10

【分析】本題為典型的將軍飲馬模型問(wèn)題，需要通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)，作點(diǎn)4關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4,再連接

A'O,運(yùn)用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短得到4。為所求最小值，再運(yùn)用勾股定理求線(xiàn)段40的長(zhǎng)度即可.

【解答】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接用。，其與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)E,再作OF

交A8于點(diǎn)F,

.?AE=A'E,AE+OE=A'E+OE,當(dāng)且僅當(dāng)A',O,E在同一條線(xiàn)上的時(shí)候和最小，如圖所示，此時(shí)AE+OE

=A'E+OE=A'O,

Y正方形ABCD,點(diǎn)O為對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，

?"?0F=FB=yAB=2'

；4與4關(guān)于8C對(duì)稱(chēng)，

.?.A8=B4'=4,

：.FA,=FB+8A'=2+4=6,

在Rt△。府‘中，0A'=√FO2+FAy2=2√lδ'

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題為典型的將軍飲馬模型，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，并運(yùn)用勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵.

典例4：（2022?黔西南州）在如圖所示的RtZVlBC紙片中，ZACB=9Q°,。是斜邊AB的中點(diǎn)，把紙片沿

著C。折疊，點(diǎn)B到點(diǎn)E的位置，連接AE.AE//DC,ZB=a,則NEAC等于（）

A.aB.90°-aC.—aD.900-2a

【分析】由宜角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出Co=BO=AO=ED,ZB=ZDCB=ZDCE

=NCED=a,求出NE4D=N4EO=I80°-2α,NcA/)=90°-a,即可得出答案.

【解答】解：?.?∕ACB=90°,Q是斜邊AB的中點(diǎn)，

：.CD=BD=AD,

由折疊的性質(zhì)得：BD=ED,NB=NCED,

,CD=BD=AD=ED,

：./B=NDCB=NDCE=∕CED=a,

ΛZEDC≈180o-ZDCE-ZCED=1800-a-a=180o-2a,

?'AE∕∕DC,

.*./AM=/EZ)C=I80°-2a,

'：ED=AD,

.?.∕EAO=NAEO=180°-2a,

VZB=a,NAC8=90°,

：.ZCAD=90°-a,

：.ZEΛC=ZEAD-ZCΛD=180o-2a-(90o-a)=90°-a,

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角

形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)三、旋轉(zhuǎn)變換

1.旋轉(zhuǎn)概念：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角

叫做旋轉(zhuǎn)角.

2.旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)

圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與

旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等，對(duì)應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，圖

形的形狀、大小都沒(méi)有發(fā)生變化.

3.旋轉(zhuǎn)作圖步驟

①分析題目要求，找出旋轉(zhuǎn)中心，確定旋轉(zhuǎn)角.

②分析所作圖形，找出構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點(diǎn).

③沿一定的方向，按一定的角度、旋轉(zhuǎn)各頂點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段,從而作出圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

④按原圖形連結(jié)方式順次連結(jié)各對(duì)應(yīng)點(diǎn).

【要點(diǎn)詮釋】

1.圖形變換與圖案設(shè)計(jì)的基本步驟

①確定圖案的設(shè)計(jì)主題及要求；

②分析設(shè)計(jì)圖案所給定的基本圖案；

③利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)對(duì)基本圖案進(jìn)行變換，實(shí)現(xiàn)由基本圖案到各部分圖案的有機(jī)組合；

④對(duì)圖案進(jìn)行修飾，完成圖案.

2.平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)之間的聯(lián)系

一個(gè)圖形沿兩條平行直線(xiàn)翻折（軸對(duì)稱(chēng)）兩次相當(dāng)于一次平移，沿不平行的兩條直線(xiàn)翻折兩次相當(dāng)于

一次旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)角等于兩直線(xiàn)交角的2倍.

典例5：（2022?棗莊）如圖，將AABC先向右平移1個(gè)單位，再繞點(diǎn)尸按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,得到

B'C,則點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8'的坐標(biāo)是（）

A.（4,O）B.（2,-2）C.（4,-1）D.(2,-3)

【分析】作出旋轉(zhuǎn)后的圖形即可得出結(jié)論.

【解答】解：作出旋轉(zhuǎn)后的圖形如下：

.?.8'點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,-1）,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，熟練掌握?qǐng)D形的平移和旋轉(zhuǎn)是解題的關(guān)鍵.

典例6：(2022?鞍山)如圖，在aABC中，AB=AC,ZBAC=120°,點(diǎn)O在直線(xiàn)AC上，連接8￡>,將

繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到線(xiàn)段OE,連接BE,CE.

(1)求證：BC=y[^AB;

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段AC上(點(diǎn)。不與點(diǎn)A,C重合)時(shí)，求絲的值；

AD

(3)過(guò)點(diǎn)A作AN〃/)E交3D于點(diǎn)M若AD=2CZ),請(qǐng)直接寫(xiě)出迎的值.

CE

【分析】(1)作AHJ_8C于H,可得BH=叵AB,BC=2BH,進(jìn)而得出結(jié)論；

2

(2)證明AABQSACBE,進(jìn)而得出結(jié)果；

(3)當(dāng)點(diǎn)O在線(xiàn)段AC上時(shí)，BFLAC,交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于尸，作AG_LBo于G,設(shè)AB=AC=3α,

則AO=2α,解直角三角形8/)尸，求得8。的長(zhǎng)，根據(jù)尸求得4Q,進(jìn)而求得AM進(jìn)一步

得出結(jié)果；當(dāng)點(diǎn)。在A(yíng)C的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，設(shè)A8=AC=2",則AO=4"，同樣方法求得結(jié)果.

作BC于",

'：AB=AC,

：.ZBA∕∕=ZCA∕∕=-i-z∕βAC=^-×120°=60°,BC=IBH,

Λsin60o=里

AB

：.BH=與密

(2)解：'：AB=AC,

ΛZΛBC=/AC*180°-NBAC=180=120°=30。，

22

由（1）得,

同理可得,

NDBE=30°,罌歷

BDv

ΛZABC=ZDBE,里=里

ABBD

.*.ZABC-NDBC=NDBE-ZDBC,

ΛZABD=ZCBE,

?ABD∞ΔCBE,

當(dāng)點(diǎn)力在線(xiàn)段AC上時(shí),

作BFLAC,交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于F,作AGYBD于G,

設(shè)AB=AC=3α,則Af>=24,

由(D得，CE-√3AD=2√3a.

在RtZMBF中，ZBAF=180o-NBAC=60°,AB=3。,

oo

ΛAF≈3α?cos60=3矛BF=3a.sin60-a,

2a2a

在RtABO尸中，DF=AD+AF^2a+-a=-,

___________2_2a

2222=

βO=7βF+DF=^(-^^?a)+(-^-a)V19?.

VZAGD=ZF=90o,ZADG=ZBDF,

∕?DAG^^ΛD